Cálculo Numérico BCC760 Interpolação Polinomial

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1 Cálculo Numérco BCC76 Interpolação Polnomal Departamento de Computação Págna da dscplna 1

2 Interpolação Polnomal Conteúdo 1. Introdução 2. Objetvo 3. Estênca e uncdade 4. Erro de truncamento 5. Métodos de obtenção do polnômo nterpolador 5.1 Resolução de sstema lnear 5.2 Método de Lagrange 5.3 Método das Dferenças Dvddas 5.4 Método das Dferenças Fntas Ascendentes 6. Compledade dos métodos de nterpolação 7. Consderações fnas 2

3 Interpolação Polnomal Introdução Interpolar uma função y=f(), em um conjunto dscreto de pontos, pertencentes a um ntervalo [a b], consste em substtuí-la, ou apromá-la, por uma outra função, y=g(), escolhda dentro de uma classe de funções defnda a pror e que satsfaça algumas propredades. A função y=g() é, então, usada no lugar da função y=f(). 3

4 Interpolação Polnomal Introdução Stuações de utlzação da nterpolação. a) Quando y=f() não é conhecda na sua forma analítca, mas apenas em um conjunto dscreto de pontos (, y ), =, 1,..., n. b) Quando y=f() é conhecda na sua forma analítca, mas operações como a dferencação e a ntegração são dfíces (ou mpossíves) de realzar, ou seja, a função é dfícl de ser tratada. 4

5 Interpolação Polnomal Introdução Teorcamente, a função nterpoladora, y = g(), pode ser qualquer. Será tratado o caso em que esta pertence à classe das funções polnomas. Os polnômos são faclmente computáves, suas dervadas e ntegras são, também, polnômos, seus zeros podem ser determnados com facldade. 5

6 Interpolação Polnomal Introdução Eemplo Problema básco A tabela abao relacona calor específco da água com a temperatura: Temperatura ( C) Calor específco Deseja-se, por eemplo, saber: a) o calor específco da água a 32.5 C; b) a temperatura para a qual o calor específco é Solução Interpolação 6

7 Interpolação Polnomal Objetvo Sendo (, y ), =, 1,..., n; pontos, com abscssas dstntas, de uma função y = f(), obter o polnômo, y = p(), de grau mámo n, tal que: p( ) = f( ) = y, =, 1,..., n 7

8 Interpolação Polnomal Objetvo Representação geométrca y y 5 y 4 y 1 y 3 y y=p() y 2 y=f()

9 Interpolação Polnomal Estênca e Uncdade Teorema Se (, y ) =, 1,..., n; são (n + 1) pontos com abscssas dstntas, relatvos a uma função, y = f(), então este um, e só um, polnômo, y = p(), de grau mámo n, tal que p( ) = f( ) = y, =, 1,..., n. 9

10 Demonstração do Teorema Seja p() = a n n + a n-1 n a 1 + a Das condções de nterpolação, obtém-se o sstema de (n+1) equações lneares. 1 n n 1 1 n n n -1 n n n n n 1 n -1 n 1 n n n -1 n n y a a... a a ) p(... y a a... a a ) p( y a a... a a ) p( Note-se que as ncógntas são a, =, 1,..., n. Interpolação Polnomal Estênca e Uncdade

11 Interpolação Polnomal Estênca e Uncdade Demonstração do Teorema A matrz dos coefcentes do sstema de equações lneares é: Portanto n n n n X n n 1 n n... n 1 Matrz de Vandermonde det(x) = ( 1 ) ( 2 )... ( n ) ( 1 2 )( 1 3 )... ( 1 n )... ( n - 1 n ) Como, por condção,, 1,..., n são dstntos, tem-se que det(x), logo o sstema de equações lneares admte solução únca. c.q.d. 11

12 Interpolação Polnomal Erro de Truncamento Teorema Seja: () (, y ), =, 1,..., n; pontos com abscssas dstntas de uma função y = f(); () y = f() uma função com (n + 1) dervadas contínuas no ntervalo [, n ]. Então, para cada [, n ], este um número (, n ), que depende de, tal que f () - p() E t () ( - ).( - 1 )...( - n f ). n 1 ( ()) (n 1)! Note-se que f n + 1 (.) é a dervada de ordem (n + 1) da função nterpolada. 12

13 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Resolução de Sstema Lnear Eemplo Seja determnar o polnômo que nterpola uma função, y=f(), dada nos pontos a segur. Assm 1 2 p 2 () = a a 1 + a -1 2 y Tem-se, então, o sstema de equações p2( 1) f ( 1) 4 a a1 a2 4 a = 1 p2() f () 1 a 1 a 1 = -2,333 p (2) f (2) 1 a 2a 4a 1 a 2 =, P 2 () =, ,

14 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Resolução de Sstema Lnear O sstema de equações lneares pode ser resolvdo utlzando qualquer um dos métodos estudados. Entretanto, tas métodos têm compledade de ordem cúbca (O(n 3 )). É possível epressar o problema de nterpolação polnomal de forma que se obtenham meos de solução menos custosos, com compledade de ordem quadrátca (O(n 2 )). 14

15 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método de Lagrange Neste método, o polnômo, y = L(), que nterpola uma função, y = f(), em um conjunto de pontos (, y ), =, 1,..., n é consderado na forma L() = y L () + y 1 L 1 () y n L n () onde L (), =, 1,..., n; são polnômos de grau n, tas que L ( L ( k ) 1 ) ; k;, k,1, 2,..., n Note-se que, com estas condções, tem-se L( ) = f( ) = y, =, 1,..., n 15

16 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método de Lagrange Para determnar L (), =, 1,..., n; basta consderar que todo j, j =, 1,..., n; é um zero de L () quando j. Seja determnar de L (). Tem-se, por condção, que L ( ) = 1 L ( j ) = ; j = 1, 2,..., n Portanto, conhecendo os zeros de L (), pode-se representá-lo na forma fatorada Como L () = c.( 1 ).( 2 )... ( n ) L ( ) = c.( 1 ).( 2 )... ( n ) = 1 Logo L () n c ( n 1 )( 1 2 ) ( n ) 16

17 Sendo assm, conclu-se que 17 n j L L n j j j n n,1,...,, ) ( ) ( ) ( Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método de Lagrange

18 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método de Lagrange Eemplo Seja y = f() determnar o polnômo que nterpola uma função dada nos pontos a segur utlzando o método de Lagrange e três casas decmas. Tem-se 18

19 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método de Lagrange Como Então L() ( 1) L(), ,333 1 Mesmo resultado da resolução do sstema de equações lneares!!! 19

20 Eercíco Eemplo 2

21 Eercíco 21

22 Eercíco 22

23 Erro 23

24 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Dvddas O Operador Dferenças Dvddas Dada uma função, y = f(), a sua prmera dervada é defnda como: f '() lm h f ( h) h - f() Sendo (, y ), =, 1,..., n; um conjunto de pontos da função, então: f ( h) - f( ) f '( ) lm h h Fazendo + h = + 1 h = Então f '( ) lm 1 f ( 1 1 ) - f( - ) 24

25 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Dvddas O operador Defnção Sendo (, y ), =, 1,..., n; pontos de uma função y = f(), defne-se o operador dferença dvdda de prmera ordem, sobre os pontos (, y ) e ( + 1, y + 1 ), como: Ou Dy f ( 1 1 f ( ),,1,..., n -1 Dy y 1 1 y,,1,..., n -1 Apromação do valor numérco da 1 a dervada de uma função em um ponto. 25

26 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Dvddas O operador De modo análogo são defndos os operadores de ordens superores. Ordem 2 D 2 y Dy Dy -,,1,..., n - 2 Ordem 3 D 3 y D 2 y D - 2 y,,1,..., n - 3 Ordem k D k y D k -1 y 1 k - D - k -1 y k 1, 2,..., n,,1,..., n - k Sendo D y = y, =, 1,..., n 26

27 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Dvddas O polnômo nterpolador Neste método, o polnômo, y=p(), que nterpola uma função, y=f(), em um conjunto de pontos (, y ), =, 1,..., n; é consderado na forma p() a Como p( ) = y, =,1,..., n, então Portanto p() y p( ) = a a... a... a1 2 1 n 1 n1 a y p( 1 ) = y + a 1.( 1 ) = y 1 a D y y a y - Demonstra-se que a = D y, =, 1,..., n. a1 Dy 2 n D y... D y... Dy 1 1 n1 27

28 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Dvddas Teorema Se y = f() é uma função com (n + 1) dervadas contnuas em um ntervalo [, n ]; então este ξ (, n ) tal que Coroláro Sob as hpóteses do teorema anteror, tem-se que D n y f n n! D k f() f k () k! Eemplos 28

29 Eemplo 29

30 Eemplo D k y D k -1 y 1 k - D - k -1 y k 1, 2,..., n,,1,..., n - k 3

31 Eemplo 31

32 3 m 8 m parede A parede B Eercíco conforme mostra a fgura a segur. Usando nterpolação polnomal, Método das Dferenças Dvddas, pede-se estmar conforme mostra a fgura a segur. Usando nterpolação polnomal, Método das Dferenças Dvddas, pede-se estmar a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localzado a 2m da parede A; a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localzado a 2m da parede A; b) qual deve ser a altura da barra no ponto localzado a 2m da parede A, para que o trecho b) qual deve ser a altura da localzado a 2m da parede A, para que o trecho compreenddo até 5m da mesma seja representado por um polnômo de grau um. compreenddo até 5m da mesma seja representado por um polnômo de grau um. SO L O d=12m Solução a) Os pontos a consderar são os da t abela a segur. 32

33 Eercíco Solução a) Os pontos a consderar são os da t abela a segur. V = y Dy D 2 y 8-1,6, , p() = y + ( - ).Dy + ( - ).( 1 ).D 2 y p(2) = 8 + (2 - ).(- 1,6) + (2 - ).(2 5).(,169) p(2) = 3,786m b) Pede-se para determnar a altura y da barra a 2m da parede A. Os pontos a con as dferenças dvddas estão na tabela a segur. 33

34 Eercíco p() = y + ( - ).Dy + ( - ).( 1 ).D 2 y p(2) = 8 + (2 - ).(- 1,6) + (2 - ).(2 5).(,169) p(2) = 3,786m b) Pede-se para determnar a altura y da barra a 2m da parede A. Os pontos a consderar e as dferenças dvddas estão na tabela a segur. y Dy D 2 y y 2 5 Para que este trecho seja representado por um polnômo de grau um, é necessáro que a dferença dvdda de segunda ordem seja nula. Então, fazendo: y = 4,8m 34

35 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Fntas Ascendentes O Operador Dferenças Fntas Ascendentes Defnção Sejam (, y ), =, 1,..., n; pontos de uma função, y = f(), gualmente espaçados, sto é, tas que + 1 = h = constante. Sendo assm, defne-se a dferença fnta ascendente de prmera ordem como: f() = f( + h) f() Em um ponto f( ) = f( + h) f( ) y = y + 1 y, =, 1, 2,..., n 1 35

36 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Fntas Ascendentes O Operador Dferenças Fntas Ascendentes As dferenças fntas ascendentes de ordem superor são defndas, por recorrênca. Ordem 2: Δ 2 y = Δy +1 - Δy, =, 1,..., n 2 Ordem 3: Δ 3 y = Δ 2 y +1 - Δ 2 y, =, 1,..., n 3 Portanto Ordem k: Δ k y= Δ k -1 y +1 - Δ k-1 y, =, 1,..., n - k Sendo Δ y =y, =, 1,..., n 36

37 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Fntas Ascendentes Teorema Sendo y = f() uma função com dervadas contínuas até a ordem k, tem-se que: k f() = h k.f (k) ( k ) para algum k (, + k.h). Coroláro Tendo em vsta o teorema anteror, [ k f() / h k ] é uma apromação para f (k) () e o erro cometdo tende a zero quando h. 37

38 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Fntas Ascendentes Teorema Se (, y ), =, 1,..., n; são pontos de uma função, y = f(), tas que + 1 = h, para todo =, 1,..., n 1, então vale a segunte relação entre dferenças dvddas e dferenças fntas ascendentes. k D y k y h k,.k! k =,1, 2,..., n =,1, 2,..., n - k 38

39 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Fntas Ascendentes O polnômo nterpolador Seja a varável: Tem-se, então, que: - = h.z - h z h.z n - 1 = h.[z (n - 1)] h ( h) h.z h h.(z 1) ( 2. h) 2. h h.z 2. h h.(z 2) 39

40 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Método das Dferenças Fntas Ascendentes O polnômo nterpolador Efetuando as substtuções no polnômo nterpolador com dferenças dvddas, obtém-se o polnômo nterpolador com dferenças fntas ascendentes. p( z(z 1) 2! z(z 1)(z 2) 3! z(z 1)...[z (n 1)] n! 2 3 n h.z) y z. y y y... y Eemplos 4

41 Eemplo 41

42 Eemplo 42

43 Eercíco 43

44 Eercíco 44

45 Eercíco 45

46 Eercíco 46

47 Métodos de obtenção do polnômo nterpolador Compledade dos Método de nterpolação Método Adções Multplcações Dvsões Total Lagrange 2.n n 2.n 2 + n - 1 n n n Dferenças dvddas 3 5.n 2 n 2 n.n n 2 n n 2. n 2 2 Dferenças fntas ascendentes n 2 + n + 1 n n 2 n 3 5.n 2.n n é o grau do polnômo 47

48 Interpolação Polnomal Consderações fnas 1- Os métodos que utlzam dferenças dvddas ou fntas ascendentes são efcentes quando se deseja aumentar (ou dmnur) o grau do polnômo obtdo, pos basta, smplesmente, acrescentar (ou retrar) termos. Logo, para cálculos eploratóros, estes métodos, em geral, são preferíves. 2- No método de Lagrange a alteração do grau do polnômo ege que os cálculos sejam, todos, refetos. 3- O método de Lagrange ocupa menos memóra, uma vez que não é necessáro o cálculo e o armazenamento uma tabela de dferenças. 48

49 Interpolação Polnomal Consderações fnas 4- A desvantagem na utlzação do Método das Dferenças Fntas Ascendentes é a egênca de que as abscssas dos pontos para a nterpolação devem ser, necessaramente, equdstantes. 5- Nos métodos que utlzam dferenças dvddas ou fntas ascendentes, a estmatva do erro de truncamento pode ser faclmente ntegrada ao algortmo, uma vez que utlza uma dferença. 6- No método de Lagrange, a estmatva do erro de truncamento pode ser obtda apenas se a função nterpolada for conhecda analtcamente. 7- O método de Lagrange é um pouco mas fácl de ser mplementado. 49

50 Cálculo Numérco BCC76 Interpolação Polnomal Referênca Prof. Paulo Laerte Natt. Departamento de Matemátca Unversdade Estadual de Londrna Dsponível em: Acessado em