26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia.

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1 6//000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR 00- PROVA MATEMÁTICA Prova resolvida pela Profª Maria Atôia Coceição Gouveia RESPONDA ÀS QUESTÕES A SEGUIR, JUSTIFICANDO SUAS SOLUÇÕES QUESTÃO A mala do Dr Z tem um cadeado cujo segredo é uma combiação com cico algarismos, cada um dos quais podedo variar de 0 a 9 Ele esqueceu a combiação que escolhera como segredo, mas sabe que atede às codições: a) se o primeiro algarismo é ímpar, etão o último algarismo também é ímpar; b) se o primeiro algarismo é par, etão o último algarismo é igual ao primeiro; c) a soma dos segudo e terceiro algarismos é Quatas combiações diferetes atedem às codições estabelecidas pelo Dr Z? Atededo à codição c que deverá ser sempre satisfeita, temos os seguites pares de úmeros aturais: 0 e, e, e Atededo à codição a e c, ao mesmo tempo, temos: possibilidades para o primeiro e quito algarismo, possibilidades para os segudo e terceiro algarismos, e, 0 possibilidades para o quarto algarismo Logo um total de : 0 00 possibilidades Pela codição b se o primeiro algarismo é par, etão o último algarismo é igual ao primeiro Atededo portato à codição a e b, ao mesmo tempo, temos: possibilidades para o primeiro algarismo, possibilidades para os segudo e terceiro algarismos, 0 possibilidades para o quarto algarismo e apeas possibilidade para o quito algarismo, que deverá ser igual ao primeirologo um total de possibilidades Ao fial teremos possibilidades RESPOSTA: 00 combiações

2 QUESTÃO Determie todas as raízes de ³ ² - 0 P(-) é uma das raízes de ³ ² - 0 Apliquemos Rufii para dividirmos o poliômio ³ ² - por Assim (³ ² - ) : ( ) ² Etão ³ ² - 0 (³ ² - ) ( ) 0 (³ ² - ) 0 ou ( ) 0 ± -± - ou - - Logo as raízes da equação proposta são, e QUESTÃO Sedo r o meor detre os raios das bases, s o maior e, determie Dois coes circulares retos têm bases tagetes e situadas o mesmo plao, como mostra a figura Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro Sedo r o meor detre os raios das bases, s o maior e s r, determie

3 Uma das iformações do problema diz que os coes têm volumes iguais, logo πr²h πs²h r²h s²h H s r H Como pela última iformação do problema, - (I) h r s h Ledo a figura acima cocluímos que o triâgulo AVC é semelhate ao triâgulo CDE, etão H - h h H r s vale Hs hs hr sh Hs h(r s) (II) r s s h s r s - s s Comparado (I) e (II) temos: Como r s s s - ³ ² - 0, que é a mesma equação resolvida a questão e cujas raízes são, e - - RESPOSTA: Como é um úmero positivo o seu valor só pode ser QUESTÃO Determie o meor iteiro para o qual ( i) é um úmero real positivo ( i )! ( cos ( ) ise ( ) Sedo ρ ( ) e tg θ θ 0 ( i ) ( cos ( 0 ) ise( 0 )) Como o resultado é um úmero iteiro positivo ise ( 0 ) ou ou Sedo o resultado um úmero iteiro positivo, etão cos ( 0 ) > 0 e Resposta:

4 QUESTÃO O retâgulo ABCD está iscrito o retâgulo WXYZ, como mostra a figura Sabedo que, determie o âgulo θ para que a área de WXYZ seja a maior possível ; θ : α $ % θ \ [ θ ' α \ α [ & θ α [ \ < [ \ Os quatro triâgulos ( AXB, BYC, CZD, DWA) são semelhates Como AB AD, os catetos correspodetes guardam a mesma proporção A área do retâgulo WXYZ é S ABCD S ABX S AWD Sedo o triâgulo AXB retâgulo, eiste uma circuferêcia que circuscreve este triâgulo e que tem como diâmetro AB A área do triâgulo será cada vez maior à medida que o vértice X ficar mais distate de AB e alcaçara seu valor máimo quado o vértice ocupar a posição X o, O triâgulo ABC será etão retâgulo e isósceles e θ medirá %

5 QUESTÃO 6 Determie a área da região R defiida por R R R R sedo, R { (,) R²; 6 0}, R { (,) R²; 0 } e R {(,) R² ; 0} [\! [\! & $ \! % B As retas -0 e -60 iterceptam o eio O, respectivamete, os potos (0,0) e (,0) - 0 A iterseção etre essas retas é dada pela solução do sistema: A área do triâgulo ABC é ua QUESTÃO 7 Seja 0,,, uma seqüêcia ifiita de úmeros reais Sabedo que 0 0 e que os logaritmos decimais a 0 log 0, a log,, a log, formam uma PG de razão /, calcule o valor limite do produto P 0 0 quado tede a ifiito a 0 log 0 log 0 a 0 l a log a log 0 ; a log log 0 0 0, 0, 0 0 Assim P ; a log 8

6 O epoete é a soma dos termos de uma PG decrescete ifiita de razão 8 a, logo S P 0 0 0² 00 - q QUESTÃO 8 Prove que, se o quadrado de um úmero atural é par, etão o próprio úmero tem que ser, obrigatoriamete, par (isto é, N, ² é par é par ) Cosiderado o úmero atural p e o úmero ímpar, tal que, p ² (p )² p² p (p² p) se é ímpar, ² é ímpar O que prova que se é par, ² é par QUESTÃO 9 Cosidere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura) e os vetores u, v, w dados por u AB, v AE e w AD Sejam P o poto médio do segmeto AG e Q o poto do segmeto DB tal que Determie os úmeros a, b e c tais que PQ a u b v c w QB DQ

7 * ' & ( ) $ % O vetor AF u v AG u v w u v w Como P é o poto médio de AG AP (I) Sedo QB DQ DQ DQ DB DQ DB DB u w DQ (II) Aalisado a figura acima vemos que AQ AP PQ w DQ AP w DQ PQ (III) Substituido (I) e (II) em (III) teremos : u w u v w PQ w u v w u w w PQ u w u v w PQ w w u v PQ a u b v c w a, b e c QUESTÃO 0 Sejam F e F os potos do plao cartesiao de coordeadas F (-,0) e F (,0) Determie as coordeadas dos potos da reta r de equação cujas somas das distâcias a F e F sejam iguais a (isto é: determie as coordeadas dos potos P sobre a reta r que satisfazem PF PF ) O lugar geométrico dos potos de um plao tal que a soma de suas distâcias a dois potos fios deomiados focos, F e F, é costate, igual a a e maior que a distâcia etre os focos

8 [[ D ) ) E F % & [[ 0 A equação de uma elipse é b a No triâgulo OBC, b b Logo a equação da elipse é Sedo os potos M e N as iterseções da elipse com a reta Resolvedo o sistema: ou 0 - Os potos são ( ), 8 e, 0