Capítulo 8 Estimativa do Intervalo de Confiança. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.

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1 Capítulo 8 Estimativa do Itervalo de Cofiaça Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-1

2 Objetivos: Neste capítulo, você aprederá: Costruir e iterpretar estimativas de itervalos de cofiaça para a média aritmética e para a proporção Determiar o tamaho da amostra ecessário para desevolver um itervalo de cofiaça para a média aritmética ou para a proporção Utilizar estimativas de itervalos de cofiaça em auditoria Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-2

3 Tópicos 1. Itervalos de cofiaça para a média populacioal, μ Quado o desvio-padrão da população σ é cohecido Quado o desvio-padrão da população σ é descohecido 2. Itervalos de cofiaça para a proporção populacioal, π 3. Determiação do tamaho da amostra ecessário Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-3

4 Estimativa Potual Uma estimativa potual é um úmero úico. Para a média populacioal (e desvio-padrão populacioal), a estimativa potual é a média amostral (e o desvio-padrão amostral). O itervalo de cofiaça traz iformações adicioais sobre a variabilidade da estimativa. Limite Iferior do Itervalo Estimativa Potual Largura (amplitude) do Itervalo de Cofiaça Limite Superior do Itervalo Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-4

5 Estimativas do Itervalo de Cofiaça Um itervalo de cofiaça dá um itervalo de valores possíveis: Leva em cosideração a variação a estatística amostral que ocorre de amostra para amostra Baseada em todas as observações de 1 amostra Dá iformações sobre a proximidade do parâmetro populacioal descohecido Estabelecido em termos do ível de cofiaça Ex. 95% de cofiaça, 99% de cofiaça Não pode ser uca 100% de cofiaça Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-5

6 Estimativas do Itervalo de Cofiaça A fórmula geral de todos os itervalos de cofiaça é: Estimativa Potual ± (Valor Crítico) (Desvio Padrão) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-6

7 Nível de Cofiaça Nível de Cofiaça Cofiaça de que o itervalo coterá o parâmetro populacioal descohecido Um percetual (meor que 100%) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-7

8 Nível de Cofiaça Supoha ível de cofiaça = 95% Também escrito (1 - ) =.95 Uma iterpretação da frequêcia relativa: No logo prazo, 95% de todos os itervalos de cofiaça que poderão ser costruídos coterão o parâmetro descohecido Um itervalo específico pode coter ou ão o parâmetro verdadeiro Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-8

9 Itervalo de Cofiaça para μ (σ cohecido) Premissas Desvio-Padrão da população σ é cohecido População é ormalmete distribuída Se a população ão é ormal, use amostras grades Estimativa do Itervalo de Cofiaça: X Z σ (ode Z é o valor crítico em uma distribuição ormal padroizada para uma probabilidade α/2 em cada cauda) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-9

10 Ecotrado o Valor Crítico, Z Cosidere um itervalo de cofiaça de 95%: 1.95 α α Z uidades: X uidades: Z= Z= 1.96 Limite Iferior do Itervalo Estimativa Potual Limite Superior do Itervalo Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-10

11 Ecotrado o Valor Crítico, Z Itervalos de Cofiaça mais comus: 90%, 95%, e 99% Nível de Cofiaça Coeficiete de Cofiaça Valor Z 80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9% Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-11

12 Itervalos e Nível de Cofiaça Distribuição Amostral da Média /2 1 /2 Itervalos se extedem de: σ X Z a X Z σ μ x μ x 1 x 2 Itervalos de Cofiaça x (1-)x100% dos itervalos costruídos cotém μ; ()x100% ão. Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-12

13 Itervalo de Cofiaça para μ (σ cohecido) Exemplo Uma amostra de 11 circuitos extraída de uma população ormal tem resistêcia média de 2.20 ohms. Sabemos de testes ateriores que a população tem desvio-padrão igual a.35 ohms. Determie o itervalo de cofiaça a 95% para a verdadeira resistêcia média da população. Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-13

14 Itervalo de Cofiaça para μ (σ cohecido) Exemplo X Z σ (.35/ ) (1.9932, ) Nós estamos 95% cofiates de que o itervalo etre e ohms cotém a verdadeira média da população. Apesar da verdadeira média poder ou ão estar o itervalo, 95% dos itervalos formados desta maeira coterão a verdadeira média da população Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-14

15 Itervalo de Cofiaça para μ (σ descohecido) Se o desvio-padrão da população σ é descohecido, ós podemos adotar como aproximação o desvio-padrão da amostra, S Isso itroduz uma icerteza adicioal, já que S varia de amostra para amostra Etão, usamos a distribuição t de Studet ao ivés da distribuição ormal Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-15

16 Premissas: Itervalo de Cofiaça para μ (σ descohecido) Desvio-padrão da população é descohecido População é ormalmete distribuída Se a população ão for ormal, use amostras grades Use Distribuição t de Studet Estime o itervalo de cofiaça: X t- 1 (ode t é o valor crítico da distribuição t com -1 g.l. e uma área de α/2 em cada cauda) S Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-16

17 Distribuição t de Studet O valor t depede dos graus de liberdade (g.l.) Número de observações que estão livres para variar após a média da amostra ter sido calculada d.f. = - 1 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-17

18 Graus de Liberdade Ideia: Número de observações que estão livres para variar após a média da amostra ter sido calculada Exemplo: Supoha que a média de 3 úmeros seja 8.0 Seja X 1 = 7 Seja X 2 = 8 Qual o valor de X 3? Sea média dos valores é 8.0, etão X 3 deve ser 9 (i.e., X 3 ão é livre para variar) Aqui, = 3, etão os graus de liberdade são = 1 = 3 1 = 2 (2 valores podem ser qualquer úmero, mas o terceiro ão é livre para variar uma vez que a média está dada) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-18

19 Distribuição t de Studet Observe: t Z à medida que aumeta Normal Padrão (t com gl = ) Distribuições t são em forma de sio e simétricas, mas têm caudas mais gordas que a ormal t (gl = 13) t (gl = 5) 0 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-19 t

20 Tabela da t de Studet Áreas da Cauda Superior gl Seja: = 3 gl = - 1 = 2 =.10 /2 = /2 =.05 O corpo da tabela cotém os valores t, ão as probabilidades t Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-20

21 Itervalo de Cofiaça para μ (σ descohecido) Exemplo Uma amostra aleatória com = 25 tem X = 50 e S = 8. Costrua um itervalo de cofiaça a 95% para μ g.l. = 1 = 24, etão O itervalo de cofiaça é: X t S /2, (2,0639) 8 25 (46,698 ; 53,302) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-21

22 Itervalos de Cofiaça para a Proporção Populacioal, π Uma estimativa itervalar para a proporção populacioal ( π ) pode ser calculada acrescetado uma icerteza à proporção amostral ( p ) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-22

23 Itervalos de Cofiaça para a Proporção Populacioal, π Lembre-se que a distribuição da proporção amostral é aproximadamete ormal se o tamaho da amostra é grade, com desvio-padrão σ p Nós estimaremos este valor a partir dos dados amostrais: p(1 p) (1 ) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-23

24 Itervalos de Cofiaça para a Proporção Populacioal, π Os limites iferior e superior do itervalo de cofiaça da proporção populacioal são calculados com a fórmula: Ode: p Z p(1 Z é o valor crítico a distribuição ormal padroizada para o ível de cofiaça desejado p é proporção a amostra é o tamaho da amostra p) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-24

25 Itervalos de Cofiaça para a Proporção Populacioal, Exemplo Em uma amostra aleatória de 100 pessoas, 25 são cahotas. Costrua um itervalo de cofiaça para a verdadeira proporção de cahotos a população com 95% de cofiaça. p Z p(1 p)/ 25/100 1,96.25(.75)/ ,96 (.0433) (0,1651 ; 0,3349) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-25

26 Itervalos de Cofiaça para a Proporção Populacioal, Exemplo Nós estamos 95% cofiates de que a proporção de cahotos da população esteja etre 16,51% e 33,49%. Apesar de o itervalo de.1651 a.3349 poder ou ão coter a proporção populacioal verdadeira, 95% dos itervalos costruídos a partir de amostras de tamaho 100 coterão a verdadeira proporção de cahotos a população. Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-26

27 Determiado o tamaho da amostra O tamaho de amostra desejado pode ser defiido de forma a obter uma determiada margem de erro (e) com um ível de cofiaça especificado (1 - ) A margem de erro é também chamada de erro amostral O quão imprecisa é a estimativa do parâmetro populacioal O motate somado e subtraído da estimativa potual para formar o itervalo de cofiaça Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-27

28 Determiado o tamaho da amostra Para defiir o tamaho da amostra para a estimativa da média, você precisa cohecer: O ível de cofiaça desejado (1 - ), que determia o valor crítico Z O erro amostral desejado (margem de erro), e O desvio-padrão, σ e Z σ Agora, resolva para Z 2 e σ 2 2 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-28

29 Determiado o tamaho da amostra Se = 45, que tamaho de amostra é ecessário para estimar a média com uma margem de erro de ± 5 com 90% de cofiaça? 2 Z e σ 2 2 (1,645) (45) 2 219,19 Etão, o tamaho de amostra ecessário é = 220 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-29

30 Determiado o tamaho da amostra Se descohecido, σ pode ser estimado quado ecessário a fórmula do tamaho da amostra Use um valor para σ a partir da aálise da amplitude (se distribuição ormal esta é aproximadamete igual a 6σ) Selecioe uma amostra piloto e estime σ a partir do desvio-padrão da amostra, S Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-30

31 Determiado o tamaho da amostra Para determiar o tamaho da amostra ecessário para a proporção, você precisa saber: O ível desejado de cofiaça (1 - ), que determia o valor crítico Z O erro amostral aceitável (margem de erro), e A verdadeira proporção de sucessos, π π pode ser estimado a partir de uma amostra piloto, se ecessário (ou coservadoramete use π =.50) e Z ( 1 ) Resolvedo para Z 2 (1 ) 2 e Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-31

32 Determiado o tamaho da amostra Qual o tamaho da amostra ecessário à estimativa da proporção de defeituosos em uma grade população, com uma margem de erro de ±3%, e 95% de cofiaça? (Assuma que em uma amostra piloto foi obtida a proporção p =.12 de defeituosos) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-32

33 Determiado o tamaho da amostra Solução: Para 95% cofiaça, use Z = 1.96 e =.03 p =.12, etão use este para estimar π Z 2 (1 ) 2 e (1,96) 2 (.12)(1.12) 2 (.03) 450,74 Etão use = 451 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-33

34 Aplicações em Auditoria Seis vatages da amostragem estatística em auditoria Resultados amostrais são objetivos e defesáveis Desde que baseados em pricípios estatísticos demostráveis Permite a estimativa do tamaho da amostra previamete e com bases objetivas Permite uma estimativa do erro amostral Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-34

35 Aplicações em Auditoria Permite coclusões mais precisas sobre a população A aálise de toda a população pode demadar muito tempo e estar sujeitas a outros erros que ão o da amostragem Amostras podem ser combiadas e avaliadas por diferetes auditores Amostras são baseadas em abordagem cietífica Amostras podem ser tratadas como se tivessem sido feitas por um úico auditor Uma avaliação objetiva dos resultados é possível Baseado o cohecimeto do erro amostral Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-35

36 Estimado o Valor Total da População Estimativa Potual: Populatiototal NX Estimativa do Itervalo de Cofiaça: NX N(t ) 1 S N N 1 (Esta amostragem é sem reposição, etão use o fator de correção para populações fiitas a fórmula do itervalo de cofiaça) Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-36

37 Estimado o Valor Total da População Uma firma tem uma população de 1000 faturas e deseja estimar o valor total da população. Uma amostra de 80 faturas é selecioada com valor médio de $87.6 e desvio-padrão de $22.3. Ecotre a estimativa do valor total para um ível de cofiaça de 95%. Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-37

38 Estimado o Valor Total da População N 1000, 80, X 87,6, S 22,3 NX N (t 1) S N N 1 (1000)(87.6) (1000)(1,9905) ,48 O itervalo de cofiaça a 95% para o valor total da população de faturas é de $82.837,52 a $92.362,48 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-38

39 Itervalo de Cofiaça para a Difereça Total Estimativa Potual: Difereça Total ND Ode a difereça média D,é: Di i1 D ode D i valor auditado - valor origial Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-39

40 Itervalo de Cofiaça para a Difereça Total Estimativa do Itervalo de Cofiaça: ND N(t 1 ) S D N N 1 ode: S D i1 (D i D) 1 2 Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-40

41 Itervalos de Cofiaça Uilaterais Aplicações: ecotre o limite superior para a proporção de ites que ão estão em coformidade com os cotroles iteros Limite Superior p Z p(1 p) N N 1 Ode: Z é o valor crítico a ormal padrão para o ível de cofiaça desejado p é a proporção amostral de ites em ão coformidade é o tamaho da amostra N é o tamaho da população Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e 2008 Pearso Pretice-Hall, Ic. Chap 8-41

42 Estimativas e Questões Éticas Problemas Forecer somete estimativas potuais sem o itervalo de cofiaça e o tamaho da amostra Não iformar o ível de cofiaça da estimativa Não explicar, para o público leigo, o sigificado do itervalo de cofiaça Etão, ao trabalhar com estimativas a partir de amostras iforme sempre: A estimativa potual O itervalo de cofiaça com o respectivo ível de cofiaça O tamaho da amostra Uma explicação do coceito do itervalo de cofiaça Há 95% de chaces de que o itervalo xxxxxx coteha a verdadeira (xxxxx=média/desvio/proporção) da população