Diferenças finitas compactas para a equação de Poisson utilizando métodos iterativos

Transcrição

1 Dferenças fntas compactas para a equação de Posson utlzando métodos teratvos Rafael de Lma Sterza; Analce Costacurta Brand Departamento de Matemátca e Computação Faculdade de Cêncas e Tecnologa - UNESP Presdente Prudente - SP, Brasl rlsterza@gmalcom; analce@fctunespbr Resumo As equações elíptcas são equações dferencas parcas e estão relaconadas com problemas de equlíbro que não dependem, em geral, do tempo A necessdade de obtenção de soluções aproxmadas para problemas desse tpo mpulsonou o estudo e a aplcação de métodos numércos Exstem dversos métodos numércos capazes de encontrar aproxmação para a solução de uma equação elíptca, em especal, para a equação de Posson bdmensonal Porém, a fnaldade deste trabalho é explorar um método capaz de obter aproxmações mas precsas e com baxo custo computaconal, conhecdo como método de dferenças fntas compactas e verfcar o emprego de dferentes métodos teratvos na solução do sstema lnear provenente desta aproxmação Palavras-chave equação de Posson; dferenças fntas compactas; métodos teratvos I INTRODUÇÃO As equações dferencas elíptcas estão relaconadas com problemas de equlíbro que não dependem, em geral, do tempo Como exemplos de equações elíptcas têm-se problemas de vbração em membranas, problemas de dfusão, entre outros [4] A equação de Posson representa um problema estaconáro e com a necessdade de obtenção de soluções aproxmadas para problemas desse tpo mpulsonou o estudo de novas técncas, dentre elas, o método de dferenças fntas compactas Os esforços para calcular uma solução mas precsa tem drgdo a atenção dos pesqusadores para o desenvolvmento do método de dferenças fntas compactas que é um método conhecdo por ter propredades de alta ordem de precsão e baxo custo computaconal, quando comparado com outros métodos numércos [5] Quando se trata de solução de sstemas lneares, em certos casos, os métodos teratvos são melhores que os métodos exatos, por exemplo, quando a matrz dos coefcentes é esparsa Estes métodos também são mas econômcos, pos requerem um gasto computaconal menor Além dsso, são capazes de se autocorrgrem, sto é, sua convergênca ndepende da aproxmação ncal [3] Neste contexto, o objetvo deste trabalho é avalar o uso de dferentes métodos teratvos para a resolução do sstema lnear provenente da dscretzação da equação de Posson bdmensonal resolvda numercamente pelo método de dferenças fntas compactas II FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Uma das prncpas equações elíptcas que representam os problemas de equlíbro é a equação de Posson dada por x u = fx, y 1 y2 Uma característca dos problemas modelados por equações dferencas parcas elíptcas é que toda regão Ω seja medatamente afetada por qualquer mudança no valor da varável dependente em um ponto do nteror do domíno ou na frontera Ω Isso é equvalente a afrmar que as propredades físcas de problemas elíptcos se propagam em todas as dreções dentro da regão Ω, afetando os pontos nterores, e por este motvo suas condções de contorno normalmente são especfcadas ao longo de toda frontera [4]

2 A solução numérca de uma equação dferencal parcal necessta de condções auxlares adequadas A determnação dessas condções auxlares é facltada ntroduzndo-se o conceto de característcas Em problemas com duas varáves ndependentes x e y, por exemplo, característcas reas, se exstrem, são curvas no plano x y, pelas quas, nformações se propagam [4] As condções de contorno usualmente especfcam os valores da função ou os valores de sua dervada normal ao longo do contorno Ω, ou uma mstura de ambos, que são, respectvamente, as condções de Drchlet u é conhecda em Ω, de Neumann u u n é conhecda em Ω e Robn αu = β n conhecda em Ω Em partcular, consdera-se neste trabalho uma regão quadrada Ω = {x, y : a x b; a y b} com condção de contorno ux, y = gx, y em Ω III FORMULAÇÃO NUMÉRICA O problema em estudo é formulado por uma equação dferencal parcal do tpo estaconára e por condções auxlares específcas Consderando o fato de que nem sempre exste solução analítca, faz-se necessára a resolução do problema de modo numérco Para tanto, o método de dferenças fntas compactas é adotado para a dscretzação do domíno e das dervadas parcas do problema Um problema envolvendo uma equação dferencal pode ser resolvdo por três tpos de abordagem A abordagem analítca fca restrta a problemas smples e lneares Problemas complexos tornamse dfíces ou até mesmo mpossíves de se resolver analtcamente, por conta da nsufcênca dos métodos exstentes A abordagem expermental é capaz de produzr resultados mas realístcos, em contrapartda possu lmtações de ordem espacal, pos requer estruturas que suportem o expermento, dependendo na maora das vezes, de processos operaconas caros e longos Enquanto sso, a abordagem computaconal é capaz de soluconar equações com alto nível de complexdade, não havendo restrções a geometras e processos complcados É sempre necessáro um cudado especal na construção da modelagem, para que de fato, ela seja uma equação que represente o fenômeno estudado Erros de truncamento são nerentes ao processo, mas técncas de convergênca e establdade são ncorporadas, garantndo a valdade dos resultados A prmera etapa para resolução de qualquer método numérco envolvendo equações dferencas parcas é dscretzar a regão onde se procura a solução Para a dscretzação defne-se uma malha, que é um conjunto fnto de pontos pertencentes ao domíno, chamados nós da malha [3] A Método de Dferenças Fntas Compactas Consderando uma malha retangular com espaçamento h e k nas dreções x e y, respectvamente, então tem-se que e,j y 2 = u,j 1 2u,j + u,j+1 k 2 k2 4 u,j 12 y 4 + k4 6 u,j 360 y 6 + Ok 6 3 Consderando o fato que u é a solução de 1, tem-se que da mesma forma 4 u,j x 4 = 2 f,j x 2 4 u,j x 2 y 2, 4 4 u,j y 4 = 2 f,j y 2 4 u,j x 2 y 2 5 Ao substtur 4 e 5 em 2 e 3, respectvamente, e utlzando uma aproxmação por dferenças fntas centradas na segunda dervada de f, obtém-se e,j x 2 = u 1,j 2u,j + u +1,j h f 1,j 2f,j + + f +1,j + h2 4 u,j 12 x 2 y 2 h4 4 u,j 144 x 4 + Oh 4, 6,j y 2 = u,j 1 2u,j + u,j+1 k f,j 1 2f,j + + f,j+1 + k2 4 u,j 12 x 2 y 2 k4 4 u,j 144 y 4 + Ok 4 7 Perceba que é necessáro uma aproxmação para o termo 4 u x 2 y 2,j, que pode ser dado por 4 u,j x 2 y 2 = 4u,j h 2 k 2 2 u 1,j + u +1,j + u,j 1 + u,j+1 h 2 k u 1,j 1 + u 1,j+1 + u +1,j 1 + u +1,j+1 h 2 k 2 8 Substtundo 8 em 6 e 7, somando as equações resultantes e em seguda, substtundo-a em 1, obtém-se,j x 2 = u 1,j 2u,j + u +1,j h 2 h4 6 u h2 4 u,j 12 x 4 +,j 360 x 6 + Oh 6, 2 + u 1,j 2u,j + u +1,j h 2 + u,j 1 2u,j + u,j+1 k 2 + h 2 + k 2 [ 4u,j 12 h 2 k 2 2 u 1,j + u +1,j + u,j 1 + u,j+1 h 2 k 2 +

3 + u 1,j 1 + u 1,j+1 + u +1,j 1 + u ] +1,j+1 h 2 k 2 = = 1 12 f 1,j + f +1,j + f,j 1 + f,j+1 4f,j 9 Fazendo h = k, então 9 pode ser reescrta da segunte forma 1 6 u +1,j+1 + u +1,j 1 + u 1,j+1 + u 1,j u 1,j + u +1,j + u,j 1 + u,j u,j = = h2 12 f 1,j + f +1,j + f,j 1 + f,j+1 + 8f,j 10 A equação 10 representa o esquema de dferenças fntas compactas, com erro de truncamento local dado por τ,j = h4 6 u,j 360 x u,j y 6 + Oh 6, em que o termo domnante do erro é h 4, então sso sgnfca que 10 é o esquema de dferenças fntas compactas de 4 a ordem Para o método de dferenças fntas compactas de 6 a ordem, consdera-se apenas para h = k Incalmente reescreve-se 1 na forma δ 2 xu,j + δ 2 yu,j + τ,j = f,j, 11 onde δ 2 x e δ 2 y representa o operador de aproxmação por dferenças fntas, ou seja, 2 e 3, respectvamente Na equação 11, trabalhase com o termo τ,j da segunte forma τ,j = h2 4 u,j 12 x u,j y 4 h4 6 u,j 360 x u,j y 6 +Oh 6 12 Substtundo 4 e 5 em 12 e utlzando 8, tem-se que Substtundo 14 em 13 e fazendo as manpulações algébrcas necessáras, obtém-se τ,j = h2 12 [ 2 f,j +2δ 2 xδ 2 yu,j ]+ h f,j +4δ 2 xδ 2 yf,j +Oh 6 15 Substtundo a equação 15 na equação 11, obtém-se o método de dferenças fntas compactas de 6 a ordem dada por 10 3 u,j A B = h2 12 C + h f,j + 4δxδ 2 yf 2,j, 16 onde A = u 1,j + u +1,j + u,j 1 + u,j+1, B = u 1,j+1 + u 1,j 1 + u +1,j 1 + u +1,j+1, C = f 1,j + f +1,j + f,j 1 + f,j+1 + 8f,j, δ 2 xδ 2 yf,j = 4f,j h 4 2 B Métodos Iteratvos f 1,j + f +1,j + f,j 1 + f,j+1 h f 1,j 1 + f 1,j+1 + f +1,j 1 + f +1,j+1 h 4 Para resolver teratvamente um sstema lnear da forma Ax = b, onde a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a n1 a n2 a nn prmeramente decompõe-se a matrz A de tal forma que τ,j = h2 12 [ 2 f,j + 2δxδ 2 yu 2,j ] h4 6 u,j 360 x u,j x 4 y u,j x 2 y u,j y 6 + Oh 6 13 A expressão compacta de 6 a ordem requer mas uma aproxmação, que pode ser obtda através de 1, então 6 u x 6 = 4 f x 4 e 6 u x 4 y 2, 6 u y 6 = f 4 y 4 6 u x 2 y 4 4 f x 2 y 2 = 6 u x 4 y 2 6 u x 2 y 4 14 A = L + D + U, 17 em que L é a matrz trangular estrtamente nferor, D é a matrz dagonal e U é a matrz trangular estrtamente superor a a a L =, D = 0 a 22 0, a n1 a n a nn 0 a 12 a 1n 0 0 a 2n U = 0 0 0

4 A partr dsso, a matrz A é decomposta na soma A = M + N, 18 e escreve-se o sstema na forma Mx = b Nx A matrz M é escolhda propostalmente de manera que seja nvertível facltando a resolução do sstema Por exemplo, M pode ser dagonal, trangular ou trdagonal O método teratvo, então, é defndo por 2 Método de Jacob Amortecdo: O método de Jacob não pode, em geral, ser sobrerelaxado, porque o método obtdo não converge, no entanto, ele pode ser subrelaxado através de um parâmetro 0 < ω 1 para obter um método convergente A vantagem de se utlzar este método é que para certos valores de ω ele é um ótmo suavzador de erro Pelo método de Jacob usual, obtém-se x k+1 = b n j=1,j a,jx k j, a, e, para a construção do método de Jacob amortecdo, toma-se Mx k = b Nx k 1, com k = 1, 2, 19 sendo x 0 uma aproxmação ncal qualquer e k o número de terações, e então x k e x k 1 são vetores de n componentes avalados na teração k e na teração anteror, respectvamente A segur, são apresentadas as deduções de quatro métodos teratvos essencalmente mportantes na resolução dos sstemas lneares resultantes da dscretzação de equações dferencas parcas elíptcas e que são testados nesse trabalho 1 Método de Jacob: O método de Jacob é o método teratvo mas smples dos quatro métodos que são apresentados aqu Por outro lado, a sua convergênca pode também ser mas lenta Neste método, tem-se Dessa forma, pode-se escrever M = D e N = L + U 20 Ax = b M + Nx = b Dx = b L + Ux 21 Portanto, escrto na forma matrcal o método de Jacob consste em Dx k = b L + Ux k 1, x k = D 1 b D 1 L + Ux k 1, 22 e, consequentemente, na forma pontual pode ser escrto como com = 1, 2,, n x k = b n j=1,j a,jx j k 1 a,, 23 ou seja, x k+1 x k+1 = x k = x k + ω x k+1 x k, [ b n j=1,j + ω a,jx k j a, ] x k 24 Este método é conhecdo como método de Jacob amortecdo, método de Jacob ponderado ou anda método de relaxamento smultâneo dferente do método de relaxamento sucessvo, baseado no método de Gauss-Sedel, em que cada varável é substtuída sucessvamente dentro da mesma teração à medda que ela é atualzada; no método de Jacob, as varáves são todas substtuídas smultameamente na próxma teração Em forma matrcal, o método de Jacob amortecdo pode ser descrto da segunte forma Denotando por D a parte dagonal de A, tem-se assm, ou anda, donde, a, x k+1 = a, x k [ + ω b n j=1,j a,j x k j Dx k+1 = Dx k + ω[b Ax k ], 1 1 ω D x k+1 = ω D A x k + ωb, x k+1 = 1 1 [ 1 ] ω D ω D A x k + ωb ] x k, Em contraste com o método SOR, que converge em geral para 0 < ω < 2, o método de Jacob amortecdo converge para 0 < ω 1, quando ω = 1 o método é dêntco ao método de Jacob usual [1] 3 Método de Gauss-Sedel: Dferente do método de Jacob, no método de Gauss-Sedel consdera-se

5 Isso permte escrever M = L + D e N = U 25 Ax = b M + Nx = b L + Dx = b Ux 26 Portanto, escrto na forma matrcal o método de Gauss-Sedel consste em Dx k = b Lx k Ux k 1, 27 x k SOR = xk 1 SOR + ωxk GS xk 1 SOR, 32 em que x GS é um vetor avalado no método de Gauss-Sedel, x SOR é o vetor avalado no método SOR e ω é conhecdo por fator de relaxação A equação acma pode ser reescrta da segunte manera x k SOR = 1 ωxk 1 SOR + ωxk GS 33 Substtundo 30 em 33, obtém-se o método SOR na forma pontual ou anda, L + Dx k = b Ux k 1, x k = 1 ωx k 1 1 +ωb j=1 a,j x j k n j=+1 a,j x j k 1 /a, Para obter a sua forma matrcal, basta substtur 31 em x k = L + D 1 b L + D 1 Ux k 1 28 E, consequentemente, na forma pontual pode ser escrto como x k = b 1 j=1 a,jx j k n j=+1 a,jx j k 1 a,, 29 x k = 1 ωx k 1 + ωb Lx k Ux k 1 D 1, x k = 1 ωx k 1 + ωd 1 b ωd 1 Lx k + ωd 1 Uxk 1, separando os termos de acordo com os níves da teração com = 1, 2,, n 1 + ωd 1 Lx k = 1 ω ωd 1 Ux k 1 + ωd 1 b, 35 4 Método Sobrerrelaxação Sucessva SOR: À medda que progrdem as terações, uma característca dos métodos teratvos é que a dferença entre as sucessvas aproxmações dmnua, fazendo com que o método necesste de mutas terações para alcançar uma boa solução Um modo de amenzar esse efeto é sobrerrelaxar o valor de x k+1, de tal forma que a solução numérca adequada seja aproxmada mas rapdamente Uma vez conhecda a fórmula pontual do método de Gauss-Sedel x k = b 1 j=1 a,jx j k n j=+1 a,jx j k 1 a,, 30 e também sua forma matrcal Dx k = b Lx k Ux k 1, 31 o método SOR pode ser defndo por meo da teração multplcando por D, segue que D + ωlx k = D Dω ωux k 1 + ωb, e portanto, a forma matrcal do método SOR é dada por x k = D +ωl 1 [1 ωd ωu]x k 1 +ωd +ωl 1 b 36 Para convergênca do método, é necessáro 0 < ω < 2 Em partcular, ω = 1 faz o método SOR retornar ao método de Gauss- Sedel Quando 0 < ω < 1, aplca-se subrelaxação às ncógntas Dferentemente, para 1 < ω < 2, aplca-se sobrerrelaxação IV RESULTADOS NUMÉRICOS Consderando a equação de Posson bdmensonal lnear x u y 2 = x y + y x, 37

6 com condção de frontera do tpo Drchlet, ux, 1 = x ln x, ux, 2 = x ln4x 2, 1 x 2, u1, y = y ln y, u2, y = 2y ln2y, 1 y 2, cuja solução analítca de 37 é dada por ux, y = xy lnxy [2] A solução numérca fo testada para o método de dferenças fntas de 2 a ordem e os métodos de dferenças fntas compactas de 4 a e 6 a ordem E, os sstemas lneares foram resolvdos pelos métodos teratvos de Jacob, Jacob amortecdo, Gauss-Sedel e SOR, sendo que crtéro de parada garanta uma aproxmação cujo erro fosse nferor a e um máxmo de 7000 terações É mportante menconar que as smulações numércas foram realzadas para quatro dferentes tamanhos de malha: malha grossa 5 5, malha ntermedára grossa 9 9, malha ntermedára fna e malha fna Além dsso, fo realzada uma busca pelo melhor fator de relaxação ω otmo para o método de Jacob amortecdo e para o método SOR sob uma precsão de 01, que pode ser observada na Tabela I, onde JA representa o método de Jacob amortecdo E os resultados obtdos para o método compacto de 4 a ordem foram guas para o método compacto de 6 a ordem Tabela I: Valores do ω otmo para as dferentes malhas JA SOR Fna Fna Dessa forma, fo realzada uma comparação entre os métodos de resolução, dada pelo número de terações IT e o tempo computaconal gasto em utlzar os métodos teratvos estudados, onde a Tabela II representa os resultados para o método de dferenças fntas de 2 a ordem, utlzando o método de Jacob e Jacob amortecdo e a Tabela III representa os resultados para o método de dferenças fntas de 2 a ordem, resolvdo pelo método de Gauss-Sedel e SOR Tabela II: Comparação do método de Jacob e Jacob amortecdo utlzando o método de 2 a ordem Jacob Jacob amortecdo IT Tempo IT Tempo s s s s Fna s s Fna s s Tabela III: Comparação do método Gauss-Sedel e SOR utlzando o método de 2 a ordem Gauss-Sedel SOR IT Tempo IT Tempo s s s s Fna s s Fna s s Da mesma forma, a Tabela IV representa os resultados para o método de dferenças fntas compactas de 4 a e 6 a ordem, utlzando o método de Jacob e Jacob amortecdo e a Tabela V representa os resultados para os métodos compactos, resolvdos pelo método de Gauss-Sedel e SOR Tabela IV: Comparação do método de Jacob e Jacob amortecdo utlzando o método compacto de 4 a e 6 a ordem Jacob Jacob amortecdo IT Tempo IT Tempo s s s s Fna s s Fna s s Tabela V: Comparação do método Gauss-Sedel e SOR utlzando o método compacto de 4 a e 6 a ordem Gauss-Sedel SOR IT Tempo IT Tempo s s s s Fna s s Fna s s O método de Jacob é o que apresenta mas terações e gasta mas tempo para aproxmar a solução do sstema Enquanto sso, o método de Gauss-Sedel consegue garantr a mesma aproxmação realzando em méda a metade de terações realzadas pelo método de Jacob, como é esperado Porém, embora o método de Gauss- Sedel seja satsfatóro, o método SOR consegue aproxmar a solução realzando um número muto nferor de terações, quando é utlzado o fator de relaxação ω otmo Neste problema, o método de Jacob amortecdo fo mas efcente, sto é, o número de terações e o tempo computaconal foram menores quando comparados com o método de Jacob o que é esperado e o método de Gauss-Sedel que não é uma regra acontecer Além dsso, os métodos compactos de 4 a e 6 a ordem apresentaram soluções mas aproxmadas, com uma quantdade de terações e um tempo computaconal nferor quando comparado com o método de 2 a ordem Para o estudo em relação aos métodos de dscretzação, consderouse o erro máxmo absoluto e a verfcação da ordem efetva do método

7 Incalmente, observou-se a dstrbução do erro local no domíno para a malha fna utlzando o método de 2 a ordem, 4 a ordem compacto e 6 a ordem compacto pelas Fguras 1, 2 e 3, respectvamente Para a malha fna, os erros, no método de segunda ordem, encontram-se em 10 5, enquanto para o método compacto de 4 a ordem encontram-se em 10 9 e, anda, para o método compacto de 6 a ordem, os erros encontram-se em Fgura 3: Representação do erro no domíno utlzando o método compacto de 6 a ordem para uma malha fna Fgura 1: Representação do erro no domíno utlzando o método de 2 a ordem para uma malha fna A Tabela VI representa o valor do erro máxmo absoluto para as malhas smuladas Nota-se que os métodos convergem para o resultado de acordo com o refnamento da malha e, além dsso, o método de 2 a ordem apresenta um erro máxmo absoluto maor que os demas métodos, enquanto o método de 6 a ordem é o melhor método para o problema, como é esperado Tabela VI: Valores do erro máxmo absoluto utlzando o método de dferenças fntas de 2 a ordem, 4 a ordem compacto e 6 a ordem compacto 2 a ordem 4 a ordem compacto 6 a ordem compacto 46501e e e e e e-06 Fna 42490e e e-08 Fna 11340e e e-10 Além dsso, é mportante verfcar a ordem dos métodos estudados, a Tabela VII apresenta os valores da ordem efetva, que pode ser calculado através de Fgura 2: Representação do erro no domíno utlzando o método compacto de 4 a ordem para uma malha fna log O = log erroh1 erroh2 h1 h2, onde erroh1 é o valor do erro máxmo absoluto com o espaçamento h1 e h1 < h2

8 Tabela VII: Ordem efetva dos métodos estudados 2 a ordem 4 a ordem compacto 6 a ordem compacto Fna Fna A partr dos resultados apresentados nas Tabelas VI e VII e nas Fguras 1, 2 e 3 verfcou-se que o método compacto de 6 a ordem é mas efcente quando observado o erro máxmo absoluto Além dsso, o tempo computaconal é baxo para os três métodos smulados e a ordem do método condz com o que é apresentado na lteratura V CONCLUSÃO O método compacto é um método de dferenças fntas, que vem sendo estudado por dversos pesqusadores, e apresenta bons resultados quando comparado com a solução analítca do problema Ele responde bem ao refnamento da malha, calculando melhores aproxmações em malhas mas fnas, com espaçamento reduzdo e sso acontece com os dos métodos compactos estudados, sto é, com o de 4 a e o de 6 a ordem Além dsso, técncas numércas de solução de sstemas lneares foram analsadas e testadas a fm de determnar qual delas favorece um melhor desempenho para o método de dferenças fntas compactas A resolução do sstema lnear fo realzada por dferentes métodos teratvos O método de Jacob amortecdo é, bascamente, duas vezes mas rápdo, sto é, tem menos terações que o método de Jacob usual, mas nada se pode conclur em relação ao método de Gauss- Sedel Sendo assm, o método SOR é o mas atraente entre eles, como observado nos resultados numércos AGRADECIMENTOS Agradecemos à Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo pelo apoo fnancero no desenvolvmento deste trabalho, processo n o 2016/ REFERÊNCIAS [1] BIEZUNER, R J 2007 Métodos Numércos para Equações Dferencas Parcas Elíptcas Mnas Geras: Insttuto de Cêncas Exatas/ Unversdade Federal de Mnas Geras [2] BURDEN, RL; FAIRES JD Análse numérca São Paulo: Cengage Learnng, 2008 [3] CUMINATO, JA; MENEGUETTE Jr, M Dscretzação de equações dferencas parcas: técncas de dferenças fntas Ro de Janero: SBM, 2013 [4] FORTUNA, AO Técncas computaconas para dnâmca dos fludos: concetos báscos e aplcações 2ed São Paulo: EDUSP, 2012 [5] OKORO, FM; OWOLOKO, AE Compact Fnte Dfference scheme for Posson equaton usng drect solver, Journal of Mathematcs and Technology, vol 3, p , 2010