Procedimento Recursivo do Método dos Elementos de Contorno Aplicado em Problemas de Poisson

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1 Trabalho apresentado no III CMAC - SE, Vtóra-ES, 015. Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Computatonal and Appled Mathematcs Procedmento Recursvo do Método dos Elementos de Contorno Aplcado em Problemas de Posson Vncus Erler de Sousa Ramos 1 Insttuto Federal de Educação, Cênca e Tecnologa do Espírto Santo, São Mateus, ES Carlos Fredrch Loeffler Programa de Pós Graduação em Engenhara Mecânca, PPGEM/UFES, Vtóra, ES Resumo. Este trabalho apresenta um procedmento smples para melhorar a precsão dos valores numércos obtdos com o Método dos Elementos de Contorno na solução de problemas de Posson usando malhas com reduzdo grau de refnamento. Usualmente, os valores em pontos nternos são determnados através da reaplcação de uma equação ntegral, após serem calculados todos os valores de contorno. Neste trabalho, mostra-se que a mesma dea pode ser utlzada para melhorar a precsão do método, escolhendo-se novos pontos fonte no contorno e reutlzando a equação ntegral de contorno. Palavras-chave. Método dos Elementos de Contorno, Procedmento Recursvo, Método dos Resíduos Ponderados, Equação de Posson 1 Introdução A partr de observações obtdas pela precsão superor dos valores numércos calculados com o Método dos Elementos de Contorno para pontos nternos, em que a equação ntegral é novamente utlzada, propôs-se o estabelecmento do denomnado procedmento recursvo, em que a equação ntegral é usada uma vez mas, com o propósto de melhorar a precsão dos resultados, recalculando-os em novos pontos fonte stuados no contorno. A base matemátca provém da dea do Método dos Resíduos Ponderados (MRP), que é uma mportante ferramenta usada para resolver numercamente equações dferencas [1], baseado na mnmzação de resíduos. Em sua forma mas clássca, MRP usa funções de teste, para realzar aproxmação de domíno global, em oposção com as estratégcas do Método dos Elementos de Contorno (MEC) ou Método dos Elementos Fntos (MEF), que usam aproxmações setoras, ou seja, funções de aproxmação são usadas em partes lmtadas. No entanto, a base matemátca de MRP é mas geral, o que permte que sejam deduzdos os ctados métodos e anda 1 vncus.ramos@fes.edu.br carlosloeffler@bol.com.br DOI: / SBMAC

2 outros métodos numércos mportantes, a partr da sentença fundamental do MRP [5], desde que as partculardades de cada técnca sejam adequadamente mpostas. O procedmento recursvo já fo aplcado com êxto em problemas de Laplace [4]. Neste trabalho, a técnca é aplcada aos problemas de Posson. Os resultados numércos são comparados com os analítcos para mostrar as melhoras obtdas com a técnca proposta. A Equação de Posson Consdere um domíno bdmensonal que representa um campo térmco ou mecânco em estado de equlíbro, cujo meo possu propredades homogêneas e sotrópcas e nele exstem fontes, sorvedouros ou ações externas que atuam dretamente no domíno. Consderando u(x) a varável potencal escalar, a equação dferencal assocada a este problema é a Equação de Posson, em notação ndcal dada por: u( X ), = p( X ) (1) As condções de contorno essencas e naturas e são defndas, respectvamente, pelas seguntes equações: u ( X ) = u( X ), em u ; e u n ( X ) = q( X ), em q, () Onde n é o vetor normal untáro externo ao contorno no ponto e = u + q. 3 Expressão do Método dos Resíduos Ponderados O MRP assocado à Equação de Posson pode ser apresentado em geral de acordo com a segunte equação ntegral [3]: u [ u( X ) u( X )] q * ( ξ; X ) d+ q [ q( X ) q( X )] u * ( ξ; X ) d= [ p( X ) u, ( X )] u * ( ξ; X ) d (3) Na Equação (3) as funções de ponderação são: a solução fundamental do problema de Posson u*(ξ,x), consderando um meo homogêneo nfnto sujeto a uma ação concentrada no ponto ξ, denomnado fonte; e q*(ξ,x) é sua dervada normal ao contorno externo. Por serem funções solução de um problema correlato, constroem um espaço solução afm e sua potencaldade na mnmzação de resíduos é elevada. Anda nesta equação, u(x) deve ser nterpretado como uma solução aproxmada da solução exata, dada pela equação (1). A equação (3) nclu a mnmzação de todos os tpos de resíduos que podem aparecer nas aproxmações da solução, seja no domíno e nas fronteras u e q. Uma vez que p(x) é uma função conhecda, nos procedmentos clásscos do MEC DOI: / SBMAC

3 3 opera-se matematcamente o lado esquerdo da equação (3), juntamente com a ntegral de domíno referente ao Laplacano do potencal u(x), vsando obter uma expressão adequada à aplcação medata dos procedmentos típcos de dscretzação do MEC. Com esse propósto, é precso realzar operações matemátcas que ncluem duas ntegrações por partes e utlzação do Teorema da Dvergênca [1]. Feto sso, estabelece-se a forma ntegral denomnada nversa, equvalente a equação (4), dada por: c( ξ ) u( ξ ) + u( X ) q*( ξ; X ) d q( X ) u *( ξ; X ) d= p( X ) u *( ξ; X ) d (4) O coefcente c(ξ) depende do posconamento do ponto ξ com relação ao domíno físco (X) e procedmentos matemátcos relatvamente elaborados demonstram que, por exemplo, para contornos suaves seu valor é gual a meo []. Para problemas em que as ações de domíno são harmôncas, ou seja: p ( X ), = 0 (5) é possível empregar o procedmento que usa o chamado Tensor de Galerkn G*(ξ;X) [] e, a menos dos erros de dscretzação, ntegrar exatamente o lado dreto da equação (4), sem que hajam resíduos a serem mnmzados com relação a função p(x). Neste caso, tem-se: p( X ) u *( ξ; X ) d= p( X ) G*, p( X ) G*, ( ξ; X ) n ( X ) d p, ( ξ; X ) d= ( X ) n ( X ) G * ( ξ; X ) d (6) 4 Procedmento Recursvo A dea do processo recursvo é aplcar a sentença ntegral de contorno com pontos fonte localzados em locas dferentes daqueles que geraram os nós de frontera orgnas. A expectatva é a obtenção de resultados com uma melhor precsão, devdo à correlação entre a reaplcação da equação ntegral de contorno e uma nova mnmzação de erros. Vale ressaltar que a equação ntegral de contorno (4) é matematcamente equvalente a uma expressão do Método dos Resíduos Ponderados (MRP). Assm, caso não sejam ntroduzdas aproxmações adconas na representação das ações de domíno, a substtução da equação (6) na equação (4) não altera o entendmento de que a escolha de novos pontos fonte no contorno represente uma nova mnmzação dos resíduos de ntegração sobre o domíno e o contorno. 5 Testes numércos 5.1 Prmero teste: barra sujeta a uma ação de domíno constante DOI: / SBMAC

4 4 A Fgura 1 mostra as característcas físcas e geométrcas do prmero exemplo. O comprmento é L, a massa específca é ρo, o módulo de Young é E e a força de corpo é g. Para smplfcar, todas estas varáves são tomadas gual à undade. A equação de governo para este problema é dada por: d u ρ0g = (7) dx E 1 0 u x L q ρ o q g q x 1 Fgura 1: Barra sujeta a uma ação de domíno constante. Dferentes malhas com elementos de contorno lneares são empregadas. Nos cantos são usados nós duplos. Para o procedmetnos recursvo, os novos pontos fonte são tomados centralzados em cada elemento. Analogamente ao procedmento dreto do MEC, valores recursvos de deslocamento e forças de superfíce são calculados nos elementos em que não foram prescrtas tas condções. Fgura : (a) Erro percentual dos valores do potencal; (b) Erro percentual dos valores da dervada normal. A Fgura a mostra os resultados obtdos para os deslocamentos recursvos em DOI: / SBMAC

5 5 comparação com os valores dretos. Percebe-se o melhor desempenho deste últmo, partcularmente nas malhas menos refnadas. Para as forças de superfíce, de maor dfculdade numérca em qualquer método gerado a partr de varáves prmtvas (como o deslocamento, neste caso) o desempenho do procedmento recursvo fo bem superor (Fgura b), atestando a realdade do procedmento de remnmzação de resíduos. 5. Segundo teste: membrana sob ação de carga constante Este caso bdmensonal pode ser fscamente nterpretado como uma membrana com suas extremdades fxas sujeta a um carregamento constante em seu domíno, dado por: u u + x x 1 = p (8) Fgura 3: Membrana fxa no contorno sujeta a uma ação de domíno constante. Fgura 4: Erro percentual dos valores da dervada normal. Neste problema apenas as forças de superfíce são calculadas, vsto que os DOI: / SBMAC

6 6 deslocamentos no contorno são prescrtos. Os resultados são apresentados na Fgura 4. Pode-se perceber que neste caso, mas complexo, também houve redução dos erros nos valores de contorno, sendo anda mas sgnfcatvo o desempenho do procedmento recursvo quando malhas menos refnadas são utlzadas. 6 Conclusões Sabe-se que a utlzação de uma equação ntegral de contorno para determnar os valores nternos produz resultados numércos com maor precsão do que nos pontos de contorno. Isto pode ser justfcado por uma nova mnmzação de erros mposta pela reaplcação da sentença de resíduos ponderados. Tal como nos problemas de Laplace, no caso dos deslocamentos uma mnmzação efcaz dos resíduos pode ser alcançado apenas para malhas pouco refnadas, em que se pode perceber que a solução numérca anda não hava representado adequadamente o campo proposto. Neste sentdo, verfca-se que a dferença nos resultados entre as soluções dreta e recursva se reduzu bastante com o refnamento da malha. No que se refere às forças de superfíce, o procedmento recursvo tem mostrado um desempenho bem melhor, e a razão para sto deve se relaconar a maor dfculdade que os métodos numércos apresentam para aproxmar grandezas dervadas da varável prmal. Este desempenho é anda mas pronuncado em casos que apresentam descontnudades e sngulardades. O custo computaconal do procedmento recursvo não é alto porque nenhum novo sstema de equações precsa ser resolvdo. Os níves de erro foram smlares àqueles encontrados nas smulações dos problemas de Laplace, o que credenca a aplcação da técnca em problemas mas elaborados, como os governados pelas equações de Helmholtz e Naver, esta últma referente a problemas de campo vetoral. Referêncas [1] C. A. Brebba, The Boundary Element Method for Engneers, Pentech Press, (1978). [] C. A. Brebba, J.C. Telles and L.C. Wrobel, Boundary Element Technques, Sprnger Verlag (1984). [3] C. A. Brebba and S. Walker, Boundary Element Technques n Engneerng, Newnes- Butterworths, London, (1980). [4] C. F. Loeffler, A recursve applcaton of the ntegral equaton n the boundary element method, Engneerng Analyss wth Boundary Elements, 35, 77-84, (011). [5] J. N. Reddy, An Introducton to the Fnte Element Method, McGraw-Hll, (1993). DOI: / SBMAC