2 Aproximação por curvas impĺıcitas e partição da unidade

Transcrição

1 Aproxmação por curvas mpĺıctas e partção da undade Este capítulo expõe alguns concetos báscos necessáros para o entendmento deste trabalho 1 Curvas Algébrcas Um subconjunto O R é chamado de uma curva mplícta se exste uma função F : U R, O U, e c R tal que O = F 1 (c) Uma curva mplícta F 1 (c) é regular se F é dferencável e satsfaz a condção que em cada ponto x F 1 (c) o gradente de F em x não se anula Um polnômo de grau d defndo no plano é uma função P d : R R especfcada pela segunte expressão: P d (x, y) = 0 j+k d a j,k x j y k (-1) Dá-se o nome de curva algébrca de grau d ao conjunto P 1 d (0) Como a curva algébrca é o objeto matemátco mas utlzado nessa dssertação, é convenente adotar uma representação adequada para P d, que é a mesma adotada por Tasdzen et al em 0]: P d (x, y) = v t a, (-) onde a = a 0,0 a 1,0 a d,0 a d 1,1 a 0,1 a 0,d ] t e v = 1 x x d x d 1 y y y d ] t O vetor a R l representa os coefcentes (a j,k ) 0 j;0 k;0 j+k d e o vetor v representa os monômos do polnômo P d Como P d possu grau d é fácl verfcar que o número de termos que ele possu (que corresponde à dmensão de a ou à dmensão de v) é exatamente l = (d+1)(d+)

2 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 15 Coefcentes do Polnômo P d Grau d da curva C Número de coefcentes l do polnômo P d d = l = (+1)(+) = 6 d = 3 l = (3+1)(3+) = 10 d = 4 l = (4+1)(4+) = 15 d = 5 l = (5+1)(5+) = 1 d = 6 l = (6+1)(6+) = 8 d = 7 l = (7+1)(7+) = 36 d = 8 l = (8+1)(8+) = 45 d = 9 l = (9+1)(9+) = 55 d = 10 l = (10+1)(10+) = 66 Tabela 1: Tabela do número de coefcentes do polnômo Aproxmações algébrcas por mínmos quadrados Consdere os dados de entrada como sendo um conjunto de pontos P = {p 1, p,, p q } R amostrados de uma curva planar C, onde p = (x, y ) Consdere também o conjunto de vetores normas untáros correspondentes N = {n 1, n,, n q } Apresenta-se agora dversos métodos de como obter uma curva que aproxma C 1 Mnmzando a dstânca algébrca Uma manera smples de se obter uma curva algébrca P 1 (0) que d aproxma a curva C é o de mnmzar a dstânca algébrca sobre o conjunto de pontos dados, sto é, determnar os coefcentes de P 1 (0) tal que a soma da d dstânca algébrca de cada um dos q pontos à curva, denotada por e total = (P d (x, y )) (-3) seja a menor possível como: onde Utlzando a representação vetoral de P d em (-), e total pode ser escrto v = e total = a t ( v v)a, t (-4) 1 x x d x d 1 y y y d Para melhorar a notação, defna as matrzes M de tamanho l q e S de ] t

3 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 16 tamanho l l da segunte manera: M = v 1 v v q ], e S = MM t = v v t Consdere o problema de mnmzação como sendo mn a {a t Sa}, sujeto a restrção a = 1 Com o uso do multplcador de Lagrange λ, o problema de otmzação condconado torna-se: mn a {a t Sa + λ(a t a 1)} (-5) A solução desse problema é dada pelo autovetor untáro de S assocado ao seu menor autovalor 1] Em resumo, o método para a mnmzação da dstânca algébrca restrto à condção a = 1 consste smplesmente em encontrar o autovetor de S assocado ao seu menor autovalor em módulo usando, por exemplo, o método da potênca em S 1 18] Esse método será chamado de classcal least squares Embora este método seja nvarante por transformações afns 1], ele apresenta alguns problemas Seus resultados são extremamente sensíves às pequenas pertubações nos dados de entrada Além dsso, a curva algébrca P 1 d (0) obtda na aproxmação não leva em consderação a contnudade do conjunto de dados de entrada, podendo gerar novas componentes conexas ou juntar componentes que eram orgnalmente separadas Uma técnca smples para tornar a aproxmação por esse método mas estável é aplcar uma padronzação nos conjuntos de dados, que consste em colocar a orgem do domíno no centróde do conjunto de dados e então escalonar os pontos dvdndo-os pela méda dos autovalores da matrz S Para maores detalhes sobre esse método consulte 19, 0, 1] Aproxmação consderando o gradente Para evtar os problemas de nconsstênca de contnudade e de sensbldade à pequenas pertubações do conjunto de dados de entrada, fo proposto um outro método que consdera os vetores untáros normas à curva 0] Esses

4 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 17 vetores são fornecdos como dados de entrada do sstema através do conjunto N Defne-se o conjunto T = {t 1, t,, t q } como sendo o conjunto dos vetores untáros tangentes à curva C, onde t é obtdo aplcando uma rotação de π/ no sentdo ant-horáro ao vetor n O método Gradent One Fttng a ser dscutdo fo proposto por Le et al em 13] Ele faz uso do gradente do polnômo P d em (x, y ), que é denotado por Pd x P d (x, y ) = (x ], y ) P d (x, (-6) y, y ) Vale lembrar que se o vetor gradente de P d em (x, y ) não é nulo, então ele é perpendcular ao vetor tangente da curva de nível de P d que passa por (x, y ) A proposta do método proposto por Le et al é novamente um problema de mínmos quadrados Ele adcona dos termos novos à função objetvo e retra a condção a = 1 Esses novos termos são funções do gradente do polnômo P d O prmero deles é q (nt P d (x, y ) 1), cujo objetvo é o de ajustar P d de tal forma que o seu gradente em (x, y ) tenda a fcar alnhado com n O segundo termo é q (tt P d (x, y )), que tem por objetvo forçar anda mas o ajuste fazendo com que o vetor gradente de P d em (x, y ) tenda a fcar perpendcular à t A função a ser mnmzada fca, portanto, defnda da segunte forma: e grad = {(P d (x, y )) + µ(n t P d (x, y ) 1) + µ(t t P d (x, y )) } (-7) onde µ é o peso que se dá aos dos novos termos Com o objetvo de segur a representação vetoral para o polnômo P d, as seguntes matrzes e vetores são defndas: A matrz D de tamanho l : D = v x v y ] = x 0 dx d 1 0 (d 1)x d y x d y d 1 (d 1)x y d 0 d y d 1 (-8)

5 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 18 O vetor gradente P d : A matrz S N de tamanho l l: P d = (v t a) = (D ) t a (-9) S N = D n n t D t A matrz S T de tamanho l l: S T = D t t t D t O vetor g N de tamanho l: g N = D n O problema de otmzação para o método é: mn a {e grad } = mn a {a t Sa + µa t S N a + µa t S T a µa t g N + µq} E a solução desse problema é obtdo resolvendo o segunte sstema de equações lneares: 3 Técnca para reduzr a nstabldade numérca (S + µ(s N + S T ))a = µg N (-10) Quando a matrz SS = (S + µ(s N + S T )) não tver posto máxmo ou mostrar nstabldade numérca para resolver o sstema (-10) pode-se usar a técnca denomnada rdge regresson, e será denotada por RR Essa técnca é normalmente usada pelos estatístcos para remover a colneardade dos dados de entrada A prmera proposta para obter melhores curvas algébrcas usando essa técnca fo feta por Tasdzen et al em 0] A técnca RR bascamente modfca o problema de otmzação adconando um novo termo: mn a {a t Sa + µa t S N a + µa t S T a µa t g N + µq + κa t a}, Onde é uma matrz dagonal de tamanho l l e a constante real κ determna o peso que se dá ao novo termo na aproxmação A solução para esse problema é obtdo da segunte forma:

6 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 19 a = µ(ss + κ ) 1 g N (-11) Tasdzen et al em 0] sugerem a segunte escolha para matrz vv =!j! ( + j)! k,l 0;k+l=+j (k + l)! k!l! m=1 x k m y l m, (-1) para, j 0; + j d, onde v = j + (+j+1)(+j) Essa sugestão para preserva a nvarânca por rotação do método descrto na seção 0] A segur, a fgura 1 0] mostra uma comparação entre os três métodos apresentados As lnhas pontlhadas são os dados de entrada (pontos) e as cheas são as aproxmações globas dos dados Fgura 1: As fguras (a) e (d) lustram aproxmações obtdas usando o método classcal least squares Já nas fguras (b) e (e) fo utlzado o método gradent one fttng, e nas fguras (c) e (f) o método rdge regresson As lnhas pontlhadas são os dados de entrada e as lnhas cheas são as aproxmações obtdas O grau do polnômo fo escolhdo como sendo 6 para o alcate e 8 para o avão 3 Partção da Undade A Partção da Undade (PU) 5, 10, 11] é uma ferramenta matemátca muto útl para combnar aproxmações locas a fm de defnr uma aproxmação global Importantes propredades como o erro máxmo global e a ordem de convergênca podem ser herdadas do comportamento local A déa básca da construção de uma aproxmação global por partção da undade é a segunte:

7 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 0 1 dvdr o domíno de nteresse em dversas partes, obter uma aproxmação local para o subconjunto de dados pertencentes a cada parte, 3 obter uma aproxmação global fazendo uma combnação ponderada das soluções locas através de funções suaves não negatvas que correspondem aos pesos Em cada ponto do domíno, a soma dessas funções peso deve ser um Mas precsamente, consdere um domíno lmtado Ω R e denote por {ϕ } o conjunto de funções não negatvas com suporte compacto tal que: ϕ (x, y) 1 para todo ponto (x, y) Ω Chame de F o conjunto de funções com suporte compacto defndas em supp(ϕ ) Cada função pertencente a F estara representando uma aproxmação local para os pontos do conjunto de entrada P que pertencem à supp(ϕ ) Uma aproxmação global para a função f : Ω R podera ser obtda da segunte manera: f(x, y) ϕ (x, y)f (x, y) (-13) onde f F Consdere {w } um conjunto de funções não-negatvas com suporte compacto tal que: Ω supp(w ) As funções partções da undade ϕ podem ser geradas da segunte forma: ϕ (x, y) = w (x, y) n j=1 w j(x, y) (-14) A déa por trás de uma aproxmação construída através da partção da undade pode ser resumda pelas equações (-13) e (-14) Essas equações formam a base do algortmo MPU proposto por Ohtake et al em 16] 4 O método MPU O método chamado de Multlevel Parton of Unty (MPU) fo proposto por Ohtake et al em 16] orgnalmente para gerar uma superfíce mplícta em R 3 Nessa dssertação restrngmos o seu uso para curvas mplíctas em R

8 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 1 Como seu própro nome dz, o MPU usa a partção da undade para obter aproxmações globas a partr de aproxmações locas usando uma estrutura herárquca para a subdvsão do domíno, que são fetas recursvamente através de uma Quad-Tree A Quad-Tree é um tpo especal de árvore onde todas as células ou são células folha ou têm quatro células flhas Tendo como utlzação prncpal a representação de uma decomposção espacal adaptatva do domíno através de um processo recursvo A fgura lustra um exemplo de uma Quad-Tree adaptada aos pontos de entrada Fgura : Exemplo da construção de uma Quad-Tree gerando uma subdvsão do domíno adaptada aos pontos Segue uma descrção concsa de como o método MPU constró a função mplícta que aproxma globalmente os pontos Incalmente os pontos de P são transladados de modo a tornar o seu centro de massa a orgem do sstema de coordenadas Depos os pontos são escalonados de tal forma que o quadrado Ξ = 1, 1] 1, 1] contenha todos eles Por um abuso de notação, contnua-se dando o nome de P ao conjunto de pontos de entrada após essas duas transformações O método cra uma Quad-Tree usando um procedmento recursvo controlado pelo erro da aproxmação local O crtéro de refnamento consste em dentfcar localmente o erro cometdo pela aproxmação e caso ele seja maor que uma determnada tolerânca ele subdvde o quadrado em quatro e recursvamente repete o teste para cada um dos seus quadrantes Portanto, para cada nó da Quad-Tree exste uma função peso usada na partção da undade com suporte compacto defndo como sendo um círculo de

9 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos rao r centrado no centro geométrco do nó Esse rao é escolhdo como sendo proporconal ao tamanho da dagonal do quadrado do nó, denotado por d Geralmente se faz r = 075d A fgura 3 lustra os suportes compactos assocados a cada nó da estrutura Quad-Tree Fgura 3: Exemplo da regão de suporte para cada nó da Quad-Tree A aproxmação local é feta usando uma quádrca e ela só é calculada nos nós que possurem pontos de P A função de partção da undade para cada nó da Quad-Tree é uma B-Splne quadrátca b(t): ϕ (x, y) = b( 3 (x, y) c r ) (-15) onde c é centro do quadrado correspondente a um nó da Quad-Tree Para calcular as quádrcas em cada nó, consdera-se os pontos de P que estão na sua regão de suporte correspondente Às vezes (especalmente se a densdade de P não é unforme) o círculo de rao r de um nó N não contém o número de pontos sufcente para uma estmação robusta da quádrca que aproxma os pontos Se o número de pontos for menor que o número mínmo de pontos sufcente para resolver o problema de mínmos quadrados para a determnação da quádrca, deve-se aumentar o rao do círculo do suporte até que se obtenha a garanta da exstênca de uma solução (a matrz a ser nvertda possur posto máxmo), como lustra a fgura 416] Ohtake et al utlzaram uma função objetvo que é uma méda ponderada da dstânca algébrca de cada ponto à curva, onde a ponderação é feta pela própra função peso ϕ Mas nformações podem ser encontradas em 16]

10 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 3 Fgura 4: Aumentando o rao do círculo do suporte para obter uma garanta de exstr solução para o cálculo das quádrcas As fguras (5) e (6)16] exemplfcam superfíces mplíctas no R 3 obtdas pelo método MPU Fgura 5: Toro: Fgura gerada pelo software MPU

11 Método mpĺıcto para reconstrução de curvas a partr de pontos esparsos 4 Fgura 6: Bunny: Fgura gerada pelo software MPU