CAPÍTULO III ANÁLISE DOS DADOS. Para responder à primeira pergunta, observe os dois gráficos abaixo

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1 CAPÍTULO III ANÁLISE DOS DADOS III.5 Idéias básicas sobre gráficos e modelos Modelos são regras matemáticas que permitem reproduzir um cojuto de valores uméricos a partir de outro ao qual correspodem. Modelos são muitas vezes válidos somete em faias determiadas de valores o domíio de validade e para certas uidades. Ao se defiir um modelo, as duas coisas devem ser especificadas. Uma maeira simples de se obterem modelos é costruido gráficos. Os gráficos, dadas duas listas de valores correspodetes, respodem com facilidade a duas questões: Eiste uma fução? Caso eista, que fução é? III.6 Eistêcia e forma da fução Para respoder à primeira perguta, observe os dois gráficos abaio Para ecotrar a fução, caso ela eista, podemos usar a ossa eperiêcia. Veja, por eemplo, as situações a seguir: / / /, com 0 A, com 0, com

2 III.7 A reta: Liearização Como pode ser visto os eemplos acima, apeas por ispeção visual, é impossível determiar qual é a relação fucioal. No etato, o caso de uma reta, com certeza, pode-se afirmar que = A + B. A reta é a chave da aálise gráfica, a úica epressão, ou fução, cujo epoete pode ser idubitavelmete defiido. O próimo passo é ecotrar A e B. Para tato se escolhem dois potos da reta, P = (, ) P = (, ) Estes dois potos devem: pertecer à reta traçada, e ão à tabela que deu origem ao gráfico; ser distates etre si o mais possível, em termos de abcissas, recomedado-se prologar a reta até alem dos dados, se isto for possível; Ser de fácil leitura, sem iterpolação fracioária da meor divisão do papel (ou seja, devem ficar sobre uma liha impressa do papel de gráfico). Uma vez defiidos os potos, eles serão substituídos a epressão geral, motado assim um sistema de duas equações a duas icógitas: A A B B A( ) de forma que A Para obter B, substitui-se A em qualquer uma das duas equações do sistema. Mas, o que fazer quado ão se tratar de uma reta? Nesta circustâcia, é possível liearizar o gráfico através de uma mudaça adequada de variável. Isto permite trasformar muitas curvas em retas. Por eemplo, se a descofiaça for de uma fução do tipo =, costrói-se um gráfico l em fução do l, porque, se a suspeita estiver correta, etão l = l( ) = l A +.l Note que a equação resultate da aplicação do logaritmo é uma reta cujo coeficiete agular é o epoete! Se etão, ao traçar o gráfico l em fução do l, ão for obtida uma reta, é porque a suspeita iicial estava errada! Suspeita de relação Novas Variáveis Novo Gráfico = a. b + c T = log( c) z =log() T = log(a) + b.z =a.b T = log() T = log(a) +.log(b) = a. + b. + c T = ( c)/ T = a + b = a./(b. + c) T = / z =/ T = b/a + (c/a).z III.8 Regras Gerais para a Costrução de Gráficos. Escolha o papel adequado para sua fialidade (milimetrado, moolog ou dilog). Mateha a variável depedete a vertical ( sempre o milimetrado, em sempre os demais). Os eios devem ser traçados a borda da região impressa ou passado pelo zero da escala, se houver. 4. Os eios devem ser idetificados, com o ome da variável e respectiva uidade, a forma ome/uidade (mais modero!) ou ome(uidade).

3 5. Os eios devem ser divididos e graduados, de forma a facilitar a leitura de potos. Sedo assim, a graduação deve ser um múltiplo de,,.5 ou 5, multiplicada por uma potêcia coveiete de Marcar os potos o papel, iterpolado as escalas costruídas, mas sem que qualquer aotação seja feita as escalas e sem que se trace lihas de apoio. Lembre-se que os potos a realidade são áreas, devido à icerteza dos valores represetados. Estas áreas são represetadas por barras de icerteza. 7. Em toro de cada poto costrua as barras de icerteza das duas variáveis. A escala deve ser costruída de tal forma que as barras de icertezas ão sejam em muito grades, em muito pequeas. Em termos práticos isto sigifica que as barras devem se limitar ao itervalo de 0,mm a mm, garatido que a curva seja traçada sem ser achatada ( isto é, qualquer curva vira reta ) ou que se valorizem flutuações eperimetais como parte real da fução. 8. As barras de icerteza são calculadas a partir da icerteza da medida multiplicada pelo fator de escala do eio em que a variável será represetada. 9. Após marcar os potos, trace uma curva suave e uiforme, sem ifleões desecessárias ou bruscas. A curva traçada deve passar pela área de icerteza, sedo, a pior das hipóteses, tagete às mesmas. 0. Coloque um título ilustrativo de como os dados foram obtidos ou a que se referem. Não use: Nomes das variáveis ou seus símbolos, e as palavras: gráfico, fução, relação ou similares III.9 O uso do papel milimetrado A costrução de um gráfico em papel milimetrado se justifica em dois casos: Na costrução do primeiro gráfico relativo a um feômeo para se ispecioar a fução e, se possível, sugerir para ela uma forma matemática; Quado já se cohece a fução, fazer o seu gráfico liearizado, para obter as costates do modelo com a melhor aproimação possível Deve-se sempre ter em mete os seguites potos: Cada eio é idepedete: a escala, origem, etc... determiada para um eio ada tem a ver com o que se faz o outro eio A origem do eio só fará parte do gráfico se houver a ecessidade de se prepresetar valores positivos e egativos da variável, ou se a iteção for etrapolar até ela, ou aida, se, por raciocíio físico, se souber com certeza que o poto (0,0) faz parte da curva. Em algus casos, é mais coveiete represetar uma difereça ao ivés da própria gradeza. III.0 Escalas Logarítmicas

4 Quado se costrói um gráfico, o que se faz é estabelecer uma relação de proporcioalidade etre o valor da gradeza que se deseja represetar G e a distâcia d que separa cada graduação g da origem do eio. No caso de escalas lieares esta relação é : g g0 d sedo g o a graduação correspodete ao iício da escala e uma costate chamada fator de escala. Por outro lado, é possível costruir-se escalas ão-lieares de tal forma que a razão (g-g 0 )/d ão seja mais uma costate. Detre as escalas ão-lieares é bastate útil o uso de escalas logarítmicas, as quais, a distâcia d que separa cada graduação g da origem do eio é proporcioal ao logaritmo de g: D (log( G) log( g0)) Numa escala logarítmica, etão, a escala é liear com o logaritmo da gradeza! Cosidere, por eemplo, a escala acima. Com a ajuda de uma régua determie as distâcias etre as sucessivas graduações e a primeira graduação da escala, completado a tabela: Graduação G log(g) D (mm) D/log(G) Como você pode otar, as distâcias etre graduações sucessivas ão é costate, e ão eiste o zero. (você sabe porque?). A figura abaio mostra uma escala logarítmica maior, em que a graduação correspodete à origem do eio é g 0 =.0 0 Note que eistem trechos que se repetem: as décadas. Cada década correspode a uma potêcia de 0 da gradeza g a ser represetada o eio. Portato, quado for ecessário o uso de escalas logarítmicas, o primeiro cuidado é reescrever todos os valores a serem represetados a escala em otação cietífica, para defiir quatas décadas serão ecessárias e em qual das décadas os valores serão represetados. Eemplo: Represetar, uma escala logarítmica os seguites valores A = 0, kg =.0 - B = 5,0 kg = 5,0.0 0 C = 0 kg =,0.0 D = 85 kg = 8,5.0 Vê-se etão que serão ecessárias décadas para represetar estes valores. Colocado a origem a graduação g 0 =.0 - e os valores serão marcados, como mostrado a figura da págia seguite

5 Eistem o mercado tipos de papeis com escalas logarítmicas : Moolog : um dos eios é uma escala liear e o outro é uma escala logarítmica Dilog: este papel os dois eios são escalas logarítmicas. Quado se suspeita que a relação fucioal etre duas gradezas e é da forma = a.b, ao se aplicar a fução logaritmo esta equação, ela pode ser reescrita como log = log a +. log b ou aida log = A + B., sedo A = log a e B = log b Neste caso, pode-se adotar uma das duas soluções seguites calcular o logarítmo de, costruir uma ova tabela. Depois costruir o gráfico log. vs. para obter a reta e determiar os valores de A e B traçar o gráfico.vs. em papel moolog ( colocado a escala logarítmica) e determiar os valores de A e B a partir da reta. Qual das duas soluções lhe parece mais simples? Por esse motivo é que o papel moolog foi criado. De forma aáloga, quado se suspeita que a relação fucioal etre duas gradezas e é da forma = a. b, aplicado-se o logarítmo à equação, ela será reescrita como log = log a + b. log o que, o papel di-log os dará uma reta, cujo coeficiete agular é a potêcia b. Qualquer que seja o papel utilizado lembre-se sempre que, uma escala logarítmica, embora ão se teha feito eplicitamete o cálculo, o que está represetado é o logarítmo, em qualquer base, da gradeza!