REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

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2 Relaconamento entre varáves : - requer conhecmento REGRESSÃO E CORRELAÇÃO Y = f ( ) + ε Ex: 1. Y = Lucro de uma Empresa = Investmento em Publcdade Y(v.aleatóra) em função de (v.determnístca), onde Y é a varável explcada por. Y - varável explcada ou dependente de - varável explcatva ou ndependente

3 DIAGRAMA DE DISPEERSÃO Y

4 CORRELAÇÃO LINEAR Coefcente de correlação lnear de Pearson: 1 r Y 1 No caso do exemplo: r = 0, 9863 Y

5 REGRESSÃO Estudaremos o relaconamento lnear entre as varáves, assm: Y = α + β + ε Suposções: 1. A relação de e Y é lnear e há efeto causal entre elas. 2. é uma varável não estocástca e conhecda 3. Consderações a cerca do erro: 2 N 0,σ 3.1. ε ( ) donde vemos que: E ε = 0 ( ) Var( ε ) = σ 2 (constante, por sto não é ndexada) Modelo Homoscedátco 3.2. Não há correlação seral entre o erro aleatóro, sto é, Os erros são ndependentes. E[ ε ε j ] = 0 j Modelo Homoscedástco Modelo Heteroscedástco

6 LEASTSQUARE SOLUTION(SOLUÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS) OU ORDINARYLEASTSQUARE (OLS) (MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS) Seja a equação da reta: Y = α + β A déa é estmar os parâmetros α e β de tal manera que a soma dos quadrados dos desvos seja mínma, sto é; n n 2 mnmzar ( ε ) = ( Y Ŷ ) = 1 = 1 substtundo $ Y a b = + e dervando em relação a a e b, e gualando as expressões a zero, temos: Y = na + b Y = a + b 2 2

7 SOLUÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Resolvendo o sstema temos: = = 2 2 n Y Y a a = = 2 n Y Y n b b No caso do exemplo teremos: a = -132,62626 e b = 11, Assm: Y 11, ,62626 ˆ + =

8 TESTE DE HIPÓTESE H o : β = 0 Não exste regressão H 1 : β 0 Exste regressão Análse da varânca ou teste t Analyss of Varance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Rato P-Value Model E E Resdual Total (Corr.) 2.036E6 9

9 PREVISÃO

10 REGRESSÃO NÃO LINEAR Regressão com Varáves Transformadas: Uma função que relacona Y a é ntrnsecamente lnear se, por meo de uma transformação em e/ou em Y ela puder ser expressa lnearmente. A tabela a segur mostra alguns exemplos. Função Transformação Forma Lnear Y β = e (Exponencal) Y = ln( Y ) α Y = ln( α ) + β β Y = α (Potênca) Y = log( Y ), = log( ) Y = log( α ) + β Y 1 α + β = (Recíproca) = 1 Y = α + β Quando o modelo transformado satsfaz as hpóteses, o método dos mínmos quadrados fornece os melhores resultados.

11 REGRESSÃO NÃO LINEAR Regressão Polnomal Os modelos polnomas são não lneares, mas ntrnsecamente lneares. A equação do modelo de regressão polnomal de k-ésmo grau é: Y = β 0 + β 1 + β β k k A estmatva usando mínmos quadrados é a aproprada, entretanto o modelo polnomal com k grande é muto mprovável e, na maora das aplcações usa-se k=2 (quadrátco) ou k=3 (cúbco).

12 Comparson of Alternatve Models Model Correlaton R-Squared Logarthmc-Y square root % Double recprocal % Square root-y % Recprocal-Y logarthmc % Exponental % Multplcatve % Double square root % Squared % Lnear % Double squared % Recprocal-Y square root % Square root-y squared % Square root-y logarthmc % Square root % Logarthmc-Y squared % Squared-Y % Recprocal-Y % S-curve model % Logarthmc % Squared-Y square root % Square root-y recprocal % Recprocal-Y squared % Squared-Y logarthmc % Recprocal % Squared-Y recprocal % OUTROS MODELOS

13 REGRESSÃO MÚLTIPLA Y β + β + β β + ε = k k Exemplo: Y - vendas efectuadas durante um dado período de tempo, 2 - anos de experênca como vendedor, - score no teste de ntelgênca. 3

14 EEMPLOS Anos de experênca Score no Vendas ( Y ) como teste de (mlhões de Vendedor ntelgênca Vendedor euros) ( 2 ) ( 3 ) A B C D E F G H I J 4 2 2