para i 1, 2, 3, 4, 5, 6. 0,75 i i 0 para i 1, 2, 3, 4, 5, 6

Transcrição

1 Gabarto da Lsta de eercícos de Sstemas Algébrcos ) O modelo estaconáro do estágo de uma coluna de absorção de prato, na qual ocorre uma reação químca rreversível na fase líquda, é descrto pelas equações de balanço de massa abao: L V y L V y Hk N (N: número total de pratos) para,,, L: vazão molar da fase líquda; V: vazão molar da fase gás; H: número de mols da fase líquda no prato ; k: constante de velocdade da reação [tempo - ]; : fração molar na fase líquda; y : fração molar na fase gás. A relação de equlíbro entre as fases é dada pela epressão: m y. Utlzando os seguntes valores das varáves e de parâmetros: L = kmol/h; V = kmol/h; H = kmol; k = ½ h -, m =,7, =,, N = ; y =,7 e 7 =, as equações do modelo transformam-se em: y y para,,,,,,7 Em que y,7 ; 7 e y para,,,,,., Para resolver este sstema, adotam-se ncalmente os valores ncas que consttuem a solução do problema lnear: () () () () y y para,,,,, () () () () Em que y, 7 ; e y,7 para,,,,, 7 Este sstema por ser lnear e tr-dagonal pode ser resolvdo recursvamente resultando nos valores: (),87 (),87 (),7 (),88 (),87 (),9 a) Eplque sucntamente como estes valores foram determnados; Substtundo y () () () () () (),7 em: y y para,,,,,

2 Resulta: para,,,,,, com () () () () () y () () y ; 7,7 () () y Para =, tem-se: 9 Para,,,, y e 9 Mas: () () () () () () () () () () (), logo:, como y, tem-se 9 () () () () () () () () () Permtndo dentfcar: e para,,,,, com () () y e. 9 Resultando em: k,,,87,7,8,87 k,99,8,99,9,8,9 k Como () 7, () () 7 e () () para =,,,,. Obtém-se: k (),9,87,88,7,87,87 k b) Para resolver o problema aplcou-se o método de Newton-Raphson ao sstema orgnal, ndque abao como sera este procedmento ndcando claramente a matrz Jacobana correspondente; Representando o sstema pelas equações:,7 f, y, Prmera equação:

3 ésma equação: =,,,,7,7 f,, para,,,7,7, f.,, Últma equação: Em vsta de J J J J d,7,7 d,,,,, tem-se: f,,7 e J f,,,7,,, f,, f,,7 para =,,,,, Os demas elementos da matrz J são nulos! Ter-se-a em cada teração um sstema trdagonal: Prmera equação: e J, f, ; J f,,,7 e,, f,,7.,, k,7 k b d y -ésma equação: k k k k k k k k, k k k k k k k k k a b d k k,7,7 k k k k,, Últma equação: k k,7,7 k k a b d k f,,,7 Sendo: a para =,,,, e k, k b k k k k k k k k,, k f,,,7 k k, para =,,,,, e k

4 c) Como pode ser aprovetada a estrutura tr-dagonal da matrz Jacobana no método teratvo desenvolvdo? Após determnar os valores de k a, b k e d k aplca-se em cada teração o método de k Thomas levando-se em conta que c (não vara com e k!). d) Na Tabela a segur apresentam-se os valores obtdos nas prmeras terações do procedmento mplementado em computador. Comente estes resultados! Chute Incal Iteração Iteração Iteração,87,,,,87,788,787,787,7,7,7,7,88,7,77,77,87,7,7,7,9,7,7,7 ) Em um conjunto de reações químcas, para determnar o número de reações ndependentes monta-se uma matrz composta pelos coefcentes estequométrcos das reações consderandoos como postvo quando o componente for reagente na reação correspondente e como negatvo quando o componente for produto na reação (esta matrz se chama de matrz estequométrca). Assm para o conjunto de reações químcas: a Reação: NH + O NO + H O a Reação: NH + O N + H O a Reação: NH + NO N + H O a Reação: NO + O NO a Reação: NO N + O a Reação: N + O NO A matrz estequométrca correspondente a este esquema de reações é: A

5 O número de reações ndependentes é gual ao posto (rank) da matrz A, sendo neste eemplo gual a (três). Baseado nesta nformação ndque três reações do esquema apresentado que sejam ndependentes entre s, justfcando sua escolha pelo cálculo do posto da matrz estequométrca das reações escolhdas. Prmera Tentatva: as três prmeras reações. Seta Tentatva: Segunda, tercera e qunta reações. B augment M M M T B rank( B) Fracasso B augment M M M T B rank( B) Fracasso Segunda Tentatva: Prmera, segunda e quarta reações. Sétma Tentatva: Segunda, tercera e seta reações. B augment M M M T B rank( B) Sucesso B augment M M M T B rank( B) Sucesso Tercera Tentatva: Prmera, segunda e qunta reações. Otava Tentatva: Tercera, quarta e qunta reações. B augment M M M T B rank( B) Fracasso B augment M M M T B rank( B) Sucesso Quarta Tentatva: Prmera, segunda e seta reações. Nona Tentatva: Tercera, quarta e seta reações. B augment M M M T B rank( B) Sucesso B augment M M M T B rank( B) Sucesso Qunta Tentatva: Segunda, tercera e quarta reações. B augment M M M T B rank( B) Sucesso Décma Tentatva: Quarta, qunta e seta reações. B augment M M M T B rank( B) ) O método de Gauss-Jacob consste em resolver de forma teratva o sstema lnear de n equações: aj j b para,,, n na forma: j ( ) Sendo r j o valor da varável j na teração r. Este procedmento tem a convergênca n aj garantda se: para,,, n. j ak jk Baseado nestas nformações descreva claramente um procedmento teratvo, nequvocamente convergente, resultante da aplcação do método de Gauss-Jacob ao sstema lnear abao: Varável : Através da prmera equação: : convergênca não assegurada Através da segunda equação: não está presente: não é possível eplctar Fracasso

6 Através da tercera equação: : convergênca assegurada Varável : Através da prmera equação: : convergênca não assegurada Através da segunda equação: : convergênca assegurada Varável : Através da prmera equação: : convergênca assegurada Resultando no procedmento teratvo: Com k k k k k k k k, obtém-se os resultados: k k,,,78,,,978,,,999,, k,,87,,87,7,,99,999,,, k,7,,7,,,98,998,,,, Este procedmento teratvo é representado grafcamente a segur: X k X k X k 8 Para acelerar o algortmo poderíamos modfcar o método de acordo com (Gauss-Sedel): k

7 Com k k k k k k k k, obtém-se os resultados: k k,9,,99,,, k,87,98,8,999,, k,7,8,,999,, Este procedmento teratvo é representado grafcamente a segur: X k X k X k 8 Mostrando-se assm a aceleração do procedmento, pos converge à solução em um menor número de terações! ) Uma coluna de absorção é composta por N estágos de equlíbro. As fases gasosa e líquda percorrem a coluna em contracorrente, consdera-se a fase gasosa composta de um gás nerte e não solúvel na fase líquda transportando um soluto a uma concentração y [massa de soluto/massa de gás nerte] e a fase líquda é composta por um líqudo nerte e não volátl que transporta o mesmo soluto a uma concentração [massa de soluto/massa de líqudo nerte]. A relação de equlíbro de fases em cada estágo é suposta lnear: y = K. Consderando que o líqudo almenta a coluna sento do soluto e baseado nas suposções chega-se às equações de balanço do soluto: Estágo : XX Estágo [ =,..., N]: Estágo N: X X onde N N K ; X L y N X X X k G y, G: vazão mássca de gás nerte (constante) e L: vazão mássca de líqudo nerte (constante). 7

8 a) Mostre que a solução deste sstema lnear e tr-dagonal é epressa por: epressão para =? N X N para,, N A equação de balanço do estágo é:. Como removera a aparente sngulardade desta X X X com X = e X N+ =, essa equação pode ser nterpretada como uma equação de dferenças de segunda ordem, lnear, coefcentes constantes e homogênea. Para determnar sua solução, supõe-se que a mesma pode ser epressa por: X p X, ou seja: X p X e X px p X, X X X, resulta: substtundo as duas últmas epressões em: p p X p p X, como X há dos valores de p que satsfazem a equação: p e p o que permte epressar a solução da equação de B dferenças por: X A, como X AB B A e X A A Como: X A A N N N N N. E, fnalmente: Note que: lm N N N X N para,, N, assm quando a solução do problema é: X para,, N se = N b) Para uma coluna com estágos [N = ] deseja-se calcular o valor de que faz com que haja a remoção de 9% do soluto da corrente gasosa, sto é deseja-se determnar que corresponda a X =,. Deste modo o problema reduz-se à resolução da equação não lnear: X,, Abao, representa-se o gráfco de X versus. z k ( sol ).. z, sol k Aplcou-se a essa equação o método de Newton-Raphson obtendo-se os resultados: 8

9 chute ncal =,8 chute ncal =, chute ncal =, teração k k teração k k teração k,8,,,7,9 8,7,,9 -,8.,97,97 DIVERGIU,9,9,9,9 Descreva o procedmento teratvo aplcado e comente os resultados apresentados, em partcular, eplcando por que com chute ncal =, o procedmento teratvo não convergu. ) Uma coluna de destlação de pratos é operada de forma contínua para destlar um mstura bnára, segundo o esquema: k Condensador [Estágo ] D, d = V y L, Prato V y L, F, z Prato (almentação) V y L+F, Prato V y L+F, Refervedor B, B = [Estágo ] Em que as composções acma se referem à fração molar do elemento mas leve. Consdera-se esta mstura bnára com a volatldade relatva constante, sto é: y y ou y y y y para =,, e. Os balanços molares do elemento mas volátl nos estágos são descrtos por: F D R F y y R D Refervedor (estágo ""): R y R Prato : Prato (prato de almentação): F F R y y R R z D D 9

10 Prato : R y y R Condensador (estágo ): y Sendo: R = L/D: razão de refluo; V=(+R).D: vazão molar do vapor. Além destes balanços têm-se os balanços globas: BD F B B D D F z Sendo: B = e D =. Sabendo-se que F = kmol/h e z =,, consdere os dos problemas: a) Dados D = 8 kmol/h e R = calcular as vazões molares B, L e V e as composções nternas da coluna; b) Dados D =,8 e B =, calcular as vazões molares D, B, L, V e R e as composções nternas da coluna. Descreva de forma detalhada os procedmentos numércos que deveram ser mplementados para resolver cada um dos problemas, enfatzando em sua descrção as condções ncas a serem adotadas. Abao se apresentam os resultados convergdos aplcando procedmentos numércos adequados: Problema a: B = kmol/h; L = kmol/h e V = 8 kmol/h,9,,7,9 (produto de fundo) y,,,7, (produto de topo) Problema b: D =,8 kmol/h; B = 8, kmol/h; L = 89,7 kmol/h; V =, kmol/h e R = 7,98,,7,, (produto de fundo) y,7,,,8 (produto de topo)

11 ) No sstema hdráulco abao, uma bomba centrífuga é utlzada para transferr líqudo de um tanque a outro, estando os tanques no mesmo nível p p p Q A bomba eleva a pressão do líqudo de p (pressão atmosférca) a p, mas ocorre uma perda de carga na tubulação que lga os dos tanques e a pressão na saída da tubulação ca para p novamente a pressão atmosférca. A elevação da pressão devdo à bomba centrífuga é dada por sua curva característca e é epressa por: p p ab Q Sendo a e b constantes característcas da bomba e Q a vazão volumétrca. fm LQ A perda de carga na tubulação é epressa por: p p 8 D Sendo: f M : fator de atrto de Moody do nteror da tubulação (suposto constante); : massa específca do líqudo; L : comprmento da tubulação; D: dâmetro nterno do tubo. Calcule a vazão de líqudo e a pressão na saída da bomba nos dos casos abao: / Dados Dados D (polegadas),9,9 L (pés),, f M (admensonal),, a, ps,7 8, b, ps/(gpm).,,9 Resolver o problema para os dos conjuntos de dados e para os dos líqudos: (a) água: =, lb m /ft ; (b) querosene: =, lb m /ft.

12 .9 D n.9 p ref atm a p ref. b Q ref p ref. b Q ref p ref L. ft. lb.. ft f M....7 a 8. ps a p ref b 7.98 Q ref Q m ref. s a p ref b 8f M L Q ref D. p ref.. 8f M L Q.7 ref D p ref. ps b.9. gal mn d d.8 f ( j ). d j g( j ).7 d j ff( j ). d j ter j k ter. F( j ) d j.7 G( j ) d j p adm ( ). gg( j ).7 d j k k lsolve F k j k f j p atm p ter.7atm p.7ps Q Q ter ref Q. gal mn k ter f ter j.99 8 k ter k k lsolve G k j k g p atm p ter.7atm p.7ps Q Q ter ref Q. gal mn g ter j X X root( ff( X j ) X) X. p adm ( X) atm.7atm p adm ( X) atm.7ps XQ ref j. gal mn

13 7) Na realdade o fator de atrto de Moody no nteror da tubulação é função do número de Du Q Reynolds, Re onde u : velocdade méda no nteror do tubo e : D / vscosdade do líqudo, e da rugosdade nterna do tubo em acordo com: () Para Re : fm ; Re () Para Re >, o valor de f M é solução da Equação de Colebrook epressa por:, log fm, 7 D Re fm onde : rugosdade nterna do tubo; f M D: dâmetro nterno do tubo. Um bom chute ncal para essa equação é a equação de Blassus epressa por:.. Re que é válda para tubulações lsas (=) e escoamento turbulento. Refaça todas as stuações do problema com essas novas consderações usando =, ft. TOL 9 log f Re adm adm.7. Re f M Moody Re adm f Re Re otherwse f M Re.. rootfre adm f M Re ref ( j ) D Q j ref D j. ft D. ft D.7.

14 F( j ) Moody Re ref ( j ) d j. I j J( j ) y F( j ) for J J k ter k ter k F k I j X k y X k FX X k lsolve J X k j j FX ( j ) X V X ter p V atm p.79atm p.8ps Q V Q ref Q. gal mn root( g( j ) ). G( j ) Moody Re ref ( j ) d j J( j ) y G( j ) for J J k.7 k G k I j y X l X k k GX X k lsolve J X k j j V X ter X p V atm p.79atm p.8ps Q V Q ref Q. gal mn 8) As prncpas reações que ocorrem na produção de gás de síntese através da odação parcal do metano com ogêno são: CH O CO H CH H O CO H H CO CO H O

15 Calcule a relação entre as vazões molares de ogêno e metano na almentação de um reator de gás de síntese operando adabatcamente, tal que a temperatura de equlíbro da mstura no nteror do reator seja gual a o F. A pressão de operação do reator é gual a atm e a temperatura de entrada dos reagentes é gual a o F. Consderando o comportamento da mstura reaconal como deal as seguntes relações de equlíbro prevalecem: pco p p H CO ph Reação : K, Reação : K p p,787 p p CH O CH HO pco p Reação : K p p H O C H, 8 Sendo: pco; pc O ; pho ; ph ; pc H e po são as pressões parcas, respectvamente, do CO, CO, H O, H, CH e O. As entalpas dos dversos componentes envolvdos no processo a e o F estão lstadas abao: Componente F H o (BTU/lbmol) F H o (BTU/lbmol) CH H O CO CO H 897 O 9 8 Uma quarta reação químca também ocorre a altas temperaturas: Reação : C CO CO pco K 9, a p C C a C é a atvdade do carbono no estado sóldo (seu valor pode ser consderado como untáro). Consderando em prmera nstânca a nestênca da reação e as seguntes varáves: : número de mols do CO no equlíbro/mol de CH na almentação ; : número de mols do CO no equlíbro/mol de CH na almentação ; : número de mols do H O no equlíbro/mol de CH na almentação ; : número de mols do H no equlíbro /mol de CH na almentação; : número de mols do CH no equlíbro /mol de CH na almentação; : número de mols do O na almentação /mol de CH na almentação; 7 : número total de mols dos produtos /mol de CH na almentação.

16 Devdo ao valor elevado da constante de equlíbro da prmera reação, pode-se consderar como se todo o ogêno almentado ao sstema fosse consumdo, sto é: p O, com essa consderação os balanços de massa de cada elemento químco presente e o balanço de energa conduzem ao sstema de equações: Balanço de ogêno: Balanço de hdrogêno: Balanço de carbono: Balanço global do produto: 7 Equlíbro da segunda reação: P,787 total 7 Equlíbro da tercera reação:, 8 Balanço de energa: Resolva este sstema de equações algébrcas. pco Ptotal Após resolver o sstema calcule: K com ac. Se K K 9, há a p C C 7 possbldade de formação de carvão sóldo no nteror do reator, caso contráro tal não ocorre. Verfque qual das possbldades prevalece! Entalpas dos Componentes H P P.787 H H H Número Total de Mols da Mstura Montagem do vetor das funções T () f() H H H.8 T ()

17 Montagem da Matrz Jacobana Elementos da últma lnha da matrz Jacobana: g () T () T () g () g () T () T () g () T () g () T () T () J(). H g () H.8 g (). H g () H.8 g () H g () Chute Incal : consdera apenas a prmera reação H I dentty( ) J numerco () y f () for J j v I j J j fv ( ) f() X. fx ( )..8 Newton () y f () k X k whle X y y 9 X k f() k k X k JX ( ). lsolvejx k y J numerco ( X). Newton nume () y f () k X k whle X y 9 X k y f() k k X k lsolve J numerco X k y X M Newton () K cols( M) K M Newton nume () K cols M K M Valores Convergdos M K T T M f ( ) Cálculo do número total de mols da mstura e das frações molares n total_ T n total_.978 z n total_ T z ( ) Verfcação da possbldade de estênca de carvão sóldo: ( ) P K medo K T medo. como esse valor é menor do que 9.(K_) não há carbono sóldo presente no reator! 7

18 9) Refaça o problema consderando a possbldade da prmera reação não ser completa, sto é, consdere a possbldade de haver ogêno não reagdo no produto. Consderando: : número de mols do O no equlíbro /mol de CH na almentação; 7 : número total de mols dos produtos /mol de CH na almentação. 8 : número de mols do O na almentação /mol de CH na almentação; Equlíbro da prmera reação: CO H total CH O 7, Ptotal, 7 p p P p p O equlíbro da segunda reação ndca: Dvdndo a últma equação pela anteror, resulta: P,787 total 7,787, P P total, 7 total 7, elevando ambos os,787, Ptotal, permtndo calcular:,787 e 7, Ptotal membros ao quadrado:,787 Resultando no sstema: Balanço de ogêno: 8 Balanço de hdrogêno: Balanço de carbono: Balanço global do produto: 8 Equlíbro da segunda reação: P,787 total 7 Equlíbro da tercera reação:, 8 Balanço de energa: Nas equações acma as epressões, P,787 total e 7 são substtuídas! 8

19 TOL Entalpas dos Componentes H P. P.. 9 P.787 H H H Número Total de Mols da Mstura Montagem do vetor das funções f () H H H.8 T () T () T () Montagem da Matrz Jacobana Elementos da últma lnha da matrz Jacobana: g () T () g () T () g () T () T () g () T () g () T () T () g(). T () g( ). T () g7(). T () g8() T () T ( ). T () g9() T (). J (). H g () g() H.8 g () g(). H g () g() H.8 g () g7() H g () g8() H g9() H 9

20 Chute Incal : solução do problema o X.88 fx ( ) JX ( ). T ( ) Newton () y f () k X k whle X y y X k f() k k X k lsolvejx k y X M Newton () K cols( M) K 8 M Valores Convergdos M K T f () T (. ) Cálculo do número total de moles da mstura e das frações molares n total T () n total.978 z n total z T ( ) T z ( ) T Verfcação da possbldade de estênca de carvão sóldo: P K medo K T () medo. ( ) como esse valor é menor do que 9.(K_) não há carbono sóldo presente no reator!

21 ) Consdere o sstema hdráulco esquematzado abao: Bomba B Bomba A Tubo D Tubo C Tubo E As pressões p e p nos pontos e podem ser consderadas como guas à pressão atmosférca. As equações que descrevem o escoamento em cada trecho do sstema são: Ponto de junção : QE QD QC Bomba A : p p Q ; Bomba B : A A C p p Q B B D Perda de carga no tubo C: Perda de carga no tubo D: p p f L Q M C C p 8 Dc f L Q M D D p 8 DD M E E 8 DE Perda de carga no tubo E: p p g z z f L Q Onde z z 7 ft(elevação da tubulação), f M =,79, =, lb m /ft (água), p = p =, atm e Bomba A (psa) A ps/(gpm) A,,7 B 7,,7 Tubo D (nch) L (feet) C,78 D,7 E,9

22 Calcule p, p, p, Q C, Q D e Q E. TOL 9 A. ps A.7 ps gpm z 7ft f M.79 B 7. ps B.7 ps gpm. lb ft p ref atm g 9.8 m s D C.78 n L C ft D D.7 n L D ft D E.9 n L E ft A p ref f M L E Q Q ref_ f ref_ M L C Q ref_ f M L D Q ref_ C E 8 C A C 8 D E p C D 8 D ref C p ref D D p ref A B A B Q ref_ C A C p B d ref p A d ref p B ref p ref gz p p ref d A C A d B C B C C f () C D p C E J() d A C C d B C D C E f ().. J () k k k lsolve J k k f k f k k T p p ref p 7.99 atm Q A Q ref_ Q A 8.9gpm p p ref p.8 atm Q B Q ref_ Q B.99gpm p p ref p.8 atm Q E Q ref_ Q E.7gpm VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO: p p ref A A Q A atm p p ref B B Q B.9 atm f M L E Q E p p ref gz 8 atm D E f M L C Q A p p 8 atm D C f M L D Q B p p 8 atm D D

23 ) Resolva o sstema lnear abao: 7 Thomas( na b c d ) b d for n a c b d a n n for n c a b c d Thomas( 7a b c d ) T ( ) ) Resolva a equação de dferenças: u u u para,,,, n com u e u. n Resolva para n =, e.

24 n n a b ( ) c d d d n n Thomas( na b c d ) n T ( ) r n r ( ) ( ) r n n a b ( ) c d d d n n Thomas( na b c d ) n T ( ) r n r ( ) ( ) r n n a b ( ) c d d d n n Thomas( na b c d ) n T ( ) r n r ( ) ( ) r ) O modelo estaconáro do estágo de uma coluna de absorção de prato é descrto pela equação de balanço de massa: L V y L V y para,,, N (N: número total de pratos) L: vazão molar da fase líquda; V: vazão molar da fase gás; : fração molar na fase líquda; y : fração molar na fase gás. Sabendo-se que a relação de equlíbro entre as fase é lnear e dada pela epressão: y = m., sugra um procedmento teratvo para resolver este sstema conhecendo-se: L, V, m, y e N+ > Para lustrar seu procedmento adote: L = ; V = ; m =,7; N = ; y =, e 7 =. Avale o que ocorre com as composções de saída [ e y N ] quando N tende a nfnto.

25 L Com y = m. e consderando: R, tem-se: V y R Rm m para,,, N com e N m R Buscando uma solução da forma: como N N N Com = tem-se: y R R Rm m R Rm y Rm Rm permtndo dentfcar: R m e R Com =,,...R m m R mas:, então: mr mr R m m R Rm m R m R m y Rm e para =,,...N; com: Rm e. y Após determnar,,,, N, N, tem-se: N N determnando-se a segur: R para N, N,,, Eemplo numérco: L = ; V = ; m =,7; N = ; y =, e 7 =. Logo: Obtém-se:,,,89,8,88,787,87,,8,9,8,7 E a segur:,7,,9,,8,8 R, Quando N é muto elevado, a corrente líquda que saí do prmero estágo tende a estar em y, equlíbro com y, sto é:,7. m,7 R y Como: RN RmN y N, m m O mesmo resultado podera ser obtdo consderando que a solução de:

26 y R Rm m para,,, N com e N m é da forma: Ap p e p p, sto é: R Rm m Rp Rm pm Implcando em R p R m p m p R p m que apresenta duas raízes: m p e p. A solução geral do problema é então: R m AB R. Como y y A B B A m m, logo: m y m A. R m R N N m y m y Como: N A R m R A m N m. Resultando R N m y N R em: m N. Para N elevado tem-se:, assm: m m R R N y m y y m y R,7 e N,. m R m m R m m Resultados dêntcos aos encontrados anterormente.