Desigualdades (por Iuri de Silvio ITA-T11)

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1 Desigualdades (por Iuri de Silvio ITA-T) Apresetação O objetivo desse artigo é apresetar as desigualdades mais importates para quem vai prestar IME/ITA, e mostrar como elas podem ser utilizadas a resolução de problemas. Aiomas - Tricotomia dos úmeros reais: a a 0 ou a 0 ou a 0 - Adição: a b, c a c b c a b e c 0 ac bc - Multiplicação: a b e c 0 ac bc - Trasitividade: a b e b c a c Teoremas ) a b e ab 0 a b Multiplicação Demostração: a b. a. b ab ab b a ) a b e c d a c b d Demostração: a b a c b c Adição c d b c b d Trasitiva a c b d 3) a b e c d; a, b, c, d ac bd Demostração: a b ac bc Multiplicação c d bc bd Trasitiva ac bd Esses três teoremas iiciais são apeas para lembrar algumas propriedades esseciais daqui pra frete, e mostrar as demostrações a partir dos aiomas. Desigualdade de Cauch: a, b a b Demostração: 0 a b Para a e b : ab ab

2 Teorema auiliar de Cauch:,,,, 3 3 Demostração: (pelo Pricípio da Idução fiita) 3 ) Provado para casos particulares : (V) : Pela desigualdade de Cauch (provada ateriormete),,, 3,, k ) Hipótese: 3 k k Tese: 3,,,,, 3 k k 3 k k k k 3 k k Demostração da tese de idução k 3 k k k 3 k k k Sem perda de geeralidade, supomos k e k. k 3 k k k k k k k Somado k k 3 k k k k k k k 3 k k k k k k (V). em ambos os lados, e somado - o membro direito: k Fatorado: k (cqd) 0 0 Eercício relacioado: (Olimpíada Ibero-Americaa) Demostre a seguite desigualdade:,, z S z z 6 z Desevolvedo a epressão, temos: S z z z z Pelo teorema auiliar de Cauch, temos de imediato que S 6, pois.... z.. z Desigualdade das médias: Média Quadrática: MQ MQ MA MG MH,,, Média Aritmética: MA

3 Média Geométrica: MG Média Harmôica: MH ) MA MG MG MG 3 Teorema 3 auiliar.. 3 MG MG MG MG MG MG MG MG MG (cqd) ) MG MH MA MG Com i, para i : i. MH MG 3) MQ MA Supodo por absurdo MQ MA : Elevado ambos os lados ao quadrado: 3 Fazedo as simplificações ecessárias: 3 0 Para : (PROVE) 0, que é absurdo. Para 3 : o resultado acima é claramete absurdo, e portato MQ MA. Das demostrações acima, temos a validade da desigualdade das médias. A igualdade MQ=MA=MG=MH ocorre somete para.

4 Eercícios relacioados: (ITA-00) Mostre que reais positivos. ( C, p deota a combiação de elemetos tomados p a p). 4 C 8,4 para quaisquer e 8! Sabemos que C 8, !4! A partir daí, temos que ecotrar uma desigualdade que seja capaz de provar a proposição. Temos que potêcia:, e portato 4. Elevado ambos os lados à quarta Desigualdade de Beroulli: ; 0 ; ; <0 ou >; ) ; 0 ; Para essa desigualdade é imediata a partir do cohecimeto do Triâgulo de Pascal. p Para ( p e q, p q) : q Da desigualdade das médias ( MG MA ): q p q p p. q p. p q p q p q p.. q q q Para irracioal, com r : r lim lim r ; 0 r r Mesmo evolvedo um limite essa última parte, o etedimeto disso é ituitivo. Para todo irracioal, eiste um úmero racioal ifiitamete próimo a ele o cojuto dos reais, ou seja, para esse caso a desigualdade é satisfeita. Ao provar que a desigualdade vale para atural, racioal ou irracioal, provamos que ela vale para quaisquer valores reais de. Precisamos agora provar a seguda proposição da desigualdade. ) ; <0 ou >; Já foi provada a validade para 0 m : m; 0 m m

5 Para m : ;. Elevado ambos os lados a, com : ;. Para provar a validade para 0 o processo é aálogo ao primeiro caso, fazedo com que p seja egativo. Observação: quato meor o valor de, mais próimos são os valores de, sedo que para,. e Desigualdade de Cauch-Schwarz: a, b ; i a b a b a b a b a a a a. b b b b i i Demostração: a b 0 a a b b 0 a b 0 a a b b 0 a b 0 a a b b 0 Somado todas as equações: a a a a b a b a b b b b 0; Para que a iequação acima seja satisfeita para quaisquer valores de, 0. 4 a b a b a b 4 a a a b b b 0 a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a a a a. b b b b (cqd) Observações:. Para b b b e a a a :,,, a a a a a a a a a a a a a a a. A igualdade ocorre para b b b.. ( MA MQ ) Outra desigualdade: e ; A demostração elemetar dessa desigualdade é bastate etesa, e ão será mostrada aqui. Graficamete, temos uma curva epoecial e uma reta, sedo que a igualdade ocorre apeas em 0. Para todos os outros valores, a epoecial estará acima da reta.

6 Cometários - Esses são apeas algus eemplos de desigualdades, sedo que em geral são suficietes para resolver as questões do ITA e do IME; - por mais abragete que a aula sobre esse tema, sempre será ecessário criatividade; - o tópico mais importate com certeza é a desigualdade das médias, por ser utilizado com maior freqüêcia; - as demostrações foram colocadas ão apeas pelo rigor matemático, mas sim para termos uma visão das idéias que serão ecessárias para resolver os problemas. Eteda como foram feitas as demostrações acima, para aproveitar as idéias em eercícios posteriores; - em todas as questões propostas abaio eigem a utilização das desigualdades mostradas esse artigo. Em algus casos é ecessário apeas o cohecimeto dos aiomas e um pouco de maipulação algébrica. Problemas. Prove que. Seja a a., prove que! 3. Calcule o valor míimo de z z z. 4. (ITA) Para todo e, vale a desigualdade de, temos como a) b) c) d) e) coseqüêcia que, para 0 e, tem-se: 5. Resolva em : z z z 6. (ITA-005) Ecotre o meor iteiro positivo para o qual a difereça fica meor que 0,0.

7 z 7. (IME-00) a) Sejam, e z úmeros reais positivos. Prove que: 3 z. 3 b) Cosidere um paralelogramo de lados a,b,c e área total S 0. Qual a relação etre a,b e c para que esse volume seja máimo? Demostre seu resultado. 8. Sedo f e 9. Prove que e e. 4 4 g f, prove que 8 ; Gabarito 3) zero 4) E 5) S,, z /(0,0,0);(,,) 6) 50 g.

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