INTRODUÇÃO À MECÂNICA COMPUTACIONAL. Carlos Henrique Marchi & Fábio Alencar Schneider. Curitiba, dezembro de 2002.

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1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA COMPUTACIONAL Carlos Henrque March & Fábo Alencar Schneder Curtba, dezembro de 2002.

2 SUMÁRIO Lsta de Símbolos Prefáco 1. INTRODUÇÃO 1.1 Métodos de Solução de Problemas de Engenhara Métodos Expermentas Métodos Analítcos Métodos Numércos 1.2 Modelos Matemátcos e Varáves de Interesse 1.3 Modelos Numércos 1.4 Estrutura do Texto PARTE I: PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 2. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 1D EM MALHA UNIFORME 2.1 Dscretzação do Domíno e Aproxmações Dretas 2.2 Sére de Taylor 2.3 Aproxmações para Dervada de Prmera Ordem Com Um Ponto a Jusante (DDS) Com Um Ponto a Montante (UDS) Com Dferença Central (CDS-2) Com Dos Pontos a Jusante (DDS-2) Com Dos Pontos a Montante (UDS-2) 2.4 Aproxmações para Dervada de Segunda Ordem Com Dferença Central de Três Pontos (CDS-2) Com Dferença Central de Cnco Pontos (CDS-4) 2.5 Aproxmação para Varável Global 2.6 Ordens Verdaderas e Assntótca 2.7 Erro de Polução 3. DIFUSÃO DE CALOR LINEAR 1D PERMANENTE 3.1 Dfusão de Calor em Parede com Temperatura Prescrta Modelo Matemátco e Domíno de Cálculo Varáves de Interesse Soluções Analítcas Dscretzação do Modelo Matemátco Dscretzação das Varáves de Interesse Algortmo de Solução 3.2 Solução de Sstemas de Equações Trdagonas Método TDMA Método de Gauss-Sedel

3 3.3 Dfusão de Calor em Parede com Fluxo Prescrto Aproxmação com Aproxmação com UDS UDS2 3.4 Dfusão de Calor em Aleta Modelo Matemátco e Domíno de Cálculo Varáves de Interesse Soluções Analítcas Dscretzação do Modelo Matemátco 4. ESTIMAÇÃO DE ERROS NUMÉRICOS 4.1 Erros de Truncamento Estmatvas a Pror Estmatvas a Posteror Estmador de Rchardson Estmador GCI 4.2 Erros de Iteração Estmatvas a Pror Estmatvas a Posteror 4.3 Erros de Arredondamento 4.4 Erros de Programação 4.5 Procedmento Prátco 5. TERMOELASTICIDADE LINEAR 1D PERMANENTE 5.1 Modelo Matemátco Problema Térmco Problema Elástco Varáves de Interesse 5.2 Solução Analítca 5.3 Solução Numérca Algortmo de Solução PARTE II: PROBLEMAS MULTIDIMENSIONAIS 6. DIFUSÃO DE CALOR NÃO-LINEAR 1D PERMANENTE 6.1 Solução Numérca Geral 6.2 Condução de Calor num Tronco de Cone 6.3 Condução de Calor numa Casca Clíndrca 6.4 Condução de Calor numa Casca Esférca 6.5 Condução de Calor com k Varável Algortmo de Solução 7. DIFUSÃO DE CALOR LINEAR 2D PERMANENTE 7.1 Soluções Analítcas 7.2 Soluções Numércas 7.3 Solução de Sstemas de Equações Pentadagonas Método de Gauss-Sedel Método ADI

4 v 7.4 Estmação de Erros de Dscretzação Multdmensonas 8. TERMOELASTICIDADE LINEAR 2D PERMANENTE 8.1 Modelo Matemátco 8.2 Solução Numérca Forças na Dreção X Forças na Dreção Y Cálculo das Deformações Cálculo das Tensões Algortmo Geral 9. DIFUSÃO DE CALOR 1D TRANSIENTE 9.1 Modelo Matemátco 9.2 Solução Analítca 9.3 Solução Numérca Formulação Explícta Formulação Totalmente Implícta Formulação de Crank-Ncolson PARTE III: TÓPICOS AVANÇADOS 10. BLOCAGEM E MULTIBLOCOS 10.1 Condução de Calor 2D em Placa Plana Equação Governante Dscretzação do Domíno Dscretzação das Equações Condções de Contorno Sstema Lnear 10.2 Blocagem 10.3 Malha Sem-Estruturada 10.4 Multblocos Interface Unforme 11. COORDENADAS GENERALIZADAS 11.1 Jacobano e Métrcas de Transformação 1D 11.2 Transformação da Equação de Condução de Calor 1D 11.3 Dscretzação da Equação do Calor 1D Transformada 11.4 Jacobano e Métrcas de Transformação 2D 11.5 Comprmento e Área na Transformação 2D 11.6 Transformação da Equação de Condução de Calor 2D 11.7 Dscretzação da Equação do Calor 2D Transformada 12. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 1D EM MALHA NÃO-UNIFORME 12.1 Sére de Taylor 12.2 Aproxmações para Dervada de Prmera Ordem Com Um Ponto a Jusante (DDS) Com Um Ponto a Montante (UDS) Com Dferença Central (CDS-2)

5 v Com Dos Pontos a Jusante (DDS-2) Com Dos Pontos a Montante (UDS-2) 12.3 Aproxmações para Dervada de Segunda Ordem Com Dferença Central de Três Pontos (CDS-2) Com Dferença Central de Cnco Pontos (CDS-4) 12.4 Aproxmação para Varável Global 12.5 Ordens Verdaderas e Assntótca 12.6 Condução de Calor 1D Permanente em Malha Não-Unforme 13. MALHAS NÃO-ESTRUTURADAS 13.1 Introdução 13.2 Armazenamento dos Coefcentes 13.3 Aproxmações em Malhas Não-Estruturadas Dervada Prmera Dervada Segunda REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

6 v LISTA DE SÍMBOLOS A B c C Cap. CDS CFD DDS e E Eq. Fg. F S h coefcentes do sstema de equações algébrcas da varável dependente termos ndependentes do sstema de equações algébrcas da varável dependente coefcentes da equação geral do erro de truncamento coefcentes da equação geral do erro de dscretzação capítulo Central Dfferencng Scheme Dnâmca dos Fludos Computaconal (Computatonal Flud Dynamcs) Downstream Dfferencng Scheme erro de polução da solução numérca erro verdadero ou erro de dscretzação da solução numérca equação fgura fator de segurança do estmador GCI tamanho de um elemento da malha, que é gual à dstânca entre dos nós consecutvos da malha (m) j K L N número do nó de uma malha undmensonal coefcentes da equação da ncerteza de uma solução numérca comprmento do domíno de cálculo (m) número de elementos da malha, que é gual ao número de nós da malha menos a undade p E p L p U ordem efetva do erro (admensonal) ordem assntótca do erro (admensonal) ordem aparente da ncerteza (admensonal)

7 v p V q S Tab. TDMA U U b U C U U GCI U mc U R U tr UDS V x ordens verdaderas do erro (admensonal) razão de refno de malha (admensonal) termo fonte genérco das equações dferencas tabela TrDagonal Matrx Algorthm ncerteza ou erro estmado da solução numérca ncerteza da solução numérca segundo o estmador bcoefcente ncerteza da solução numérca segundo o estmador convergente ncerteza da solução numérca segundo o estmador delta ncerteza da solução numérca segundo o estmador GCI ncerteza da solução numérca segundo o estmador multcoefcente ncerteza da solução numérca segundo o estmador de Rchardson ncerteza da solução numérca segundo o estmador trcoefcente Upwnd Dfferencng Scheme velocdade do escoamento do fludo (m/s) coordenada espacal (m) Letras Gregas n p erro de truncamento erro de teração erro de programação erro de arredondamento erro de truncamento solução numérca de uma varável genérca

8 v C λ m solução analítca exata de uma varável genérca solução numérca convergente estmatva da solução analítca exata () obtda por extrapolação solução numérca da varável dependente do problema (varável prmára) solução numérca da méda de CDS solução numérca da dervada de 1 a ordem de obtda por dferença central DDS solução numérca da dervada de 1 a ordem de obtda com 1 ponto a jusante solução numérca da dervada de 1 a ordem de obtda com 2 pontos a jusante DDS2 UDS solução numérca da dervada de 1 a ordem de obtda com 1 ponto a montante CDS solução numérca da dervada de 2 a ordem de obtda por dferença central m solução analítca exata da varável dependente do problema (varável prmára) solução analítca exata da méda de o solução analítca exata da dervada de 1 a ordem de solução analítca exata da dervada de ordem o de, onde o é grafado com algarsmos romanos e assume os valores,,, v, v, etc. E U efetvdade de um estmador de erro: razão entre ncerteza (U) e erro (E) razão de redução do erro de dscretzação da solução numérca razão de convergênca da solução numérca para a solução analítca exata Subscrtos 1 malha fna 2 malha grossa 3 malha supergrossa

9 x j número do nó de uma malha undmensonal j-1 nó à esquerda do nó j j+1 nó à dreta do nó j

10 PREFÁCIO x