Dos Produtos Notáveis ao Cálculo de Volumes

Transcrição

1 Dos Produtos Notáveis ao Cálculo de Volumes Roaldo B Assução Paulo C Carrião Departameto de Matemática, Uiversidade Federal de Mias Gerais CEP Belo Horiote (MG, Brasil roaldo@matufmgbr carrio@matufmgbr III Bieal da SBM Goiâia, a 10 de ovembro de 00 Sumário Itrodução 1 1 Somas de potêcias iteiras dos úmeros aturais 3 11 Soma dos úmeros aturais 3 1 Soma dos quadrados dos úmeros aturais 3 13 Soma dos cubos dos úmeros aturais 4 14 Notação de somatório 4 Cálculo de áreas pelo método de eaustão 5 1 Descrição do método de eaustão 5 Cálculo da área sob o gráfico da reta 5 3 Cálculo da área sob o gráfico da parábola 7 4 Cálculo da área sob o gráfico da parábola cúbica 8 5 Propriedades gerais 9 3 Cálculo de volumes pelo método de eaustão 9 31 Cálculo do volume do coe 9 3 Cálculo do volume do troco de coe A fórmula dos três íveis 11 4 Aplicações 1 41 Esfera 1 4 Telhado Pota de chave de feda Parabolóide Eercícios 13 Itrodução O cálculo de volumes é um dos assutos estudados a matemática desde a atiguidade até os dias atuais Diversas fórmulas foram descobertas ao logo dos aos para calcular volumes de diferetes sólidos O objetivo deste trabalho é apresetar uma fórmula para 1

2 o cálculo do volume de todos os sólidos estudados o esio médio e outros mais É a chamada fórmula dos três íveis, dada por V (b a [ ( a + b S(a + 4S ] + S(b em que S( represeta a área da seção trasversal do sólido a posição (veja Teorema 1 É importate ressaltar que S( deve ser um poliômio de grau o máimo 3 a variável Uma versão dessa fórmula para o cálculo do volume do troco de pirâmide já era cohecida o Egito atigo, coforme atesta o Papiro de Moscou, datado de cerca de 1900 A C b (a + b/ a Para ilustrar a aplicação dessa fórmula, apresetamos a cuha cilídrica Este sólido é obtido pela iterseção de um cilidro circular reto com dois plaos (um deles horiotal e o outro formado um âgulo α com o primeiro Como é simples observar, as seções trasversais verticais da cuha cilidrica são triâgulos (aqui estamos supodo que os plaos verticais iterceptam ortogoalmete os dois plaos que delimitam a cuha A área do triâgulo obtido por um plao vertical a posição é dada por S( taα (r, que é um poliômio de grau a variável Aplicado a fórmula dos três íveis para ±r e 0 ecotramos S(±r 0 e S(0 r taα/ Portato, o volume da cuha cilídrica vale V r/[0 + 4(r taα/ + 0] r 3 ta α/3 ta α r α r S( taα (r V taα r 3 3 Na seção 1 apresetamos algumas fórmulas para o cálculo de somas de potêcias dos úmeros aturais Essas fórmulas, baseadas os produtos otáveis, serão úteis para o cálculo da área sob o gráfico de retas, de parábolas e de parábolas cúbicas que são r r

3 descritas a seção Na seção 3 apresetamos o cálculo do volume do troco de coe utiliado os produtos otáveis e euciamos a fórmula dos três íveis Para demostrála, usaremos o Pricípio de Cavalieri e as idéias desevolvidas as seções ateriores Na seção 4 apresetamos algumas aplicações da fórmula dos três íveis para o cálculo de volumes da esfera, do telhado e da calota esférica e da pota de chave de feda e também propomos algus eercícios para o leitor 1 Somas de potêcias iteiras dos úmeros aturais 11 Soma dos úmeros aturais A partir da cohecida fórmula (a + b a + ab + b podemos determiar o valor de S da seguite maeira Escrevedo (k+1 k k+1 e usado propriedades aritméticas simples, podemos somar os lados esquerdos de todas as igualdades abaio e igualar à soma dos lados direitos correspodetes Observamos agora que do lado esquerdo todos as parcelas se cacelam, eceto a primeira parcela da primeira liha e da última parcela da última liha; também otamos que do lado direito obtemos S 1 + pois temos eatamete lihas Assim, ( ( 1 ( ( ( S 1 + Agora temos relação ( S 1 +, e portato, S 1 ( + 1 (1 1 Soma dos quadrados dos úmeros aturais Este mesmo tipo de raciocíio pode ser empregado para o cálculo de S De fato, a partir do produto otável (a + b 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 temos a relação (k k 3 3k + 3k + 1 Assim ( 3 ( ( ( ( ( S + 3 S 1 + 3

4 Usado a fórmula (1, obtemos facilmete a fórmula S ( + 1( + 1 ( 13 Soma dos cubos dos úmeros aturais Mais uma ve vamos usar as idéias ateriores para calcular o valor de S A partir do produto otável (a + b 4 a 4 + 4a 3 b + a b + 4ab 3 + b 4 temos a relação (k k 4 4k 3 + k + 4k + 1 Assim ( 4 ( ( ( ( ( ( S 3 + S + 4 S 1 + Usado as fórmulas (1 e (, obtemos facilmete a fórmula [ ( + 1 ] S 3 O leitor ateto terá observado que S 3 S 1, ou seja, ( Notação de somatório Usado a otação de somatório, temos as seguites fórmulas ( + 1 S 1 i, S S 3 i ( + 1( + 1, [ ( + 1 ] i 3 ou S 3 A fórmula geral é a seguite: S m i m 1 [ ( + 1 m+1 1 m + 1 ou etão 1 S m i m 1 m + 1 m ( m + 1 k0 k [ i 3 i] ( (i + 1 m+1 i m+1 (m + 1i m], B k m+1 k, em que B k são os chamados úmeros de Beroulli, dados por B k 0 se k é um úmero ímpar diferete de 1, B 0 1, B 1 1/, B 1/, B 4 1/30, B 1/4, B 8 1/30, B 10 5/, etc Covidamos o leitor a visitar a seguite págia da Iteret e coferir ovas fórmulas iteressates: 4 (3

5 Cálculo de áreas pelo método de eaustão 1 Descrição do método de eaustão Seja f : [a, b] R uma fução ão egativa defiida o itervalo fechado a b A área A da região sombreada a figura pode ser avaliada da seguite forma f( a b Seja N um úmero atural qualquer; dividimos o itervalo [a, b] em subitervalos iguais a (b a/ O valor será a base de dois tipos de retâgulos: os do primeiro tipo, represetados de cia claro, estarão totalmete abaio do gráfico de f(; os do segudo tipo, represetado de cia escuro a figura (e parcialmete ecobertos pelos retâgulos claros, coterão totalmete o gráfico de f( Em outros termos, costruímos duas classes de retâgulos tais que os da primeira classe ficam iteiramete cobertos pelo gráfico da fução f( e os da seguda classe cobrem iteiramete o gráfico da fução Deotado por b i a área de um retâgulo geérico da primeira classe e por c i a área de um retâgulo geérico da seguda classe, temos as seguites desigualdades: b i A c i f( f( (4 a b a b Quado o úmero de partes em que se divide o itervalo fechado a b aumeta, a soma das áreas dos retâgulos claros aumeta, como se pode visualiar a figura; além disso, a soma das áreas dos retâgulos escuros dimiui Etretato, esse processo a área A sob o gráfico da fução permaece verificado as desigualdades (4 Podemos etão aproimar o valor eato da área A faedo um úmero cada ve maior de retâgulos (claros, por falta; escuros, por ecesso Assim, se os valores B b i e C c i torarem-se arbitrariamete próimos um do outro quado o úmero cresce, etão esse valor comum deverá ser igual à área A Cálculo da área sob o gráfico da reta Cosideremos essa subseção o gráfico da fução f : [0, b] R defiida por f( A área A requerida é a de um triâgulo retâgulo isósceles de catetos iguais a b e vale A b / Etretato, vamos calcular a área usado o método de eaustão Para isso, seja 5

6 N um úmero atural qualquer; dividimos o itervalo fechado [0, b] em subitervalos iguais a b/ que formarão as bases dos retâgulos É fácil verificar que os + 1 potos usados para determiar os subitervalos devem ter coordeadas iguais a b/ b/ 3 3b/ 1 ( 1b/ b/ b (5 O retâgulo geérico cia claro (totalmete cotido a região sob o gráfico da fução f( tem altura igual ao valor de f( i 1 i 1 pois a fução é crescete e o meor valor que atige o subitervalo [ i 1, i ] ocorre a etremidade esquerda do subitervalo Assim, b i ( f( i 1 ( i 1 (b/ i 1 (b/ ((i 1b/ f( A soma das áreas dos retâgulos claros vale B b i ( b ((i 1b ( b ( b ( 1 (i 1 ( b ( 1 (b ( b 1 O retâgulo geérico cia escuro (que cotém totalmete a região sob o gráfico da fução f( tem altura igual ao valor de f( i i pois a fução é crescete e o maior valor que atige o subitervalo [ i 1, i ] ocorre a etremidade direita do subitervalo Assim, c i ( f( i ( i (b/ i (b/ (ib/ A soma das áreas dos retâgulos escuros vale C c i ( b (ib ( b ( b ( 1 (b ( b Claramete, temos as seguites desigualdades: b A b b i ( b ( + 1 ( b ( + 1

7 Como o valor de b é arbitrário (porém fio e já que o deomiador da fração b / tora-se arbitrariamete grade quado aumetamos o valor de, resulta que b / fica meor do que qualquer valor previamete fiado (bastado para isso escolher um valor suficietemete grade para Etão a difereça etre o valor da área A e b / fica meor do que qualquer quatidade previamete fiada, por meor que seja Isto só é verdade se os valores de A e b / forem iguais Cocluímos etão que A b / 3 Cálculo da área sob o gráfico da parábola Cosideremos agora a fução f : [0, b] R defiida por f( Vamos calcular a área A usado ovamete o processo descrito ateriormete Para isso, seja N um úmero atural qualquer; dividimos o itervalo fechado [0, b] em subitervalos iguais a b/ que formarão as bases dos retâgulos É fácil verificar que os + 1 potos usados para determiar os subitervalos são os mesmos dados por (5 O retâgulo geérico cia claro (totalmete cotido a região sob o gráfico da fução f( tem altura igual ao valor de f( i 1 i 1 pois a fução é crescete e, portato, o meor valor que atige o subitervalo [ i 1, i ] ocorre a etremidade esquerda do subitervalo Assim, b i ( f( i 1 ( i 1 (b/ i 1 (b/ ((i 1b/ A soma das áreas dos retâgulos claros vale ( b ((i 1b ( b 3 B b i (i 1 ( b 3 ( 1( 1 ( b 3 ( ( 1 ( b 3 ( O retâgulo geérico cia escuro (que cotém totalmete a região sob o gráfico da fução f( tem altura igual ao valor de f( i pois a fução é crescete e, portato, o meor valor que atige o subitervalo [ i 1, i ] ocorre a etremidade direita do subitervalo Assim, c i ( f( i ( i (b/ i (b/(ib/ A soma das áreas dos retâgulos escuros vale ( b (ib C c i ( b 3 i ( b 3 ( + 1( + 1 ( b 3 ( b 3 ( Claramete, temos as seguites desigualdades: b 3 ( ( A b3 3 b ( ( 1 + Como ateriormete, cocluímos que o valor eato da área é A b 3 /3 7

8 f( 4 Cálculo da área sob o gráfico da parábola cúbica Cosideremos agora a fução f : [0, b] R defiida por f( 3 Mais uma ve, vamos calcular a área A usado o processo de passagem ao limite, cohecido como método da eaustão Para isso, seja N um úmero atural qualquer; dividimos o itervalo fechado [0, b] em subitervalos iguais a b/ que formarão as bases dos retâgulos Novamete os + 1 potos usados para determiar os subitervalos devem ter coordeadas dadas por (5 O retâgulo geérico cia claro (totalmete cotido a região sob o gráfico da fução f( 3 tem altura igual ao valor de f( i 1 3 i 1 pois a fução é crescete e, portato, o meor valor que atige o subitervalo [ i 1, i ] ocorre a etremidade esquerda do subitervalo Assim, b i ( f( i 1 ( 3 i 1 (b/ i 1 (b/ ((i 1b/ 3 A soma das áreas dos retâgulos claros vale B ( b ((i 1b ( 3 b 4 ( 1 b i 4 4 ( b 4 ( ( 1 1 ( b 4 ( O retâgulo geérico cia escuro (que cotém totalmete a região sob o gráfico da fução f( 3 tem altura igual ao valor de f( i 3 i pois a fução é crescete e, portato, o meor valor que atige o subitervalo [ i 1, i ] ocorre a etremidade direita do subitervalo Assim, c i ( f( i ( i (b/ i (b/ ((ib/ 3 A soma das áreas dos retâgulos escuros vale C c i ( b (ib ( 3 b 4 ( ( b 4 4 ( 1( (b 4 Claramete, temos as seguites desigualdades: b 4 ( ( A b4 4 b (

9 Como ateriormete, cocluímos que o valor eato da área é A b 4 /4 f( 3 5 Propriedades gerais Nesta subseção itroduimos a otação I b a( f( para represetar a área sob o gráfico da fução f : [a, b] R defiida o itervalo fechado [a, b] Com base os cálculos apresetados as subseções ateriores, temos as seguites propriedades 1 Ia b (1 b a I b a( b a 3 I b a ( b3 3 a3 3 4 Ia b(3 b4 4 a4 4 ( 5 Ia( b c f( c I b a f( ( ( Ia( b f( + g( I b a f( + I b a g( 7 I b a (c 0 + c 1 + c + c 3 3 c 0 (b a + c 1 (b a + c 3 (b3 a 3 + c 3 4 (b4 a 4 3 Cálculo de volumes pelo método de eaustão 31 Cálculo do volume do coe Seja f : [a, b] R uma fução defiida o itervalo fechado [a, b] Se girarmos a região determiada sob o gráfico da fução em toro do eio O, obtemos um sólido deomiado sólido de revolução Usado a simetria dos sólidos de revolução em relação ao eio de rotação, podemos utiliar as técicas desevolvidas a seção aterior para calcular seu volume f( r/h Cosideremos iicialmete o caso em que f : [a, h] R é defiida porf( r/h, em que r e h são úmeros reais fios (mas arbitrários, represetado o raio da base do 9

10 coe e sua altura, respectivamete Dividido o itervalo [0, h] em subitervalos iguais a h/ e traçado plaos perpediculares ao eio O pelos potos das subdivisões, dados por 0 0, 1 h, h, 3 3h, ( 1h 1, h h, obtemos trocos de coe Cada um deles pode ser aproimado (por falta e por ecesso por cilidros cujas espessuras valem e cujos raios variam coforme o gráfico de f( Mais precisamete, aplicado a defiição de f( para i ih/, obtemos o volume dos cilidros por ecesso (e deiamos o caso por falta para o leitor Assim, c i π (raio altura π [ f( i ] π r h 3 i A soma dos volumes de todos os cilidros da partição vale C c i π r h 3 i π r h 3 ( i0 i πr ( + 1( + 1 h 3 πr h Coforme já salietamos, este valor ão é eatamete igual ao volume do coe; etretato, faedo o úmero de subitervalos teder a ifiito, obtemos aproimações cada ve melhores (sempre por ecesso, esse caso Aalogamete, faedo as aproimações por falta, podemos determiar o valor B πr h ( Coforme fiemos ateriormete, temos as desigualdades πr h ( V πr h πr h ( Disso resulta que o volume do coe de altura h e raio da base r vale V π r h 3 3 Cálculo do volume do troco de coe O volume do troco de coe obtido pela rotação do gráfico da fução f : [a, b] R defiida o itervalo fechado [a, b] por f( em toro do eio O (em que 0 < a < b pode ser calculado com o auílio do volume do coe determiado ateriormete Assim V troco π b b 3 π a a 3 π 3( b 3 a 3 Usado o produto otável b 3 a 3 (b a(a + ab + b, podemos reescrever o volume do troco de coe como π(b a V troco (a + ab + b 3 π(b a (a + ab + b π(b a (a + a + ab + b + b π(b a [ ( a a + ab + b ] b 4 π(b a [ ( a + b a b ] 10

11 Observamos agora que o fator que multiplica o úmero 4 a última igualdade é eatamete a área do círculo a meia altura o troco de coe Lembramos também que esse caso as áreas são poliômios de grau da variável, isto é, S( π represeta a área da seção do troco de coe obtida pela iterseção de um plao perpedicular ao eio O passado pelo poto de abscissa Assim, podemos escrever V troco b a [ (a + b ] S(a + 4S + S(b Um raciocíio aálogo permite calcular o volume de pirâmides, dado por V Ah 3, em que A é a área da base da pirâmide e h sua altura, além de troco de pirâmides (que deiamos como eercício 33 A fórmula dos três íveis Nesta subseção apresetamos o resultado pricipal deste teto É a fórmula dos três íveis, que permite calcular o volume de certos tipos de sólidos, etre os quais aqueles que são estudados o esio médio Para euciar o teorema, ecessitamos de algumas defiições e otações Seja K um sólido o espaço tridimesioal Deotamos por S(a a área da seção trasversal obtida iterceptado o sólido K por um plao perpedicular ao eio (plao esse que itercepta o próprio eio a posição a A fórmula dos três íveis permite calcular o volume do sólido K usado as áreas de três seções adequadamete escolhidas Teorema 1 (Fórmula dos três íveis Seja K um sólido o espaço tridimesioal Se a área S( de qualquer seção trasversal do sólido é um poliômio de grau o máimo 3, etão o volume do sólido K etre os plaos as posições a e b é dado pela fórmula V K (b a [ ( a + b S(a + 4S ] + S(b ( Para demostrar o Teorema 1 usamos o Pricípio de Cavalieri Este pricípio permite que o cálculo do volume do sólido K seja feito através do cálculo das áreas já estudadas A propriedade 7 da seção 5 permite que tratemos separadamete os casos em que S( é um poliômio de grau ero, de grau 1, de grau e fialmete de grau 3 Algus desses casos são bem simples e deiados a cargo do leitor (cofira o caso do volume do troco de coe Faremos a demostração apeas do caso em que S( 3 Ates, porém, é istrutivo euciar o pricípio o qual a demostração se baseia 11

12 Pricípio de Cavalieri Se dois sólidos estão icluídos etre um par de plaos paralelos e se são iguais as áreas das seções trasversais cortadas por plaos paralelos ao par de plaos que delimitam os sólidos, etão os volumes dos dois sólidos também são iguais Demostração da fórmula dos três íveis Usado os produtos otáveis b 4 a 4 (b a(a 3 + a b + ab + b 3 e (a + b 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3, temos Ia( b 3 b4 4 a4 4 b a 4 (a3 + a b + ab + b 3 b a 3 4 (3a3 + 3a b + 3ab + 3b 3 b a 1 (a3 + a 3 + 3a b + 3ab + b 3 + b 3 b a (a 3 (a + b3 + + b 3 b a ( S(a + 4S ( a + b + S(b 4 Aplicações Nesta seção fial apresetamos algumas aplicações da fórmula dos três íveis para o cálculo de volumes de algus sólidos 41 Esfera r r S( π(r V 4π 3 r3 1

13 4 Telhado a 1 w h S(w bw ( a1 h + w(a a h 1 V bh (a + a 1 a b 43 Pota de chave de feda h b S( πab/h V πabh/ a a 44 Parabolóide S( π V πh 45 Eercícios 1 Calcule o volume da calota esférica de altura h (para uma esfera de raio r Calcule o volume do troco de pirâmide de altura h e áreas das bases B 1 e B 3 Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da parábola semi-cúbica f( 3/ (para 0 b em toro do eio Referêcias [1] M Berger, Geometr II, Spriger-Verlag, Uiversitet, Berli 1987 [] H Eves, A Itroductio to the Histor of Mathematics, Sauders College Publishig 1983 [3] E L Lima, Medida e Forma em Geometria, Coleção Professor de Matemática, SBM 1993 [4] H O Midoick, The Treasur of Mathematics, Philosophical Librar, New York