FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 1
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- Glória de Miranda Camilo
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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Professor: Classificação: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as ustificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato. (0). Cosidere a sucessão u defiida por: u Prove que grade. u ão é itada superiormete e ustifique que Comecemos por defiir u por ramos: Temos u se ímpar se ímpar = = se par se par A subsucessão dos termos de ordem ímpar é costate, portato, é itada. Quato à subsucessão dos termos de ordem par, temos. u ão é um ifiitamete Assim, fixado um úmero real L 0 (por exemplo, L 4 ), todos os termos de ordem par são sempre iferiores a L. Portato, u ão é um ifiitamete grade positivo. Outro processo: Como u tem uma subsucessão itada etão essa subsucessão ão tede para. Provemos que, isto é, L 0, p : p L Temos L L L L Portato, por muito grade que sea o valor L 0 fixado, a partir do termo de ordem p todos os termos de ordem par são superiores a L. Isto sigifica que ão é maorada, ou sea, u ão tem ite superior. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
2 . Cosidere a sucessão a que satisfaz a codição: a a 7 Diga, ustificado adequadamete, se as afirmações seguites são verdadeiras ou falsas: (0).. a é uma progressão aritmética. Numa progressão aritmética a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos é costate. Neste caso, como a a depede do valor de podemos cocluir que essa difereça ão é costate. Portato, a afirmação é FALSA. (0).. a é uma sucessão estritamete crescete. a é estritamete crescete se e só se a a 0, Como a a 7, temos de estudar o sial de 7 Temos: 7 0 Uma vez que os termos de \ 4, temos a a 0 Logo a afirmação é FALSA estão sobre uma parábola de cocavidade voltada para cima, Ou: a a 0, (0).. a tem três termos cosecutivos iguais. Da questão aterior cocluímos que a a 0 4 Assim, para temos a a 0 a4 a para 4 temos a 4 a 4 0 a5 a4 Portato, a5 a4 a, o que sigifica que a afirmação é VERDADEIRA. (0).4. a é um ifiitamete grade positivo. É dito que a a 7 Assim, a a 7 Como a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos de a é maior ou igual a zero (questões. e.) e tede para, esta sucessão só pode ser um ifiitamete grade positivo. Portato, a afirmação é VERDADEIRA. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
3 . A Joaa, pela primeira vez, obteve 0 valores o teste de matemática e o seu avô diz que cumprirá a sua promessa: Durate um ao dar-te-ei uma mesada; No.º mês dou-te 50 euros; Em cada um dos messes seguites dar-te-ei 0% do que te dei o mês aterior. (0).. Quato recebe a Joaa o.º mês? E o.º mês? Como recebe sempre 0% do que recebeu o mês aterior, o.º mês recebe 0% de 50 0, euros o.º mês recebe 0% de 45 0, 45 40, 5 euros (0).. Sedo a sucessão que represeta a mesada que a oaa recebe o mês de ordem, defia a sucessão por recorrêcia e determie o termo geral de Como de mês para mês (ou de termo para termo) se multiplica por 0,, os valores da mesada que a Joaa. recebe estão em progressão geométrica de razão r 0, e cuo primeiro termo 50 por recorrêcia temos e o termo geral de 50 0,, é 50 0,. Assim, (0).. Calcule a mesada que a Joaa receberá o.º mês e determie o valor total que a Joaa receberá ao fim de um ao ( meses). No.º mês a oaa recebe,,,..., isto é, 5,6 euros Ao fim de ao temos de calcular a soma dos primeiros termos da sucessão. Temos S r, portato, r S 0, 50 = 50 0, 0, = 500 0, 0, = 58, Ao fim de um ao a Joaa recebe 58,7 euros. (0).4. A Joaa voltou a ter 0 valores e o avô resolveu cotiuar com a promessa para além dos meses. Supodo que ambos vivem eteramete, determie o valor total que a Joaa receberá. Temos de calcular a soma de todos os termos da progressão geométrica, r r Como r 0,, a soma S é covergete e é dada por S r r r = Assim, S 500 0, 0, Portato, a Joaa receberá um total de 500 euros. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
4 4. Num supermercado foram expostas 640 caixas de determiado produto formado uma pirâmide com 40 adares (camadas). O primeiro adar (o da base) tem 80 caixas e de cada adar para o que está imediatamete acima é reduzido sempre o mesmo úmero de caixas. (0) 4.. Determie o úmero de caixas que tem o último adar da pirâmide. Como de cada adar para o que lhe está por cima é reduzido sempre o mesmo úmero de caixas, sabemos que o úmero de caixas de cada adar está em progressão aritmética (de razão r egativa) e que a 80. Sedo a a sucessão que represeta o úmero de caixas do adar, temos S a a40 80 a Assim, S a40 40 a a40 Portato, o último adar tem apeas caixas. (0) 4.. Quatas caixas tem o vigésimo adar da pirâmide? Pretedemos de descobrir a 0. Como cohecemos a 80 e a40, podemos descobrir a razão da progressão. Temos a40 a r. Assim, 80 r r 80 Portato, a a r 78 r r ou determiar e usar o termo geral Logo o 0.º adar da pirâmide tem 4 caixas. (5) 5. Usado sucessões, mostre que a soma dos primeiros úmeros pares é dada por. Pretedemos mostrar que Isto correspode à soma dos primeiros termos da progressão aritmética de termo geral p. p p Sabemos que S Portato, = = = c.q.m. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia 4/6 Versão
5 6. Calcule cada um dos seguites ites, apresetado todos os raciocíios efetuados: (0) 6.. Temos, L.I. idetermiação = = = = 0 = (0) 6.. Temos L.I. = idetermiação = = = = = = 0 (5) 6.. cos Como cos dado. varia etre - e, vamos usar o teorema das sucessões equadradas para calcular o ite Comecemos por equadrar a expressão Temos, cos, Somado, Dividido por, cos cos, Assim, = cos,. = = e = = cos Portato, pelo teorema das sucessões equadradas, = (0) 6.4. Temos = 0 idetermiação L.I. = = = = = = 0 = 0 Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia 5/6 Versão
6 7. Para cada uma das questões seguites, idique a resposta correta. Não ecessita de apresetar cálculos ou ustificações. (5) 7.. A taxa de variação média de uma fução f um itervalo a, b do seu domíio é zero. Podemos cocluir que: (A) f é costate em (C) f é decrescete em Temos tmv 0 a,b OPÇÃO D f b a, b (B) f é crescete em a, b f a b a a, b (D) f a f b 0 ba f b f a 0b a f b f a 0 f b f a (5) 7.. De uma fução f de domíio, ímpar e ietiva, sabe-se que f a Qual é o valor de f b f b (A)? b. b (B) b (C) 0 (D) a Como f é ímpar sabemos que f a f a b Assim, f a b a f b Portato, e f a b a f b f b f b a a a OPÇÃO D (5) 7.. Ao lado ecotra-se uma represetação gráfica de uma fução f, poliomial do.º grau. A reta y é tagete ao gráfico o poto Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) (B) f f 0 f f (C) f f (D) f f 0 Temos f f f f f,. 0 OPÇÃO C (5) 7.4. Relativamete à fução represetada a questão aterior, qual dos valores seguites pode Como represetar (A) f ' f'? f (B) mt decrescete), etão (C) 0 (D) (declive da reta tagete) o poto de abcissa, e a tagete tem declive egativo (reta f' 0. Nota: f 0 também ão verve. OPÇÃO B BOM TRABALHO! Prof. José Tioco Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia 6/6 Versão
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