Experimento 1 Estudo da Lei de Hooke

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1 Experimeto 1 Estudo da Lei de Hooke 1.1 Objetivos Físicos Verificação experimetal da lei de Hooke para uma mola helicoidal: Medida experimetal do módulo de rigidez do material μ. 1. Objetivos Didáticos Elaboração de relatório de atividades; Realização de medidas com istrumetal adequado; Aplicação da estatística pertiete, icluido propagação de erros; Obteção de valores através do método de regressão liear de um gráfico; 1.3 Material Necessário Mola helicoidal; Portamassas; Massas aferidas de 10 e 50g; Suporte para molas; Paquímetro; 1.4 Modelo Quado uma mola helicoidal é submetida a uma força de tração ou compressão, ela sofre certa deformação. Robert Hooke ( ) foi o primeiro a descrever a força de reação exercida por uma mola, como fução de sua deformação: F = k x ode x é a distesão ou compressão da mola, k é a costate elástica da mola e F é a itesidade da força elástica restitutiva: sempre oposta à força que causa a deformação. A costate elástica da mola depede do material do qual a mola é composta e de sua geometria. É possível demostrar que: μ d4 k = 8 N D 3 ode d represeta o diâmetro do fio, N é o úmero de espiras e D é o diâmetro itero das espiras. A quatidade μ é chamada módulo de Youg, módulo de rigidez, ou módulo de cisalhameto do material. 1.5 Procedimeto Fixar uma das extremidades da mola o suporte. A mola ficará a vertical. Aotar a posição da extremidade livre, a qual será defiida como posição de relaxameto x o. O portamassas tem etão sua massa 1

2 m 1 medida com a balaça de precisão e é depedurado a extremidade livre da mola. A distesão da mola x 1 é medida, com relação à posição de relaxameto x o. O par (m 1, x 1 ) costitui a primeira medida. Em seguida, massas diferetes são acrescidas ao portamassas e o cojuto (portamassas + massas adicioais) tem sua massa aferida a balaça de precisão. Para cada cojuto de massa total diferete o deslocameto causado a mola é medido, sempre com relação à posição iicial x o. Deve-se realizar o máximo de medidas possível com o material dispoível o laboratório. Para cada medida descrita acima, deve-se realizar medidas idepedetes, ode é o úmero de itegrates do grupo. Cada itegrate irá produzir uma tabela relacioado as massas e os deslocametos: m i (g) x i (mm) Etão as tabelas são sitetizadas em uma úica e a média aritmética de cada medida é obtida: m i (g) x i (mm) m i (g) x i (mm) m i (g) x i (mm) m i (g) x i (mm) Por fim, as características geométricas da mola são medidas: o diâmetro do fio d, o diâmetro itero das espiras D e o úmero de espiras N. As medidas de d e D devem ser feitas com um paquímetro. Novamete, cada itegrate do grupo deve realizar uma medida, de preferêcia em regiões diferetes da mola de forma a cosiderar pequeas variações a geometria ao logo da mola. As medidas podem ser colocadas em uma úica tabela para que o fial a média seja feita sobre elas: Lembre-se de que cada uma destas medidas tem um erro. Os erros serão descritos a seção de tratameto de dados. No caso de haver mais de uma mola diferete dispoível, deve-se repetir todo o procedimeto para pelo meos duas molas, separado todas as tabelas com os títulos Mola 1 e Mola. 1.6 Tratameto de Dados Devem ser levadas em cota todas as fotes de icerteza o tratameto dos dados, a fim de se obter ão só um valor cetral para as medidas idiretas de k e μ, como também seus erros Δk e Δμ. Cada medida direta x i e m i tem um erro associado ao istrumeto de medida. No caso do paquímetro (utilizado para medir x i ) há um erro correspodete à metade do fudo de escala, ou seja, metade da meor divisão de sua escala. No caso mais simples, o paquímetro tem divisões de décimo de milímetro, ou seja, 0,1mm. Sedo assim, o erro associado a todas as medidas feitas com o paquímetro é metade deste: δ = 0,05mm

3 Outros modelos de paquímetros podem ser mais precisos. O estudate deve coferir a escala do paquímetro utilizado ates de assumir que o erro correspodete à suas medidas é 0,05mm. Este valor é o limite do seu istrumeto: ehuma medida feita por este paquímetro pode ser mais precisa do que cico cetésimos de milímetro. Etretato, existem outras fotes de erro, em geral muito maiores do que esta. O paquímetro depede de seus olhos para realizar as medidas, por exemplo. Depededo do âgulo que se observa, o valor lido parece diferete. Este efeito é chamado de paralaxe e ão é fácil estimar sua ifluêcia. Outra fote de erro é a irregularidade geométrica dos objetos. Por exemplo, o fio que compõe a mola pode variar seu diâmetro ao logo do seu comprimeto. Porém, a fórmula há espaço para apeas um valor (idealização). Tato a paralaxe quato a irregularidade geométrica são fotes de icerteza das quais ão podemos os livrar, mas podemos ter idéia da sua gradeza estudado seus efeitos as medidas. Todas as icertezas aleatórias causam uma variabilidade as medidas. É por este motivo que dois colegas de classe podem realizar a mesma medida e acabar com valores diferetes. No caso de um grupo de cico itegrates, por exemplo, cada medida foi feita = 5 vezes. Neste caso, o valor fial do que chamaremos de medida é a média aritmética x dada por: x = x 1 + x + + x Para ter cotrole dos erros aleatórios cometidos, realizamos várias vezes a mesma medida e estimamos o desvio padrão da medida de acordo com a seguite expressão: s = i=j x j x 1 Por outro lado, cada medida tem um erro atural proveiete do istrumeto δ. Medidas feitas com um mesmo paquímetro, por exemplo, têm o mesmo erro. Propagar o erro de cada medida para calcular o erro da média pode ser feito pela fórmula para o erro da soma: δ = Erro x = δx 1 + δx + + δx Porém, o caso do paquímetro, todos os erros δx i são iguais ao erro míimo δ: Portato: δ = δ = δ δ = δ Por fim, deve-se combiar o erro do paquímetro com a variação das medidas a forma de um úico erro: Δx = δ + s As massas medidas através da balaça de precisão podem ter erros diferetes. Isto ocorre porque algumas balaças têm suas icertezas dadas em porcetages do valor medido. No caso de medidas que resultam em valores próximos, o erro pode ser aproximado pelo maior erro cometido. Mas o caso de massas que variem de 1g a 500g, por exemplo, o erro absoluto de cada medida será muito diferete para ser cosiderado costate. Neste caso, δ deve ser obtido sem simplificações: 3

4 δ = δm 1 + δm + + δm Este processo é feito para cada grupo de medidas repetidas (posições, massas, e características geométricas das molas) de forma que o fial, obtêm-se duas tabelas para cada mola: m i (g) Δm i (g) x i (mm) Δx i (mm) Medida valor erro N Uma vez que lidamos com os erros, vamos aplicar o cohecimeto do modelo para determiar a costate da mola k. Em cada medida, a força aplicada a mola é equivalete ao peso, em ewtos, da massa. Etão, em módulo, temos: Isolado a massa, temos: F = k x m g = k x m = k g x Esta expressão pode ser comparada a uma reta: y i = a x i ode o coeficiete agular da reta a cotém o valor da costate da mola k (dividido pela aceleração da gravidade g). Assim, faz-se um gráfico (em papel milimetrado ou em software de aálise estatística, como Excel ou Origi) e estima-se o coeficiete liear da reta e seu erro. Idepedete do gráfico, pode-se estimar o coeficiete agular de uma reta através do método dos míimos quadrados: a = y i x y i x i x A estimativa do erro de a pode ser obtida por: Δa = y i a x i ( ) x i x Neste caso, ão represeta as repetições de cada medida (como ateriormete), mas sim, o úmero total de medidas diferetes realizadas. De posse de a ± Δa, precisamos assumir um valor para g e Δg. A aceleração da gravidade é ligeiramete diferete em cada poto da Terra, devido à altitude, à latitude, e até a composição local do solo. Etão podemos assumir um valor mais impreciso e admitir certa margem de erro. Para todos os efeitos, vamos adotar g = 9,8 ± 0, m/s, o que cobre valores etre 9,6 e 10,0m/s. Assim, podemos fialmete obter o valor de k: k = a g 4

5 E seu erro, com base a fórmula para propagação de erros a multiplicação: Δk = k Δa a + Δg g O resultado fial deve ser apresetado a forma de k = k ± Δk N/m. De posse do valor de k, podemos obter o valor do módulo de Youg do material: E seu erro: k = μ d4 8 k N D3 μ = 8 N D3 d 4 Δμ = μ ΔN N + 3 ΔD D + 4 Δd d 1.7 Coclusões O resultado fial deve ser apresetado a forma de μ = μ ± Δμ? (Qual é a uidade de μ?). Compare seus valores obtidos, especialmete para μ, com os da literatura (ou a iteret). Você cosegue dizer qual metal compõe as suas molas? Como um guia para o relatório tete respoder às seguites pergutas, ao logo do seu texto (estes item serão avaliados para ota): 1) Qual a uidade de μ? Faça uma aálise dimesioal. ) Qual o erro do úmero de espiras N? Este úmero é mesmo um úmero iteiro? 3) Você etedeu a difereça etre repetir a mesma medida várias vezes e tomar diversas medidas para o experimeto? (ou seja, quado é que represeta os elemetos do seu grupo e quado ele represeta o úmero total de medidas diferetes feitas?) 4) Você sabe ode foi parar o coeficiete liear da reta que ajustamos? Pesquise a literatura sobre o método dos míimos quadrados e pese sobre o assuto. 5) Os erros de cada medida foram cosiderados a determiação do coeficiete agular da reta? Pesquise a literatura métodos alterativos para se fazer este ajuste (a maioria ecessita de um computador). 6) Você cosegue reproduzir as fórmulas de erro usadas aqui? É importate que a dedução destas fórmulas, com base as fórmulas que vimos em sala, apareça o relatório. 7) Por fim, o que você coclui sobre seus resultados? De que material suas molas são feitas? Você cosegue fizer só pelo módulo de Youg obtido? Seus erros foram muito grades? Quais foram os erros fiais, em porcetagem (erro relativo). 5