a prova de Matemática do ITA 2001

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1 a prova de Matemática do ITA 00

2 O ANGLO RESOLVE A PROVA DE MATEMÁTICA DO ITA É trabalho pioeiro. Prestação de serviços com tradição de cofiabilidade. Costrutivo, procura colaborar com as Bacas Examiadoras em sua tarefa árdua de ão cometer ijustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudate em seu processo de apredizagem. O Istituto Tecológico de Aeroáutica ITA é uma escola de egeharia mudialmete cohecida. Com o mesmo zelo com que trata seus exceletes cursos (Egeharia Aeroáutica, Egeharia Mecâica Aeroáutica, Egeharia de Ifra-Estrutura, Egeharia Elétrica e Egeharia de Computação), trata seu vestibular. De forma iteligete, em dias de prova, tem coseguido selecioar os cadidatos mais aptos.

3 Matemática As questões de 0 a ão devem ser resolvidas o cadero de soluções. Para respodê-las, marque a opção escolhida para cada questão a folha de leitura óptica e também a última págia do cadero de soluções. IR é o cojuto dos úmeros reais. A c deota o cojuto complemetar de A IR em IR. A T é a matriz trasposta da matriz A. (a, b) represeta o par ordeado. [a, b] = {x IR; a x b}, ]a, b[ = {x IR; a x b}. [a, b[ = {x IR; a x b}, ]a, b] = {x IR; a x b}. QUESTÃO 0 Resposta: D Se a IR é tal que y y + a = 0 tem raiz dupla, etão a solução da equação x + x + a = 0 é: A) log 6 B) log 6 C) log 6 D) log 6 E) log 6 Sedo y 0 a raiz dupla da equação y y + a = 0, temos: y0 + y0 = y0 y0 = = 6 Na equação x + x + a = 0, substituido x por y, temos y y + a = 0, cuja raiz é. 6 Logo, x = x = log x = log x = log 6 QUESTÃO 0 Resposta: B O valor da soma a + b para que as raízes do poliômio x 0x + ax x + b estejam em progressão aritmética de razão / é: A) 6 D) B) E) 0 C) 6 Sedo x,x,x e x as raízes do poliômio x 0x + ax x + b, etão x = x + x = x + x = x + Daí, x + x + x + x = x + x + + x + + x + = x = Logo, x =, x = e x =. Se é raiz, etão P() = 0, ou seja, 0 + a + b = 0 a + b =. 0 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

4 QUESTÃO 0 Resposta: C QUESTÃO 0 Resposta: A QUESTÃO 0 Resposta: A Se z = + i, z w = e α [0, ] é um argumeto de z w, etão α é igual a: A) D) B) E) C) Os argumetos pricipais de z = + i e zw = são, respectivamete, e 0. Como o argumeto de zw é a soma dos argumetos de z e w, temos: + ϕ = 0 ϕ = ; logo o argumeto de w é. Como w e w são cojugados, etão seus afixos são simétricos em relação ao eixo das partes reais; logo o argumeto de w é. Assim o argumeto de zw é. O úmero complexo tem argumeto /. Neste caso, a é igual a: A) 6 D) B) E) C) cosa cosa + se a Se o argumeto de z = + i é, etão podemos afirmar que se a cosa se a Re(z) = Im(z). Assim, Logo, a = 6 Portato, a = cos a cos a + se a z = + i se acos a se a cosa cosa + se a = se a cosa se a ( cos a) cosa + se a = se a se a cosa = cosa + sea 6. sea = sea = ou a = 6 (ão covém, pois a ]0, /[) Um triâgulo tem lados medido, e cetímetros. A partir dele, costrói-se uma seqüêcia de triâgulos do seguite modo: os potos médios dos lados de um triâgulo são os vértices do seguite. Detre as alterativas abaixo, o valor em cetímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 8 primeiros triâgulos assim costruídos, icluido o triâgulo iicial, é: A) 8 D) B) 9 E) C) 0 9 ] 0 [, a, / ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

5 A partir do segudo triâgulo, a razão de semelhaça de um triâgulo para o aterior é e, portato, a razão etre as áreas é. Se cosiderarmos a progressão geométrica ifiita a qual o primeiro termo é a área do triâgulo iicial, ou seja, 6, e a razão é, a soma S das áreas dos ifiitos triâgulos será: 6 S =, ou seja, S = 8. Assim, a soma das áreas dos 8 primeiros triâgulos costruídos será meor que 8. Logo, detre as alterativas, o valor que está mais próximo dessa soma é 8. QUESTÃO 06 Resposta: B Sabedo que é de 0 a soma dos coeficietes do poliômio em x e y, obtido pelo desevolvimeto do biômio (x + y) m, temos que o úmero de arrajos sem repetição de m elemetos, tomados a, é: A) 80 D) 00 B) 90 E) 60 C) 0 Do euciado: ( + ) m = 0 m = 0 m = 0 Assim: A 0, = 0 9 = 90 QUESTÃO 0 Resposta: E A respeito das combiações a = e b = temos que, para cada =,,,..., a difereça a b é igual a: A)! a D) + + a B) a E) + + a C) + a Assim: a = ( )!!! ( )! ( )! ( )! b = = = = ( )! ( + )! ( )! ( + )! ( + )!! + a b = a a = a = a a + QUESTÃO 08 Resposta: E Sejam A e B matrizes, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações: (I) AB + BA T é simétrica. (II) (A + A T + B) é simétrica. (III) ABA T é simétrica. temos que: A) apeas (I) é verdadeira. B) apeas (II) é verdadeira. C) apeas (III) é verdadeira. D) apeas (I) e (III) são verdadeiras. E) todas as afirmações são verdadeiras. ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

6 QUESTÃO 09 Resposta: A Do euciado temos que B T = B. Assim: (I) é verdadeira. De fato: (AB + BA T ) T = (AB) T + (BA T ) T = BA T +AB = AB + BA T (II) é verdadeira. De fato: (A + A T + B) T = A T + A + B T = A T + A + B = A + A T + B (III) é verdadeira. De fato: (ABA T ) T = AB T A T = ABA T Cosidere a matriz A soma dos elemetos da primeira colua da matriz iversa de A é: A) D) B) E) C) a e i m b f j Seja A = a matriz iversa de A. c g k p d h l q Temos que: A = A A = I a e i m b f j = c g k p d h l q Etão, a + b + c + d = a + b + c + d = 0 a + b + 9c + 6d = 0 a + 8b + c + 6d = 0 Da primeira equação resulta que a soma dos elemetos da primeira colua da matriz iversa de A é. QUESTÃO 0 Resposta: C Sedo α e β os âgulos agudos de um triâgulo retâgulo, e sabedo que se β cosβ = 0, etão se α é igual a: 8 A) D) B) E) zero C) 8 6 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

7 se β cosβ = 0 se β cos β (cos β ) = 0 se β cos β cos β + = 0 cos β ( se β) + = 0 cos β + = 0 cos β = 8 Como β é agudo: cosβ = =. Como o triâgulo é retâgulo, α + β = 90º e seα = cosβ. Assim: seα = 8 QUESTÃO Resposta: B O raio da base de um coe circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do coe. Sabedo-se que o volume do coe é 8m, temos que o raio da base e a altura do coe medem, respectivamete, em metros: A) 9 e 8 B) 8 e 6 C) 8 e D) 9 e 6 E) 0 e 8 Cosidere a figura seguite: V A O R g B h h medida da altura do coe R medida do raio da base do coe g medida da geratriz do coe Do euciado temos que R h + = g, ou seja, g = R h (). Aplicado-se o teorema de Pitágoras o triâgulo retâgulo VOB, resulta que g = h + R (). De () e () temos: (R h) = h + R R Rh + h = h + R R Rh = 0 R R h = 0 h = ( ) R (R h) = 0 ou R = 0 (ão covém) Como o volume do coe é 8, devemos ter R h = 8, ou seja, R h = 8 (). De () e () resulta que: R R = 8, ou seja, R =. Logo, R = 8. Substituido-se R = 8 a relação (), resulta h = 6. QUESTÃO Resposta: B De dois polígoos covexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 9 diagoais. Etão, a soma total dos úmeros de vértices e de diagoais dos dois polígoos é igual a: A) 6 B) 6 C) 66 D) 0 E) ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

8 Seja P um polígoo covexo de ( ) lados cujo úmero de diagoais d é dado por ( ) d = (). Cosidere um polígoo covexo P com + 6 lados. O úmero de diagoais d do polígoo P é tal que d = ( + 6) ( + ) d = ( ). Do euciado, d = d + 9 (). De (), () e () resulta: ( + 6) ( + 6 ), ou seja, ( + 6) ( + ) ( ) = + 9 = Sedo =, o polígoo P tem lados e diagoais e o polígoo P tem lados e diagoais. Como para todo polígoo covexo o úmero de lados é igual ao úmero de vértices, a soma pedida é + + +, ou seja, 6. QUESTÃO Resposta: E Seja o poto A = (r, 0), r 0. O lugar geométrico dos potos P = (x, y) tais que é de r a difereça etre o quadrado da distâcia de P a A e o dobro do quadrado da distâcia de P à reta y = r, é: A) uma circuferêcia cetrada em (r, r) com raio r. B) uma elipse cetrada em (r, r) com semi-eixos valedo r e r. C) uma parábola com vértice em (r, r). D) duas retas paralelas distado r uma da outra. E) uma hipérbole cetrada em (r, r) com semi-eixos valedo r. Do euciado, cosidere a difereça a seguir. y r ( x r) + ( y 0) + = r, ode r Temos que: (x r) + y (y + r) = r Desevolvedo-se e agrupado-se coveietemete, vem: (x r) (y + r) = r Dividido-se ambos os membros da igualdade por r, resulta: ( x r ) ( y r ) + = r r Esta equação represeta uma hipérbole cetrada em (r, r), com semi-eixos valedo r. QUESTÃO Resposta: B Sejam X, Y e Z subcojutos próprios de IR, ão-vazios. Com respeito às afirmações: (I) X {[Y (X Y) c ] [X (X c Y c ) c ]} = X. (II) Se Z X etão (Z Y) [X (Z c Y)] = X Y. (III) Se (Z Y) c Z etão Z c X. temos que: A) apeas (I) é verdadeira. B) apeas (I) e (II) são verdadeiras. C) apeas (I) e (III) são verdadeiras. D) apeas (II) e (III) são verdadeiras. E) todas são verdadeiras. (I) Seja A = X {[Y (X Y) c ] [X (X c Y c ) c ]} Como, para todo X e Y, (X Y) c = X c Y c e (X c Y c ) c = X Y, temos que: A = X {[Y (X c Y c )] [X (X Y)]} 8 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

9 Das propriedades comutativa e associativa da itersecção e da uião podemos afirmar que: A = X {[X c (Y Y c )] [(X X) Y]} Sedo Y Y c = e X X = X, temos: A = X {[X c ] [X Y]} Como X c =, temos A = X { [X Y]}. Como [X Y] = X Y, temos A = X {X Y}, ou seja, A = X. Logo, X {[Y (X Y) c ] [X (X c Y c ) c ]} = X e, portato, a afirmação (I) é verdadeira. (II) Seja B = (Z Y) [X (Z c Y)]. Temos, etão, que B = (Z Y) [(X Z c ) (X Y)]. Como Z X, temos que X Z c = IR e B = (Z Y) [IR (X Y)]. B = (Z Y) [X Y] Das propriedades associativa e comutativa da uião temos B = (X Z) (Y Y). Como Z X, temos que X Z = X e, como Y Y = Y, B = X Y. Logo, se Z X, etão (Z Y) [X (Z c Y)] = X Y e, portato, a afirmação (II) é verdadeira. (III) Podemos mostrar, por meio de um exemplo, que a afirmação se (X Y) c Z, etão Z c X é falsa. Cosideremos os úmeros reais distitos a e b e os cojutos X = IR {a}, Y = IR {b} e Z = IR {a}. Nessas codições, temos: X Y = IR (X Y) c = (X Y) c Z Sedo Z = IR {a}, temos Z c = {a} e, portato, Z c X. QUESTÃO Resposta: E Se f :]0, [ IR é tal que, x ]0, [, f( x) x x + e f( x) = f + f etão a desigualdade válida para qualquer =,,,... e 0 x é: A) f(x) + D) f(x) B) f(x) E) f(x) C) f(x) + x Primeiramete, devemos observar que, se x ]0, [, etão e x + ] 0, [ ] 0, [. Nas codições do euciado, podemos cocluir, aida, que, se existir um úmero atural k, tal que f(x), para todo real x, x ]0, [, etão f(x) k +. Vejamos: k x x Temos que f, pois ] 0, [. k f x + k x +, pois ] 0, [. x x + Logo, f + f. k Como a + b a + b, temos: x x + f + f k e x f + f x + k + ITA/00 ANGLO VESTIBULARES 9

10 Portato, f(x) k +. Fialmete, como é dado que f(x) que f(x), para qualquer do cojuto IN*., podemos afirmar, pelo Pricípio da Idução Fiita, QUESTÃO 6 Resposta: D As questões de 6 a devem ser resolvidas o cadero de soluções. Marque também as opções escolhidas para essas questões a folha de leitura óptica e o quadro que se ecotra a última págia do cadero de soluções. Cosidere as fuções x x + f(x) =, g(x) = e h(x) = arctg x Se a é tal que h(f(a)) + h(g(a)) = /, etão f(a) g(a) vale: A) 0 D) B) E) C) h(f(a)) = α arctg (f(a)) = α tgα = f(a) h(g(a)) = β arctg (g(a)) = β tgβ = g(a) α + β = tg (α + β) = tg tg α + tgβ = tg α tgβ tg α + tgβ = tg αtgβ Substituido-se: a a a + + = 6 0 = 6 + a a = a = Assim: f(a) g(a) = f() g() = = QUESTÃO Resposta: D O cojuto de todos os valores de m para os quais a fução x + ( m + ) x + ( m + ) f ( x) = x + ( m + ) x + ( m + ) está defiida e é ão-egativa para todo x real é: A), D), B) E),, C) 0, Devemos ter as duas seguites codições: (I) x + (m + )x + (m + ) 0 para todo x real. Nesta codição: 0 (m + ) (m + ) 0 m + m + 9 m 0 m 0 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

11 (II) x + (m + )x + (m + ) 0 para todo x real. Nesta codição: 0 (m + ) (m + ) 0 m + m + m 8 0 m De (I) e (II) resulta m. QUESTÃO 8 Resposta: C A parte imagiária de (( + cos x) + i se x) k, k iteiro positivo, x real, é A) se k x cos k x B) se k x cos k x C) k se kx cos k x D) k se k x cos k x E) se kx cos k x ( + cos x + i sex) k = ( + cos x + i sex cosx) k = = (cosx (cosx + i sex)) k = k cos k x (coskx + i sekx) = = k cos k x coskx + i k cos k x sekx A parte imagiária é k sekx cos k x. QUESTÃO 9 Resposta: A QUESTÃO 0 Resposta: A O poliômio com coeficietes reais P(x) = x + a x + a x + a x + a x + a 0 tem duas raízes distitas, cada uma delas com multiplicidade, e duas de suas raízes são e i. Etão, a soma dos coeficietes é igual a: A) B) 6 C) D) E) Idiquemos as cico raízes da equação por x,x,x,x e x. Como há duas raízes distitas, cada uma delas com multiplicidade, podemos escrever: x = r, x = s, x = r, x = s e x = t, com r s, r t e s t. Como os coeficietes da equação são todos reais, a quatidade de raízes imagiárias é um úmero par. Como i é raiz, seu cojugado ( i) também é raiz. Além disso, o úmero é raiz. Supohamos que r =. Nesse caso, teríamos {i, i} {s, s, t}, o que é absurdo, pois haveria, etão, um úmero ímpar de raízes imagiárias. Aalogamete, também chegamos ao absurdo com s =. Com r = i, ou s = i, e t =, obtemos as raízes: i, i, i, i e. Logo, P (x) = (x i) (x + i) (x i) (x + i) (x ). A soma dos coeficietes de P (x) é dada por P () = ( i) ( + i) ( i) ( + i) ( ). P () = Portato, a soma dos coeficietes de P (x) é. Seja m IR, m 0. Cosidere o sistema x ( log m) y + z = 0 ( log mx ) + y z= 0 x + y ( log m ) z = 0 O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução ão-trivial é: A) B) C) D) 8 E) log ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

12 Devemos ter D = 0, ode: (log m) D = log m (log m ) Ou seja, (log m) log m + = 0. Fazedo log m = t, vem t t + = 0. t t + t t + = 0 t (t ) + (t ) = 0 (t ) (t +t ) = 0 A equação t + 0t t + = 0 apreseta raízes reais, pois o discrimiate de t + t = 0 é positivo. Idicado essas raízes por t,t,e t, temos que t + t + t = 0. Como log m = t, há valores de m: m = t,m = t e m = t. Logo, m m m = t + t + t = 0 e, portato, m m m =. QUESTÃO Resposta: D QUESTÃO Resposta: C Cosidere os úmeros de a 6 algarismos distitos formados utilizado-se apeas,,,, e 8. Quatos destes úmeros são ímpares e começam com um dígito par? A) D) 8 B) 6 E) 6 C) algarismos: Assim, pelo Pricípio da Adição, temos: = 8 úmeros. Sedo dado etão, ou algarismos: ou algarismos: ou algarismos: ou 6 algarismos: l = 9 ( ) = ( ) = 6 8 a e l b l l l l l é igual a: A) a b D) b a B) a b E) a + b C) a b = 6 = 08 = 6 = 6 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

13 l l l 6 l l = a l + l + l + l + + l = b l l6 l8 l ( ) l = a l l l l l ( ) = b l l l l l ( ) = a b Note que: a é a soma de parcelas da forma p l p, com p {,,,, }. b é a soma de ( ) parcelas da forma p l p, com p {,,,, }. QUESTÃO Resposta: C A razão etre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é. Sabedo que o volume da pirâmide é de m, temos que a altura da pirâmide mede (em metros): A) B) C) D) E) Cosidere a figura seguite. V h O a M l l medida do lado do quadrado a medida do apótema da pirâmide h medida da altura da pirâmide l l Do euciado temos que =, ou seja, l = a (). l a Aplicado-se o teorema de Pitágoras o triâgulo VOM, resulta a = h + (). l De () e () vem l = h (). Como o volume da pirâmide é, devemos ter l h = (). De () e () temos: h h =, ou seja, h =. Logo, h =. QUESTÃO Resposta: C Num trapézio retâgulo circuscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 8 cm e a difereça dos dois outros lados é igual a cm. Se r é o raio da circuferêcia iscrita e a é o comprimeto do meor lado do trapézio, etão a soma a + r (em cm) é igual a: A) B) C) 0 D) 9 E) 8 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

14 Cosidere a figura seguite. A a B r c O c d r... medida do raio r E a D b e C Do euciado temos que a + b = 8 () e d c = (). Como o trapézio é circuscritível, d + c = 8 (). d c = De () e () temos o sistema, ode d = 0 e c = 8. d + c = 8 Como r = c, vem r = 8, ou seja, r =. No triâgulo retâgulo BDC, pelo teorema de Pitágoras, temos e + c = d, ou seja, e + 8 = 0. Logo, e = 6. Sedo e = 6 e sabedo-se que b a = e, vem b a = 6 (). a + b = 8 De () e () temos o sistema, ode a = 6 e b =. b a = 6 Etão, a soma a + r é 6 +, ou seja, 0. QUESTÃO Resposta: D O coeficiete agular da reta tagete à elipse x y + = 6 9 o primeiro quadrate e que corta o eixo das abcissas o poto P = (8, 0) é: A) B) C) D) E) A elipse tem cetro a origem (0, 0), semi-eixo maior igual a e semi-eixo meor igual a. Temos a figura: t y T 0 P 8 x ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

15 O coeficiete agular m pedido é um úmero egativo. A equação da reta tagete à elipse que tem coeficiete agular m e que passa pelo poto P (8,0) é y 0 = m (x 8), ou seja, y = mx 8m. Temos o sistema: y = mx 8m () 9x + 6y = ( ) Substituido-se () em (), vem: 9x + 6 (mx 8m) = Desevolvedo e agrupado, temos: (6m + 9) x 6m x + 6 (6m 9) = 0 Para que a reta seja tagete à elipse, devemos ter = 0, ou seja: 66m 6 [0m + m 8] = 0, isto é, m = 8 m 8 = m = ou m = Logo, o coeficiete agular pedido é. (ão covém) ITA/00 ANGLO VESTIBULARES

16 Cometário Uma prova bem elaborada e abragete, com euciados claros e precisos, como já é tradição os exames do ITA. Certamete esta prova selecioará os cadidatos mais bem preparados. Icidêcia ASSUNTO Aálise Combiatória Biômio de Newto Cojutos Equação Expoecial Fuções Geometria Aalítica Geometria do Espaço Geometria Plaa Logaritmo Matrizes Números Biomiais Números Complexos Poliômios Trigoometria 6 Nº DE QUESTÕES 6 ITA/00 ANGLO VESTIBULARES