Questão 01. 4, com a e b números reais positivos. Determine o valor de m, número real, para que a. Considere log

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1 0 IME "A ateática é o alfabeto co que Deus escreveu o udo" Galileu Galilei Questão 0 Cosidere log b a 4, co a e b úeros reais positivos. Deterie o valor de, úero real, para que a equação x 8 x log b ab 8 x log b a 0 teha três raízes reais e progressão aritética. Dado que log b a 4, ve b 4 a e, coo a e b são positivos, teos a b. Dessa fora log b ab log b b e log b a log b b. Portato a equação dada equivale a x 8 x 8 x 0 Coo as três raízes estão e PA podeos deoiá-las x r, x, x r e que r é a razão de PA. Pela ª relação de Girard, teos x r x x r 8 x 6 Da ª relação de Girard, teos 6 r 6 6 r 6 r 6 6 r 8 6 6r 6 r 6 6r 8 r 00 (I) Da ª relação de Girard: 6 r 6 6 r r 6 II Igualado I e II, ve: 6 r Questão 0 Cosidere a, b e c úeros iteiros e a b c. Deterie o(s) valor(es) de x, y e z, que satisfaça o sistea ax by cz abc ax 4by abc de equações by cz 0 xyz 0 Da ª equação, teos by cz Substituido as duas prieiras teos: ax cz cz abc ax 4cz abc (I) ax cz abc ax 4cz abc (II) Fazedo 4 I II, ve a 0 7 ax 7 abc x bc

2 Substituido e (I), teos: c0 abc cz abc z ab Fialete coo by cz teos by cab ou y ac Na últia equação do sistea tíhaos xyz 0, que equivale a bc ac ab abc 0 0 Da decoposição e fatores prios de 0, teos abc 6 e, coo ab c co a, b, c iteiros podeos fazer a, b e c 6 Portato, x 67, y 8 e z Questão 0 Cosidere a atriz A. 0 Seja a atriz, dos quatro eleetos da atriz B. k B A, co k e úeros iteiros. Deterie a soa, e fução de k k k k k Mostreos, por idução, que A k. Isto é verdade para k pois: 0 0 A 0 0 Supodo verdadeiro para k teos: k k k k k k k k k 0 k k A k k k k k 0, k 0 o que ostra ossa tese. Assi: k b b B A k b b co: k b b b k 00 k k k k b, que fora a soa dos teros de ua PAG. Teos: b b b 4... b b b Portato a soa dos eleetos de B é: b b b b 0

3 45 k Cosidere P tg k 0 80, co represetado o produto dos teros desde k 0 até k, sedo k e k 0 úeros iteiros. Deterie o(s) valor(es) de, úero real, que satisfaça() a equação P. 45 cos P k 0 Questão 04 k se 80 k 80 cosk 80 Coo o cosseo de u âgulo é o seo do copleetar e P 45 k 0 k 80 k 80 cosk se 90 se 80 k 90 k, teos: Pela fórula de prostaférese, teos: P 45 k 0 k cosk se cos cos cos se 4 cos0 cos 80 Siplificado: 46 P Assi a igualdade P teos cos cos 80 cos0 44 cos Questão 05 Cosidere, Z e Z, coplexos que satisfaze a equação x pxq 0, ode p e q são úeros reais diferetes de zero. Sabe-se que os ódulos de Z e Z são iguais e que a difereça etre os seus arguetos vale, ode é diferete de zero. Deterie o valor de cos e fução de p e q. Coo Z e Z são raízes de ua equação do segudo grau co coeficietes reais, teos que u é cojugado do outro, daí podeos escrever Z rcosise e Z r cos60º ise 60º, e que, se perda de geeralidade, 60º. Desta fora teos: 60º 60º 60º cos cos cos80º cos Coo Z Z rcos e ZZ r, segue que: r q r q e p rcos pcos q p Portato cos, logo q cos p. 4q

4 Cosidere u triâgulo ABC co lado BC igual a L. São dados u poto D sobre o lado AB e u poto E sobre o lado AC, de odo que seja válidas as relações DA EC, co. Pelo poto édio do segeto DE, DB EA deoiado M, traça-se ua reta paralela ao lado BC, iterceptado o lado AB o poto F e o lado AC o poto H. Calcule o coprieto do segeto MH, e fução e L. Questão 06 Traçado ua paralela à BC passado por D que itercepta o lado AC o poto I, teos a foração do triâgulo ADI que é seelhate ao triâgulo ABC, daí: DI AD DI AD DI BD DI DI L BC AB BC AD BD BC BD BD L Coo o segeto MH é base édia do triâgulo EDI, teos: MH L Questão 07 Cosidere u círculo co cetro C, a orige, e o raio. Esse círculo itercepta o eixo das abscissas os potos A e B, sedo a abscissa de A eor do que a abscissa de B. Cosidere P e Q, dois potos desse círculo, co ordeadas aiores ou iguais a zero. O âgulo forado etre o segeto CP e CQ vale rd. Deterie a equação do lugar geoétrico descrito pelo poto de iterseção dos segetos AP e BQ iteros ao círculo. 4

5 060º 0 tg Seja t tg Reta AP tg y0 tgx y tgx y tx y t x Reta BQ tg 60º tg y0 x tg tg y x tg t y x t Eliiado o parâetro: y y x x y x y x y x y x xy y y xy y x x x 4 y y y x 4 x y y x y y x y 6 Circuferêcia de cetro C 0, e raio 4 R. Cosidere os liites para o parâetro t : 0, 0 t, te-se iterseção e t, te-se iterseção e, 0. Logo, o lugar geoétrico descrito é o arco de circuferêcia de cetro ati-horário. 0, e raio 4, do poto,0 ao,0 o setido Coo o euciado se refere a potos iteros ao círculo os potos,0 e,0 ão participa do L.G. 5

6 5 São dadas duas atrizes A e B tais que A.B 5 e x 4 B.A 4 y Deterie: A) o(s) valore(s) de x e y ; B) as atrizes A e B que satisfaze as equações apresetadas. a) i) Lebreos que det AB detba ii) Questão 08 : 5 x y 5 xy96 x y 00 Sabeos aida que tr BA tr AB, e que: tr x é o traço da atriz x. Assi: x y 0 De i e ii ve: xy 00 x y 0 Coo x y teos: x 0 e y 0. b) Multiplicado por A pela direita a prieira relação ve 5 ABA A Coo BA, 4 0 teos: A A a b Fazedo A c d, ve a b a b c d c d Que equivale ao sistea 0a4b5ac 4a0b5bd 0c4d a5c 4c0d b5d 5a4bc0 4a5bd 0 a5c4d 0 b4c5d 0 5a4bc 0 b 54c 65d 0 54b 96c 0d 0 b4c5d 0, co x e y reais e x y. 6

7 5a4bc 0 b4c5d 0 b4c5d 0 b4c5d 0 Eliiado as duas últias equações e fazedo 4α 5β 5α 4β b e a 5α 4β 4α 5β Assi: A α β c α e d β, co α,β e αβ 0 ve B Calculado a iversa de A : 4α 5β β A 4α 0αβ 4β 5α 4β α 0 4 Voltado o produto BA 4 0 e ultiplicado a direita por A 0 4 B A α 496β 0β 4α 4α 0αβ4β 46α 50β 4β 0α teos: Cosidere u tetraedro regular ABCD e u plao π, oblíquo à base ABC. As arestas DA, DB e DC, desse tetraedro são seccioadas, por este plao, os potos E, F e G, respectivaete. O poto T é a iterseção da altura do tetraedro, correspodete ao vértice D, co o plao π. Deterie o valor de DT sabedo que Questão 09 Seja DE a, DF b, DG c, DT x e AB L: abc a b c 6 bcacab 6 DE DF DG 6. 7

8 O volue da pirâide EFGD é igual à soa dos volues das pirâides de bases DEF,DFG e DGE co vértices e T, ou seja: bc se 60º ab se 60º ac se 60º bc se 60º H h h h bc H ab ac bc h, e que H é a distâcia de E até a base DFG e h é a distâcia de T até as bases das pirâides eores, e particular toeos tabé a base DFG. Cálculo de H e h : L AM DM L OM AM 6 L OM 6 se α DM L h x h x h se α x L DA No triâgulo isósceles DAM teos cosβ DM L Da relação fudaetal: 6 se β cos β se β se β 9 9 Coo β é agudo teos: 6 seβ No triâgulo retâgulo de hipoteusa DE da figura: H 6 seβ H a a Voltado e : bch abacbc h 6 x bc a ab ac bc abc x 6 ab ac bc abc Lebrado que 6 ab ac bc ve x 6 6 x 6 8

9 Questão 0 Cosidere a seguite defiição: dois potos P e Q, de coordeadas (x P, y P ) e (x q, y q ), respectivaete, possue coordeadas e cou se e soete se x p = x q ou y p = y q Dado o cojuto S 00,, 0,, 0,, 0,,,,,, 0,,,,, f :S S existe, tais que para todos os potos P e Q pertecetes ao cojuto S, f P e coordeadas e cou se e soete se P e Q possue coordeadas e cou.. Deterie quatas fuções bijetoras f Q possue Cosidereos iicialete os cojutos: A 00,, 0,, 0, 0 0 B,,,,, C,,,,, Noteos que eles tê as seguites propriedades: P : quaisquer dois eleetos de u eso cojuto tê coordeadas e cou. P : quaisquer dois eleetos de cojutos distitos tê, o áxio, ua coordeada cou. Coo quaisquer dois eleetos de A tê coordeadas cous, suas iages tabé deve ter coordeadas cous. Assi a iage de A, f A, tabé deve gozar da propriedade P. Outros três cojutos são adequados: D,,,,, E,,,,, F,,,,, Assi ua prieira etapa é associar a cada A,B,C u cojuto iage distito detre A,B,C ou detre D,E,F. Há!! aeiras de fazê-lo. Já escolhida a orde dos cojutos acia, existe! 6 00,, 0,, 0, : 6 iage iage iage do, 00 do 0, do 0, ordes para associar os eleetos de f A aos eleetos Fialete, cosidere a associação de exeplo, se perda de geeralidade: 00, k,a 0, k,b 0, k,c 0, w, α, w, β, w, γ E que k w. Note que a orde das ordeadas a,b,c deve ser exataete a esa de α,β,γ. Pois se assi ão fosse, seria possível obter P e Q violado as codições do euciado. Desta fora, escolhida a orde das iages f A,f B,f C e a fução que associa A a f escolha. A quatidade de fuções é: 6 7 fuções. A, ão há ais possibilidade de 9

10 Professores Bruo Fraga Douglas Lafayette Marcelo Moraes Marco Miola Ney Marcodes Colaboradores Alie Alki Ferada Silva José Diogo Lilia Resede Digitação e Diagraação Daiel Alves João Paulo de Faria Valdivia Piheiro Desehistas Luciao Lisboa Viicius Ribeiro Projeto Gráfico Viicius Ribeiro Assistete Editorial Valdivia Piheiro Supervisão Editorial José Diogo Rodrigo Beradelli Marcelo Moraes Copyright Olipo0 A Resolução Coetada das provas do IME poderá ser obtida diretaete o OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefoe (6) As escolhas que você fez essa prova, assi coo outras escolhas a vida, depede de cohecietos, copetêcias, cohecietos e habilidades específicos. Esteja preparado. 0

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