RAÍZES DA UNIDADE Anderson Torres & Eduardo Tengan

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1 RAÍZES DA UNIDADE Aderso Torres & Eduardo Tega Nível Itermediário i Para θ a Fórmula de Euler os permite escrever e θ = cosθ+ i seθ. Ela os forece uma maeira prática de multiplicar úmeros complexos. Por exemplo, o Teorema de De Moivre, cosθ+ i seθ = cosθ+ i se θ, a otação expoecial fica bem mais ormalmete escrito ( iθ i ( θ cociso: ( ( e = e. Mas, e as raízes da uidade? Elas são os complexos que zeram o poliômio i P z = z. Por De Moivre, sabemos que ζ = e π são raízes deste poliômio (com <, e, como são o total, elas são todas as raízes. E assim temos o primeiro resultado do artigo: πi em que ζ= e. ( ζ z = z, < Raízes da uidade têm um mote de aplicações. Uma das mais imediatas é simplificar cotas com fuções trigoométricas, usado estas fórmulas aqui: e + e e e cosθ= ; seθ= i iθ θ i iθ θ i PROBLEMA : calcule a soma teebrosa < se π SOLUÇÃO: Usado a ossa recete descoberta, esta soma se trasforma uma progressão iπ geométrica! Sedo ζ= e, temos π ζ ζ se i i ( π ζ se ζ = < i ζ ζ = = ζ ( ζ < < < < Talvez você deva estar pesado: uma difereça de complexos dado um real? Mas como?? Simples: ζ = ζ, logo a soma acima é uma difereça de cojugados dividida por i. É por isso que o resultado é real... < se i cotg π ζ + ζ π = + = = i ζ ζ ζ +ζ

2 Agora, uma aplicação da fatoração de z : PROBLEMA : Prove que, para todo iteiro positivo existem poliômios f,g [ x] r ( ( ( ( f x x+ + g x x + = SOLUÇÃO: Primeiro, testar algus casos pequeos: = ( ( ( ( f x x+ + g x x + = Para elimiar g, podemos aplicar x = i, o que os dá f i i+ = f i = = i (( ( ( + i Podemos tomar f ( x = x. Mas e quato a g ( tais que x? Calma, coisas são feitas para fucioar! Veja que f ( x( x+ = + x( x+ tem i com zero, e automaticamete i (cojugados, a-há!. Portato o poliômio acima é múltiplo de x + e basta efetuar a divisão com Briot-Ruffii para achar g. + Para o caso geral, vamos cosiderar os zeros de x x +. Mas os zeros de x + = são x justamete as raízes + -ésimas da uidade que ão são raízes -ésimas da uidade. Logo, se i escolhermos e + π ζ= uma raiz + -ésima primitiva da uidade (isto é, que ão é raiz t-ésima da uidade para ehum t meor que +, temos x + = x ζ Escrevedo x =, + ( mod ( ( ( + + ( mod ( mod ( + = ζ = ζ Basta demostrar que cada + ζ é múltiplo de +ζ. Moleza: 3 ( (... +ζ = +ζ ζ+ζ ζ + ζ +ζ f tal que ( ( Portato, podemos escolher f x + x admite raízes ζ, ímpar. Portato, é divisível por x +, o que acaba a demostração. Agora, um problema de Geometria:

3 PROBLEMA 3: ABCDE é um petágoo cíclico de circucetro O. Os âgulos iteros do petágoo são A = 7, B =, C =, D = 3, E =. Demostre que as diagoais BD e CE ecotram-se em um poto pertecete à reta AO. SOLUÇÃO: Como em qualquer problema de geometria, um bom arrastão para começar. Iicialmete, vamos ligar o cetro aos vértices do petágoo. Esta é a melhor maeira de aproveitar a cociclicidade dos potos. Assim sedo, AOB = 8, BOC = 4, COD = 8, DOE =, EOA = 4. Mas MDC ( 8, 4,, 4 = e portato os vértices do petágoo estão etre os vértices de um 8-ágoo regular (afial, 36 = 8! Agora, vamos colocar as coisas os eixos: iicialmete, O =,A= (podemos fazer isto por homotetia: se OA, aplicamos uma homotetia de cetro O e i 8 razão OA. Seja ω= e π uma raiz 8-ésima (primitiva, por sial da uidade. Com isto, os vértices estão determiados. Vamos usar miúsculas para os úmeros complexos associados aos potos. a =,b =ω,c =ω,d =ω,e=ω 4 6 Temos que provar que AO,BD,CE são cocorretes. Dada a escolha esperta que fizemos, basta demostrar que as retas BD e CE se itersectam em um poto real puro. Ou, em outras palavras, que se z é o complexo comum a BD e CE etão z= z. Bem, para calcular equações de retas, vamos a uma técica, ou melhor, um teorema, bastate útil (e que fica como exercício para o leitor, haha!: Dados os complexos p, q do círculo uitário, a reta pq tem equação dada por Temos etão: que equivale a z+ pqz= p+ q AO : z = z BD:z+ bdz= b+ d CE : z + cez = c + e AO : z = z BD : z + ω z =ω +ωω 7 6 CE : z +ω z =ω +ω 4 4 Basta provar que ω +ω ω +ω AO BD : z = ; AO CE : z = 4 7 +ω +ω 4 6 Ates de começar a calculeira, vamos estudar algumas propriedades iteressates de ω. Bem, 8 sabemos que ele é zero do poliômio x, e 8 = 3. A ideia será fatorar este poliômio até a exaustão... ( ( x = x x +. Como ω é raiz 8-ésima primitiva da uidade, o primeiro fator ão cotém ω como raiz. Assim sedo, vamos pesar o outro fator:

4 3 ( ( ( x x x x x. + = + = + + Pode-se demostrar (mas ão será ecessário que este último fator é irredutível. Etão ω ω + =, e de quebra ω =. Depois dessa volta toda, vamos ao que iteressa: comparar as duas expressões de z: 4 6 ω +ω ω +ω = 4 7 +ω +ω ω +ω +ω = ω +ω +ω ( ( ( ( ( ω ω ( ω = ( ω ω ( ω ω ω ω +ω =ω ω ω +ω ω ω +ω =ω ω +ω +ω ω ω +ω =ω +ω 4 7 ω ω =ω 3 6 ω =ω = E fim! Outra aplicação iteressate das raízes da uidade é como marcadores. Veja este problema: PROBLEMA 4: Determie uma fórmula fechada para 3 SOLUÇÃO: Bem, alguém aí cohece algo parecido? Que tal o Biômio de Newto? 3 z ( z = + Agora, já tem alguma ideia do que se pode fazer? Temos que filtrar os múltiplos de 3 desta πi 3 expasão, e ada melhor que usar uma raiz cúbica da uidade ω= e. Substituido z por, ω e ω, temos ( = + ω = ( +ω ( ( ( ( ω = +ω +ω +ω = + +ω + +ω Agora, se é múltiplo de ω razão ω, e portato +ω +ω = = ω Ou seja, matamos todos os ão múltiplos de 3!, +ω +ω = ; caso cotrário, temos uma progressão geométrica de.

5 ω +ω 3 = + ( +ω + ( +ω = + ( ω + ( ω = + ( 3 π + ( cos 3 = 3 3 Esta última técica tem um ome chique: multisecção. Vamos usá-la em um problema de, adiviha só, Combiatória Eumerativa! PROBLEMA 5: (IMO 995, Caadá Seja p um primo ímpar, e seja { 3 } total de subcojutos A S que satisfazem as codições a seguir: A = p; p x. x A S =,,... p. Determie o SOLUÇÃO: Este foi o problema 6 da Olimpíada Iteracioal de 995, em Motreal, Caadá. Ela foi tida como uma das mais iteressates pela riqueza de problemas legais e divertidos daquele ao, algo comparável apeas à IMO da Argetia, que acoteceria dois aos depois. A solução aqui apresetada é uma pequea modificação daquela dada por Niolai Niolov, gahador de um Special Prize (prêmio especial, dado pela origialidade. πi p Vamos pesar em uma raiz p-ésima da uidade, primitiva por sial: ε= e. Veja que ω=ε também é uma raiz p-ésima da uidade, para { 3,,,..., p }. Excluímos o propositalmete, pois ele ão terá propriedades tão iteressates quato as outras raízes (logo verás o porquê. { } ω ω ω ω = ε ε ε são raízes p-ésimas da uidade. Elas são p ( p Os complexos {,,,..., },,,..., distitas: de fato, se ε i =ε j para i j p, < < p,p j i j i =. ( j i < temos ( e = e = p j i e, como Agora vamos ao bom e velho poliômio ( = p = ( ε j = ( j j p ω j p f z z z z. Pesado em Séries Formais, coseguimos trabalhar com este poliômio os elemetos de a p. Como podemos alcaçar p? Oras, eleva ao quadrado! p ( f ( z ( z ( z j ( z j ( z j ( z j j p j p j p p+ j p j = ( z ω j p Vamos abrir ( f ( z : ( ( p p p f z = a+ az + az apz ap z + apz = = ω ω = ω ω = Agora, vamos observar como o a p é produzido de uma maeira combiatória. Primeiramete, escolhemos arbitrariamete p fatores, e coletamos o termo z deles; isto os dará o j ω. O resultado será etão expoete p. Já dos outros p fatores, escolhemos o termo (

6 p em que cr é o total de p-tuplas j j... jp é achar c! p p f z = z z + a =. Assim, Mas ( ( Em outras palavras, ω é zero do poliômio j p ( ( ( a = ω ω... ω = cω j j r r j j <... < jp p r p j + j jp r mod p. A ossa tarefa < < < tais que ( p p + ω+ ω+ + ω = c c c... c p p ( = ( ω g z c c z c z... c p Lembre-se que todo o raciocíio usado até aqui foi puramete combiatório, e é válido para qualquer ω que seja raiz p-ésima da uidade (exceto o. Logo, todas as raízes p-ésimas primitivas da uidade são raízes de g. Mas g tem grau p, portato: f ( z ( ( p g z = cp = cp + z+ z z z Igualado os coeficietes, c = c = c =... = c p. p Mas c + c+ c c p =. Cotagem dupla: cada p-subcojuto de S é cotado em p exatamete um dos c i, justamete aquele correspodete à soma de seus elemetos módulo p. Resolvedo as equações acima, cocluímos que E fim! Bem, que tal us exercícios? p c = + p p EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Determie o valor umérico da série j jπ cos A+ B+ C Sejam x, y, z, A, B, C reais tais que é iteiro. π r r r Defia Kr = x se( ra + y se( rb + z se( rc. Prove que se K = K = etão K = para todo >. 3 Fixe um dos vértices de um -ágoo regular iscrito uma circuferêcia de raio, e cosidere os segmetos que ligam este vértice a todos os outros. Prove que o produto das medidas de todos estes segmetos é.

7 π 4π 8π 4 Calcule se + se + se iπ Dica: sejam ζ = e,p =ζ + ζ + ζ,q = ζ + ζ + ζ. O que queremos é calcular a parte real de p. Calcule p + q e p q e seja feliz! 5 Se P,Q,R,S são poliômios tais que P x xq x x R x x x x x S x, ( ( ( ( ( P =. + + = prove que ( 6 Fórmula de Multisecção: Sedo ( temos p x a ax ax... ax, l ω p m ( ω iπ m a = em que ω= e. l( mod m m 7 Mostre que ( θ θ cos θ = cos cos = e l,m, com l m, 3 8 (Irlada Sabe-se que a, b, c são complexos tais que as raízes da equação x + ax + bx+ c= 3 têm módulo. Prove que as raízes de x + a x + b x+ c = também têm módulo. + x + x + x + x = a + a x+ a x a x. 9 Seja ( Determie MDC ( a,a,...,a Prove que < a < P x P x P x. Determie todos os poliômios P tais que ( = ( ( Determie o úmero de poliômios de grau 5 com coeficietes etre e 9 iclusive e que sejam divisíveis por x x +. Prove que o úmero ão é múltiplo de 5 para qualquer.