Matemática Aula 1. Decomposição Matricial

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1 CURSO DE NIVELAMENO 0 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. ARGIMIRO DECOMPOSIÇÃO MARICIAL Matemátca Aula Decomposção Matrcal A decomposção matrcal é uma fatoração de uma matrz em alguma forma caôca ou padrão. Exstem dversas decomposções matrcas que são útes para determadas classes de problemas, como, por exemplo, a fatoração LU para a resolução de sstemas de equações leares e a decomposção em valores característcos para a aálse de establdade de sstemas dâmcos. Geralmete estas decomposções são utlzadas para smplfcar a aálse de sstemas ou para mplemetar de maera mas efcete os algortmos umércos que evolvem operações com matrzes e vetores. Em mutas aplcações prátcas, város cálculos matrcas, como versão, determate e solução de sstemas leares ão são factíves de serem realzados de forma explícta ótma. Desta forma, a coversão de problemas de cálculos matrcas dfíces em váras tarefas mas fáces, como a solução de sstemas tragulares ou dagoas, é de grade vala. Além dsto, matrzes de dados represetado alguma observação umérca são geralmete de grade dmesão e de dfícl aálse e, portato, a decomposção destas matrzes em formas caôcas pode revelar suas característcas e estruturas eretes, audado a terpretação de seus sgfcados de maera mas rápda. Nesta aula serão abordados os métodos de decomposção matrcal que têm grade aplcação a egehara químca: decomposção em valores característcos, decomposção de Jorda, decomposção em valores sgulares, fatoração LU e fatoração QR. Algus exemplos típcos, tas como aálse de establdade de sstemas dâmcos, seleção de estruturas de cotrole e resolução de sstemas leares, serão usados a aula prátca para fxar a aplcação destes métodos. Na próxma seção serão apresetadas algumas defções e cocetos ecessáros para abordar os métodos de decomposção. A tabela a segur lsta outros métodos de decomposção com os respectvos tpos de matrzes em que podem ser aplcados. Fatoração é a decomposção de um obeto em um produto de outros obetos, ou fatores, que multplcados resultam o obeto orgal.

2 . DECOMPOSIÇÃO MARICIAL Decomposção po de Matrz Fatoração Notação LU m L U L: tragular feror (m m) LUP ou LU com pvotameto parcal U: tragular superor (m ) m P - L U L: tragular feror (m m) U: tragular superor (m ) P: matrz de permutação (m m) LDU quadrada L D U L: tragular feror Cholesky smétrca e postva defda L L H U: tragular superor D: matrz dagoal L: tragular feror LDL smétrca L D L H L: tragular feror SVD ou em valores sgulares D: matrz dagoal m U V H U: matrz utára (m m) V: matrz utára ( ) : dagoal (m ) com os p valores sgulares 0, p = m(m,) QR m Q R Q: matrz ortogoal (m m) Espectral ou em valores característcos quadrada e valores característcos dsttos X D X - R: tragular superor (m ) X: matrz regular dos vetores característcos as coluas D: matrz dagoal dos valores característcos Jorda quadrada J - : trasformação smlar J: forma caôca de Jorda Schur quadrada U S U H U: matrz utára S: forma caôca de Schur, tragular superor com os valores característcos a dagoal Hesseberg quadrada Q H Q Q: matrz ortogoal H: forma caôca de Hesseberg, elemetos abaxo da sub-dagoal ulos. Se A for smétrca ou hermtaa etão H é trdagoal.

3 . CONCEIOS BÁSICOS E DEFINIÇÕES 3. Cocetos báscos e defções rasformação lear: Seam U e V espaços vetoras sobre. Uma aplcação F: U V é chamada trasformação lear de U em V se, e somete se, (a) F(u + u ) = F(u ) + F(u ), u, u U, e (b) F( u) = F(u), e u U. No caso em que U = V, uma trasformação lear F: U U é chamada também de operador lear. Exemplo: Para verfcar se a aplcação F: 3 defda por F(x, y, z) = (x, x z), (x, y, z) 3, é uma trasformação lear, seam u = (x, y, z ) e u = (x, y, z ) em 3 e: (a) F(u + u ) = F(x + x, y + y, z + z ) = (x + x, x + x z z ) = (x, x z ) + (x, x z ) = F(u ) + F (u ) (b) F( u ) = F( x, y, z ) = ( x, x z ) = (x, x z ) = F(u ),. logo, a aplcação é uma trasformação lear. Verfca-se protamete que a multplcação de uma matrz A m por um vetor x é uma trasformação lear, pos A (x + x ) = A x + A x e A x = A x. Núcleo ou espaço ulo: Seam U e V espaços vetoras sobre e F: U V uma trasformação lear. Idca-se por Ker(F) ou ull(f) e deoma-se úcleo ou espaço ulo de F o segute subcouto de U: Ker(F) = ull(f) = {u U F(u) = 0} U Exemplo: Sea F: 3 a trasformação lear dada por F(x, y) = (0, x + y, 0), (x, y), o úcleo de F é obtdo fazedo F(x, y) = (0, 0, 0) = (0, x + y, 0). Logo, x = y e Ker(F) = {(x, x) x }, como lustra a fgura abaxo: z y Ker(F) 3 x = y x (0, 0, 0) y x Fgura : Núcleo de uma trasformação lear

4 4. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL O espaço ulo de uma matrz A m é o subespaço Ker(A) = ull(a) = {x Ax = 0}, ou sea, é o couto de todas as soluções do sstema homogêeo Ax = 0. No caso de uma matrz regular (versível), Ker(A) = {0}. Imagem ou espaço gerado: Seam U e V espaços vetoras sobre e F: U V uma trasformação lear. Idca-se por Im(F) ou rage(f) e deoma-se magem ou espaço gerado de F o segute subcouto de V: Im(F) = rage(f) = {F(u) u U} V A magem ou espaço gerado por uma matrz A m é o subespaço Im(A) m gerado pela trasformação lear F(x) = Ax, sto é, Im(A) = rage(a) = {Ax x } m Da mesma forma, a magem ou espaço gerado pela trasposta de uma matrz A m é o subespaço Im(A ) gerado pela trasformação lear F(y) = A y, sto é, Im(A ) = rage(a ) = {A y y m } Um resultado mportate é sobre a dmesão destes subespaços. Seam U e V espaços vetoras de dmesão fta sobre. Dada uma trasformação lear F: U V, etão dm U = dm Ker(F) + dm Im(F) Couto gerador: para um couto de vetores S = {v, v,..., v r } o subespaço: spa(s) = v + v + + r v r gerado por todas as combações leares dos vetores de S é chamado espaço gerado por S, deomado couto gerador. Com o uso deste coceto, pode-se dzer que rage(a) é o espaço gerado pelos vetores coluas de A e rage(a ) é o espaço gerado pelos vetores lhas de A. Posto ou rak: o posto ou rak de uma matrz A m é o úmero máxmo de lhas ou coluas learmete depedetes. Observe que dm Im(A) = rak(a) e, portato, se Ker(A) = {0}, etão rak(a) =, pos dm = = dm Ker(A) + dm Im(A). Da mesma forma, se Ker(A ) = {0}, etão rak(a) = m. Matrz smétrca: A = A Matrz hermtaa (ou auto-aduta): A = A H, ou sea, matrz complexa gual a sua trasposta cougada ( a a ).

5 . DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES CARACERÍSICOS 5 Exemplo de matrz hermtaa: 3 A 3 4 Matrz ortogoal (Q): Q - = Q Matrz utára (U): U - = U H As matrzes hermtaa e utára em (campo complexo) estão, respectvamete, para as matrzes smétrca e ortogoal em. Por sso, as descrções a segur serão lmtadas ao campo dos úmeros reas, podedo ser esteddas para substtudo as matrzes ortogoas por matrzes utáras e as matrzes smétrcas por matrzes hermtaas.. Decomposção em valores e vetores característcos Dada uma matrz A pode-se determar um escalar e um vetor v tal que a equação: Av = v sea satsfeta, o escalar é chamado de valor característco ou autovalor da matrz A e v é chamado de vetor característco ou autovetor de A. A equação de defção do valor e vetor característco pode também ser escrta a forma: (A I) v = 0 trasformado-se assm em um sstema lear e homogêeo de equações que apreseta solução apeas se a matrz A I for sgular, sto é: a a a a a a AI p a a a det( ) det 0 que é um polômo de grau em chamado de polômo característco de A cuas raízes são os valores característcos ou autovalores de A. Verfca-se, pela expasão deste determate, que o úco termo de grau em é o correspodete ao produto da dagoal prcpal de A I, sto é : a a a sedo todos os demas termos de grau feror a, além dsto como p(0) = det(a), o termo depedete de em p() é det(a), permtdo assm coclur que p a a a ( ) det( A) 0 multplcado-se cada membro por (), tem-se: p( ) a a a det( A) 0

6 6. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL (ote que apesar de ter-se multplcado membro a membro da expressão por (), matevese a otação p() para desgar o polômo característco, á que o mesmo está gualado a zero sedo assm rrelevate seu sal). Pela expressão de p() deduz-se que: (a) a a a, ou sea, tr A, (traço da matrz A); (b) det( A), ou sea, det A ; (c) como p() = det(a I) = 0, se A for sgular tem-se det(a) = 0 desta forma p(0) = det(a) = 0, sto é, se A for sgular = 0 é ecessaramete um valor característco de A. Após determados os valores característcos de A, os vetores característcos são determados através de: (A I) v = 0 para =,,...,, porém, sabe-se que para qualquer matrz quadrada M: M ad(m) = det(m) I que aplcado a M = A I em vsta de det(a I) = 0, tem-se: (A I) ad(a I) = 0, ou ada, ( A te I ) C ad A I 0 deste modo qualquer vetor colua ão ulo da matrz ad(a I) multplcado por qualquer costate real é um vetor característco de A. Como a matrz aduta de uma matrz quadrada é obtda traspodo-se a matrz costruída substtudo cada elemeto por seu cofator, para calcular o vetor característco v basta calcular os cofatores ão ulos de uma lha qualquer de (A I) multplcados por uma costate real coveete. Pré-multplcado pela matrz A a equação de defção dos valores e vetores característcos tem-se: A v Av, mas A v v, assm A v v, repetdo o procedmeto a esta últma equação tem-se permtdo escrever: m m A v v para m =,,.., 3 3 A v v, e assm sucessvamete, sto é, os valores característcos de A m são os valores característcos de A elevados a mesma potêca m e os vetores característcos são os mesmos. Se a matrz A é regular (admte versa) etão = 0 ão é valor característco, pos p(0) = det(a) 0, assm da defção de valores e vetores característcos: - A v v coclu-se que os valores característcos de A - são os recíprocos dos valores característcos de A e os vetores característcos são os mesmos. Desta forma, a afrmação de que os valores característcos de A m são os valores característcos de A elevados a mesma potêca m e os vetores característcos são os mesmos vale para todos os valores teros de m, sto é para m = 0,,,...

7 . DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES CARACERÍSICOS 7 Estas últmas propredades podem também ser aplcadas a fuções polomas de A do tpo: m m m q( A) A aa aa a m Aa m I m m m assm q( A) v A vaa vaa va m Ava m v, e se v é um vetor característco de A, tem-se: m m m q( A) v va va v a va vq( ) v, m sto é se é um valor característco e v o correspodete vetor característco de A, etão q() é valor característco e v o correspodete vetor característco de q(a). Pela propredade acma e a propredade de que S m m tr m A tr A m, tem-se que: sto é, a soma da m-ésma potêca dos valores característcos de A é gual ao traço da matrz A m. Cosderado a segute expasão do polômo característco de A: p c c c c que pode também ser expresso pelo produto dos moômos ( ), sto é: p ( ) além dsto: dp( ) 3 d p( ) p( ) p( ) p( ) = e cada uma destas parcelas pode ser obtda pela dvsão da forma orgal de p() por ( ): p( ) c c c c3 c c c c c c 3 para =,,..., assm: dp( ) p( ) 3 ( c S) c cs S d 4 c c S c S S c c S c S c S S subtrado desta expressão a expressão obtda dervado dretamete a forma orgal de p(), dp sto é, c 3 c c, tem-se: d cs 0 c css 0, ( ) c csc3s cs S 0

8 8. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL e como p c c c c também pelo p( ) 0: 0 0 para =,,...,, tem-se c c S c S c S S, resultado assm em um sstema lear tragular cua solução pode ser expressa a forma recursva: c S c css c c S c S c S S c cscs cs S Este método é chamado de método de Leverrer, que determa recursvamete os coefcetes de p() a partr do cálculo dos traços das sucessvas potêcas de A de a. Exemplo: Aplque o método de Leverrer para determar o polômo característco, os valores característcos e os vetores característcos da matrz:,50,00,5 5,50 4,00 4, 5 A 0,50 4,00,75, assm A,50 3,00 6,75 e,00,00 0,50 3,00 8,00 4,50,50 3,00,75 3 A 3,50 40,00,5, resultado em S = tr(a) = 6; S = tr(a ) = 4 e 7,00 6,00 5,50 S 3 = tr(a 3 ) = 36. E, recursvamete: c = S = 6; c e c 3, logo: p 6 6, por speção verfca-se que as três raízes característcas são: = ; = e 3 = 3. Para determar os correspodetes vetores característcos assm procede-se: o Vetor Característco: =,,50,00,5 A I AI 0,50 3,00,75, cofatores da prmera lha:,00;,00 e,00,,00,00,50 multplcado estes cofatores por, tem-se: v o Vetor Característco: =,

9 . DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES CARACERÍSICOS 9 0,50,00,5 A I AI 0,50,00,75, cofatores da prmera lha:,00,00,50 3,50; 0,50 e,00, multplcado estes cofatores por, tem-se: v 0,50,00,5 3 o Vetor Característco: 3 = 3, A3 I A3I 0,50,00,75,,00,00 3,50 cofatores da seguda lha:,00; 3,00 e,00, matedo estes cofatores como elemetos do vetor, tem-se: v Note que: A 6A A6I e que costrudo uma matrz cuos vetores colua são os vetores característcos de A, sto é: X 3, tem-se: AX XD ou X AXD, ode D=dag(,, 3). Uma propredade muto mportate de valores característcos e vetores característcos dz respeto a matrzes smétrcas, para sto assoca-se um outro problema de valores e vetores característcos à mesma matrz A: Determar os valores de e de w que satsfazem a w Aw ou, de forma aáloga, A w w (a realdade está se estudado o problema dos valores e vetores característcos assocado à matrz trasposta de A) este problema pode também ser colocado a forma: ( A I) w 0, que, de forma aáloga ao caso ateror, só apreseta solução se det( A I) det( AI) 0, resultado assm o mesmo polômo característco do problema ateror. Assm os valores característcos deste ovo problema são os mesmos do problema ateror, etretato os vetores característcos ão são os mesmos (a ão ser que a matrz A sea smétrca). Neste caso os vetores característcos são os vetores colua ão ulos de ad(a I), que são a realdade os vetores lha ão ulos da matrz ad(a I) (que são os cofatores ão ulos de uma colua da matrz A I multplcados por costate real coveete). Seam v e w dos vetores característcos de A e A, respectvamete, correspodetes a valores característcos dsttos, assm:

10 0. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL pré-multplcado a prmera expressão por A v v w A w w, tem-se: w v w v w v w A w, etão 0 w Av w v, mas: expressão só é ula se w v 0,sto é os vetores v e w para são ortogoas etre s. como, esta últma Exemplo: No exemplo ateror tha-se: o Vetor Característco: =,,50, 00, 5 A I AI 0,50 3,00,75, cofatores da prmera colua:,00;,00 e,00,00,50,00, multplcado estes cofatores por, tem-se: w o Vetor Característco: =, 0,50,00,5 A I AI 0,50,00,75, cofatores da prmera colua:,50; 0,00 e,00,00,50 0,75, multplcado estes cofatores por 4/3, tem-se: w 0 3 o Vetor Característco: 3 = 3, 0,50,00,5 A3 I A3I 0,50,00,75, cofatores da seguda colua: 0,00; 3,00 e,00,00 3,50 0,50, dvddo estes cofatores por,5, tem-se: w3 Note que: w v ; w v w v3 0 w v 4 ; w v w v 0 3 w v 4; w v w v assm redefdo os vetores w, w e w 3 como : w,ovo = w / (); w,ovo = w / 4 e w 3,ovo = w 3 / 4, tem-se: 0,5 0,50 0, 00 w, ovo 0,5 ; w, ovo 0, 00 e w3, ovo 0,50, vê-se que a matrz : 0,5 0,5

11 . DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES CARACERÍSICOS w, ovo 0,50 0,50, 00 Qw, ovo 0,50 0, 00 0, 5 X 3, ovo 0, 00 0,50 0, 5 w, pos : Q X I No caso partcular de A ser smétrca como v = w para todo tem-se os vetores característcos mutuamete ortogoas etre s, sto é v v 0 para, se além dsto v (vetores característcos de orma utára) tem-se v v e a matrz composta pelos vetores característcos X v v v é uma matrz ortoormal. Uma outra propredade de matrzes smétrcas é que só apresetam valores característcos reas, sto pode ser demostrado cosderado a hpótese oposta, sto é sea um valor característco de A correspodedo a um vetor característco (também complexo): v ab. Como todos os elemetos da matrz A são reas os coefcetes do polômo característco serão também todos reas, desta forma se é raz de p() o seu cougado também o será correspodedo a um vetor característco v ab. Demostrou-se, etretato, que em matrzes smétrcas v = w e que de forma geral w v 0 para, que o caso de matrzes smétrcas será v v 0, adotado esta expressão e v v, tem-se: e v v a a b b a b, assm v v a b 0 e como a b 0 tem-se ecessaramete 0 o que cotradz a hpótese cal da matrz admtr um valor característco complexo. Exemplo: Determe o polômo característco, os valores característcos e os vetores característcos da matrz smétrca: A 0, assm: A 3 5 e A 3 4, resultado em S = tr(a) = ; S = tr(a ) = 6 e S 3 = tr(a 3 ) = 7. E, recursvamete: c = S = ; 3 c 6 6e c , logo: p 6 9, por speção verfca-se que: = 3 é raz de p(), assm: cuas raízes são e 3. Para determar os correspodetes vetores característcos assm procede-se: o Vetor Característco: = 3,

12 . DECOMPOSIÇÃO MARICIAL A I A3I 0, cofatores da prmera lha: 4; 4 e, dvddo estes 0 4 cofatores por, tem-se: v o 3 Vetor Característco:, A I A I 0, cofatores da tercera lha: ; e 6 3, matedo estes cofatores como os elemetos do vetor característco, 3 5 tem-se: v o 3 Vetor Característco: A3 I A I 0, cofatores da tercera lha: ; e 6 3, matedo estes cofatores como os elemetos do vetor 5 3 característco, tem-se: v Note que A A 6A9I e que v v 9 ; v v v v3 0 v v 7,457 ; v v v v 0 3

13 . DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES CARACERÍSICOS 3 v3 v3 5,588743; v3 v v3 v 0 assm redefdo os vetores v, v e v 3 como: 0,667 0,5 0,54 v v v3 v, ovo 0,667 ; v, ovo 0,735 e v3, ovo 0,6 v 3 0,333 v 0, 445 v 0,83 matrz : 0,667 0,5 0,54 Xv, ovo v, ovo v3, ovo 0,667 0,735 0,6, é ortoormal pos 0,333 0, 445 0,83 X XXX I., vê-se que a Uma outra propredade mportate relatva a valores característcos de matrzes dz respeto à sua varâca à segute trasformação da matrz A: P - AP ode P é uma matrz ão-sgular, assm os valores característcos de B = P - AP são as raízes de p det BIdet P API det P AIP = det P det AIdetP det AIdet Pdet AI det P matedo-se assm dêtco ao polômo característco de A, desta forma os valores característcos de A e de B = P - AP são os mesmos. Etretato os vetores característcos de A e B são dsttos, assm seam v e u os vetores característcos de A e B, respectvamete, correspodetes ao mesmo valor característco, sto é: A v v e Bu u ou sea: P APu u, pré-multplcado membro a membro desta últma expressão por P, tem-se: A( Pu ) ( Pu ) que cofrotado com a defção de vetor característco de A permte coclur que v Pu ou u P v, sto pode ser terpretado como uma mudaça de coordeadas, assm os elemetos do vetor u ada mas são que os compoetes do vetor v a base composta pelos vetores colua da matrz P. Exemplo: Em exemplo ateror determaram-se os valores e vetores característcos da,50,00,5 matrz: A 0,50 4,00,75, mostre que a trasformação:,00,00 0,50 B = P - AP com P 4 3 ão modfca os valores característcos de A e os ovos 3 vetores característcos são u P v. 4,5,5, 0 Ivertedo a matrz P, tem-se: P 3, 0, 0, 0, assm:,5,5, 0

14 4. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL 0,50 7,50,50 48,50 87,50 7,50 B = P - AP 8, 5 4, 5 0,75 ; B 35, 5 65, 5 8, 5 e 5,75 8,75,5 4,75 43,75,75 69,50 33,50 7,50 3 B 0,75 40,75 57,75 resultado em S = tr(b) = 6; S = tr(b ) = 4 e 85, 5 66,5 35,5 S 3 = tr(b 3 ) = 36. E, recursvamete: c = S = 6; c e c 3, logo: p 6 6, dêtco ao polômo característco de A, desta forma os valores característcos matém-se alterados. Para determar os correspodetes vetores característcos assm procede-se: o Vetor Característco: =,,50 7,50,50 BI BI 8, 5 3, 5 0,75, cofatores da prmera lha: 0; 6 e 4,00, 5,75 8,75,5 5 dvddo estes cofatores por, tem-se: u 3 logo: Pu v o Vetor Característco: =,,50 7,50,50 B I BI 8, 5,5 0,75, cofatores da prmera lha 3,5;,5 e 5,75 8,75 0, 5 4 3,75, multplcado estes cofatores por 4, tem-se: u 9 logo: Pu v 7 3 o Vetor Característco: 3 = 3, 3,50 7,50,50 B3 I B3I 8, 5,5 0,75, cofatores da prmera lha: 5; 0,5 e 7,5, 5,75 8,75 0,75 0 multplcado estes cofatores por /3, tem-se: u3 7 logo: Pu 3 3 v Decomposção de Jorda À toda matrz quadrada A assoca-se a trasformação lear u = Av, ode A, u e v. Expressado os vetores v e u em uma base composta por vetores

15 .3 DECOMPOSIÇÃO DE JORDAN 5 learmete depedetes: p, p,, p, tem-se: v Pvˆ e upuˆ, ode: P p p p, ˆv e û são os compoetes de u e v a ova base, assm: Pu ˆ APv ˆ uˆ ( P. AP ) v, ˆ permtdo terpretar a matrz: ˆ AP AP como os compoetes de A a ova base p, p,, p. Este procedmeto cosste em uma trasformação de coordeadas podedo assm ser resumdo: um vetor v tem como compoetes em uma base formada pelos vetores learmete depedetes p, p, p, os elemetos de ˆv relacoados com os elemetos de v através de vpvˆ ou vˆ P v, ode P p e uma matrz A p p tem como compoetes em uma base formada pelos vetores learmete depedetes p, p,, p, os elemetos de  relacoados com os elemetos de A através de ˆ. ou. ˆ A P AP APAP. Uma propredade mportate da trasformação de coordeadas dz respeto a potêcas da matrz A, assm tem-se: ˆ A P AP P AP P A P e ˆ ˆ ˆ A AA P AP P A P P A P, e assm sucessvamete, permtdo coclur que: ˆ m m m. ou. ˆ m A P A P A PA P, para m = 0,,,... Se a matrz A for regular tem-se: ˆ ˆ A ( PA. P ) ( P ) ( PA. ) PA. ˆ P ˆ e A P. A P, assm para A regular tem-se: ˆ m m m ˆ m A P. A P ou A PA. P, para m = 0,,,... Esta mesma propredade pode ser aplcada a fuções polomas de A do tpo: m m m p( A) A aa aa am AamI, pré-multplcado esta expressão por P - e pós-multplcado por P, tem-se: m m ( ) m m P p A PP A aa a A a Aa I PP A P m ap A Pa P A P a P APa I Aˆ aaˆ m m m m m m m m m ( ) e ( ) A a Aˆ a Aˆ a I p Aˆ P p A P p Aˆ P p Aˆ P p A questão que se propõe agora é como selecoar a base composta por p, p,, p de tal forma que a matrz A assuma sua forma mas smples ( forma caôca), duas stuações se apresetam: ) A matrz A apreseta valores característcos dsttos e, em coseqüêca, vetores característcos learmete depedetes, seam estes vetores: p, p,, p, como para =,, AP p p p, mas: Ap p tem-se: p ; ; ; P p P pp APp p p PD, ode 0 0 m,

16 6. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL D = dag(,,..., ) =, sto é: 0 0 se A apreseta valores característcos dsttos etão P APD ou PDP A sedo P uma matrz cuos vetores coluas são os vetores característcos p, p,, p de A correspodetes aos valores característcos,,..., da matrz D, que é a forma mas smples que a matrz A pode assumr (o caso, a forma dagoal e o procedmeto é chamado de dagoalzação).,50,00, 5 Exemplo: No exemplo ateror tha-se: A 0,50 4,00,75, e a matrz dos vetores,00,00 0,50 3 característcos P 3 0,50 0,50,00 Ivertedo a matrz P, tem-se: P 0,50 0,00 0, 5, assm: 0,00 0,50 0, 5 0 0,50,00,5 P AP 0 0 D e PDP 0,50 4,00,75 A 0 0 3,00,00 0,50 ) A matrz A apreseta valores característcos múltplos e, este caso, ão é possível determar vetores característcos learmete depedetes. Sea o prmero valor característco um valor característco de multplcdade m sedo os (m) restates dsttos etre s e dferetes de. Ao valor característco assoca-se um vetor característco p tal que Ap p e aos demas k os vetores característcos p k que: satsfazem a: Ap k k p k para k = m+, m+,...,. Os vetores característcos p, p m+, p m+,..., p costtuem a prmera colua e as coluas m+, m+,..., da matrz P, para determar as demas coluas desta matrz (coluas:, 3,...,m) assm procede-se: Ap p p para =, 3,...,m. Deste modo tem-se: AP p p p p p p p p p, mas: 3 m m m m

17 .3 DECOMPOSIÇÃO DE JORDAN ; ; 3 ; ; p P p pp p p P pmpm P ; ; pp APP PJ, ode J é forma mas smples da m matrz A chamada de forma caôca de Jorda de A. 0 Exemplo: com: A 0, tem-se: 4 5 p 4 5 e 3 det assm os valores característcos são o Vetor Característco: =, A I AI 0 0, cofatores da prmera lha: ; 4 e 0,00, dvddo estes 4 3 cofatores por, tem-se: p 0 p p p p3 e ( AI) p p 0 0 p p3 p 4 3 p 3 4p p 3p 3 0

18 8. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL p p p3 3 logo: p 3 = e em que uma das soluções é: p = 0 e p = 3, logo: 4p p 3p3 6 0 p 3 o Vetor Característco: 3 = 3, 3 A3 I A3I 0, cofatores da prmera lha: 0; 4 e 4, dvddo estes cofatores por 4, tem-se: p3, assm P Ivertedo a matrz P, tem-se: P, assm: P AP 0 0 J e PJP 0 A Decomposção em valores e vetores sgulares (SVD) Dada uma matrz A m e lembrado dos cocetos báscos que o rage(a) é o espaço gerado pelos vetores coluas de A e rage(a ) é o espaço gerado pelos vetores lhas de A, a decomposção SVD é capaz de obter smultaeamete as bases ortoormas destes subespaços. Qualquer matrz A m pode ser decomposta a forma: A = U V ode U mm é uma matrz ortogoal cuas coluas são os vetores característcos de A A, V é uma matrz ortogoal cuas coluas são os vetores característcos de A A, m é uma matrz dagoal coteto a raz quadrada dos valores característcos de A A (que são equvaletes aos valores característcos de A A), arraados em ordem decrescete. Os vetores característcos de A A e A A estão arraados as coluas de U e V, respectvamete, a ordem de seus valores característcos a matrz. Os elemetos,, da dagoal de são deomados de valores sgulares de A, sedo todos ão-egatvos. Além dsso, o úmero de valores sgulares postvos é gual ao rak(a). Os vetores coluas de U são deomados de vetores sgulares à esquerda de A e os vetores coluas de V são deomados de vetores sgulares à dreta de A, e as relações etre estes vetores são:

19 .4 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES SINGULARES (SVD) 9 A v = u e A u = v A decomposção SVD revela váras propredades trísecas da matrz A e é umercamete estável para os cálculos. Algumas propredades são lstadas abaxo para uma matrz com r valores sgulares postvos: ) rak(a) = r ) ull(a) = spa(v r+, v r+,..., v ) 3) rage(a) = spa(u, u,..., u r ) 4) rage(a ) = spa(v, v,..., v r ) 5) 6) r A u v F r A (orma de Frobeus) 7) A A matrz: A = V U = (A A) - A é chamada de pseudo-versa de A, ode os elemetos da dagoal de cosstem o recíproco dos valores sgulares postvos de, a mesma ordem. A pseudo-versa tem a propredade A A = A A = I. A solução do problema de valores sgulares para o sstema lear, y = Ax, correspode resolver o segute problema de otmzação: max y x sueto a x = ode y = y y. Usado o coceto dos multplcadores de Lagrage, o problema acma pode ser reescrto como: max S ( x ) x A Ax ( x x ) x cua prmera codção de otmaldade é S( x) A Axx0, ou sea, a solução é equvalete ao problema de valor característco A Axx, cuos x ótmos locas correspodem aos vetores característcos de A A ou os vetores sgulares de A (também chamados de compoetes prcpas de varação, pos dcam as dreções de máxma varação de y em fução das varações em x com mesma eerga, sto é, x = ) e os respectvos multplcadores de Lagrage são os valores característcos de A A ou o quadrado dos valores sgulares de A. Observe que para uma matrz de rak(a) = r, A = U V = u v y = Ax = U V x = vetor v (ou sea, r e, portato, uv x, dcado que a proeção do vetor x a dreção do r v x) é amplfcada por a dreção u do vetor y, sedo = a dreção de

20 0. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL maor amplfcaçã o e = r a dreção de meor amplfcação. Depededo do valor de, uma pequea mudaça em x pode causar uma grade mudaça em y, mas sto va depeder do âgulo etre os vetores x e v. E xemplo: usado a fução demostratva egshow(a) do MALAB, que apreseta de forma gráfca um vetor utáro x e sua trasformação lear Ax para uma matrz de dmesão e valores de x, com x =, é possível pela movmetação do mouse sobre a fgura localzar as dreções característcas da matrz. As Fguras a, b e c lustram esta movmetação para a matrz /4 3/4 A / ode os valores característcos,, e os vetores característcos, x, resultates das soluções ãotrvas do sstema de equações leares Ax = x = 5/4 e x = [3/5 4/5] ; = / e x = [ / /] são vsualzados quado os dos vetores (x e Ax) es tão a mesma dreção. Mostrado qu e o operador A, a dreção de x, correspode a uma redução ou amplação por um fator. Quado os setdos dos dos vetores são opostos tem-se um valor característco egatvo. Pode-se observar que os dos vetores característcos ão são os exos maor e meor da elpse formada pelas trasformações leares. Seram para o caso partcular de matrzes smétrcas. Matrzes com um par de valores característcos complexos ão possuem vetores característcos reas. Movedo dos vetores utáros, x e y, perpedculares e suas correspodetes trasformações leares, Ax e Ay, pode-se vsualzar os valores e vetores sgulares, resultates das soluções ão-trvas dos sstemas de equações leares A Av = v AA u = u =,79, x = v e A 75,088] = [0,7678 0,6407] x = u = [0,6 = 0,4886, y = v = [0,6407 0,7678] e Ay = u = [0,456 0,569] ode são os valores sgulares, v e u são os vetores sgulares à dreta e à esquerda, respectvamete. Eles surgem o mometo em que as trasformações são perpedculares etre s, coforme mostra a Fgura d. Observa-se que sto acotece quado os vetores das trasformações são os exos maor e meor da elpse, mostrado, por exemplo, as dreções de máxma e míma amplfcação de sas, respectvamete. Para o caso partcular de uma matrz quadrada, smétrca e postva defda, as decomposções em valores característcos e em valores sgulares são equvaletes.

21 .4 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES E VEORES SINGULARES (SVD) Fgura : Dreções característcas de uma matrz. Para determar se o sstema lear, y = Ax, está bem escaloado deve-se verfcar o codcoameto da matrz A, que a orma é dado por: ( A) ( A)/ ( A ) ode ( A ) é o maor valor sgular de A e ( A ) é o meor valor sgular ão-ulo de A. A melhor maera de escaloar um sstema é atacado a orgem do problema, ou sea um aproprado admesoameto das varáves depedetes e das equações do problema. Uma maera umérca de determar quas as varáves devem ser re-escaloadas é através do cálculo do codcoameto mímo, sto é, determar as matrzes que pré- e pósmultplcadas pela matrz A resultam em um mímo (*), sto é: *( A) m ( LAR ) L,R

22 . DECOMPOSIÇÃO MARICIAL Cosderado L e R matrzes dagoas, etão tem-se como resultado do problema de otmzação acma quas as saídas e etradas devem ser re-escaloadas, respectvamete, pos: y e = L y e x e = R - x No MALAB, o codcoameto de uma matrz A pode ser obtdo através da fução cod(a), e as matrzes de escaloameto podem ser calculadas pela fução: [ub, D] = mu (H, oes (*, ), C ) 0 A ub() ode é a ordem da matrz A, H =, *( Α ), A 0 ub() L = dag(d(+:*)) e R = v(dag(d(:))). Para verfcar se os cálculos estão corretos, basta calcular o cod(l*a*r), que deve ser gual a *(A)..5 Fatoração LU Elmação Gaussaa: O propósto da elmação Gaussaa é reduzr a matrz A a uma estrutura tragular (métodos de tragularzação) ou dagoal (método de Gauss-Jorda) através de operações da álgebra elemetar. Detre os dversos algortmos de elmação Gaussaa temos os segutes: ak ak, k, k,..., akk k,..., k,..., a a ak ak,,..., ( k) (Gauss-Jorda) ak ak k,..., akk k,..., k,..., a a a a k k (tragularzação SAXPY) ode a são os elemetos da matrz aumetada: Ã = [A b]. No caso do método de Gauss- Jorda, a solução é ecotrada a (+)-ésma colua da matrz aumetada, após as operações de elmação Gaussaa. Nos métodos de tragularzação é ecessáro ada realzar operações de substtução (para matrz tragular feror) ou retro-substtução (para matrz tragular superor), sto é, x a,, a, x a a,, x, =,..., substtução a, x a,, x a, a, x, =,..., retro-substtução a, a,

23 .5 FAORAÇÃO LU 3 De modo a evtar prováves dvsões por zero (dos elemetos a kk ) e também garatr a establdade umérca do algortmo (devdo a problemas de arredodameto), faz-se ecessáro o uso de téccas de pvotameto. Pvotametos são operações de trocas de lhas e/ou coluas de modo a obter uma matrz tedo a dagoal elemetos com maor valor absoluto. Quado são efetuadas somete trocas de lhas, dz-se um pvotameto parcal. No pvotameto total tem-se trocas de lhas e coluas. As operações de pvotameto podem ser represetadas por matrzes de permutações P e Q: P A x = P B P A Q Q - x = P B (pvotameto parcal) (pvotameto total) Exemplo: cosdere o sstema de equações algébrcas leares: x 7 x 4 x 3 9 x 9 x 6 x 3 3 x 8 x 5 x permtdo detfcar: A 9 6 e b, assm a matrz aumetada é: ) Método de Elmação por ragularzação da Matrz Aumetada a Etapa) Reposcoameto das lhas (pvotameto parcal) de modo que a prmera lha coteha o maor elemeto (em módulo) da prmera colua (pvô): a Etapa) Normalzação dos elemetos da prmera lha, dvddo-os pelo o elemeto da ak mesma: ak (k = e = k,..., +) a kk

24 4. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL -8/3-5/ a Etapa) Elmação dos elemetos da prmera colua da seguda e tercera lhas: a a a a (k =, = k,..., + e = k+,..., ) k k -8/3-5/3-0 35/3-3/ /3-5/3-0 35/3-3/ /3 /3 3 Repete-se o procedmeto para próxmas lhas até a tragularzação da matrz aumetada: 4 a Etapa) Reposcoameto das lhas de modo que a seguda lha coteha o maor elemeto (em módulo) da seguda colua [sem levar em cosderação a prmera lha]: -8/3-5/3-0 35/3-3/ /3 /3 3 Não há ecessdade do reposcoameto, pos o maor elemeto (em módulo) da seguda lha, descosderado-se a prmera lha, á se ecotra a seguda lha (pvô). 5 a Etapa) Normalzação dos elemetos da seguda lha, dvddo-os pelo o elemeto da mesma: -8/3-5/3-0 -3/35 9/35 0-5/3 /3 3 6 a Etapa) Elmação dos elemetos da seguda colua da tercera lha: -8/3-5/3-0 -3/35 9/ / 94/7 7 a Etapa) Normalzação dos elemetos da tercera lha, dvddo-os pelo 3 o elemeto da mesma: -8/3-5/3-0 -3/35 9/35 0 0

25 .5 FAORAÇÃO LU 5 8 a Etapa) Determação recursva de x, x e x 3, cado com x 3. Esta últma forma da matrz aumetada traduz o sstema lear: x a,, x a, a, a, a, x, =,..., (retro-substtução) assm: 8 5 x x x3 3 3 x x x3 x x x3 8 5 x x x 3 3 x x x deste modo a solução é: x 4 x x x 3 Nota: o exemplo acma a dagoal da matrz também fo dvdda pelos pvôs durate a etapa de elmação Gaussaa e, por sso, a etapa de retro-substtução ão houve a ecessdade da dvsão pelos elemetos da dagoal da matrz, pos estes eram utáros. O algortmo da tragularzação SAXPY ão realza esta dvsão, dexado-a para a etapa de retrosubsttução. ) Método de Elmação por Dagoalzação da Matrz Aumetada a Etapa) Reposcoameto das lhas (pvotameto parcal) de modo que a prmera lha coteha o maor elemeto (em módulo) da prmera colua (pvô):

26 6. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL a Etapa) Normalzação dos elemetos da prmera lha, dvddo-os pelo o elemeto da ak lha: ak (k = e = k,..., +) a kk -8/3-5/ a Etapa) Elmação dos elemetos da prmera colua da seguda e tercera lhas: a a a a (k =, = k,..., + e =,..., com k) k k -8/3-5/3-0 35/3-3/ /3-5/3-0 35/3-3/ /3 /3 3 4 a Etapa) Reposcoameto das lhas de modo que a seguda lha coteha o maor elemeto (em módulo) da seguda colua [sem levar em cosderação a prmera lha]: -8/3-5/3-0 35/3-3/ /3 /3 3 Não há ecessdade do reposcoameto, pos o maor elemeto (em módulo) da seguda lha, descosderado-se a prmera lha, á se ecotra a seguda lha. 5 a Etapa) Normalzação dos elemetos da seguda lha, dvddo-os pelo o elemeto da mesma: -8/3-5/3-0 -3/35 9/35 0-5/3 /3 3 6 a Etapa) Elmação dos elemetos da seguda colua da prmera e da tercera lhas: 0-79/05-46/35 0-3/35 9/ / 94/7 7 a Etapa) Normalzação dos elemetos da tercera lha, dvddo-os pelo 3 o elemeto da mesma:

27 .5 FAORAÇÃO LU /05-46/35 0-3/35 9/ a Etapa) Elmação dos elemetos da tercera colua da prmera e da seguda lhas: Esta últma forma da matrz aumetada traduz o sstema lear: x 4 x x3 deste modo a solução é: x 4 x x x 3 Exemplo: método de elmação de Gauss para obteção da matrz versa. Sea a mesma matrz do exemplo lustratvo do exemplo ateror: 7 4 A 9 6, este caso desea-se determar a matrz: B A tal que: A B B A I, ode I é a matrz detdade com as mesmas dmesões da matrz A. Neste caso a matrz aumetada é: Aplcado-se procedmeto de elmação aálogo ao ateror (dagoalzação), ou sea, o método de elmação por dagoalzação da matrz aumetada: a Etapa) Reposcoameto das lhas de modo que a prmera lha coteha o maor elemeto (em módulo) da prmera colua:

28 8. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL a Etapa) Normalzação dos elemetos da prmera lha, dvddo-os pelo o elemeto da lha: -8/3-5/ / a Etapa) Elmação dos elemetos da prmera colua da seguda e tercera lhas: -8/3-5/ /3 0 35/3-3/3 0 / /3-5/ /3 0 35/3-3/3 0 /3 0-5/3 /3 0 /3 4 a Etapa) Reposcoameto das lhas de modo que a seguda lha coteha o maor elemeto (em módulo) da seguda colua [sem levar em cosderação a prmera lha]: -8/3-5/ /3 0 35/3-3/3 0 /3 0-5/3 /3 0 /3 Não há ecessdade do reposcoameto, pos o maor elemeto (em módulo) da seguda lha, descosderado-se a prmera lha, á se ecotra a seguda lha. 5 a Etapa) Normalzação dos elemetos da seguda lha, dvddo-os pelo o elemeto da mesma: -8/3-5/ /3 0-3/35 0 3/35 /35 0-5/3 /3 0 /3 6 a Etapa) Elmação dos elemetos da seguda colua da prmera e da tercera lhas: 0-93/35 0 8/35-9/35 0-3/35 0 3/35 / /7 /7 5/7 7 a Etapa) Normalzação dos elemetos da tercera lha, dvddo-os pelo 3 o elemeto da mesma: 0-93/35 0 8/35-9/35 0-3/35 0 3/35 / /47 /47 5/47

29 .5 FAORAÇÃO LU 9 8 a Etapa) Elmação dos elemetos da tercera colua da prmera e da seguda lhas: /35 67/35 6/ /35 /35 6/ /47 /47 5/47 As três últmas coluas desta últma forma da matrz é a versa da matrz orgal, sto é: 93 / / 35 A 3 / 35 / 35 7 / 47 / 47 6 / 35 6 / 35 5 / 47 para verfcar se o valor da versa é correto deve-se calcular: A A A A I Fatoração LU: O processo de fatoração LU decompõe a matrz A em uma matrz tragular feror, L, e outra tragular superor, U, com elemetos utáros a dagoal prcpal da matrz L (método de Doolttle) ou da matrz U (método de Crout): A = L U ak ak k,..., akk k,..., k,..., a a a a k k (Doolttle) U... L com uma posteror substtução: L y = b e uma retro-substtução: U x = y As prcpas vatages da fatoração em relação à elmação Gaussaa é a redução 3 do úmero de operações de ( ) 3 O 3 para ( ) 3 O, e a mauteção das operações báscas a matrz fatorada (matrz L, a fatoração LU), que pode ser aplcada para dferetes vetores b.

30 30. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL 3) Método de Fatoração LU da Matrz Orgal a Etapa) Reposcoameto das lhas (pvotameto parcal) de modo que a prmera lha coteha o maor elemeto (em módulo) da prmera colua (pvô). Somete as etapas de pvotameto adcoa-se a matrz de pvotameto (calmete a matrz detdade) para armazear as operações de trocas de lhas: a Etapa) Normalzação dos elemetos da prmera colua após a prmera lha, dvddo-os pelo o ak elemeto da lha: ak (k = e = k+,..., ) a / /3-7 4 kk 3 a Etapa) Fatoração dos elemetos da seguda e tercera lhas após prmera colua: a a ak ak (k =, = k+,..., e = k+,..., ) /3 35/3-3/3 -/ /3 35/3-3/3 -/3-5/3 /3 4 a Etapa) Reposcoameto das lhas de modo que a seguda lha coteha o maor elemeto (em módulo) da seguda colua [sem levar em cosderação a prmera lha e a prmera colua]: /3 35/3-3/ /3-5/3 /3 0 0 Não há ecessdade do reposcoameto, pos o maor elemeto (em módulo) da seguda lha, descosderado-se a prmera lha e prmera colua, á se ecotra a seguda lha.

31 .5 FAORAÇÃO LU 3 5 a Etapa) Normalzação dos elemetos da seguda colua após a seguda lha, dvddo-os pelo o elemeto da mesma: /3 35/3-3/3 -/3 -/7 /3 6 a Etapa) Fatoração dos elemetos da tercera lha após seguda colua: /3 35/3-3/3 -/3 -/7 47/7 7 a Etapa) Extrado as matrzes L e U: Matrz L (dos multplcadores do processo de elmação Gaussaa) com a dagoal: 0 0 -/3 0 -/3 -/7 Matrz U: /3-3/ /7 Para verfcar se a fatoração está correta, o produto P - L U deve ser gual à matrz A. 8 a Etapa) roca das lhas do vetor b de acordo com a matrz de permutação, sto é: P b. 9 6 matrz P: a Etapa) Determação recursva de y, y e y 3, cado com y, do sstema L y = b:

32 3. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL y 6 y 6 y 6 y y y y y y3 y y y3 9 y3 9 y y a Etapa) Determação recursva de x, x e x 3, cado com x 3, do sstema U x = y: 94 x3 3x8x 5x x x x3 3x 3 x3 x x x 3 x3 6 5 x3 8 x deste modo a solução é: x 4 x x x 3 Caso deseássemos resolver outro sstema somete modfcado o vetor b, bastara repetr os passos 8 a 0, pos a matrz A á está fatorada. Do mesmo modo, para obter a versa da matrz A, basta repetr estes três passos para os três vetores colua da matrz detdade.

33 .5 FAORAÇÃO LU 33 ANÁLISE DA SOLUÇÃO DE SISEMAS ALGÉBRICOS LINEARES É o obetvo de esta seção forecer os elemetos para a aálse de sstemas de equações algébrcas leares da forma: A x b, ode A é uma matrz quadrada (,) m chamada de matrz dos coefcetes, b chamado de vetor das costates e x chamado de vetor das cógtas a solução deste sstema só exste se a matrz A for regular e pode ser expressa a forma: xa b. Este procedmeto á se ecotra mplemetado, com grade efcêca, em úmeros pacotes computacoas (MAHCAD, MAPLE, MALAB, etc.) e dfclmete haverá a ecessdade de reprogramá-lo. Etretato dos aspectos de atureza qualtatva da estrutura do sstema devem ser aalsados: Nem sempre o úmero de equações do sstema é gual ao úmero de cógtas. Neste caso o sstema é descrto da mesma forma apresetada acma: A x b, mas a matrz A é m retagular (m,) o vetor b e o vetor das cógtas x, sto é m é o úmero de equações e o úmero de cógtas. O sstema de equações pode também ser rescrto a forma: x x b Axa a a xaxa xa, ode a k m para k =,,..., x são os vetores coluas da matrz A, desta forma os elemetos do vetor x podem ser terpretados como os compoetes do vetor b a base formada pelos vetores a, a,..., a sedo assm obrgatoramete learmete depedete do couto. Sedo r o úmero de vetores learmete depedetes o couto de vetores [r ] a, a,..., a, este deve ser gual ao úmero de vetores learmete depedetes do couto de +vetores a, a, A a a a deve ser gual ao posto, r, da..., a, b. Isto é o posto, r, da matrz matrz [chamada de matrz aumetada ] A a a a b Quado r postoa r posto etretato só admte solução úca de r postoa. A o sstema é dto cosstete e admte solução,. Se m (úmero de equações úmero de cógtas) o posto(a) é o máxmo, equato que se m < (úmero de equações < úmero de cógtas) o posto(a) é o máxmo m <, portato só há possbldade do sstema apresetar solução úca se m (úmero de equações úmero de cógtas). Caso o sstema é dto homogêeo r posto A será sempre gual a r posto b 0 e como este caso A o sstema será sempre cosstete e caso r = admte como solução úca a solução trval x 0, deste modo para o sstema homogêeo de equações e x cógtas Ax0 ode : A e x, só apreseta solução ão trval se r postoa, sto é a matrz A deve ser sgular. O esquema de caracterzação da cosstêca e da exstêca de solução de sstemas algébrcos leares é mostrado o dagrama abaxo:

34 34. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL Sstema de Equações A x = b Cálculo dos postos de A e A respectvamete r e r r < r r : r r = r Sstema é Icosstete Sstema é Cosstete Sstema ão apreseta solução r = Solução Úca r : r < Número Ifto de Soluções Exemplos Ilustratvos: (a) Aalse a cosstêca do sstema lear de equações algébrcas: xx 3 3 xx 0 A r e a matrz aumetada: A 0 r 3, xx - sstema cosstete. Havera duas possbldades de corrgr este sstema: () substtudo o lado dreto da seguda equação 0 por 6, e este caso a solução sera: x = e x = ; () substtudo o lado dreto da prmera equação 3 por 0, este caso a solução sera x =-0,5 e x = +0,5. (b) Aalse a cosstêca e as possíves soluções do sstema lear de equações algébrcas: x3x A r e a matrz aumetada: A r, assm o xx 0 0 sstema é cosstete e como r = = apreseta solução úca que é a solução trval x =x =0 pos o sstema é homogêeo. [Este exemplo lustra a observação feta aterormete relatva a sstemas homogêeos].

35 .5 FAORAÇÃO LU 35 (c) Aalse a cosstêca e as possíves soluções do sstema lear de equações algébrcas: xx x3 4 4 A r e a matrz aumetada: A 3x6x x apreseta o posto r, assm o sstema é cosstete (alás se m < e se r=m o sstema será sempre cosstete, dcado que m vetores colua de A costtuem uma base de m desta forma o vetor b ecessaramete será learmete depedete destes vetores e, em coseqüêca, a matrz A apreseta sempre posto gual ao de A, além dsto como r = m < o sstema, este caso, apresetará sempre um úmero fto de soluções). Como r = <3 o sstema apreseta um úmero fto de soluções, etretato ote que o sstema pode ser xxx3 4 reescrto a forma: defdo: z = x + x, tem-se: 3xxx3 8 zx3 4 z xx3. 3zx3 8 x3 Este exemplo lustra que em sstemas cosstetes com meos equações do que cógtas ão se pode arbtrar dscrmadamete (-m) varáves calculado as m restates em fução destas, este processo de escolha de (m-) etre as cógtas deve ser feta de modo que a matrz do sstema após esta escolha teha posto =. Assm se o exemplo o valor arbtrado de x 3 fosse dferete de o sstema resultate sera cosstete, pos com x 3 =, por exemplo, xx tem-se: A r e a matrz aumetada: 3x6x A tem o posto r 3 6 0, sedo assm o sstema cosstete. Etretato se a varável x, por exemplo, tvesse um valor arbtrado qualquer, ter-se-a: x x A r e a matrz aumetada: A 6x x3 83 tem o posto r depedete do valor de, etão este caso o sstema é sempre cosstete. Mesmo o caso em que m= e em que A é regular a solução do sstema posta a forma: xa b ão assegura que a solução sea exata [uma prátca recomedada é após o programa forecer o vetor x calcular Axbque é o chamado resíduo da solução. Quato mas próxmo estver do vetor 0, ou sea: 0, maor é a precsão do resultado] em tão pouco que a obteção da versa da matrz A sea fácl [sto é especalmete verdadero se os elemetos de A apresetarem ordes de gradeza muto dsttas, este caso a matrz é dta mal codcoada]. Estes dos fatos geralmete ocorrem devdo ao mau codcoameto da matrz A que é meddo pelos chamados úmeros de codcoameto, valores elevados dos úmeros de codcoameto é um forte dcatvo de dfculdades umércas a resolução do sstema e a versão da matrz A. Os quatro úmeros abaxo são usualmete cosderados: M = M(A) M(A - ), ode M(A) = max a sto é, é o valor do módulo do elemeto da matrz A que apreseta o maor valor absoluto; N N A N A, ode N(A) é a orma de Frobeus de A defda por:,

36 36. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL N P tr A A A ; ode e são, respectvamete, os valores absolutos do maor e do meor valor característco de A em módulo (ou da parte real dos mesmos). max A, ode (A) são os valores sgulares de A ou a raz quadrada dos A m valores característcos de A A. Exemplo: o sstema lear é o chamado problema de. S. Wlso: 0x7y8z7w3 7x5y6z5w3 8x6y0z9w33 7x5y9z0w3 a solução exata deste sstema é x = y = z = w =, etretato adotado-se x = 6; y = -7,; z =,9 e w = -0, os resultados de cada uma das equações são 3,;,9; 3,9 e 3,; e adotado x =,5; y = 0,8; z =,9 e w = 0,89 os correspodetes resultados são 3,0;,99; 3,99 e 3, A matrz característca deste sstema é: A cua versa é: A e os valores característcos desta matrz são: 0,005; ,84307; 3, e 30,88685, assm as duas ormas destas matrzes são: M(A) = 0; M(A - )=68, N(A)=30,545 e N(A - ) = 98,59, etão os úmeros de codcoameto são: M = M(A) M(A - ) = = 70; N NA NA = 30,545 98,59 = 3009,58 30, 887 P 984, 09 0, 00 max m 30,887 0,00 984, 09 (gual ao caso 3, pos a matrz A é smétrca).6 Fatoração QR oda matrz A m com coluas learmete depedetes pode ser ucamete fatorada a forma A = Q R com as coluas da matrz Q m formado uma base ortoormal para o rage(a) e a matrz tragular superor R tedo os elemetos da

37 .6 FAORAÇÃO QR 37 dagoal postvos. Esta fatoração pode ser gerada pelo procedmeto de ortogoalzação de Gram-Schmdt, pos as coluas da matrz Q ( q q q) são resultados da aplcação do processo de Gram-Schmdt as coluas da matrz Α ( a a a), e a matrz R é dada por: v q a q a3 q a 0 v q a3 q a R 0 0 v 3 q3 a v ode v = a e v k k k k a q a q para k =, 3,...,. Se a matrz A é regular, etão Q = Q -, pos as coluas da matrz Q são ortoormas etre s. Exemplo: Obter a fatoração QR da matrz ortogoalzação de Gram-Schmdt, ou sea: A aplcado o processo de 4 q e v a q k k k k v k a q a q para k =, 3,..., 0 a Etão, para k = : r = v = a = 5 e q 3/5 v 4/5 0 4/5 k = : r q a 5 ; r q q a q ; r = v = q = 5; q / 5 r 9 9/5 6 k = 3: r 3 q a3 4 ; r3 q a3 0 ; q 3 a3r3qr 3q 3 / 5 4 / 5 q 3 r 33 = v 3 = q 3 = 0; q3 r 33 3/5 6 / 5 e, portato, / 5

38 38. DECOMPOSIÇÃO MARICIAL 0 4/5 3/5 Q 3/ 5 / 5 6 / 5 e 4/5 9/5 / R Verfcado o resultado: A = Q R = Lsta de exercícos ) Verfcar se a aplcação F: 3 defda por F(x, y, z) = (z, x + y), (x, y, z) 3, é uma trasformação lear. ) Verfcar se a aplcação F: defda por F(x) = (x, ), x, é uma trasformação lear. 3) Dada a matrz: 3 A 3 a) compute seus valores característcos; b) compute o couto de vetores característcos de A e de A, verfque que estes dos coutos são mutuamete ortogoas; c) verfque que a matrz A satsfaz também sua equação característca. 4) Mostre que A = (A A) - A Bblografa Curso de Nvelameto em Matemátca - E.C. Bscaa Jr., PEQ/COPPE-UFRJ, 009. Cálculo Numérco: Característcas Matemátcas e Computacoas dos Métodos Numércos - D. Sperado, J.. Medes e L.H.M. Slva - Pearso-Pretce Hall, 003. Matrx Aalyss ad Appled Lear Algebra - C.D. Meyer, SIAM, 000. Matrx Computatos - G. H. Golub e C. F. Va Loa - Johs Hopks, 996. Álgebra Lear a Aplcações - C.A. Callol, H.H. Domgues e R.C.F. Costa - Atual Edtora, 6ª ed., 989.