Objetivos. O Modelo Linear Geral (GLM - General Linear Model) suporta, também, variáveis categóricas dependentes.

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1 Prof. Lorí Val, Dr. ufrgs.br/~val val/ Obetvos álse de varâca (NOV) É utlzada para mostrar os efetos prcpas de varáves categórcas depedetes (deomadas de fatores) sobre uma varável quattatva depedete. O Modelo Lear Geral (GLM - Geeral Lear Model) suporta, também, varáves categórcas depedetes. Um efeto prcpal" é um efeto dreto de uma varável depedete sobre a varável depedete. Um efeto de teração é o efeto de duas ou mas varáves depedetes sobre a varável depedete. Os modelos de regressão ão podem maear terações a meos que um termo de produto cruzado sea explctamete adccoado. NOV mostra efetos de teração como resultado da própra técca. 1

2 Exste uma varate para a utlzação de varáves de cotrole quattatvas deomada de NCOV (alyss of Cova ovarace). Exste, também, para o caso de múltplas varáves depedetes a MNOV(Multple aalyss of Varace) e falmete exste uma combação das duas deomada de MNCOV (MNOV + NCOV). estatístca teste a NOV é a F (de Sedcor) que testa a dfereça etre as médas grupos. Ela testa se as médas dos grupos formados pelos valores da varável depedete (ou combação de valores para as múltplas varáves depedetes) pode ter ocorrdo por acaso. Oe-Way NOV Se as médas dos grupos ão dferem sgfcatvamete etão pode-se assumr que a varável depedete ão tem efeto sobre a varável depedete. Testa a dfereça etre uma úca varável quattatva depedete cotra dos, três ou mas grupos formados pelas categoras de uma uma úca varável categórca depedete. É também cohecda coo NOV uvarada, NOV de classfcação smples ou NOV de um fator. Two-Way NOV Two-way way NOV ou álse de Varâca de dupla classfcação aalsa uma varável quattatva depedete em termos de categoras (grupos) de duas varáves qualtatvas depedetes, uma das quas pode ser cosderada como varável de cotrole. -Way NOV ou MNOV Geeralza a NOV ldado com varáves depedetes. Note-se que o úmero de terações cresce este caso. Duas varáves depedetes apresetam uma úca teração de prmera ordem (B). Três varáves depedetes apresetam três terações de prmera ordem(b,c,bc) e uma de segudaordem(bc), ou sea, quatro o total.

3 Quatro varáves depedetes apresetam ses terações de prmera ordem(b, C, D, BC, BC, CD), três de seguda-ordem (BC, CD, BCD)eumadeterceraordem (BCD).medda que o úmero de terações aumeta tora-se extremamete dfícl terpretar o modelo. Proetos(Desgs) NOV e a NCOV apresetam város proetos expermetas. O tpo de proeto (deseho) afeta o cálculo da razão F. Idepedete do proeto a tabela de saída é terpretada de forma semelhate -asgfcâcadarazãofdcaasgfcâcade cadaefetoprcpaledecadaefetodeteração(e o efeto de cada covarável NCOV). NOV etre Grupos Quado a varável depedete é medda em grupos depedetes de amostras membros,ode cadagrupoéexpostoaumacodçãodferete,o couto de codções é deomado de fatores etre coteúdos. Os grupos correspodem a codções que são categoras da varável depedete. s codções são atrbuídas aleatoramete pelo pesqusador. Deleametos(Desgs) Este é o deseho usual de álse de Varâca. Exste um couto de observações, os grupos que se referem a subcoutos assocados com cada categora da varável depedete (Oe-Way NOV) ou com cada célula formada por múltplas varáves categórcas depedetes (a NOV Multvarda). pós as mesurações de cada grupo, as varâcas da varável depedete etre grupos e detrodosgruposécalculada.seapeasoacasoestá tervdo pode-se esperar que as duas varâcas seam semelhates. Se a varâca etre grupos é maorqueadetrodosgruposmeddapelarazãof, etão pode-se coclur que o fator de agrupameto(a varável depedete apreseta efeto sgfcatvo). Deleameto Completamete Casualzados Um Deleameto Completamete Casualzado é uma NOV etre-grupos. leatorzação é um esforço para cotrolar todos os fatores ão mesurados. Se exste uma razão para supor que alguma varável depedete adcoal é mportate, esta varável pode ser cotrolada explctamete por blocos casualzados se categórca ou pela NCOV se for uma varável cotíua. 3

4 Deleameto em Blocos Completos Casualzados Este deleameto é um deseho expermetal a qual as observações são emparelhados em alguma varável de cotrole. s observações são dvddas em grupos com base esta varável (às vezes chamada de varável ruído ). Deleameto Quadrado Lato O deleameto do Quadrado Lato extede a lógca do desg de blocos para cotrolar duas varáves categórcas. Este tpo de deleameto, também, reduz o úmero de observações ecessáras para computar a NOV. Este deleameto requer que se assuma que todos os efetos de teração seam zero. Normalmete, se exstrem três varáves com cada uma assumdo quatro valores etão serão ecessáros observações apeas para se ter uma úca observação para cada possível observada. Com o deleameto Quadrado Lato, o etato, o úmero ecessáro de observaçõeséreduzdopara Deleameto Quadrado-Grego-Lato Um deleameto Quadrado Greco- Lato estede o desg de blocos para cotrolar três varáves categórcas. NOV Fatoral Uma NOV Factoral é para mas de um fator (mas do que uma varável depedete, sto é, para a aálse two-way ou acma) e é utlzada para acessar a mportâca relatva das váras combações das varáves depedetes. Em um proeto fatoral, todas as possíves combações dos íves das varáves depedetes são represetadas como grupos a aálse. Com tal deseho a NOV ão é umaformaseparada dedesgmasumaforma de combar os deleametos. 4

5 Uma tabela matrcal do proeto mostra as terseções das categoras das varáves depedetes. Uma tabela NOV correspodete é costruída ode as coluas são as váras covaráves(a NCOV) e os efetos prcpas e de teração. Os fatores são varáves categórcas depedetes. s categoras de um fator são seus grupos ou íves. Utlzado termologa da NOV x 3 ("two-by-three") deleameto fatoral sgfca que exstem dos fatores com o prmero tedo duas categoras e o segudo três, para um total de ses grupos(íves). Um deleameto fatoral xx apreseta três fatores, cada um com duas categoras. ordem dos fatores ão faz dfereça. Se eles forem multplcados tem-se o úmero de grupos(algumas vezes grupos de tratameto ) formados por todas as depedetes coletvamete. ssm um deleameto x3 tem ses grupos e um xx tem 8 grupos. Na pesqusa expermetal um úmero gual de observações são atrbuídas para cada grupo aleatoramete. GLM (Modelo Lear Geeralzado) O GLM (Geeral Lear Model odel) Modelo Lear Geral da NOV é um substtuto da NOVfatoralapartrdaversãodoSPSS8. abordagemglmémasgeralesuportaouso de varáves depedetes categórcas. Modelos de Efetos leatóros lgumas modelos de NOV são modelos efetos fxos ("Model I"), sto é, os dados são coletados em todas as categoras das varáves depedetes. Nos modelos de Efetos leatóros ("Model II"), os dados são coletados somete para uma amostra das categoras. 5

6 Oe-Way NOV OModelo:Y u +U Cada valor obsevado da varável quattatvadepedete Y édadopelasoma daméda(µ ) dapopulaçãodeodeestevalor foretradomasumerroaleatóro(u ). Suposções: 1) Os erros são varáves aleatóras com méda zero, stoé,e(u ) 0, para1,,..., e 1,,...,; ) Os erros são varáves aleatóras depedetes,stoé,e(u.u hl )0,se h e l; 3) Os erros apresetam varâca costate, sto ) é, E ( U σ, para 1,,..., e 1,,..., ; 4)OstermoserroU seguemumaormal. Resumdo: Supõem-sequeosvaloresY sãovaloresque resultamdaadçãodeumvalormédo µ comum termo erro U que são varáves aleatóras depedetes com dstrbução ormal de méda zeroevarâcacostategualaσ. Metodologa: Fazedo µ µ + α, ode os α ι são os efetos dos tratametos, o modelo fca: Y µ + α + U Os α ι, estão suetos a restrção Σ α 0. 1 µ Etãode µ µ + α,segueque: µ. 6

7 Fazedo m dcar as estmatvas de µ (1,,...,).Tem-seque: Y m +E OdeE éodesvodaésmaobservaçãoem relação a estmatva da méda do tratameto. Dados os valores Y com 1,,..., e 1,,...,, de acordo com o Método dos MímosQuadrados,asestmatvasdem sãoos valores que mmzam a soma dos quadrados dos desvos ou soma resdual, dada por: Q S.Q.R Dervado e gualado a zero, tem-se: Q m E ( Y m) ( Y m )( 1) 0 Segue, etão: Ou m m Y Y Y Isto é, o estmador de Mímos Quadrados para a méda do -ésmo tratameto é a méda artmétca das observações deste tratameto. s Somas dos Quadrados Idcado por o total do -ésmo tratameto, sto é, fazedo: Tem-se: m Y Y 1 S.Q.R ( Y m) 1 1 ( Y Y 1 1 Elevado o bômo ao quadrado, segue: S.Q.R Y 1 1 Y Y ) Y 1 7

8 Substtudo as expresssões aterores e smplfcado, tem-se: S.Q.R Y Pela defção, tem-se: S.Q.Total Ode: ( Y Y Y 1 1 Y ) Pode-se verfcar, também: S.Q.Total Ode: Y G G Y Pela defção, a soma de quadrados dos tratametos é: Lembrado que: S.Q.Trat. m Y ) ( Y Y e α 0 1 Tem-se: S.Q.Trat. G Jutado os resultados, segue que: S.Q.Res. S.Q.Total - S.Q.Trat. ou S.Q.Total S.Q.Trat Trat. + S.Q.Res Res. Esta expressão mostra que a Soma dos Quadrados Totas é composta de duas parcelas: Soma dos Quadrados dos Tratametos (varação etre tratametos) e a Soma dos Quadrados dos Resíduos (varações detro de tratametos). 8

9 Exemplo: Cosderese os valoresy de três amostras supostamete depedetes: m. 1 m. 1 m Tem-se: 1 5, 6 e e , 87 e Y 1 11; Y 14,5 ; Y 3 17 e Y 14,5 G S.Q.Total Y 160,50 G S.Q.Trat. 3889, ,5 105 soma dos resíduos vale: S.Q.R ,50 55,50 Y 1 S.Q.Total S.Q.Trat. + S.Q.Res. ssm:160, ,50 Espectâca da Somas de Quadrados Temos: E ( Y ) µ e E ( Y ) µ + σ Etão: E µ + Y σ 1 Como: Y 1 De acordo com o modelo, tem-se: Segue, etão: Mas: µ + µ 1 µ + ν µ + µ 1 1 E µ 0 1 Coml,segue: E ( µ ) E( µ + µ µ ) σ 1 Daí: Como: 1 µ ) σ E ( + G 1 µ + l µ 1 1 l 9

10 Segue: G ( µ 1 ) ( µ )( µ ) + ( Mas: ( µ ) 0 E 1 1 Ecomh e/oul,segue µ ) E( µ ) E( µ + µ µ ) σ 1 1 ssm: Portato: E( 1 1 1h 1l 1 1 E( G ) ( µ ) + σ 1 1 S.Q.Total ) µ ( µ 1 ) + ( 1) 1 hl σ Ou: σ Ou: E( S.Q.Total ) W + ( 1) 1 W µ ( µ ) 1 W ( µ µ ) 1 1 expressãomostraquew0,apeasse µ 1 µ... µ µ Para os tratametos, tem-se: ( µ 1 E( S.Q.Trat.) + σ ) ( µ ) 1 µ ( µ ) Ou 1 E( ( 1) σ 1 S.Q.Trat.) W + ( 1) σ σ Causa da Varação Soma dos Quadrados Espec. da Soma Esp. da Soma (sob H 0 ) Tratametos W + (-1)σ (-1)σ G - Resíduo (-)σ (-)σ Y Total G (-1)σ (-1)σ Y - Os Quadrados Médos Cosderemos a hpótese de uldade: H 0 : µ 1 µ µ Istoé,cosderemosahpótesedequeasmédas das populações sob aálse seam dêtcas. Sob esta hpótese, o valor W, defdo aterormete é gual a zero. Etão, tem-se: 10

11 E(S.Q.Total)( 1)σ eadaque; E(S.Q.Trat.)( 1)σ Pode-semostrarquese,os µ sãovaráves aleatóras depedetes com dstrbução ormaldeméda zero evarâca σ etão: (S.Q.Res)/σ tem uma dstrbução Qu- Quadradocom grausdelberdade. lém dsso, pode-se demostrar que sob H 0 : (S.Q.Trat.)/σ tem uma dstrbução Qu- Quadrado com 1 graus de lberdade e (S.Q.Total)/σ tem uma dstrbução Qu- Quadradocom 1 grausdelberdadeeastrês dstrbuções são depedetes etre s. Por defção o Quadrado Médo é o quocete etre a Soma dos Quadrados pelo respectvo Número de Graus de Lberdade. Desta forma, o Quadrado Médo dos Tratametos é: Q.M.Trat(S.Q.Trat.)/( 1) Q.M.Res.(S.Q.Res.)/( ) Substtudo algus resultados aterores, tem-se: E(Q.M.Trat.) σ +W/( 1) e E(Q.M.Res.) σ tabela, segute, resume algus resultados. Causa da Varação Grau de Lberdade (G.L.) Soma dos Quadrados (S. Q.) G - Espec. Do Quadrado Médo W +σ -1 Esp. da Soma (sob H 0 ) Tratametos -1 σ Resíduos σ σ Y - Total Y 1 G - OTesteF Pode-semostrarqueseX 1 ex sãovaráves aleatóras depedetes com dstrbuções Qu- Quadrado de g 1 e g graus de lberdade, respectvamete, etão a varável resultate do quocete: (X 1 /g 1 )/(X /g ) apreseta uma dstrbução F com g 1 e g graus de lberdade. ota-sef(g 1 ;g ). 11

12 Dstrbução F(de Sedecor) Uma varável aleatóra X tem uma dstrbução F oudesedecorsesuafdpfordotpo: f( x) m m m m + -1 mx - Γ ( + mx ) m Γ Γ 0 + se x > 0 sex 0 Expectâca e Varâca E ( X ) m m - (m + -) -m Var(X) m(-)(-4) m é o grau de lberdade do umerador e do deomador Dagramas Plalha 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 fdp de F(1, 3) F(, 5) F(5, 10) F(0, 0) Oqueétabeladoéaáreaàdretadecada curva(fução dreta), sto é, dado um certo valor de f, tem-se: P[F(m, ) f] f] α, oudadouma área à dreta α pode-se determar o valor f que satsfaça P[F(m, ) f] f]α(fuçãoversa). Exemplo Item(a) (a) Dada uma dstrbução F com parâmetros g.l. do umerador 3 e g.l. do deomador gual a 5, determar P(F,5) (b) Ovalorde f talquep(f f)80%. EtãoP(F,5) 17,39%. 1

13 Item(b) Exercíco Combaseemumtesteprelmarumgrupode aluos fo classfcado de acordo com o desempeho em: Ótmo, Bom, Regular e Fraco. Para verfcar se estetesteeraútlcomoprevsordamédafaldos Etão, o valor de f tal que, P(F f)80% é f,5. aluos, amostras de cada grupo foram selecoadas. Teste se exste dfereça etre as médas dos grupos ao ível de 1% de sgfcâca. Dados Ótmo Bom Regular Fraco 9,4 7,5 7,0 6,8 9,0 6,8 7,3 7,0 8,5 7,7 7,6 7, 8,0 8,3 7,8 6,5 8,8 8,0 7,4 6,8 6,5 6,5 13