ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p

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1 ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL p

2 Objetivo Estimar uma proporção p (descohecida) de elemetos em uma população, apresetado certa característica de iteresse, a partir da iformação forecida por uma amostra.

3 Exemplos: p: proporção de aluos da USP que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês; p: proporção de cosumidores satisfeitos com os serviços prestados por uma empresa telefôica; p: proporção de eleitores da cidade de São Paulo que votariam em um determiado cadidato, caso a eleição para presidete se realizasse hoje; p: proporção de criaças de 2 a 6 aos, do estado de São Paulo, que ão estão matriculadas em escola de educação ifatil.

4 Dois possíveis procedimetos de estimação: Estimação potual Estimação itervalar - Vamos observar elemetos, extraídos ao acaso e com reposição da população; - Para cada elemeto selecioado, verificamos a preseça (sucesso) ou ão (fracasso) da característica de iteresse.

5 sedo que, Estimador potual O estimador potual para p, também deomiado proporção amostral, é defiido como X pˆ, X deota o úmero de elemetos a amostra que apresetam a característica; deota o tamaho da amostra coletada. Se observamos o valor k da v. a. X, obtemos que deomiamos estimativa potual para p. pˆ k /

6 Exemplo 1: Sejam, p: proporção de aluos da USP que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês, e X: úmero de estudates que respodem sim em uma pesquisa com etrevistados. Supoha que foram etrevistados = 500 estudates e que, desses, k = 100 teriam afirmado que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês.

7 A estimativa potual (proporção amostral) para p é dada por: k 100 pˆ 0, ou seja, 20% dos estudates etrevistados afirmaram que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês., Note que, outra amostra de mesmo tamaho pode levar a uma outra estimativa potual para p.

8 Estimativa itervalar ou itervalo de cofiaça Para uma amostra observada, os estimadores potuais forecem como estimativa um úico valor umérico para o parâmetro. Os estimadores potuais são variáveis aleatórias e, portato, possuem uma distribuição de probabilidade, em geral, deomiada distribuição amostral. Idéia: costruir itervalos de cofiaça, que icorporem à estimativa potual iformações a respeito de sua variabilidade (erro amostral). Itervalos de cofiaça são obtidos por meio da distribuição amostral do estimador potual.

9 A estimativa itervalar correspode a um itervalo determiado da seguite maeira: pˆ ε; pˆ ε, sedo o erro amostral ou margem de erro. Perguta: Como ecotrar?

10 Seja P() a probabilidade da estimativa potual estar a uma distâcia de, o máximo, da proporção verdadeira p, ou seja, P ( ) P( pˆ p ). A probabilidade P() é também deomiada coeficiete de cofiaça do itervalo, que deotamos pela letra grega (gama). Afirma-se aida que a estimativa itervalar tem coeficiete de cofiaça = P().

11 ) ) (1 ) (1 ) (1 ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( p p p p p X p p P p X p P p X p P p X P p p P P Formalmete, Como X ~ b(, p) temos que, para grade, a variável aleatória tem distribuição N(0,1). p( -p) X - p Z 1

12 Deste modo, para grade, P( ) P p(1 p) Z p(1 p), ode Z ~ N(0,1).

13 Deotado ε p( 1 p) z, temos que P() = = P(-z Z z). Assim, podemos obter z cohecedo-se (ou P()). Por exemplo, cosidere = 0,80. z é tal que A(z) = 0,90. Pela tabela, temos z = 1,28.

14 Erro da estimativa itervalar Da igualdade z, ε p(1 p) é imediato mostrar que o erro amostral é dado por ε z p(1 p), ode z é tal que = P(-z Z z), com Z ~ N(0,1).

15 Dimesioameto da amostra p(1 p) Da relação ε z, segue que o tamaho amostral, dados e a margem de erro, tem a forma z ε 2 p(1 p), ode z é tal que = P(-z Z z) e Z ~ N(0,1). Etretato, esta expressão, depede de p(1-p), que é descohecido. Como calcular o valor de?

16 Gráfico da fução p(1-p), para 0 p 1. Pela figura observamos que: a fução p(1-p) é uma parábola simétrica em toro de p = 0,5; o máximo de p(1-p) é 0,25, alcaçado quado p = 0,5. Assim, a prática, substituímos p(1-p) por seu valor máximo, obtedo 2 z ε 0,25, que pode forecer um valor de maior do que o ecessário.

17 Exemplo 2: No exemplo da USP (Exemplo 1) supoha que ehuma amostra foi coletada. Quatos estudates precisamos cosultar de modo que a estimativa potual esteja, o máximo, a 0,02 da proporção verdadeira p, com uma probabilidade de 0,95? Dados do problema: = 0,02 (erro da estimativa); P() = = 0,95 z = 1,96. 1,96 0,02 2 p(1- p) 1,96 0,02 2 0, estudates.

18 Perguta: É possível reduzir o tamaho da amostra quado temos alguma iformação a respeito de p? Por exemplo, sabemos que: p ão é superior a 0,30, ou p é pelo meos 0,80, ou p está etre 0,30 e 0,60. Resposta: Depede do tipo de iformação sobre p. Em algus casos, podemos substituir a iformação p(1-p), que aparece a expressão de, por um valor meor que 0,25.

19 Redução do tamaho da amostra Vimos que, se ada sabemos sobre o valor de p, o cálculo de, substituímos p(1-p) por seu valor máximo, e calculamos z ε 2 0,25. Se temos a iformação de que p é o máximo 0,30 (p 0,30), etão o valor máximo de p(1-p) será dado por 0,3x0,7 = 0,21. Logo, reduzimos o valor de para z ε 2 0,21.

20 Agora, se p é pelo meos 0,80 (p 0,80), etão o máximo valor de p(1-p) é 0,8x0,2 = 0,16, e temos z ε 2 0,16. Mas, se 0,30 p 0,60, o máximo valor de p(1-p) é 0,5x0,5=0,25 e, este caso, ão há redução, ou seja, z ε 2 0,25.

21 Exemplo 3: No Exemplo 2, supoha que temos a iformação de que o máximo 30% dos aluos da USP foram ao teatro o último mês. Portato, temos que p 0,30 e, como vimos, o máximo de p(1-p) este caso é 0,21. Assim, precisamos amostrar z ε 2 0,21 1,96 0,02 2 0, estudates, coseguido uma redução de = 384 estudates.

22 Itervalo de cofiaça para p Vimos que a estimativa itervalar para p tem a forma: pˆ ε ; pˆ ε, com ε z p( 1 p) e z tal que = P(-z Z z) a N(0,1). Na prática, substituímos a proporção descohecida p pela proporção amostral pˆ, obtedo o seguite itervalo de cofiaça com coeficiete de cofiaça : IC( p ; γ) pˆ ( 1 pˆ ) pˆ z ; pˆ z pˆ ( 1 pˆ )

23 Exemplo 4: No exemplo da USP, temos = 500 e pˆ = 0,20. Costruir um itervalo de cofiaça para p com coeficiete de cofiaça = 0,95. Como = 0,95 forece z = 1,96, o itervalo é dado por: pˆ z p( ˆ 1 p) ˆ ; pˆ z p( ˆ 1 p) ˆ 0,20 1,96 0,20 0, ,20 1,96 0,20 0,035 ; 0,20 0,035 0,165 ; 0,235. ; 0,20 0, Nesse itervalo ( = 0,95), a estimativa potual para p é 0,20, com um erro amostral igual a 0,035.

24 Iterpretação do IC com = 95%: Se sortearmos 100 amostras de tamaho = 500 e costruirmos os respectivos 100 itervalos de cofiaça, com coeficiete de cofiaça de 95%, esperamos que, aproximadamete, 95 destes itervalos coteham o verdadeiro valor de p. Cometários: Da expressão ε z p( 1 p), é possível cocluir que: para fixado, o erro dimiui com o aumeto de. para fixado, o erro aumeta com o aumeto de.

25 Exemplo 5: Aida o exemplo da USP, temos k = 100 e = 500. Qual é a probabilidade da estimativa potual estar a uma distâcia de, o máximo, 0,03 da proporção verdadeira? Dados do problema: 500, pˆ 0,20 e ε 0,03 P() = =? Como a proporção verdadeira p é descohecida, utilizamos a estimativa potual pˆ para calcular z e, assim, obter (ou P()).

26 Cálculo de z: z ε p( 1 p) 0, ,2 0,8 1,68. Logo, obtemos P ( ε ) 2 A( z ) 1 2 A(1,68) 1 20, ,906 (90,6%).

27 Exemplo 6: Supoha que estamos iteressados em estimar a proporção p de pacietes com meos de 40 aos diagosticados com câcer os pulmões que sobrevivem pelo meos 5 aos. Em uma amostra aleatoriamete selecioada de 52 pacietes, somete 6 sobreviveram mais de 5 aos. - Estimativa por poto para p: 6 pˆ 0115, 52 (proporção amostral) - Itervalo de cofiaça aproximado de 95% para p: (0,115 1,96 0,115(1 0,115) 52 ; 0,115 1,96 0,115(1 0,115) 52 ) (0,028, 0,202)

28 Cometário: Embora esse itervalo teha sido costruído usado a aproximação ormal para a distribuição biomial, poderíamos ter gerado um itervalo de cofiaça exato para p usado a própria distribuição biomial. Um itervalo exato é particularmete útil para pequeas amostras, em que o uso da aproximação ormal ão pode ser justificada.

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