REGRESSÃO LINEAR 05/10/2016 REPRESENTAÇAO MATRICIAL. Y i = X 1i + 2 X 2i k X ni + i Y = X + INTRODUÇÃO SIMPLES MÚLTIPLA

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1 REGRESSÃO LINEAR CUIABÁ, MT 6/ INTRODUÇÃO Relação dos valores da varável depedete (varável resposta) aos valores de regressoras ou exógeas). SIMPLES MÚLTIPLA (varáves depedetes,... =,,, K=,,, k em que: = varável depedete fxa; = parâmetros (coefcetes) descohecdos que especfcam a assocação lear etre a varável depedete e as varáves depedetes; = erro aleatóro. REPRESENTAÇAO MATRICIAL Forma Algébrca = k + Forma Matrcal = + = + Cosderado os erros homocedástcos k k k k com dstrbução ormal, o modelo lear matrcal fca assm defdo: = +, ode ~ N (ᵠ; Iσ ) em que: = vetor dos valores observados para ; = matrz dos valores observados ou fxados para as varáves depedetes; = vetor dos parâmetros (coefcetes) do modelo; = vetor dos erros aleatóros. É defdo como modelo lear de Gauss- Markov-Normal

2 Como estmar os coefcetes? Escolhedo uma técca que mmze os valores médos dos coefcetes; Técca dos mímos quadrados ordáros (MQO); Cosdere: = + = Sabedo-se, cotudo, que a soma dos desvos em relação a um valor médo é ula, vem que: = ( - ) ( - ) = ( - ) ( - ) = ( )( - ) = Sedo as matrzes e de dmesões x e sedo uma trasposta da outra, temos = Logo: = - + Dervado a matrz de erros ( ) em relação a, tem-se: d( ) = (d ) + (d ) + (d) = (d) Sedo, (d ) = (d), por serem matrzes de x, e uma trasposta a outra: d( ) = (d ) + (d ) (d) Logo: d( ) = (d )( ) (d) Dervado a matrz de erros ( ) em relação a e gualado a zero, tem-se: d d ˆ ˆ Sstema de Equações Normas Em que: ˆ é o vetor das estmatvas dos coefcetes Pré-multplcado ambos os lados da expressão (4) por ( ) -, tem-se: - (' ) (' ) ˆ (' ) ˆ (' ) - - ' ' ANÁLISE DE VARIÂNCIA ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO (ANOVA) FV GL SQ QM Fcal. Regressão p Resíduo p Total βˆ' ' - C ˆ ' ' ' - C SQReg/GLReg (V ) SQRes/GLRes (V ) V /V * O Valor de Fcal será utlzado para calcular o p-value (p-valor).

3 p-valor ou p-value Correspode ao ível descrtvo (ou ível probablístco ou ada valor-p) correspode ao meor ível de sgfcâca α para o valor calculado a estatístca do teste. Cálculo do p-valor: teste t Uma varável aleatóra cotíua tem dstrbução x de Studet com v graus de lberdade se sua fução desdade de probabldade é dada por: f x = Γ v + vπγ π + x v v+ x ε (, ) Neste caso, utlzamos a otação x ~t (v) O cálculo do p-valor é feto substtudo o valor obtdo em tcal e o grau de lberdade correspodete, resolvedo a fução para obter o valor de probabldade do p-valor. Observações: Tome cudado se o teste é blateral ou ulateral, sso terfere o resultado do p-valor. Cálculo do p-valor: teste F Uma varável aleatóra cotíua x tem dstrbução F de Sedecor com v graus de lberdade o umerador e v graus de lberdade o deomador se sua fução desdade de probabldade é defda por: f x = Γ v + v v v v x v Γ v Γ v v v x + v +v Neste caso, utlzamos a otação x ~F (v ; v ) x ε (, ) O cálculo do p-valor é feto substtudo o valor obtdo em Fcal e os grau de lberdade ao umerador e deomado, resolvedo a fução para obter o valor de probabldade do p-valor. Hpótestes Estatístcas da ANOVA (Teste F) As hpóteses estatístcas testadas pelo teste F H : Hou H a : Se o valor do p-valor calculado for meor ou gual ao ível de sgfcâca estabelecdo, rejeta-se H ao ível de probabldade cosderado, logo exste regressão e os valores da varável depedete são explcados pela equação de regressão. TESTE DE SIGNIFICÂNCIA DOS COEFICIENTES Teste utlzado para verfcar a sgfcâca das estmatvas dos parâmetros. Hpótese t ˆ S ˆ em que: ˆ é o valor estmado do parâmetro (coefcete); parâmetro obtdo a partr da hpótese (geralmete utlzamos zero); S ˆ H : H a : varâca da estmatva do parâmetro Como obter as estmatvas das varâcas dos coefcetes? Cosderado um modelo lear smples têm-se: Matrz de Varâcas e Covarâcas COV መβ = ( ) s = ( ) QMRes COV መβ = + ത ത σ = ( ത) σ = ( ത) ത s σ = ( ത) σ = ( ത) COV መβ = V( መβ ) COV( መβ መβ ) COV( መβ መβ ) V( መβ ) 3

4 Itervalo de cofaça para os coefcetes IC( ) t j j S ˆ em que: t é o valor da dstrbução t de studet a um ível de probabldade fxado, com -p- graus de lberdade do resíduo. CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS MODELOS Coefcete de Determação (R ) SQ Re g R (%) SQTotal Ídce de Schlageal (IA): ( ˆ) IA(%) ( ) - Coefcete de correlação lear ao quadrado (rxy) : R (%) ( r xy ) Observações: O ídce de Schlaegel deve ser utlzado com a varável depedete estvar a forma de log ou l. Na escrta de um Trabalho você pode chamar o IA de R. O (rxy) deve ser utlzado se o modelo for ão lear. Comparado modelos com úmero de coefcetes dferetes Para comparar modelos com úmero de coefcetes dferetes pode-se fazer o cálculo do Coefcetes de Determado Ajustado(R adj) ou Corrgdo (R corrg) R adj = p + SQRes SQTotal Em que:sqres= Soma de Quadrados do Resíduos e SQTotal = Soma de Quadrados Total Erro padrão da estmatva (Syx) S. QMResíduo E se o modelo tver a varável depedete a forma logarítmca? Erro padrão da méda (Syx(%)): Syx Syx(%) Syx ( ˆ) p Lembre-se que o caso da varável depedete estar a forma logarítmca o deve ser corrgdo pelo Fator de Meyer FM e,5*( Syx ) em que: Syx = QMRes obtdo o ajuste da varável depedete a forma logarítmca. 4

5 ANÁLISE GRÁFICA DE RESÍDUOS Cosste a aálse dos resíduos da varável resposta aalsada em fução de uma varável, que pode ser a resposta (varável depedete) ou uma varável depedete. E Erros ou Resíduos? Re síduo Os erros E são defdos como as dfereças de sedo =,, 3,...,. Dessa forma, o erro dca o quato a equação de regressão ão é capaz de explcar os valores da varável depedete. Os resíduos podem ser plotados em fução de qualquer varável em estudo, geralmete os resíduos são plotados cotra o valor de dap ou cotra os valores de Outlers Um outler correspode a um ou mas poto(s) (resíduo(s)) muto dscrepate em relação a curva do modelo. Nem sempre um poto é um outler, pode ter acotecdo do modelo ão ter ajustado aos dados. Por sso utlzamos város modelos. EEMPLO A partr dos dados passados: Gerar as varáves secudáras; Ajustar os modelos de volume; 3 Proceder aálse de varâca; 4 Realzar o teste de sgfcâca dos coefcetes; 5 Calcular as estatístcas de avalação e os gráfcos de resíduos. Modelo Schumacher e Hall (lear) (933) Fórmula l( V ) l( dap) l( ht) Spurr (957) V ( dap ht) 5