SUBSTITUIÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS Diego Veloso Uchôa

Transcrição

1 Nível Avaçado SUBSTITUIÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS Dego Veloso Uchôa É bastate útl e probleas de olpíada ode teos gualdades ou quereos ecotrar u valor de u soatóro fazeros substtuções por úeros coplexos alada a outras ferraetas. Para algus probleas que possua equações co fuções seo e co-seo é portate saber a fórula de Euler que escreve u úero coplexo a fora polar o que splfca quado fazeos ultplcações ou soatóros. U úero coplexo pode se escrever a sua fora trgooétrca ρ(cosθ + se θ) ou θ a sua fora polar ρ e de ode teos que cosθ + seθ e θ (Fórula de Euler). Segudo essa equação podeos fazer θ α ou θ α, de ode teos: α e cosα + seα (I) α e cosα seα (II) Soado I co II, teos: α α e + e cosα Subtrado I de II, teos: α α e e seα Segudo a fórula de Euler podeos verfcar edataete a fórula de De Movre: Para todo atural teos que ( ) cosα + seα cos( α) + se( α). No segute problea da OIMU, quas déas edatas poderíaos ter se cohecer a fórula de Euler? PROBLEMA : (OIMU 00) Calcule: ( ) cos ( ) SOLUÇÃO: Seja P cos, observe de edato que se etão P 0 pos cos 0. Portato cosdere + etão ( + ) P + cos Observe que cos cos P + + cos ( ) + + +,

2 Cosdere ( ) P + cos Fazedo w e + j j j j w + w w + etão cos j portato + w w + w + w + P Faça etão a segute ultplcação o uerador e o w w w deoador 3 w + w + w + ( w + )( w + )...( w + ) P +..., 3 w w w ( w + )( w + )...( w + ) agrupado o uerador os teros tas que j + j + + j j j + j + ( w + )( w + ) ( w + w + w + ) w + w, já que w, co j varado de até. Agrupado agora os teros do deoador podeos ver que 3 ( w + w )( w + w )...( w + w) P, + + e usado que w podeos splfcar a + ( w + w)( w + w )...( w + w ) expressão para ( w w )( w w )...( w w ) P +. Agora, olhado para o uerador, podeos ( w + w)( w w )...( w + w ) escolher os teros ( j w w j ) tas que j > que são teros (para algu ) e substtuí-los ( ) por ( )( ++ j w w + j ) de fora que o uerador e o deoador serão guas a eos de u sal (e do fator ),.e, ( w + w)( w w )...( w + w ) P + ( ) P + ( ) ( w + w)( w w )...( w + w ) P + Portato teos que P ( ) ( ) ( ), todo par, P P e etão coo P 0 para + (soa de P.G fta), e ass P Observação: Esse problea pede para deostraros u resultado relacoado aos polôos de Chebyshev do segudo tpo. PROBLEMA : (OBM U 00) Seja f ( x) e x sex. Calcule f (00) (0). (Deotaos por () '' poto x; ass, f ( x) f ( x) ). ( f ) ( x) a dervada de orde o

3 SOLUÇÃO: x f ( x) e sex e x e x e x ( e ) x e ( + ) x após dervações tereos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) f x e e + x ; para 00 e x 0, teos que (00) f (0) ( ) ( ) sedo que ( ) ( ( + )). 500 (00) Ass ( ) ( ) f (0) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ). + Outro caho possível para a solução desse problea sera: após dervações de f perceber u cclo e ass calcular f (00) (0), étodo esse as trabalhoso do que o apresetado. PROBLEMA 3: (IMO 963) Prove que 3 cos cos + cos SOLUÇÃO: Fazedo 7 w e o problea se tora equvalete a deostrar que: w + w w + w w w 3 6 w + w + w w w w ( w + w ) ( w + w) + ( w + ) w w w + w w + w w + 0. Veja que sso é a soa dos teros de ua P.G cujo prero tero é e a razão é w. Soado a P.G: 7 ( w) 7 S PG 0. Lebre que w e 7 w w w e portato a gualdade é realete verdadera. O segute resultado (uto cohecdo) te por objetvo ostrar a portâca dos úeros coplexos e probleas de alto grau de dfculdade e que apareteete ão tê ehua coexão co úeros coplexos. PROBLEMA : Prove que 6 SOLUÇÃO: Sabeos que para 0 < x < a desgualdade sex < x < ta x é verdadera. De ode segue que cot x < < + cot x. Agora fazedo x co,,..., e soado de x + até ós obteos

4 ( + ) () cot + cot + + Observe que essa equação está próxa da desejada, a déa agora é tetar ostrar que quado o tero cetral fca presado etre dos ltes que coverge para u eso valor. Para sso vaos usar u truque que usa úeros coplexos. Pela le de De Movre e usado bôo de Newto teos : cos( t) + se( t) (cos t + set) se t(cot( t) + ) se t cot ( t) Fazedo + e 0 gualado as partes agáras, teos: se(( + ) t) + (cot ) + (cot ) t t... ( ) (*) se t 3 Agora podeos tratar essa gualdade por eo de u polôo + + P ( x) x x ( ) 3 Substtudo t e (*) para os dá ) 0 + (cot P +, pos se ( + ) 0 e se 0. Etão, x cot,,..., são as + 3 ( ) raízes de P cuja soa é cot () De () e () segue ( ) ( + ) ( ) Multplcado essas desgualdades por ( + ) desejado. Exercícos para treaeto: e fazedo chegaos ao resultado PROBLEMA 5: (IME 990/99) ( + ) θ se Prove que + cos( θ) + cos( θ) cos( θ) θ se PROBLEMA 6: (IME-000/00) Dos úeros coplexos são ortogoas se suas represetações gráfcas fore perpedculares etre s. Prove que dos úeros coplexos Z e Z são ortogoas se e soete se: Z Z + Z Z 0

5 PROBLEMA 7: Prove que se cot PROBLEMA 8: Prove a detdade trgooétrca: cos ( θ ) cos (( ) ). θ PROBLEMA 9: (IME 005/006) Seja as soas S 0 e S defdas por [ / 3] S 0 C + C + C + C C 7 0 3[( ) / 3] + S C + C + C + C C Calcule os valores de S0 e S e fução de, sabedo que [r] represeta o aor tero eor ou gual ao úero r. PROBLEMA 0: (Puta 970) Prove que a sére de potêcas de e ax cos(bx) (co a e b postvos) ou ão te ehu coefcete zero ou possu ftos zeros. PROBLEMA : Ache ua fórula geral para: ( + )cos. 0 PROBLEMA : (OBM Nível U 00) Calcule o valor de. (3 + )(3 + )(3 + 3) 0 PROBLEMA 3: (IMO 97) Prove que o úero tero 0. PROBLEMA : Calcule o valor de (od3). + 3 K + ão é dvsível por 5 para qualquer PROBLEMA 5: (IMC 99) Atraos u dado (co faces de úero,,..., 6) vezes. Qual é a probabldades de que a soa dos valores obtdos seja últplo de 5? Adta que as faces seja gualete prováves. Dca: Use a fução x+ x + x + x + x + x f( x). 6 PROBLEMA 6: Mostre que dados potos o círculo utáro sepre exste u outro poto o círculo utáro tal que o produto de suas dstâcas aos potos dados é aor ou gual a. PROBLEMA 7: (OBM Nível U 007) Dados úeros reas a, a,..., a ão todos ulos, ecotre o (eor) período da fução

6 f ( x) a cos( x). PROBLEMA 8: (Mlós Schwetzer-956) áx + z, + z se z percorre todos os úeros coplexos. Ache o ío de { } PROBLEMA 9: (IMO 995) Seja p u pro ípar. Ache o úero de subcojutos A de {,,..., p} a) A te exataete p eleetos b) A soa de todos eleetos de A é dvsível por p p Dca: Use o polôo f ( xy, ) ( + xy)( + xy)...( + x y). tas que BIBLIOGRAFIA [] E. Lozasy. C. Rousseau, Wg Solutos, Sprger Velrlag, New Yor, 996. [] Cotests Hgher Matheatcs, Hugary 99 96: eora Mlós Schwetzer, eds.: G. Szász, L. Gehér, I. Kovács ad L. Ptér, Aadéa Kadó, Budapest, 968. [3] URL: (Ste do Isttuto Mltar de Egehara) [] URL : (Ste da Olpíada Braslera de Mateátca)