MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL I

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1 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa EDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL I 7 7. EDIDAS DE TENCÊNCIA CENTRAL Sedo a amostra um subcojuto represetate da população, a amostragem é um fracoameto da amostra, ou seja, uma medda descrtva do cojuto de dados da amostra que forece uma formação relevate em relação aos dados obtdos. Assm sedo a amostragem é uma medda. Uma medda é cosderada como uma fução dos valores observados, podedo ser dvddos em: EDIDAS Localzação Separatrzes Varação Formato 7. eddas de localzação Também deomadas meddas de tedêca cetral ou de posção, dcam um poto cetral ode está localzada a maora das observações, represetado assm a posção cetral ou méda mas provável para uma determada dstrbução de valores obtdos a partr de um cojuto de amostragem. Para a obteção deste valor, podem ser utlzadas ferrametas matemátcas como a méda artmétca, moda, medaa etre outras fuções matemátcas que coduzam ao valor cetral da dstrbução. Prof.. Sc Aquo

2 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa 7.. éda artmétca smples A méda artmétca smples coduz a um valor cetral de uma determada dstrbução umérca e é obtda a partr do somatóro de todos os valores obtdos dvddos pelo úmero de valores tomados. Em termos matemátcos, L O desvo a méda é obtdo a partr do somatóro dos desvos parcas e, forecerá uma faxa de valores para a varação máxma e míma possível para o valor médo obtdo. A expressão matemátca para o desvo a méda artmétca smples é dado pela expressão: δ L méda: O resultado será represetado pelo valor médo assovado ao desvo a médo ± δ Exemplo : Determe a méda artmétca smples para o cojuto de dados abaxo: {8, 9, 0,, 4, 5, 7, 9, 40} Solução: para é desejado obter a méda dos valores observados para a dade de uma determada população a partr de uma amostragem realzada. Por ser smplesmete feto da segute forma para 9 valores: A forma adequada de realzar este trabalho é a partr da orgazação dos dados em uma tabela, ode cada colua represetará as etapas do processo matemátco a ser realzado coforme vsto a tabela segute: 40 Prof.. Sc Aquo

3 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa TABELA - éda smples Desvo - éda 8 5,9 9 4,9 0,9 4 0, , 5, 7 7, 8 9 5, 9 40, éda,889,457 O valor fal obtdo a partr do somatóro arredodado é de 4 ± 4 aos para a méda de dade determada. O que sgfca que a méda de dade é de 4 aos com varação de 4 aos para mas ou para meos. Por hora o desvo deve ser eteddo apeas como uma varação os valores. Posterormete será estudado com maores detalhes. 7.. éda artmétca poderada A méda artmétca poderada cosdera que os valores parcas devem ser somados a partr de dferetes pesos coforme a sua partcpação a amostra. Assm, tomada uma observação, L,, sedo que cada um dos, valores cotrbu com os fatores de,,, L, a expressão matemátca para a méda poderada cosderado todos os fatores é: p L L Sedo que o desvo a méda poderado é dado pela expressão; δ p L Prof.. Sc Aquo 4

4 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa Exemplo : Determar a méda smples e poderada dos valores abaxo e o desvo a méda para ambos os casos, estabelecedo uma comparação etre ambos os resultados. {8, 8,8, 8, 8, 9, 9, 0, 0,,, 4, 5, 7, 9, 40} Solução: Desejo eteder o valor cetral de uma dstrbução amostral a qual foram obtdas as segutes dades coforme a frequêca de cdêca de casos guas. Para sso ser motada uma tabela separado as dades por frequêca de cdêca: TABELA - éda artmétca Smples Poderada f -éda.f Fr 8 5, , , , , 4 5, 5 7 7, , , 40 éda 4,8 0, Na tabela, comparado os valores da méda smples e da poderada, o que se tem é um valor que cosdera a cotrbução dvdual de cada dade. Logo temos os valores 4 ± aos para a méda smples e,8± 0, aos para a méda poderada. 7.. éda artmétca geométrca A méda geométrca cosdera que para cada valor de um tem da amostra exste uma relação expoecal que equvale ao seu peso amostral. Logo, tomados os valores de uma observação,, L,, sedo que cada um, dos valores cotrbu com os fatores de,,, L,, a expressão matemátca para a méda geométrca fca é defdo por: g L Sedo a frequêca absoluta, K f Prof.. Sc Aquo 5

5 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa Algumas observações a cerca da méda geométrca: - A méda geométrca de um dado cojuto de úmeros é sempre meor u gual à méda artmétca deste mesmo cojuto de úmeros. - Sedo os valores dos pesos guas, ou seja, a expressão fca reduzda a: L g L -A méda também poder ser determada a partr da expressão logarítmca, log g log log log L log log log Para,,, L,, e,,, L,, Exemplo : Determar a méda smples, poderada e geométrca dos valores abaxo e, estabelecer uma comparação etre os resultados. {8, 8,8, 8, 8, 9, 9, 0, 0,,, 4, 5, 7, 9, 40} Solução: Queremos a comparação etre a méda geométrca e a méda poderada dos valores obtdos para a dade de uma população. Logo: TABELA - Comparação etre as médas smples, poderada e geométrca. Smples Poderada Geométrca -éda f.f Fr f 8 5, ,0 9 4, ,0 0, ,0 4 0,9 089, , 4 4,0 5, 5 5,0 7 7, 7 4 7, , 9 5 9,0 9 40, 40 40,0 Produto ,0 éda,9,5,8 0,, A tabela forece os valores Prof.. Sc Aquo

6 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa 7..4 éda artmétca harmôca A méda harmôca é aplcada quado as gradezas observadas são versamete proporcoas como, por exemplo, velocdade e tempo, custo em relação à compra etc. No cálculo é cosderado que o valor total da amostra é dvddo pela soma de todos os pesos dvddos pelo valor referdos de uma observação. A expressão matemátca para a méda harmôca fca defda como: h f f f f f L f para,,, L,, e,,, L,, Sedo a frequêca absoluta, e para todo > 0 Uma cosderação mportate a respeto da méda harmôca é que o valore relacoado com ela uca é superor a méda geométrca ou a méda artmétca. Para o caso partcular ode os valores dos pesos são guas, ou seja, L a expressão fca reduzda a: h K L f Exemplo 4: Determar a méda smples, poderada, geométrca e harmôca do cojuto de dados abaxo, {8, 8,8, 8, 8, 9, 9, 0, 0,,, 4, 5, 7, 9, 40} Queremos a comparação etre a méda smples, geométrca, a méda poderada e a méda artmétca dos valores obtdos para a dade de uma população. Novamete, a forma mas rápda e segura é a elaboração de uma tabela com os valores a serem determados e cada cálculo feto de forma parcal. Com sso, temos que: Prof.. Sc Aquo 7

7 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa TABELA - éda artmétca Smples Poderada Geométrca Harmôca -éda f.f Fr f f/ 8 5, ,0 0,79 9 4, ,0 0,09 0, ,0 0,07 4 0,9 089,0 0, , 4 4,0 0,09 5, 5 5,0 0,09 7 7, 7 4 7,0 0, , 9 5 9,0 0,0 9 40, 40 40,0 0,05 Produto ,0 éda,9,5,8 0,,, Prof.. Sc Aquo 8

8 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa APÊNDICE A Exercícos Resolvdos ) Dados dos úmeros quasquer, a méda artmétca smples e a méda geométrca deles são respectvamete 0,5 e 0. Quas são estes dos úmeros? Solução: Exstem dos úmeros, e Y sedo que: A solução está a resolução do sstema de equações. Optado pelo método da substtução, tem-se que: Substtudo a equação do Y solado, tem-se a equação do segudo grau: Para ela resolvda temos que: Y 0,5 g Y. 0 Y 0,5 0,5 Y g Y. 0 Y Y Y 4Y Y Y b± b 4ac a 4± 4 4 ( ) ( 400) ( ) Y ' Y '' 5 Y pode assumr dos valores e ão podemos defr qual é o verdadero, etretato substtudo em separado a equação para, vem que: O que mostra que os úmeros procurados são 5 e. ) A méda artmétca smples de 4 úmeros pares dsttos, pertecetes ao cojuto dos úmeros teros ão ulos é gual a 44. Qual é o maor valor que um desses úmeros pode ter? Solução: como a méda dca um valor cetral que é 44, exste um valor maor que é o máxmo e valores meores. Se o valor médo tede ao lado do maor e, pegado como os três prmeros úmeros pares dferetes de zero, o caso, 4 e o quarto úmero ecessaramete deve ser o maor úmero possível a méda. Logo, 4 x 44 x 44 4 x Logo o maor valor é 4. Perguta, porque ão dara certo pegado outros úmeros pares dferetes dos utlzados? Prof.. Sc Aquo 9

9 Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa ) Obter a méda artmétca, geométrca, harmôca e poderada dos valores,,, 4, e 4: Solução: em forma de ROL {,,,4,4,} Para méda smples, fazer: 4 4 Para méda poderada, fazer: Para méda geométrca, fazer: 4 p 7 7 4,5 4,5 g 4 5,598 Para méda harmôca, fazer: h 4,55,84 4) A méda das otas dos 50 aluos de uma classe e 7,7. Se cosderarmos apeas as otas dos 5 meos, a ota méda é gual a 7. Qual a méda das otas se cosderarmos apeas as meas? Solução: Como é proposta uma dfereça etre a quatdade de meos e meas (5 meos, logo 5 meas) para os 50 aluos, a úca possbldade é que estas quatdades sejam fatores de poderação. Logo a méda total refletrá a méda das médas poderadas pela quatdade de cada gêero de aluo. Logo, f H fh p 7,7 N , , Logo a ota méda para as 5 aluas será de 8 potos. Prof.. Sc Aquo 70