CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso"

Transcrição

1 CORRELAÇÃO Aqui me tes de regresso O assuto Correlação fez parte, acompahado de Regressão, do programa de Auditor Fiscal, até 998, desaparecedo a partir do cocurso do ao 000 para agora retorar soziho. Mesmo sabedo que Regressão ão faz mais parte do programa, devemos, pelo meos, eteder a difereça etre Correlação e Regressão, que são assutos próimos, mas ão são a mesma coisa. A CORRELAÇÃO mede a força, a itesidade ou grau de relacioameto etre duas ou mais variáveis. A REGRESSÃO forece uma equação que descreve esse relacioameto em termos matemáticos. Para um modelo liear simples podemos ecotrar essa equação (chamada de equação da reta ajustate e igual a: Ŷ = α ˆ + βˆ ) pelo Método dos Míimos Quadrados e através dessa equação poder estimar valores ão observados da variável Y. Os valores de β (coeficiete agular da reta) e de α (itercepto) serão calculados com base as observações de e de Y. É claro que só poderemos estabelecer um modelo de regressão etre duas (regressão simples) ou mais (regressão múltipla) variáveis se estas forem depedetes, ou seja, o valor de Y depede do valor de e esse caso eiste correlação etre e Y (correlação diferete de zero), pois as variáveis se relacioarão. Se as variáveis forem idepedetes, (ão há relacioameto etre elas), ão eistirá correlação (correlação ula ou ausêcia de correlação) e esse caso ão poderemos estabelecer um modelo de regressão. A Correlação etre duas variáveis pode ser: ) POSITIVA (Correlação Direta) Quado, para valores altos de uma variável correspoderão valores altos para outra e para valores baios de uma, associaremos também valores baios para outra. Nesse caso, o valor do Coeficiete de Correlação etre e Y ( ρ ) estará etre 0 (eclusive) e (iclusive), ou seja, 0 < ρ. Quado ρ =, dizemos que a Correlação etre e Y é Direta e Perfeita. Assim, para cada aumeto a variável, a variável Y aumetará a mesma proporção. Eemplos de correlação direta: salário e ivestimeto em poupaça (em geral quato maior for o salário maior será o valor poupado); idade e pressão arterial (em geral, as pessoas mais idosas têm maior pressão arterial); ota em Matemática e ota em Estatística (geralmete as pessoas com maior dificuldade em Matemática, otas baias, terão maior dificuldade em Estatística, apresetado também, otas baias); ) NEGATIVA (Correlação Iversa) Quado as variáveis têm setidos opostos, ou seja, à medida que aumeta, o valor de Y dimiui. Nesse caso, o valor do Coeficiete de Correlação etre e Y ( ρ ) estará etre (iclusive) e 0 (eclusive), ou seja, ρ < 0. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

2 Quado ρ =, dizemos que a Correlação etre e Y é perfeitamete iversa e assim, a cada aumeto da variável, a variável Y dimiuirá a mesma proporção. Um eemplo de Correlação Iversa: cosiderado automóveis de mesmo ao, marca e modelo, quato maior for a quilometragem do veículo, meor será o preço de veda. 3) NULA (ausêcia de correlação) Quado ão é possível estabelecer uma relação etre as variáveis e Y, e esse caso ρ = 0. É o que ocorre quado as VARIÁVEIS forem INDEPENDENTES. Aalisado os três casos possíveis com relação à Correlação, vemos que o seu coeficiete ( ρ ) varia apeas o itervalo de até, ou seja, ρ = [ ; +]. A Correlação será forte (positiva ou egativamete) quado estiver próima de ou de, e fraca quado estiver próima de zero. Abaio, temos os diagramas de dispersão para os três tipos de correlação descritos ateriormete: Etraídos do livro Estatística Aplicada à Admiistração William J. Steveso Editora Harbra. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

3 Uma fórmula para ecotrar o valor do Coeficiete de Correlação Liear Simples é dada por: ρ = Y Y ( ) Y ( Y), ode é o úmero de pares de observações. Mas essa fórmula pode ser resumida por: COV(, ) ρ = ou seja: É a Covariâcia etre e Y dividida pelo produto dos desvios padrões de e de Y. Observe que, a ª fórmula dada, o deomiador temos: ( ) que ada mais é do que σ ; e ( Y) Y que ada mais é do que σ ; Observe agora que o umerador da ª fórmula é: Y Y que ada mais é do que COV(, ). Etão, substituido Y Y por COV(, ), ( ) por σ e ( Y) Y por σ teremos: COV(, ) ρ =. σ σ Dividido o umerador e o deomiador por, fica: ρ COV(, ) =, que é bem mais fácil de guardar do que a ª fórmula. Etão, é importate saber que a Covariâcia etre e Y ada mais é do que a esperaça cojuta de e Y meos o produto das esperaças idividuais, ou seja: COV(,) E[ Y] E[ ] E[Y = ]. Provado que as trasformações estão corretas: Y [ ] = ; E[ ] = e E[ Y] E Y Y =. Y Y Assim, COV(, ) = Multiplicado por ambos os membros da igualdade: Y Y COV(, ) =. Y Y COV(, ) = COV(, ) = Y Y A variâcia de é dada por: σ = ( ). Multiplicado por ambos os membros da igualdade fica: σ = ( ) Logo: σ = ( ) σ = ( ) CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 3

4 Portato, o desvio padrão de será: σ = ( ) O mesmo procedimeto será válido para provar que: σ = Y ( Y) Qual das duas fórmulas utilizar? ρ = Y Y ( ) Y ( Y) ou COV(, ) ρ =? Como já cometado ateriormete, ambas são equivaletes, mas a seguda é bem mais fácil de guardar do que a primeira. Para decidir qual das duas usar, depederá dos dados forecidos a questão que for proposta, mas em qualquer uma das duas fórmulas o ideal é começar calculado o umerador, pois se as variáveis forem idepedetes, a covariâcia será igual a zero e podemos respoder que a correlação também será zero, sem ecessidade de cálculo das variâcias de e de Y, o que já evitará trabalho e perda de tempo. Veja a seguda fórmula, ρ COV(, ) =, que o deomiador será sempre positivo, pois cada desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variâcia (ão eiste desvio padrão egativo). Ora, o produto de dois valores positivos sempre será positivo. O que irá determiar se a Correlação será positiva, egativa ou ula, será a Covariâcia, pois se: ) COV(,) > 0 ) COV(,) = 0 3) COV(,) < 0 + ρ = 0 + ρ > 0 ρ = 0 + ρ = ρ = 0 + ρ < E quado a covariâcia será positiva, egativa ou ula? Depederá do valor da esperaça cojuta e dos valores das esperaças idividuais, pois sabemos que: COV(,) = E[ Y] E[ ] E[ Y] Logo, se: [ Y] > E[ ] E[ Y] COV(, ) 0 E > [ Y] = E[ ] E[ Y] COV(, ) 0 E = [ Y] < E[ ] E[ Y] COV(, ) 0 E < Embora o osso foco pricipal seja Correlação, é importate saber que, quado ρ 0, podemos estabelecer a reta de regressão, dada por: Ŷ = α ˆ + βˆ. Quado ρ > 0, o valor do coeficiete agular da reta ( βˆ ) também será positivo e a reta terá icliação para cima. Quado ρ < 0, o valor do coeficiete agular da reta (β ˆ ) também será egativo e a reta terá icliação para baio (veja os diagramas de dispersão mostrados ateriormete). CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 4

5 Vejamos um eemplo umérico para melhor etedimeto: Abaio temos uma tabela com as otas obtidas por aluos em Matemática (variável ) e Estatística (variável Y): ALUNO Y A 6 7 B 5 6 C 9 D 9 E 3 F 4 3 G 8 9 H 7 5 I 6 6 J 3 Sem fazer cálculo algum, podemos eteder que deverá haver relação etre essas variáveis, ou seja, o aluo que tem dificuldade em Matemática deverá ter dificuldade também em Estatística, que é uma disciplia que depede essecialmete da Matemática. Portato para valores altos de teremos associados valores altos em Y e para valores baios em valores baios em Y (correlação direta). Vejamos etão se a covariâcia é diferete de zero, lembrado que COV(,) Y = E[ Y] E[ ] E[Y]. Lembrado aida que: E[ Y] = ; E [ ] = e E[ Y] Vamos etão calcular, a tabela dada, esses somatórios: ALUNO Y Y A B C 9 90 D 9 90 E 3 6 F 4 3 G H I J 3 6 TOTAL E Y = = 4, ; E [ ] = 6 e Assim, [ ] 9 Portato, COV(,) Y 60 = E [ ] = = 6 = 4,9 6 6 COV(,) = 4,9 36 COV (,) = 5,9. Y =. Observamos que, como já havíamos previsto, há uma correlação direta etre e Y, pois COV(,) > 0 e assim sedo, ρ > 0. Vamos etão avaliar o grau, a força ou itesidade desse relacioameto calculado o Coeficiete de Correlação etre e Y. Se tivéssemos obtido COV(,) = 0 em calcularíamos as variâcias, pois se o umerador fosse igual a zero, ρ seria igual a zero. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 5

6 Precisamos agora, calcular as variâcias de e de Y para obter os seus desvios padrões. Completado a tabela aterior com os quadrados de e de Y, temos: ALUNO Y Y Y A B C D E F G H I J TOTAL V[] = ( ) V[] = 40 ( 60) = V[] { } 60 V [] = = 6. V[Y] = Y ( Y) V[Y] = 430 ( 60) = V[Y] { } 70 V [Y] = = 7. Podemos agora calcular o Coeficiete de Correlação, utilizado a fórmula mais simples COV(, ) ρ = 5,9 ρ = 6 7 uma forte correlação etre estas variáveis. 5,9 ρ = ρ = 0,, o que idica haver Cosiderado que o assuto Regressão ão faz parte do programa de Auditor Fiscal, mas apeas Correlação, ão vamos os aprofudar o assuto, mas é importate saber que, como já dito o iício, a equação de regressão ( Ŷ = α ˆ + βˆ ) permitirá fazermos estimativas para valores que costam e, pricipalmete, para valores que ão costam do cojuto de observações. É importate otar também que, para calcular o valor de αˆ (itercepto), precisaremos calcular primeiro o valor de βˆ. Para calcular o β ˆ da equação, temos a fórmula: βˆ Y Y =. Mas, se já calculamos o valor do Coeficiete de Correlação e os ( ) valores dos desvios de e de Y, fica bem mais fácil usar uma fórmula equivalete: σ ˆ β = ρ. No eemplo dado, β ˆ 7 será igual a: β ˆ = 0,9 β ˆ 0, 98 σ 6 Cohecedo o valor de β ˆ, podemos ecotrar o valor de αˆ fazedo (pelas propriedades da média): Y = α ˆ + β ˆ α ˆ = Y β ˆ. Ou usar a fórmula equivalete: Y β α ˆ =. No osso eemplo, Y = 6, = 6 e β ˆ = 0,98. Logo: α ˆ = 6 0,98 6 α ˆ = 0, Assim, a equação da reta de regressão será dada por: Ŷ = 0, + 0,98. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 6

7 Com esta equação obteremos as seguites estimativas para Y em fução do valor de : ALUNO foi igual a: A estimativa para Y será: A 6 Ŷ 0, + ( 0,98 6) B 5 Ŷ 0, + ( 0,98 5) C 9 Ŷ 0, + ( 0,98 9) D Ŷ 0, + ( 0,98 ) E 3 Ŷ 0, + ( 0,98 3) F 4 Ŷ 0, + ( 0,98 4) G 8 Ŷ 0, + ( 0,98 8) H 7 Ŷ 0, + ( 0,98 7) I 6 Ŷ 0, + ( 0,98 6) J Ŷ 0, + ( 0,98 ) = Ŷ = 6,00 = Ŷ = 5,0 = Ŷ = 8,94 = Ŷ = 9,9 = Ŷ = 3,06 = Ŷ = 4,04 = Ŷ = 7,96 = Ŷ = 6,98 = Ŷ = 6,00 = Ŷ =,08 Um dos pressupostos básicos da regressão é que o valor esperado dos resíduos (difereça etre o valor real e o valor estimado) seja igual a zero. Vamos verificar que isto ocorre o osso eemplo, pois: Aluo Y (real) Ŷ (estimado) Resíduos: Y Ŷ A 6 7 6,00 B 5 6 5,0 0,98 C 9 8,94,06 D 9 9,9 0,9 E 3 3,06,06 F 4 3 4,04,04 G 8 9 7,96,04 H 7 5 6,98,98 I ,00 J 3,08 0,9 SOMA DOS RESÍDUOS 0,00 Usado a equação que ecotramos para a reta, podemos fazer diversas estimativas, como por eemplo, podemos estimar que: a) Um aluo que tirou em Matemática obteria: Ŷ = 0, + ( 0,98 ) =, em Estatística; b) Um aluo que tirou 3,5 em Matemática obteria: Ŷ = 0, + ( 0,98 3, 5) = 3,55 em Estatística; c) Um aluo que tirou 8,5 em Matemática obteria: Ŷ = 0, + ( 0,98 8, 5) = 8,45 em Estatística; CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 7

8 A seguir, vemos o gráfico de dispersão para os valores observados de e de Y e os valores estimados pela reta de regressão: Gráfico de Dispersão etre a Nota em Estatística (Y) e a Nota em Matemática () 8 Y = 0,98 + 0, Nota obtida em Estatística Nota obtida em Matemática Neste eemplo, fica difícil buscar valores a estimar porque a variável ota, em geral, fica limitada etre zero e dez. Vamos utilizar outro eemplo, apeas para fazer estimativas, sedo já forecidos o Coeficiete de Correlação e a equação de regressão. A tabela abaio idica as idades () e as pressões arteriais (Y) de mulheres: IDADE () PRESSÃO ARTERIAL (Y) variáveis e Y. Coeficiete de Correlação: ρ = 0, 896. Isto mostra um forte relacioameto etre as Reta de regressão: Ŷ = 80,78 +,38 Com base a equação de regressão, quais as estimativas de pressão arterial para: a) Uma mulher de 45 aos? b) Uma mulher de 30 aos? c) Uma mulher de 70 aos? RESPOSTAS: a) 3 (3,988); b) 5 (4,979); c) 60 (60,438). CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 8

9 ALGUMAS QUESTÕES - EEMPLOS INTERESSANTES SOBRE O ASSUNTO: Questão [BACEN-98] Duas variáveis e Y têm coeficiete de correlação liear igual a 0,9. Obtedo-se a reta de regressão liear simples de Y sobre, pode-se dizer que seu coeficiete agular: (a) Será meor que 0,9 (b) Será maior que 0,9 (c) Poderá ser egativo (d) Poderá ser ulo (e) Será positivo RESPOSTA: LETRA E. Esta é etremamete fácil, mas é só para começar. É claro que, se o coeficiete de correlação liear for positivo o coeficiete agular também será positivo, pois a reta de regressão terá icliação para cima. Questão [IBGE-99] Se é uma variável aleatória e Y = 5, etão o coeficiete de correlação liear etre e Y é igual a: (a),5 (b),0 (c) 0 (d) 0,4 (e),0 RESPOSTA: LETRA E. Também é uma questão fácil. Basta ver que, se substituirmos, a equação dada, pelos valores 0,,, 3 por eemplo, vamos obter valores de Y iguais a, respectivamete, 5, 3,,, ou seja, esses potos formarão uma reta icliada para baio e a cada aumeto de uidade em, teremos uma redução de uidades em Y, o que os mostra que há uma relação perfeitamete iversa. Logo o Coeficiete de Correlação só pode ser,0. Questão 3 [SUSEP-94] Se as variáveis aleatórias e Y são tais que Y =, o coeficiete de correlação liear γ etre e Y é tal que: (a) γ = (b) γ = 0 (c) γ = (d) 0 < γ < (e) < γ < 0 RESPOSTA: LETRA A. Nem é preciso dizer que o raciocíio é idêtico ao da questão aterior, com a difereça que, esta, a cada aumeto de uidade em, teremos um aumeto de uidades em Y, o que os mostrará uma relação perfeitamete direta etre e Y. Logo o Coeficiete de Correlação só pode ser igual a. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia 9

10 Questão 4 [SUSEP-98] Cosidere e Y duas variáveis aleatórias com variâcias de 4 e, respectivamete, e coeficiete de correlação igual a /4. A variâcia de Z = ( + Y) é: (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 4/8 (e) /4 RESPOSTA: LETRA B. Aida é uma questão fácil, mas ão tão óbvia como as ateriores. Veja que, se as variâcias de e Y são, respectivamete, 4 e, os desvios padrões serão respectivamete e. Agora, peguemos aquela fórmula do Coeficiete de Correlação em fução COV(, ) da Covariâcia dividida pelo produto dos desvios: ρ =. O valor do Coeficiete de Correlação (rô), foi dado o euciado e é igual a /4. Substituido a fórmula, ecotraremos o COV(, ) valor da Covariâcia, pois: = COV (,) =. Agora veja (à págia 4 do meu livro 4 Estatística Básica para Cocursos ) que a Variâcia da soma de duas variáveis aleatórias é dada por: V[ + Y] = V[] + V[Y] + cov(,). A variável Z é defiida como sedo a soma das variáveis e Y, logo, V[Z] = V[ + Y] = = = 6. Questão 5 [AFC-94] A tabela abaio apreseta o úmero de uidades produzidas (P) por operadores de uma fábrica e o úmero de uidades produzidas com defeitos (D). Operador (i) Produção (Pi) Defeituosa (Di) Da tabela foram obtidos os seguites valores: Pi = Di = Pi = Di = ( P P) 550, 4 i = ( D D), 5 i = O coeficiete de correlação liear etre P e D é: (a) 0,855 (b) 0,73 (c) 0,000 (d) 0,73 (e) 0,855 ( P P) ( D D) 65 i i = PD i i = CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

11 RESPOSTA: LETRA E. Nesta questão, como são forecidos os valores de todos os somatórios possíveis, fica melhor de usar a primeira fórmula dada para ecotrar o valor do Coeficiete de PD P D Correlação etre P e D: ρpd = e ecotrar 0, P P D D ( ) ( ) Questão 6 [IBGE-00] e Y são duas variáveis aleatórias com variâcias 44 e 64 respectivamete. Assiale o item que NÃO idica um valor possível para a covariâcia etre e Y. (a) 87,5 (b) 8,7 (c) 0 (d) 0,3 (e) 0 RESPOSTA: LETRA E. Uma ótima questão, muito iteligete e bem bolada. V[] = 44 σ = ; Temos etão que: σ σ = 96 V[Y] = 64 σ = 8 ; Sabemos que o Coeficiete de Correlação (ρ ) varia apeas o itervalo [ ; ] e que COV(, ) ρ =. Logo, temos hipóteses: ρ = ou ρ =. Se ρ = COV(,) = ρ COV(,) = 96. Se ρ = COV(,) = ρ COV (,) = 96. COV(,) = [ 96;96] O úico valor fora desse itervalo é 0. Questão 7 [IBGE-00] Os dados a seguir apresetam os ivestimetos (em milhares de reais) e os lucros (em milhares de reais) o ao seguite realizados por cico empresas escolhidas aleatoriamete: Empresa Ivestimeto Lucro,5 5, ,5 4,5 5 8,5 (a) 0,74 (b) 0,6 (c) 0,48 (d) 0,7 (e) 0,98 O coeficiete de correlação liear amostral destes dados é, aproimadamete, igual a: RESPOSTA: LETRA E. Use uma das duas fórmulas para calcular o Coeficiete de Correlação etre o Ivestimeto () e o Lucro (Y), e ecotre aproimadamete 0,9875. CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

12 Questão 8 O coeficiete de correlação etre duas variáveis, e Y, é r = 0,60. Se S =, 50, S =, = e Y = 0 a) Y para ; b) para Y., determiar as equações das retas de regressão de: RESPOSTAS: a) Y para : σ ˆ β = r σ β ˆ = 0,60,50,0 β ˆ = β ˆ = 0, 80,50 α ˆ = Y βˆ α ˆ = 0 0,8 α ˆ = 0 8 α ˆ =. Logo, Ŷ = + 0,8 b) para Y: ˆ σ β = r σ,50 β ˆ = 0,60 0,90 β ˆ = β ˆ = 0, 45 α ˆ = βˆy α ˆ = 0,45 0 α ˆ = 9 α ˆ =. Logo, ˆ = + 0,45Y Questão 9 Com base a questão aterior, calcular: a) O erro padrão da estimativa de Y para, ; S S b) O erro padrão da estimativa de para Y,. RESPOSTAS: a) b) S S = S r = S r S S = 0, 60 S = 0, 64 S =, 60 =,5 0, 60 S =,5 0, 64 S =, 0 Questão Se 3 e S =, determiar r. S = 5 RESPOSTA: S = S r 3 = 5 r = 0,60 = r r 0,36 r = 0, 64 r = 0, 80 Questão Se o coeficiete de correlação etre e Y é 0,50, que percetagem da variação total permaece ão-eplicada pela equação de regressão? RESPOSTA: O Coeficiete de Determiação, que mede o grau de eplicação da variável Y pela variável, se Y for depedete de, é dado por: r. A variação ão-eplicada será dada por: r. Logo, se r = 0,50, etão r = 0,5 = 0,5 = 0,75 = 75%. DESEJO BONS ESTUDOS E ECELENTE PROVA DE ESTATÍSTICA A TODOS! PROFESSOR PEDRO BELLO CORRELAÇÃO.doc Pedro Bello Págia

A letra x representa números reais, portanto

A letra x representa números reais, portanto Aula 0 FUNÇÕES UFPA, 8 de março de 05 No ial desta aula, você seja capaz de: Saber dizer o domíio e a imagem das uções esseciais particularmete esta aula as uções potêcias; Fazer o esboço de gráico da

Leia mais

Análise de Regressão Linear Múltipla I

Análise de Regressão Linear Múltipla I Aálise de Regressão Liear Múltipla I Aula 04 Gujarati e Porter, 0 Capítulos 7 e 0 tradução da 5ª ed. Heij et al., 004 Capítulo 3 Wooldridge, 0 Capítulo 3 tradução da 4ª ed. Itrodução Como pode ser visto

Leia mais

ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p

ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p Objetivo Estimar uma proporção p (descohecida) de elemetos em uma população, apresetado certa característica de iteresse, a partir da iformação forecida por uma amostra.

Leia mais

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departameto de Computação/ICEB/UFOP. Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Míimos Marcoe Jamilso Freitas Souza, Departameto de Computação, Istituto de Ciêcias

Leia mais

A finalidade de uma equação de regressão seria estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra.

A finalidade de uma equação de regressão seria estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra. Jaete Pereira Amador Itrodução A aálise de regressão tem por objetivo descrever através de um modelo matemático, a relação existete etre duas variáveis, a partir de observações dessas viráveis. A aálise

Leia mais

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES  U.E PROF EDGAR TITO ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES http://ueedgartito.wordpress.com U.E PROF EDGAR TITO Medidas de tedêcia cetral Medidas cetrais são valores que resumem um cojuto de dados a um úico valor que, de alguma

Leia mais

DETERMINANDO A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA PARA AS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS

DETERMINANDO A SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA PARA AS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS DTRMINANDO A SIGNIFIÂNIA STATÍSTIA PARA AS DIFRNÇAS NTR MÉDIAS Ferado Lag da Silveira Istituto de Física - UFRGS lag@if.ufrgs.br O objetivo desse texto é apresetar através de exemplos uméricos como se

Leia mais

Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/2005

Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/2005 Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/005 !" # Comparado quatitativamete sistemas eperimetais: Algoritmos, protótipos, modelos, etc Sigificado de uma amostra Itervalos de cofiaça Tomado decisões e comparado

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

MEDIDAS DESCRITIVAS DE POSIÇÃO, TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE

MEDIDAS DESCRITIVAS DE POSIÇÃO, TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE MEDIDAS DESCRITIVAS DE POSIÇÃO, TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE 1 Estatística descritiva (Eploratória) PRIMEIRO PASSO: Tabelas (distribuição de frequêcia) e Gráficos. SEGUNDO PASSO: Cálculo de medidas

Leia mais

Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I Séries Numéricas Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...

Leia mais

Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança):

Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança): Estimação por Itervalo (Itervalos de Cofiaça): 1) Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal: Muitas vezes, para obter-se a verdadeira média populacioal ão compesa fazer um levatameto a 100% da população

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

Transformação de similaridade

Transformação de similaridade Trasformação de similaridade Relembrado bases e represetações, ós dissemos que dada uma base {q, q,..., q} o espaço real - dimesioal, qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como:. Ou a forma matricial

Leia mais

3.4.2 Cálculo da moda para dados tabulados. 3.4 Moda Cálculo da moda para uma lista Cálculo da moda para distribuição de freqüências

3.4.2 Cálculo da moda para dados tabulados. 3.4 Moda Cálculo da moda para uma lista Cálculo da moda para distribuição de freqüências 14 Calcular a mediaa do cojuto descrito pela distribuição de freqüêcias a seguir. 8,0 10,0 10 Sabedo-se que é a somatória das, e, portato, = 15+25+16+34+10 = 100, pode-se determiar a posição cetral /2

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA 2 a FASE

PROVA DE MATEMÁTICA 2 a FASE PROVA DE MATEMÁTICA a FASE DEZ/04 Questão 1 a)o faturameto de uma empresa esse ao foi 10% superior ao do ao aterior; obteha o faturameto do ao aterior sabedo-se que o desse ao foi de R$1 40 000,00 b)um

Leia mais

AEP FISCAL ESTATÍSTICA

AEP FISCAL ESTATÍSTICA AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 0: Medidas de Dispersão (webercampos@gmail.com) MÓDULO 0 - MEDIDAS DE DISPERSÃO 1. Coceito: Dispersão é a maior ou meor diversificação dos valores de uma variável, em toro

Leia mais

Instruções gerais sobre a Prova:

Instruções gerais sobre a Prova: DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA - UFMG PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2012/2013 Istruções gerais sobre a Prova: (a) Cada questão respodida corretamete vale 1 (um) poto. (b) Cada

Leia mais

Monitor: Tiago Souza. Lista 7

Monitor: Tiago Souza. Lista 7 Professor: Rodrigo Moura Moitor: Tiago Souza Ecoometria MFEE Lista 7 1. Tome ode Cov( 2, u 1 0. Seja z 2 tal que: 1 = β 0 + β 1 2 + β 2 z 1 + u 1 2 = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + v 2 ode E(v 2 ; Cov(z 1,

Leia mais

MAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 1

MAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 1 MAE 229 - Itrodução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 1 Professor: Pedro Moretti Exercício 1 (a) Fazer histograma usado os seguites dados: Distribuição de probabilidade da variável X: X

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

Experimento 1 Estudo da Lei de Hooke

Experimento 1 Estudo da Lei de Hooke Experimeto 1 Estudo da Lei de Hooke 1.1 Objetivos Físicos Verificação experimetal da lei de Hooke para uma mola helicoidal: Medida experimetal do módulo de rigidez do material μ. 1. Objetivos Didáticos

Leia mais

Probabilidade II Aula 12

Probabilidade II Aula 12 Coteúdo Probabilidade II Aula Juho de 009 Desigualdade de Marov Desigualdade de Jese Lei Fraca dos Grades Números Môica Barros, D.Sc. Itrodução A variâcia de uma variável aleatória mede a dispersão em

Leia mais

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE CURSO DISCIPLINA PROFESSOR I) Itrodução ao Limite de uma Fução UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limite de uma Fução José Elias

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

População x Amostra. statística descritiva X inferência estatística. Revisão de Estatística e Probabilidade

População x Amostra. statística descritiva X inferência estatística. Revisão de Estatística e Probabilidade Revisão de Estatística e Probabilidade Magos Martiello Uiversidade Federal do Espírito Sato - UFES Departameto de Iformática DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia LPRM statística descritiva X

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,

Leia mais

Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença?

Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença? Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais Probabilidade e Estatística: afial, qual é a difereça? Até agora o que fizemos foi desevolver modelos probabilísticos que se adequavam a situações reais. Por

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 4 PROBABILIDADE A (CE068) Prof. Benito Olivares Aguilera

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 4 PROBABILIDADE A (CE068) Prof. Benito Olivares Aguilera UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 4 PROBABILIDADE A (CE068) Prof. Beito Olivares Aguilera 2 o Sem./09 1. Das variáveis abaixo descritas, assiale quais são

Leia mais

Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Disciplina: TRANSPORTES. Sessão Prática 4: Amostragem

Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Disciplina: TRANSPORTES. Sessão Prática 4: Amostragem Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Disciplia: TRNSPORTES Prof. Resposável: José Mauel Viegas Sessão Prática 4: mostragem Istituto Superior Técico / Mestrado Itegrado Egª Civil Trasportes ulas Práticas

Leia mais

CONCEITOS BÁSICOS E PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA

CONCEITOS BÁSICOS E PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA 1 CONCEITOS BÁSICOS E PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA 1. Coceitos Básicos de Probabilidade Variável aleatória: é um úmero (ou vetor) determiado por uma resposta, isto é, uma fução defiida em potos do espaço

Leia mais

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição TLF /11 Capítulo VI Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e histogramas. 6 6.. Distribuição limite 63 6.3. Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M7 Função Exponencial. 2 Encontre o valor da expressão

Matemática. Resolução das atividades complementares. M7 Função Exponencial. 2 Encontre o valor da expressão Resolução das atividades complemetares Matemática M Fução Epoecial p. 6 (Furg-RS) O valor da epressão A a) c) e) 6 6 b) d) 0 A?? A? 8? A A A? A 6 8 Ecotre o valor da epressão 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0. Aplicado

Leia mais

3ª Lista de Exercícios de Programação I

3ª Lista de Exercícios de Programação I 3ª Lista de Exercícios de Programação I Istrução As questões devem ser implemetadas em C. 1. Desevolva um programa que leia dois valores a e b ( a b ) e mostre os seguites resultados: (1) a. Todos os úmeros

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

Objetivos. Testes não-paramétricos

Objetivos. Testes não-paramétricos Objetivos Prof. Lorí Viali, Dr. http://www. ufrgs.br/~viali/ viali@mat.ufrgs.br Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacioametos ou modelos (testes ão paramétricos).

Leia mais

DERIVADAS DE FUNÇÕES11

DERIVADAS DE FUNÇÕES11 DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos

Leia mais

Objetivos. Os testes de hipóteses ser: Paramétricos e Não Paramétricos. Testes não-paramétricos. Testes paramétricos

Objetivos. Os testes de hipóteses ser: Paramétricos e Não Paramétricos. Testes não-paramétricos. Testes paramétricos Objetivos Prof. Lorí Viali, Dr. http://www.pucrs.br/famat/viali/ viali@pucrs.br Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacioametos ou modelos (testes ão paramétricos).

Leia mais

Capítulo 5- Introdução à Inferência estatística.

Capítulo 5- Introdução à Inferência estatística. Capítulo 5- Itrodução à Iferêcia estatística. 1.1) Itrodução.(184) Na iferêcia estatística, aalisamos e iterpretamos amostras com o objetivo de tirar coclusões acerca da população de ode se extraiu a amostra.

Leia mais

Revisando... Distribuição Amostral da Média

Revisando... Distribuição Amostral da Média Estatística Aplicada II DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL MÉDIA AULA 08/08/16 Prof a Lilia M. Lima Cuha Agosto de 016 Revisado... Distribuição Amostral da Média Seja X uma v. a. de uma população com média µ e variâcia

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E Medidas de Tedêcia Cetral Itrodução... 1- Média Aritmética... - Moda... 3- Mediaa... Medidas de Dispersão 4- Amplitude Total... 5- Variâcia

Leia mais

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança Teorema do Limite Cetral, distribuição amostral, estimação por poto e itervalo de cofiaça Prof. Marcos Pó Métodos Quatitativos para Ciêcias Sociais Distribuição amostral Duas amostrages iguais oriudas

Leia mais

Probabilidade II Aula 9

Probabilidade II Aula 9 Coteúdo Probabilidade II Aula 9 Maio de 9 Môica Barros, D.Sc. Estatísticas de Ordem Distribuição do Máximo e Míimo de uma amostra Uiforme(,) Distribuição do Máximo e Míimo caso geral Distribuição das Estatísticas

Leia mais

Interpolação-Parte II Estudo do Erro

Interpolação-Parte II Estudo do Erro Iterpolação-Parte II Estudo do Erro. Estudo do Erro a Iterpolação. Iterpolação Iversa 3. Grau do Poliômio Iterpolador 4. Fução Splie em Iterpolação 4. Splie Liear 4. Splie Cúbica .Estudo do Erro a Iterpolação

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma: 07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,

Leia mais

TESTE DE HIPÓTESES. Se a Hipótese Nula (H 0 ) é: COMETE O ACEITA DECISÃO CORRETA O PESQUISADOR ERRO TIPO II COMETE O REJEITA DECISÃO CORRETA

TESTE DE HIPÓTESES. Se a Hipótese Nula (H 0 ) é: COMETE O ACEITA DECISÃO CORRETA O PESQUISADOR ERRO TIPO II COMETE O REJEITA DECISÃO CORRETA Embora com pouco tempo, devido à preparação da 3ª edição do livro Estatística ESAF, preocupado com os cadidatos que farão a prova para Fiscal-RS em 19/08/06 resolvi, mesmo em cima da hora, fazer um resumo

Leia mais

5. ANÁLISE DE SISTEMAS DA CONFIABILIADE DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO

5. ANÁLISE DE SISTEMAS DA CONFIABILIADE DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO 5. ANÁLISE DE SISTEMAS DA CONFIABILIADE DE SISTEMAS SÉRIE-PARALELO 5.1 INTRODUÇÃO Um sistema é defiido como todo o cojuto de compoetes itercoectados, previamete determiados, de forma a realizar um cojuto

Leia mais

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança

Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança Teorema do Limite Cetral, distribuição amostral, estimação por poto e itervalo de cofiaça Prof. Marcos Pó Métodos Quatitativos para Ciêcias Sociais Distribuição amostral Duas amostrages iguais oriudas

Leia mais

Caderno de Exercício 3

Caderno de Exercício 3 1 Cadero de Exercício 3 Esaios de Hipóteses e Regressão Liear 1. Exercícios Aulas 1. Exercício 10.11 do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess 2. Exercício 10.27 do livro Statistics for Ecoomics ad Busiess

Leia mais

[Digite texto] T U R M A D O P R O F. J E J E C A E X A M E F I N A L R E C U P E R A Ç Ã O F I N A L 9 º E. F = b) [Digite texto]

[Digite texto] T U R M A D O P R O F. J E J E C A E X A M E F I N A L R E C U P E R A Ç Ã O F I N A L 9 º E. F = b) [Digite texto] [Digite teto] I Poteciação 0. Calcule as seguites potêcias: a) 4 b) 4 0 e) (-) 4 f) g) h) 0 i) (,4) 0 j) (-0,) 0 k) 7¹ l) (,4) ¹ m) (-) ¹ ) 4 7 o) - p) (-) - q) 4 r) s) t) u) v) 4 ESTUDO DIRIGIDO: Poteciação

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 ARITMÉTICA E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 1 SUMÁRIO Apresetação ------------------------------------------------- Capítulo 1

Leia mais

Função Logarítmica 2 = 2

Função Logarítmica 2 = 2 Itrodução Veja a sequêcia de cálculos aaio: Fução Logarítmica = = 4 = 6 3 = 8 Qual deve ser o valor de esse caso? Como a fução epoecial é estritamete crescete, certamete está etre e 3. Mais adiate veremos

Leia mais

Exame MACS- Inferência-Intervalos.

Exame MACS- Inferência-Intervalos. Exame MACS- Iferêcia-Itervalos. No iício deste capítulo, surgem algumas ideias que devemos ter presetes: O objectivo da iferêcia estatística é usar uma amostra e tirar coclusões para toda a população.

Leia mais

Prova-Modelo de Matemática

Prova-Modelo de Matemática Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros

Leia mais

Objetivo. Estimar a média µ de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra.

Objetivo. Estimar a média µ de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra. ESTIMAÇÃO PARA A MÉDIAM Objetivo Estimar a média µ de uma variável aleatória X, que represeta uma característica de iteresse de uma população, a partir de uma amostra. Exemplos: µ : peso médio de homes

Leia mais

Série Trigonométrica de Fourier

Série Trigonométrica de Fourier studo sobre a Série rigoométrica de Fourier Série rigoométrica de Fourier Uma fução periódica f( pode ser decomposta em um somatório de seos e seos eqüivaletes à fução dada f ( o ( ( se ( ) ode: o valor

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍCNIO LÓGICO QUANTITATIVO P/ APO-MPOG 2015

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍCNIO LÓGICO QUANTITATIVO P/ APO-MPOG 2015 RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍCNIO LÓGICO QUANTITATIVO P/ APO-MPOG 2015 Olá galera!!!! Hoje estou postado a resolução das questões de Raciocíio Lógico Quatitativo da prova de APO/MPOG, ocorrida o último

Leia mais

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real.

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real. Resumo. O estudo das séries de termos reais, estudado as disciplias de Aálise Matemática da grade geeralidade dos cursos técicos de liceciatura, é aqui estedido ao corpo complexo, bem como ao caso em que

Leia mais

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima

Leia mais

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Colégio de S. Goçalo - Amarate - F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, sob determiadas codições, apreseta vatages sobre os método ateriores: é de covergêcia mais rápida e, para ecotrar as raízes, ão

Leia mais

MAE116 Noções de Estatística

MAE116 Noções de Estatística Exercício 1 A Secretaria de Saúde de um muicípio vem realizado um programa educativo etre as gestates mostrado a importâcia da amametação. Para averiguar a eficácia do programa pretede-se realizar uma

Leia mais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço

Leia mais

ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma.

ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma. ITA 00. (ITA 00) Cosidere as afirmações abaixo relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I. A egação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s)

Leia mais

Estatística Aplicada Medidas Resumo Apostila 4 Prof. Fábio Hipólito Aluno(a):

Estatística Aplicada Medidas Resumo Apostila 4 Prof. Fábio Hipólito Aluno(a): Medidas Resumo Apostila 4 Prof. Fábio Hipólito Aluo(a): # Objetivo desta aula: Calcular as medidas de tedêcia cetral: média, moda e mediaa para distribuições de frequêcias potuais e por itervalos de classes.

Leia mais

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Sequências de números reais 1

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré.  1 Sequências de números reais 1 Matemática Essecial Sequêcias Reais Departameto de Matemática - UEL - 200 Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessecial/ Coteúdo Sequêcias de úmeros reais 2 Médias usuais 6 3 Médias versus progressões

Leia mais

Aula 5 de Bases Matemáticas

Aula 5 de Bases Matemáticas Aula 5 de Bases Matemáticas Rodrigo Hause de julho de 04 Pricípio da Idução Fiita. Versão Fraca Deição (P.I.F., versão fraca) Seja p() uma proposição aberta o uiverso dos úmeros aturais. SE valem ambas

Leia mais

DILMAR RICARDO MATEMÁTICA. 1ª Edição DEZ 2012

DILMAR RICARDO MATEMÁTICA. 1ª Edição DEZ 2012 DILMAR RICARDO MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Dilmar Ricardo Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição DEZ 0 TODOS OS DIREITOS

Leia mais

11 Aplicações da Integral

11 Aplicações da Integral Aplicações da Itegral Ao itroduzirmos a Itegral Defiida vimos que ela pode ser usada para calcular áreas sob curvas. Veremos este capítulo que existem outras aplicações. Essas aplicações estedem-se aos

Leia mais

DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Editora da Uiversidade Estadual de Marigá Reitor: Prof Dr Gilberto Cezar Pavaelli Vice-Reitor: Prof Dr Agelo Priori Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação:

Leia mais

Hipótese Estatística. Tipos de Hipóteses

Hipótese Estatística. Tipos de Hipóteses Hipótese Estatística Hipótese, em estatística, é uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma ou mais populações. Podemos formular a hipótese que a produtividade

Leia mais

Capítulo 39: Mais Ondas de Matéria

Capítulo 39: Mais Ondas de Matéria Capítulo 39: Mais Odas de Matéria Os elétros da superfície de uma lâmia de Cobre foram cofiados em um curral atômico - uma barreira de 7,3 âgstros de diâmetro, imposta por 48 átomos de Ferro. Os átomos

Leia mais

) E X. ) = 0 2 ( 1 p ) p = p. ) E 2 ( X ) = p p 2 = p ( 1 p ) ( ) = i 1 n. ( ) 2 n E( X) = ( ) = 1 p ( ) = p V ( X ) = E ( X 2 E X

) E X. ) = 0 2 ( 1 p ) p = p. ) E 2 ( X ) = p p 2 = p ( 1 p ) ( ) = i 1 n. ( ) 2 n E( X) = ( ) = 1 p ( ) = p V ( X ) = E ( X 2 E X 3.5 A distribuição uiforme discreta Defiição: X tem distribuição uiforme discreta se cada um dos valores possíveis,,,, tiver fução de probabilidade P( X = i ) = e represeta-se por, i =,, 0, c.c. X ~ Uif

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Seja uma v.a. que assume os valores,,..., com probabilidade p, p,..., p associadas a cada elemeto de, sedo p p... p diz-se que está defiida

Leia mais

ESTATÍSTICA. para Psicologia Parte 2. 01/06/2011 Bertolo 1

ESTATÍSTICA. para Psicologia Parte 2. 01/06/2011 Bertolo 1 ESTATÍSTICA para Psicologia Parte 2 01/06/2011 Bertolo 1 01/06/2011 Bertolo 2 Cap 02 - Medidas Estatísticas A distribuição de frequêcias permite-os descrever, de modo geral, os grupos de valores (classes)

Leia mais

Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas),

Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas), A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Vol. Soluções. Progressões Aritméticas ) O aumeto de um triâgulo causa o aumeto de dois palitos.logo, o úmero de palitos costitui uma progressão aritmética de razão. a a +(

Leia mais

Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec

Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec Justifique coveietemete todas as respostas! 2 o semestre 2015/2016 30/04/2016 9:00 1 o Teste A 10 valores 1. Uma

Leia mais

26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia.

26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia. 6//000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR 00- PROVA MATEMÁTICA Prova resolvida pela Profª Maria Atôia Coceição Gouveia RESPONDA ÀS QUESTÕES A SEGUIR, JUSTIFICANDO SUAS SOLUÇÕES QUESTÃO A

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 2011 RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 2011 RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 0 Profa Maria Atôia Gouveia 6 A figura represeta um cabo de aço preso as etremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizotal A represetação

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL INTRODUÇÃO ROTEIRO POPULAÇÃO E AMOSTRA. Estatística Aplicada à Engenharia

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL INTRODUÇÃO ROTEIRO POPULAÇÃO E AMOSTRA. Estatística Aplicada à Engenharia ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL 1. Itrodução. Teorema Cetral do Limite 3. Coceitos de estimação potual 4. Métodos de estimação potual 5. Referêcias Estatística Aplicada à Egeharia 1 Estatística

Leia mais

CAPÍTULO 6 ESTIMATIVA DE PARÂMETROS PPGEP. Introdução. Introdução. Estimativa de Parâmetros UFRGS

CAPÍTULO 6 ESTIMATIVA DE PARÂMETROS PPGEP. Introdução. Introdução. Estimativa de Parâmetros UFRGS CAPÍTULO 6 Itrodução Uma variável aleatória é caracterizada ou descrita pela sua distribuição de probabilidade. ETIMATIVA DE PARÂMETRO URG Em aplicações idustriais, as distribuições de probabilidade são

Leia mais

Vamos estudar o conceito de variabilidade absoluta considerando o conjunto de notas obtidas por cinco alunos:

Vamos estudar o conceito de variabilidade absoluta considerando o conjunto de notas obtidas por cinco alunos: Medidas de Disperção Itrodução: - Observamos ateriormete que as medidas de tedêcia cetral são usadas para resumir, em um úico úmero, aquele parâmetro que será o represetate do cojuto de dados. Estas medidas

Leia mais

FICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões

FICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões . Observe a sequêcia das seguites figuras: FICHA DE TRABALHO º ANO Sucessões Vão-se costruido, sucessivamete, triâgulos equiláteros os vértices dos triâgulos equiláteros já existetes, prologado-se os seus

Leia mais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,

Leia mais

Estimativa de Parâmetros

Estimativa de Parâmetros Estimativa de Parâmetros ENG09004 04/ Prof. Alexadre Pedott pedott@producao.ufrgs.br Trabalho em Grupo Primeira Etrega: 7/0/04. Plao de Amostragem - Cotexto - Tipo de dado, frequêcia de coleta, quatidade

Leia mais

2- Resolução de Sistemas Não-lineares.

2- Resolução de Sistemas Não-lineares. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Resolução de Sisteas Não-lieares..- Método de Newto..- Método da Iteração. 3.3- Método do Gradiete. - Sisteas Não Lieares de Equações Cosidere u

Leia mais

INFERÊNCIA. Fazer inferência (ou inferir) = tirar conclusões

INFERÊNCIA. Fazer inferência (ou inferir) = tirar conclusões INFERÊNCIA Fazer iferêcia (ou iferir) = tirar coclusões Iferêcia Estatística: cojuto de métodos de aálise estatística que permitem tirar coclusões sobre uma população com base em somete uma parte dela

Leia mais

COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. 2. Lembrando... II. K = x K = (7 2 ) x K = x

COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. 2. Lembrando... II. K = x K = (7 2 ) x K = x Matemática aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Pelo algoritmo da divisão, temos: I. q + r II. + ( + 3) q + r + q+ r+ 3q + + 3q q 7 5. N 5. 8 x N 5. 3x Número de divisores ( + )(3x + ) 3x + 7 x um úmero

Leia mais

Matemática 5 aula 11 ( ) ( ) COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS REVISÃO. 4a 12ab + 5b 2a 2(2a)(3b) + (3b) (2b)

Matemática 5 aula 11 ( ) ( ) COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS REVISÃO. 4a 12ab + 5b 2a 2(2a)(3b) + (3b) (2b) Matemática 5 aula 11 REVISÃO 1. Seja L a capacidade, em litros, do taque. Por regra de três simples, temos: I. Toreira 1: II. Toreira : 1 L 18 L x 1 x + xl ( x+ ) 1 = = L 1 18 xl ( x+ ) Sabedo que R 1

Leia mais

Métodos Quantitativos Aplicados ao AGRONEGOCIO- Prof.Waldenir S.F.Britto-Disciplina de Agronegocio - FACAPE 1

Métodos Quantitativos Aplicados ao AGRONEGOCIO- Prof.Waldenir S.F.Britto-Disciplina de Agronegocio - FACAPE 1 Métodos Quatitativos Aplicados ao AGRONEGOCIO- Prof.Waldeir S.F.Britto-Disciplia de Agroegocio - FACAPE 1 Muitos dos procedimetos empregados os processos de gestão de custos e formação de preços são compreedidos

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

Distribuição de Bernoulli

Distribuição de Bernoulli Algumas Distribuições Discretas Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof. Luiz Medeiros Departameto de Estatística UFPB Distribuição de Beroulli Na prática muitos eperimetos admitem apeas dois resultados

Leia mais

ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 1 Estimação de Parâmetros uiverso do estudo (população) dados observados O raciocíio idutivo da estimação de parâmetros Estimação de Parâmetros POPULAÇÃO p =? AMOSTRA Observações:

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos IFBA Processos Estocásticos Versão 1 Alla de Sousa Soares Graduação: Liceciatura em Matemática - UESB Especilização: Matemática Pura - UESB Mestrado: Matemática Pura - UFMG Vitória da Coquista - BA 2014

Leia mais

Prova Resolvida e Comentada Prof. Joselias (011 ) AFRF 2005 Matemática Financeira e Estatística

Prova Resolvida e Comentada Prof. Joselias (011 ) AFRF 2005 Matemática Financeira e Estatística Prova Resolvida e Cometada Prof. Joselias joselias@uol.com.br (0 )9654-53 FRF 005 Matemática Fiaceira e Estatística Soluções das Provas do FRF-005 de Matemática Fiaceira e de Estatística Prof. Joselias

Leia mais

4.2 Numeração de funções computáveis

4.2 Numeração de funções computáveis 4. Numeração de fuções computáveis 4.1 Numeração de programas 4.2 Numeração de fuções computáveis 4.3 O método da diagoal 4.4 O Teorema s-m- Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 4.1 4.1 Numeração

Leia mais

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares. 5. Defiição de fução de várias variáveis: campos vetoriais e. Uma fução f : D f IR IR m é uma fução de variáveis reais. Se m = f é desigada campo escalar, ode f(,, ) IR. Temos assim f : D f IR IR (,, )

Leia mais

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Técnicas de Reamostragem

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Técnicas de Reamostragem Estatística: Aplicação ao Sesoriameto Remoto SER 202 - ANO 2016 Técicas de Reamostragem Camilo Daleles Reó camilo@dpi.ipe.br http://www.dpi.ipe.br/~camilo/estatistica/ Distribuição Amostral Testes paramétricos

Leia mais

) E 2 ( X) = p p 2 = p( 1 p) ) = 0 2 ( 1 p) p = p ( ) = ( ) = ( ) = p. F - cara (sucesso) C - coroa (insucesso)

) E 2 ( X) = p p 2 = p( 1 p) ) = 0 2 ( 1 p) p = p ( ) = ( ) = ( ) = p. F - cara (sucesso) C - coroa (insucesso) 3.6 A distribuição biomial Defiição: uma eperiêcia ou prova de Beroulli é uma eperiêcia aleatória só com dois resultados possíveis (um deles chamado "sucesso" e o outro "isucesso"). Seja P(sucesso) = p,

Leia mais