CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso

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1 CORRELAÇÃO Aqui me tes de regresso O assuto Correlação fez parte, acompahado de Regressão, do programa de Auditor Fiscal, até 998, desaparecedo a partir do cocurso do ao 000 para agora retorar soziho. Mesmo sabedo que Regressão ão faz mais parte do programa, devemos, pelo meos, eteder a difereça etre Correlação e Regressão, que são assutos próimos, mas ão são a mesma coisa. A CORRELAÇÃO mede a força, a itesidade ou grau de relacioameto etre duas ou mais variáveis. A REGRESSÃO forece uma equação que descreve esse relacioameto em termos matemáticos. Para um modelo liear simples podemos ecotrar essa equação (chamada de equação da reta ajustate e igual a: Ŷ = α ˆ + βˆ ) pelo Método dos Míimos Quadrados e através dessa equação poder estimar valores ão observados da variável Y. Os valores de β (coeficiete agular da reta) e de α (itercepto) serão calculados com base as observações de e de Y. É claro que só poderemos estabelecer um modelo de regressão etre duas (regressão simples) ou mais (regressão múltipla) variáveis se estas forem depedetes, ou seja, o valor de Y depede do valor de e esse caso eiste correlação etre e Y (correlação diferete de zero), pois as variáveis se relacioarão. Se as variáveis forem idepedetes, (ão há relacioameto etre elas), ão eistirá correlação (correlação ula ou ausêcia de correlação) e esse caso ão poderemos estabelecer um modelo de regressão. A Correlação etre duas variáveis pode ser: ) POSITIVA (Correlação Direta) Quado, para valores altos de uma variável correspoderão valores altos para outra e para valores baios de uma, associaremos também valores baios para outra. Nesse caso, o valor do Coeficiete de Correlação etre e Y ( ρ ) estará etre 0 (eclusive) e (iclusive), ou seja, 0 < ρ. Quado ρ =, dizemos que a Correlação etre e Y é Direta e Perfeita. Assim, para cada aumeto a variável, a variável Y aumetará a mesma proporção. Eemplos de correlação direta: salário e ivestimeto em poupaça (em geral quato maior for o salário maior será o valor poupado); idade e pressão arterial (em geral, as pessoas mais idosas têm maior pressão arterial); ota em Matemática e ota em Estatística (geralmete as pessoas com maior dificuldade em Matemática, otas baias, terão maior dificuldade em Estatística, apresetado também, otas baias); ) NEGATIVA (Correlação Iversa) Quado as variáveis têm setidos opostos, ou seja, à medida que aumeta, o valor de Y dimiui. Nesse caso, o valor do Coeficiete de Correlação etre e Y ( ρ ) estará etre (iclusive) e 0 (eclusive), ou seja, ρ < 0. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

2 Quado ρ =, dizemos que a Correlação etre e Y é perfeitamete iversa e assim, a cada aumeto da variável, a variável Y dimiuirá a mesma proporção. Um eemplo de Correlação Iversa: cosiderado automóveis de mesmo ao, marca e modelo, quato maior for a quilometragem do veículo, meor será o preço de veda. 3) NULA (ausêcia de correlação) Quado ão é possível estabelecer uma relação etre as variáveis e Y, e esse caso ρ = 0. É o que ocorre quado as VARIÁVEIS forem INDEPENDENTES. Aalisado os três casos possíveis com relação à Correlação, vemos que o seu coeficiete ( ρ ) varia apeas o itervalo de até, ou seja, ρ = [ ; +]. A Correlação será forte (positiva ou egativamete) quado estiver próima de ou de, e fraca quado estiver próima de zero. Abaio, temos os diagramas de dispersão para os três tipos de correlação descritos ateriormete: Etraídos do livro Estatística Aplicada à Admiistração William J. Steveso Editora Harbra. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

3 Uma fórmula para ecotrar o valor do Coeficiete de Correlação Liear Simples é dada por: ρ = Y Y ( ) Y ( Y), ode é o úmero de pares de observações. Mas essa fórmula pode ser resumida por: COV(, ) ρ = ou seja: É a Covariâcia etre e Y dividida pelo produto dos desvios padrões de e de Y. Observe que, a ª fórmula dada, o deomiador temos: ( ) que ada mais é do que σ ; e ( Y) Y que ada mais é do que σ ; Observe agora que o umerador da ª fórmula é: Y Y que ada mais é do que COV(, ). Etão, substituido Y Y por COV(, ), ( ) por σ e ( Y) Y por σ teremos: COV(, ) ρ =. σ σ Dividido o umerador e o deomiador por, fica: ρ COV(, ) =, que é bem mais fácil de guardar do que a ª fórmula. Etão, é importate saber que a Covariâcia etre e Y ada mais é do que a esperaça cojuta de e Y meos o produto das esperaças idividuais, ou seja: COV(,) E[ Y] E[ ] E[Y = ]. Provado que as trasformações estão corretas: Y [ ] = ; E[ ] = e E[ Y] E Y Y =. Y Y Assim, COV(, ) = Multiplicado por ambos os membros da igualdade: Y Y COV(, ) =. Y Y COV(, ) = COV(, ) = Y Y A variâcia de é dada por: σ = ( ). Multiplicado por ambos os membros da igualdade fica: σ = ( ) Logo: σ = ( ) σ = ( ) CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 3

4 Portato, o desvio padrão de será: σ = ( ) O mesmo procedimeto será válido para provar que: σ = Y ( Y) Qual das duas fórmulas utilizar? ρ = Y Y ( ) Y ( Y) ou COV(, ) ρ =? Como já cometado ateriormete, ambas são equivaletes, mas a seguda é bem mais fácil de guardar do que a primeira. Para decidir qual das duas usar, depederá dos dados forecidos a questão que for proposta, mas em qualquer uma das duas fórmulas o ideal é começar calculado o umerador, pois se as variáveis forem idepedetes, a covariâcia será igual a zero e podemos respoder que a correlação também será zero, sem ecessidade de cálculo das variâcias de e de Y, o que já evitará trabalho e perda de tempo. Veja a seguda fórmula, ρ COV(, ) =, que o deomiador será sempre positivo, pois cada desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variâcia (ão eiste desvio padrão egativo). Ora, o produto de dois valores positivos sempre será positivo. O que irá determiar se a Correlação será positiva, egativa ou ula, será a Covariâcia, pois se: ) COV(,) > 0 ) COV(,) = 0 3) COV(,) < 0 + ρ = 0 + ρ > 0 ρ = 0 + ρ = ρ = 0 + ρ < E quado a covariâcia será positiva, egativa ou ula? Depederá do valor da esperaça cojuta e dos valores das esperaças idividuais, pois sabemos que: COV(,) = E[ Y] E[ ] E[ Y] Logo, se: [ Y] > E[ ] E[ Y] COV(, ) 0 E > [ Y] = E[ ] E[ Y] COV(, ) 0 E = [ Y] < E[ ] E[ Y] COV(, ) 0 E < Embora o osso foco pricipal seja Correlação, é importate saber que, quado ρ 0, podemos estabelecer a reta de regressão, dada por: Ŷ = α ˆ + βˆ. Quado ρ > 0, o valor do coeficiete agular da reta ( βˆ ) também será positivo e a reta terá icliação para cima. Quado ρ < 0, o valor do coeficiete agular da reta (β ˆ ) também será egativo e a reta terá icliação para baio (veja os diagramas de dispersão mostrados ateriormete). CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 4

5 Vejamos um eemplo umérico para melhor etedimeto: Abaio temos uma tabela com as otas obtidas por aluos em Matemática (variável ) e Estatística (variável Y): ALUNO Y A 6 7 B 5 6 C 9 D 9 E 3 F 4 3 G 8 9 H 7 5 I 6 6 J 3 Sem fazer cálculo algum, podemos eteder que deverá haver relação etre essas variáveis, ou seja, o aluo que tem dificuldade em Matemática deverá ter dificuldade também em Estatística, que é uma disciplia que depede essecialmete da Matemática. Portato para valores altos de teremos associados valores altos em Y e para valores baios em valores baios em Y (correlação direta). Vejamos etão se a covariâcia é diferete de zero, lembrado que COV(,) Y = E[ Y] E[ ] E[Y]. Lembrado aida que: E[ Y] = ; E [ ] = e E[ Y] Vamos etão calcular, a tabela dada, esses somatórios: ALUNO Y Y A B C 9 90 D 9 90 E 3 6 F 4 3 G H I J 3 6 TOTAL E Y = = 4, ; E [ ] = 6 e Assim, [ ] 9 Portato, COV(,) Y 60 = E [ ] = = 6 = 4,9 6 6 COV(,) = 4,9 36 COV (,) = 5,9. Y =. Observamos que, como já havíamos previsto, há uma correlação direta etre e Y, pois COV(,) > 0 e assim sedo, ρ > 0. Vamos etão avaliar o grau, a força ou itesidade desse relacioameto calculado o Coeficiete de Correlação etre e Y. Se tivéssemos obtido COV(,) = 0 em calcularíamos as variâcias, pois se o umerador fosse igual a zero, ρ seria igual a zero. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 5

6 Precisamos agora, calcular as variâcias de e de Y para obter os seus desvios padrões. Completado a tabela aterior com os quadrados de e de Y, temos: ALUNO Y Y Y A B C D E F G H I J TOTAL V[] = ( ) V[] = 40 ( 60) = V[] { } 60 V [] = = 6. V[Y] = Y ( Y) V[Y] = 430 ( 60) = V[Y] { } 70 V [Y] = = 7. Podemos agora calcular o Coeficiete de Correlação, utilizado a fórmula mais simples COV(, ) ρ = 5,9 ρ = 6 7 uma forte correlação etre estas variáveis. 5,9 ρ = ρ = 0,, o que idica haver Cosiderado que o assuto Regressão ão faz parte do programa de Auditor Fiscal, mas apeas Correlação, ão vamos os aprofudar o assuto, mas é importate saber que, como já dito o iício, a equação de regressão ( Ŷ = α ˆ + βˆ ) permitirá fazermos estimativas para valores que costam e, pricipalmete, para valores que ão costam do cojuto de observações. É importate otar também que, para calcular o valor de αˆ (itercepto), precisaremos calcular primeiro o valor de βˆ. Para calcular o β ˆ da equação, temos a fórmula: βˆ Y Y =. Mas, se já calculamos o valor do Coeficiete de Correlação e os ( ) valores dos desvios de e de Y, fica bem mais fácil usar uma fórmula equivalete: σ ˆ β = ρ. No eemplo dado, β ˆ 7 será igual a: β ˆ = 0,9 β ˆ 0, 98 σ 6 Cohecedo o valor de β ˆ, podemos ecotrar o valor de αˆ fazedo (pelas propriedades da média): Y = α ˆ + β ˆ α ˆ = Y β ˆ. Ou usar a fórmula equivalete: Y β α ˆ =. No osso eemplo, Y = 6, = 6 e β ˆ = 0,98. Logo: α ˆ = 6 0,98 6 α ˆ = 0, Assim, a equação da reta de regressão será dada por: Ŷ = 0, + 0,98. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 6

7 Com esta equação obteremos as seguites estimativas para Y em fução do valor de : ALUNO foi igual a: A estimativa para Y será: A 6 Ŷ 0, + ( 0,98 6) B 5 Ŷ 0, + ( 0,98 5) C 9 Ŷ 0, + ( 0,98 9) D Ŷ 0, + ( 0,98 ) E 3 Ŷ 0, + ( 0,98 3) F 4 Ŷ 0, + ( 0,98 4) G 8 Ŷ 0, + ( 0,98 8) H 7 Ŷ 0, + ( 0,98 7) I 6 Ŷ 0, + ( 0,98 6) J Ŷ 0, + ( 0,98 ) = Ŷ = 6,00 = Ŷ = 5,0 = Ŷ = 8,94 = Ŷ = 9,9 = Ŷ = 3,06 = Ŷ = 4,04 = Ŷ = 7,96 = Ŷ = 6,98 = Ŷ = 6,00 = Ŷ =,08 Um dos pressupostos básicos da regressão é que o valor esperado dos resíduos (difereça etre o valor real e o valor estimado) seja igual a zero. Vamos verificar que isto ocorre o osso eemplo, pois: Aluo Y (real) Ŷ (estimado) Resíduos: Y Ŷ A 6 7 6,00 B 5 6 5,0 0,98 C 9 8,94,06 D 9 9,9 0,9 E 3 3,06,06 F 4 3 4,04,04 G 8 9 7,96,04 H 7 5 6,98,98 I ,00 J 3,08 0,9 SOMA DOS RESÍDUOS 0,00 Usado a equação que ecotramos para a reta, podemos fazer diversas estimativas, como por eemplo, podemos estimar que: a) Um aluo que tirou em Matemática obteria: Ŷ = 0, + ( 0,98 ) =, em Estatística; b) Um aluo que tirou 3,5 em Matemática obteria: Ŷ = 0, + ( 0,98 3, 5) = 3,55 em Estatística; c) Um aluo que tirou 8,5 em Matemática obteria: Ŷ = 0, + ( 0,98 8, 5) = 8,45 em Estatística; CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 7

8 A seguir, vemos o gráfico de dispersão para os valores observados de e de Y e os valores estimados pela reta de regressão: Gráfico de Dispersão etre a Nota em Estatística (Y) e a Nota em Matemática () 8 Y = 0,98 + 0, Nota obtida em Estatística Nota obtida em Matemática Neste eemplo, fica difícil buscar valores a estimar porque a variável ota, em geral, fica limitada etre zero e dez. Vamos utilizar outro eemplo, apeas para fazer estimativas, sedo já forecidos o Coeficiete de Correlação e a equação de regressão. A tabela abaio idica as idades () e as pressões arteriais (Y) de mulheres: IDADE () PRESSÃO ARTERIAL (Y) variáveis e Y. Coeficiete de Correlação: ρ = 0, 896. Isto mostra um forte relacioameto etre as Reta de regressão: Ŷ = 80,78 +,38 Com base a equação de regressão, quais as estimativas de pressão arterial para: a) Uma mulher de 45 aos? b) Uma mulher de 30 aos? c) Uma mulher de 70 aos? RESPOSTAS: a) 3 (3,988); b) 5 (4,979); c) 60 (60,438). CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 8

9 ALGUMAS QUESTÕES - EEMPLOS INTERESSANTES SOBRE O ASSUNTO: Questão [BACEN-98] Duas variáveis e Y têm coeficiete de correlação liear igual a 0,9. Obtedo-se a reta de regressão liear simples de Y sobre, pode-se dizer que seu coeficiete agular: (a) Será meor que 0,9 (b) Será maior que 0,9 (c) Poderá ser egativo (d) Poderá ser ulo (e) Será positivo RESPOSTA: LETRA E. Esta é etremamete fácil, mas é só para começar. É claro que, se o coeficiete de correlação liear for positivo o coeficiete agular também será positivo, pois a reta de regressão terá icliação para cima. Questão [IBGE-99] Se é uma variável aleatória e Y = 5, etão o coeficiete de correlação liear etre e Y é igual a: (a),5 (b),0 (c) 0 (d) 0,4 (e),0 RESPOSTA: LETRA E. Também é uma questão fácil. Basta ver que, se substituirmos, a equação dada, pelos valores 0,,, 3 por eemplo, vamos obter valores de Y iguais a, respectivamete, 5, 3,,, ou seja, esses potos formarão uma reta icliada para baio e a cada aumeto de uidade em, teremos uma redução de uidades em Y, o que os mostra que há uma relação perfeitamete iversa. Logo o Coeficiete de Correlação só pode ser,0. Questão 3 [SUSEP-94] Se as variáveis aleatórias e Y são tais que Y =, o coeficiete de correlação liear γ etre e Y é tal que: (a) γ = (b) γ = 0 (c) γ = (d) 0 < γ < (e) < γ < 0 RESPOSTA: LETRA A. Nem é preciso dizer que o raciocíio é idêtico ao da questão aterior, com a difereça que, esta, a cada aumeto de uidade em, teremos um aumeto de uidades em Y, o que os mostrará uma relação perfeitamete direta etre e Y. Logo o Coeficiete de Correlação só pode ser igual a. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 9

10 Questão 4 [SUSEP-98] Cosidere e Y duas variáveis aleatórias com variâcias de 4 e, respectivamete, e coeficiete de correlação igual a /4. A variâcia de Z = ( + Y) é: (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 4/8 (e) /4 RESPOSTA: LETRA B. Aida é uma questão fácil, mas ão tão óbvia como as ateriores. Veja que, se as variâcias de e Y são, respectivamete, 4 e, os desvios padrões serão respectivamete e. Agora, peguemos aquela fórmula do Coeficiete de Correlação em fução COV(, ) da Covariâcia dividida pelo produto dos desvios: ρ =. O valor do Coeficiete de Correlação (rô), foi dado o euciado e é igual a /4. Substituido a fórmula, ecotraremos o COV(, ) valor da Covariâcia, pois: = COV (,) =. Agora veja (à págia 4 do meu livro 4 Estatística Básica para Cocursos ) que a Variâcia da soma de duas variáveis aleatórias é dada por: V[ + Y] = V[] + V[Y] + cov(,). A variável Z é defiida como sedo a soma das variáveis e Y, logo, V[Z] = V[ + Y] = = = 6. Questão 5 [AFC-94] A tabela abaio apreseta o úmero de uidades produzidas (P) por operadores de uma fábrica e o úmero de uidades produzidas com defeitos (D). Operador (i) Produção (Pi) Defeituosa (Di) Da tabela foram obtidos os seguites valores: Pi = Di = Pi = Di = ( P P) 550, 4 i = ( D D), 5 i = O coeficiete de correlação liear etre P e D é: (a) 0,855 (b) 0,73 (c) 0,000 (d) 0,73 (e) 0,855 ( P P) ( D D) 65 i i = PD i i = CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

11 RESPOSTA: LETRA E. Nesta questão, como são forecidos os valores de todos os somatórios possíveis, fica melhor de usar a primeira fórmula dada para ecotrar o valor do Coeficiete de PD P D Correlação etre P e D: ρpd = e ecotrar 0, P P D D ( ) ( ) Questão 6 [IBGE-00] e Y são duas variáveis aleatórias com variâcias 44 e 64 respectivamete. Assiale o item que NÃO idica um valor possível para a covariâcia etre e Y. (a) 87,5 (b) 8,7 (c) 0 (d) 0,3 (e) 0 RESPOSTA: LETRA E. Uma ótima questão, muito iteligete e bem bolada. V[] = 44 σ = ; Temos etão que: σ σ = 96 V[Y] = 64 σ = 8 ; Sabemos que o Coeficiete de Correlação (ρ ) varia apeas o itervalo [ ; ] e que COV(, ) ρ =. Logo, temos hipóteses: ρ = ou ρ =. Se ρ = COV(,) = ρ COV(,) = 96. Se ρ = COV(,) = ρ COV (,) = 96. COV(,) = [ 96;96] O úico valor fora desse itervalo é 0. Questão 7 [IBGE-00] Os dados a seguir apresetam os ivestimetos (em milhares de reais) e os lucros (em milhares de reais) o ao seguite realizados por cico empresas escolhidas aleatoriamete: Empresa Ivestimeto Lucro,5 5, ,5 4,5 5 8,5 (a) 0,74 (b) 0,6 (c) 0,48 (d) 0,7 (e) 0,98 O coeficiete de correlação liear amostral destes dados é, aproimadamete, igual a: RESPOSTA: LETRA E. Use uma das duas fórmulas para calcular o Coeficiete de Correlação etre o Ivestimeto () e o Lucro (Y), e ecotre aproimadamete 0,9875. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

12 Questão 8 O coeficiete de correlação etre duas variáveis, e Y, é r = 0,60. Se S =, 50, S =, = e Y = 0 a) Y para ; b) para Y., determiar as equações das retas de regressão de: RESPOSTAS: a) Y para : σ ˆ β = r σ β ˆ = 0,60,50,0 β ˆ = β ˆ = 0, 80,50 α ˆ = Y βˆ α ˆ = 0 0,8 α ˆ = 0 8 α ˆ =. Logo, Ŷ = + 0,8 b) para Y: ˆ σ β = r σ,50 β ˆ = 0,60 0,90 β ˆ = β ˆ = 0, 45 α ˆ = βˆy α ˆ = 0,45 0 α ˆ = 9 α ˆ =. Logo, ˆ = + 0,45Y Questão 9 Com base a questão aterior, calcular: a) O erro padrão da estimativa de Y para, ; S S b) O erro padrão da estimativa de para Y,. RESPOSTAS: a) b) S S = S r = S r S S = 0, 60 S = 0, 64 S =, 60 =,5 0, 60 S =,5 0, 64 S =, 0 Questão Se 3 e S =, determiar r. S = 5 RESPOSTA: S = S r 3 = 5 r = 0,60 = r r 0,36 r = 0, 64 r = 0, 80 Questão Se o coeficiete de correlação etre e Y é 0,50, que percetagem da variação total permaece ão-eplicada pela equação de regressão? RESPOSTA: O Coeficiete de Determiação, que mede o grau de eplicação da variável Y pela variável, se Y for depedete de, é dado por: r. A variação ão-eplicada será dada por: r. Logo, se r = 0,50, etão r = 0,5 = 0,5 = 0,75 = 75%. DESEJO BONS ESTUDOS E ECELENTE PROVA DE ESTATÍSTICA A TODOS! PROFESSOR PEDRO BELLO CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

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