Chama-se sucessão de números reais, ou sucessão, a uma aplicação de N R (por vezes considera-se Ν 0 = { }

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1 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 III- Séries. Sucessões ( breves revisões) Def.. Chama- sucessão de úmeros reais, ou sucessão, a Ν 0 ). u: N R uma aplicação de N R (por vezes cosidera- Ν 0 = { } Utiliza- a otação u para desigar u() (expressão geradora) e ( u ) para a sucessão, isto é o cojuto das images da aplicação u: u, u, u 3,..., u,... Exemplo u()=u = ( u ) = 3,,,...,,... u diz- covergete para um úmero real a, e só lim u = a Def.. Uma sucessão ( ) - Soma dos termos de uma sucessão - u, chama- soma dos primeiros termos da sucessão a S = u + u + u u = ui i= Def.. A sucessão ( a ) de termo geral a = a + r desiga- progressão aritmética Def..3 Dada uma sucessão ( ) g de termo geral g = g r, com r costate real desiga- progressão geométrica. e ( ) 6 ª aula teórica pág.9

2 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 Exemplos u =,,,,...,, P. G. de r=/ u =,3,5,7,9,,(-), P.A. de r= ( ) ( ) g progressão geométrica de razão r, etão as somas dos primeiros termos são respectivamete: a a () S = a i = + i= r () S = gi = g i r = Teorema.5 Sejam ( a ) progressão aritmética e ( ) Obs.: uma progressão geométrica podemos ter: + r S = gi = g0 i r = 0. Séries. Séries uméricas O que é uma série? Def.. A série é a soma, existir, de todos os termos de uma sucessão. Sedo ( u ) uma sucessão de úmeros reais, chama- série de termo geral u a qualquer das expressões: = u = u + u + u Def.. Ao símbolo u = 0 deomia- série umérica 6 ª aula teórica pág.30

3 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 Mas faz tido falar da soma de ifiitos termos? É impossível ecotrar uma soma para a série guite = = porque começarmos a adicioar os termos obtemos as somas + cumulativas,3,6,0,5,...,,... que tora muito grade quado aumeta. Cotudo, começarmos a adicioar os termos da série = = obteremos:,,,,,,..., aumeta a soma aproxima- de. ote que à medida que Parece razoável dizer que a soma dessa quêcia ifiita é e escrever: = = = Associada à série umérica, temos a sucessão S, de termo geral S = u + u + u u = ui i= A série diz- covergete existir e for fiito lim S 6 ª aula teórica pág.3

4 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 Def..3 Chama- soma da série u = 0 associada S (S= lim ). S ao limite da sucessão Séries Geométricas Como foi referido a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por: S = ( r ) g r, com r Logo a soma de uma série geométrica é obtida pelo guite limite: S = lim S S = ( r ) g lim r (ote: o limite existe e for fiito a série diz- covergete e a soma é o resultado do limite). É sabido que: lim r = + 0 ão existe (m sial) r > r = -< r < r = r < - Portato, com r, o úico caso em que S tem limite fiito é r,. ] [ 6 ª aula teórica pág.3

5 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 Coclusão: Uma série geométrica + a r coverge s r < e es caso a = a soma é s = primeiro termo (o mesmo que: soma = ). r razão Teorema. Seja ( ) u uma progressão geométrica de razão r, e u = 0 uma série geométrica. Etão, () a série u = () a série u = é divergete para r é covergete para r < Exemplos () ( ) (div.) () = + 3 (cov.) = 6 Curiosidades! - Uma bola de borracha é atirada ao chão de uma altura h e cada vez que ressalta perde /5 da altura. Determie a distâcia total percorrida pela bola até parar por completo. A distâcia total percorrida pela bola é: D = h + h + h + h h +... = h D = h + + h = h + 5 = h + 8h = 9h = 5 5 A distâcia total percorrida pela bola é de 9h? 6 ª aula teórica pág.33

6 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 ) O paradoxo de Zeão de Eleia (95-35 a.c.). Zeão, um filósofo da Grécia atiga, colocou o guite problema: Aquiles, colocado a dada distâcia da tartaruga, teta alcaça-la, corredo; - ora (dizia Zeão), apesar de Aquiles r atleta olímpico, uca poderá alcaçar a tartaruga, porque, ates de percorrer toda a distâcia que o para dela, terá de percorrer metade e ates de percorrer esta metade terá de vecer um quarto da distâcia e assim sucessivas e ifiitas vezes Cosiderado Aquiles a percorrer a velocidade costate teríamos: T T T + Tt = = T mas esta é uma série geométrica 8 = T de razão ½ e primeiro termo T/, cuja soma é : Tt = = T Cosiderado Aquiles a percorrer a velocidade decrescete, em que para percorrer a primeira metade do camiho, precisa de tempo T/, o quarto guite, T/3, o oitavo guite, T/, e assim sucessivamete. T T T Tt T = = 3 = alcaçaria a tartaruga. (série divergete) assim jamais Séries de Riema ou de Dirichlet As séries de Riema ou de Dirichlet são séries cujo termo geral é do tipo ou ja + α. O critério do itegral permite α = caracterizar todas as que têm α de uma só vez. Com efeito: 6 ª aula teórica pág.3

7 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 l α = dx = α x α > α α A série é covergete e só α >, pois só este caso lim α x dx é fiito. Para α < aplicamos o Corolário da Codição Necessária de Covergêcia e coclui- que as séries são divergetes. Teorema.5 Séries de Riema ou de Dirichlet Dada a série do tipo +, α R, a série é : α Exemplos = covergete para α > divergete para α () série harmóica (div.) () (cov.) = = Teorema.6 Dada uma sucessão( u ), chama- série Telescópica ou série de Megoli à série ( u u+ k ), k Ν. = Se lim existir e for fiito a série coverge e etão a soma é u dada por: ( u u+ k ) =u + u uk k lim u = 6 ª aula teórica pág.35

8 Aáli Matemática II ao lectivo 006/007 Exemplos () arctg( ) arctg( + ) = () = ( + p) (3) ( )( + )( + ) = 3 π sol. (p Ν ) sol sol. p Obs.: Quado u é uma fracção, como o exemplo aterior, com mais de dois factores o deomiador, pode- escrever u a forma u u+ k deixado a fracção que repreta u todos os outros factores, excepto o maior e a fracção que repreta u + k todos os factores, excepto o meor. p Covergêcia de uma série de termos positivos critérios de covergêcia Vimos situações em que foi possível calcular directamete a covergêcia (e divergêcia) de séries. Em geral ão é fácil determiar a soma da série ou cocluir a sua divergêcia. Teorema.7 Codição Necessária de Covergêcia Se u = coverge limu = 0 Corolário.8 Se lim u ão existe ou existido limu é divergete. 0 etão a série u = Exemplo: Estude a atureza da série = 7 6 ª aula teórica pág.36