Termo-Estatística Licenciatura: 4ª Aula (08/03/2013)

Transcrição

1 Termo-Estatístca Lcencatura: 4ª Aula (08/03/013) Prof. Alvaro Vannucc RELEMBRADO Dstrbução dscreta (hstogramas) x contínua (curvas de dstrbução): Dada uma Função de Dstrbução de Densdade de Probabldade, de qualquer do tpo: Então: () P( x, dx) f ( x) dx probabldade nfntesmal () x x( ) ( ) x1 P x f x dx () espaço todo f ( x) dx 1 ; quando f(x) for normalzada

2 VALOR MÉDIO E DISPERSÃO EM TORO DA MÉDIA (VARIÂCIA) Se um expermento é repetdo númeras vezes, fornecendo um resultado a cada medda, como calcular o valor médo dos resultados? Por exemplo, se efetuarmos 10 jogadas consecutvas no jogo com dos dados, fornecendo os resultados: jogada X 1 X X 3 X 4 X 5 resultado (evento) jogada X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 resultado (evento) Tabela 1: Resultados das jogadas dos dos dados. O valor médo destes resultados obtdos pode ser calculado fazendo-se: x 1 1 x ( ) 6,0 10 Dos resultados obtdos (da tabela) poderíamos também fazer perguntas sobre a probabldade de um dado evento ocorrer. Por exemplo, dos resultados acma, qual o número (evento) com maor chance de sar? Certamente sera o nº 7, com probabldade de 3 em 10, ou seja: P 7 = 0,3 ou 30%. E o mesmo cálculo de probabldade podera ser realzado para cada um dos demas resultados (eventos). Observe agora um ponto nteressante: se somarmos cada resultado possível multplcado pela probabldade correspondente, também obteríamos o valor médo das meddas: x () (3) (6) (7) (8) (10) 6,

3 Temos, portanto, duas expressões possíves para o cálculo da méda à nossa dsposção: x 1 x ou x x P x P( x ) 1 1 Uma forma mas geral de escrever a ª equação: x P( x ) xp( x ) 1 1 x ; lembrando que x x 1 Px ( ) 1 Além do cálculo do valor médo, em mutos sstemas é mportante saber como as meddas (valores possíves) se dstrbuem em relação ao valor médo. as meddas efetuadas com os dados acma, podemos fazer a representação gráfca dos resultados: E, para cada resultado (medda), poderíamos pensar em calcular x x para avalar quão afastadas foram as meddas em relação ao valor médo. Mas, e se desejarmos ter uma dea geral, global do grau de dspersão dos eventos em torno do valor médo?

4 Esta grandeza, conhecda como varânca, podera talvez ser determnada calculando-se o dstancamento de cada medda em relação ao valor médo e trando-se a méda dos resultados? Os valores obtdos no jogo de dados ndca que este não sera um bom procedmento, já que: x x x x ( 6) (8 6) (6 6) (7 6)... ( 6) 10 0! Ou seja, não havera dspersão em torno da méda! ote que este resultado aconteceu porque tvemos na soma das váras parcelas, valores postvos e negatvos. Então, a manera que se mostrou a mas adequada para se avalar o grau de dspersão em torno da méda, chamada de varânca (σ ), fo calcular a méda do quadrado da dferença de cada evento com relação ao valor médo: 1 Varânca : x x x x x x Vejamos agora alguns aspectos nteressantes: 1) ote que

5 ) Como já vmos: x x ou x xp( x) ; sendo que Px ( ) 1 1 n (no lmte ), que corresponde à probabldade de ocorrênca de cada evento (note que P(x ) já engloba uma dvsão por ). Portanto: x x 1 1 x x x x P( x ) ote que, por ser x uma constante, fzemos P( x x) P( x ) e, da mesma forma, P x x P x ( ) ( ) Assm, de forma mas geral: 1 x x ( x x) x x P( x ) 1 Px ( ) Supondo uma função qualquer ξ(x ) que fornece valores dscretos relaconados com cada x, então, pelo que vmos acma: ( x ) P( x ) ; sendo ( x ) normalzada o caso de funções ξ(x ) que representem valores contínuos, relaconados com eventos de certo expermento (de forma que se passa a ter uma dstrbução de densdade de probabldade correspondente f(x)): ( x) ( x) f ( x) dx, sendo que f ( x) dx 1 (se for normalzada) Caso a função dstrbução não for normalzada: ( x) ( x) f ( x) dx espaço todo f ( x) dx

6 a físca, algumas dstrbuções de densdade de probabldade são frequentemente utlzadas. o nosso curso, vamos estudar algumas delas. Vejamos antes o exercíco 10 da lsta 1: Solução: f a) f () t Ae Ct ( t 0) A f( t ) 0 b) Para que f(t) seja normalzada: 0 Ct A A A Ae dt 1 e 1 [0 (1)] 1 A C Ct C 0 C C c) ct t t t f () t dt t Ae dt 0 0

7 u At du Adt ntegrando por partes ( udv uv vdu) : Ct 1 dv e v e C Ct Então: 1 Ct A Ct A 1 Ct t ( At) e e dt t 0 e C C C C A A t [0 (1)] 1 C A A Fnalmente, como: 1 1 t A e C A f ( t) ( A e ) t t t