Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Sequências de números reais 1

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1 Matemática Essecial Sequêcias Reais Departameto de Matemática - UEL Ulysses Sodré Coteúdo Sequêcias de úmeros reais 2 Médias usuais 6 3 Médias versus progressões 6 4 Sequêcias e Progressões aritméticas 7 5 Sequêcias geométricas e PG 6 Propriedades dos limites das sequêcias 5 7 Algus limites especiais 5 8 Exercícios 5 Porque Deus amou o mudo de tal maeira que deu o seu Filho uigêito, para que todo aquele que ele crê ão pereça, mas teha a vida etera. A Bíblia Sagrada, Livro de João 3: Arq: sequecias.tex - Lodria-PR,25 de Maio de 200.

2 Seção Sequêcias de úmeros reais Sequêcias de úmeros reais. Notação: N = {,2,3,4,5,...} será o cojuto dos úmeros aturais. 2. Sequêcia real: Uma sequêcia real é uma fução f : N R que associa a cada úmero atural N um úmero real f () R. 3. Exemplos: f () =, f () = 2, f () = 2, f () = / e f () = Elemetos de uma sequêcia real: (a) Termo geral é o termo f () de ordem da sequêcia. (b) Domíio Dom(f ) = N é o domíio da sequêcia f. (c) Cotradomíio é um cojuto fiito ou cojuto ifiito de R. (d) Imagem: Im(f ) = {a, a 2, a 3,...} ou f (N) = {a : N} ou aida Im(f ) = {a, a 2, a 3,..., a, a,...} é a imagem de f () = a, e esta imagem é subcojuto do cojuto R dos úmeros reais. 5. Notações: Embora seja errado, é usual pesar que uma sequêcia seja um cojuto, ficado mais fácil o seu etedimeto por iiciate em estudos de Matemática. cojuto imagem f (N) de f = f () é dado por Se f : N R é defiida por f () =, o f (N) = {, 2, 3, 4,...,,...} às vezes, é mais fácil trabalhar com cojutos que com fuções, e usamos o cojuto imagem como a própria sequêcia, mas ão devemos cofudir uma fução com uma de suas propriedades. 6. Exemplos importates de sequêcias reais: (a) Idetidade: f : N R defiida por f () =, pode ser plotada de várias formas, sedo que uma delas é o diagrama de Ve-Euler e outra é o gráfico cartesiao (b) Números pares: f : N R defiida por f () = 2. Neste caso, Im(f ) = {2,4,6,8,...}. (c) Números ímpares: f : N R def. por f () = 2. Neste caso, Im(f ) = {,3,5,7,...}. (d) Recíprocos dos aturais: f : N R defiida por f () = /. Neste caso Im(f ) = {,/2,/3,/4,...,/,...}.

3 Seção Sequêcias de úmeros reais 2 (e) Costate: f : N R defiida, por exemplo, por f () = 3. Aqui Im(f ) = {3}. (f) Nula: f : N R defiida por f () = 0. A imagem é Im(f ) = {0}. (g) Alterada: f : N R defiida por f () = ( ) a, ode a 0. Os valores desta sequêcia mudam de sial, sedo um egativo e o seguite positivo, etc. e Im(f ) = { a,+a 2, a 3,+a 4, a 5,+a 6,...}. (h) Aritmética: f : N R defiida por: f () = a +( )r. Neste caso Im(f ) = {a, a + r, a + 2r,..., a + ( )r,...}. (i) Geométrica: f : N R defiida por: f () = a q. Neste caso Im(f ) = {a, a q, a q 2,..., a q,...}. 7. Sequêcia recursiva é uma sequêcia cujo termo geral é combiação liear (somas ou multiplicações por úmeros reais) dos termos das posições ateriores, como é o caso da sequêcia de Fiboacci: f ( + 2) = f () + f ( + ), f () =, f (2) = 8. Sequêcias de Fiboacci aparecem aturalmete em Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro A divia proporção: Um esaio sobre a Beleza a Matemática, H. E. Hutley, Editora Uiversidade de Brasília, 985, trata do assuto. A sequêcia de Fiboacci, defiida acima, possui imagem Im(f ) = {,,2,3,5,8,3,2,...}. Tais úmeros são obtidos por: f () =... = f (2) =... = f (3) = f () + f (2) = + = 2 f (4) = f (2) + f (3) = + 2 = 3 f (5) = f (3) + f (4) = = 5 f (6) = f (4) + f (5) = = 8 f (7) = f (5) + f (6) = = 3 f (8) = f (6) + f (7) = = 2... =... = Gráfico de uma sequêcia: O gráfico de uma sequêcia ão é formado por poligoais ligado os pares ordeados mas por uma coleção discreta. Às vezes, usamos retas ou curvas para ligar pares ordeados apeas para melhor visualizar o gráfico, mas ão podemos cosiderar tais lihas como elemetos do gráfico da sequêcia.

4 Seção Sequêcias de úmeros reais 3 0. Cojutos que represetam images de sequêcias: (a) As sequêcias f : N R defiidas por f () = 0, g () = ( ) e h() = cos(π/3) são fiitas e as images são, respectivamete, dadas por: Im(f ) = 0, Im(g ) = {,} e Im(h) = {/2, /2,,}. (b) As sequêcias f : N R defiidas por f () = 2, g () = ( ), h() = si() e k() = cos(3) são ifiitas, pois suas images possuem ifiitos termos. (c) A sequêcia com imagem Im(f ) = {5,0,5,20,...} pode ser aalisada com f () = 5(), f (2) = 5(2), f (3) = 5(3),..., f () = 5. Esta é uma sequêcia aritmética, com razão r = 5, e pode ser escrita a forma geral f () = f () + ( )r ou a = a + ( )r. (d) Números primos: Até hoje, iguém coseguiu exibir uma sequêcia f : N R tal que Im(f ) = {2,3,5,7,,3,7,9,23,...}.. Limite de uma sequêcia: Uma sequêcia f : N R tem limite L se, as difereças f () L se toram tão pequeas quato se deseja, quado o úmero atural tede a +. Neste caso, escrevemos: L = lim f () = lim f () 2. A sequêcia mais importate é f () = /. Para úmeros aturais muito grades, os valores de / se toram muito pequeos. Geramos uma tabela cotedo apeas as potêcias de 0, para mostrar como fucioa o processo: f () 0, 0, 0 0, 00 0, 000 0, , Neste caso, escrevemos: lim = 0 3. Observações sobre o limite de uma sequêcia: (a) Se uma sequêcia tem limite, ela é dita covergete. (b) Se uma sequêcia ão tem limite, ela é dita divergete. (c) Uicidade do limite: Se f = f () tem limite L, este limite é úico. (d) O limite da sequêcia depede dos últimos termos da sequêcia.

5 Seção Sequêcias de úmeros reais 4 4. Regra do saduiche: Se f = f (), g = g () e h = h() são sequêcias reais tal que f () g () h() e além disso lim f () = L = limh(), etão lim g () = L. Exemplo: Como ( ) si, segue que ( lim lim si ( ) e como lim = 0, etão lim si = 0. ) lim 5. Para calcular cada limite lim a devemos aalisar cada valor de a R. (a) a > : lim a = (b) a <, par: lim a = (c) <a, ímpar: lim a = (d) a =, par: lim a = (e) a =, ímpar: lim a = (f) a = : lim a = (g) a = 0: lim a = 0 (h) < a < : lim a = 0 6. Limite da sequêcia f () = a ode a 0 e N. (a) Se a = 0, etão lim a = 0. (b) Se a > 0, etão lim a =. 7. É possível demostrar que lim =. 8. Observação importate: o símbolo ão é um úmero real, mas represeta algo muito grade que ão pode ser mesurado precisamete pela mete humaa. 9. Limites ifiitos: Uma sequêcia f = f () possui limite ifiito, se lim f () = + ou lim f () =. Exemplos: As sequêcias f () = e g () = 2 possuem limites ifiitos. 20. Sequêcia oscilate: Uma sequêcia é oscilate, se ela ão possui limite ifiito e em mesmo limite fiito. Exemplos: f () = ( ) e g () = cos(π) são sequêcias oscilates, mas h() = si(π) ão é uma sequêcia oscilate, pois h() = 0.

6 Seção Sequêcias de úmeros reais 5 2. Mudaças os primeiros termos: A sequêcia f () = possui limite 0. Trocado os cico primeiros termos desta sequêcia pelos úmeros 0, 20, 30, 40, 50, obtemos uma outra sequêcia g = g () com imagem: g (N) = {0,20,30,40,50,/6,/7,/8,...,/,...} mas aida assim, a ova sequêcia g = g () tem limite 0 pois a alteração de um úmero fiito dos termos da sequêcia ou a troca dos primeiros termos da sequêcia, ão altera o valor limite da mesma, pois este limite depede apeas dos termos fiais da sequêcia. 22. Exercícios: Mostrar que se (a) f () = C (costate), etão lim f () = C. (b) f () = 3 + 4, etão lim f () = +. (c) f () = 3 + 4, etão lim f () =. (d) f () = b + c, etão lim f () = +. (e) f () = b + c, etão lim f () =. 23. Termos domiates: Para obter o limite de uma fução racioal: f () = p() q() ode p = p() e q = q() são fuções poliomiais a variável, basta calcular o limites sobre os termos domiates (termos de mais alto grau da expressão poliomial) do umerador e do deomiador. a + b (a) lim c + d = lim a c = a c a 2 + b + c (b) lim d 2 + e + f = lim a 2 d = a 2 d a 2 + b + c (c) lim d 3 + e + f = lim a 2 d = lim a 3 d = 0 a 3 + b + c (d) lim d 2 + e + f = lim a 3 d = lim a 2 d =

7 Seção 2 Médias usuais 6 2 Médias usuais. A Média aritmética etre m e é defiida por A(m,) = m + 2 Se x, x 2, x 3,..., x 0, defiimos a média aritmética etre eles por A(x, x 2, x 3,..., x ) = x + x 2 + x x 2. A Média geométrica etre m 0 e 0 é defiida por G(m,) = m Se x, x 2, x 3,..., x 0, defiimos a média geométrica etre eles por G(x, x 2, x 3,..., x ) = x x 2 x 3... x 3. A Média harmôica etre m > 0 e > 0 é defiida por 2 H(m,) = m + Se x, x 2, x 3,..., x > 0, defiimos a média harmôica etre eles por H(x, x 2, x 3,..., x ) = x x 2 x 3 x 3 Médias versus progressões Os úmeros a,b,c > 0, esta ordem, formam uma progressão aritmética (PA), geométrica (PG) ou harmôica (PH), se respectivamete, o termo b do meio é a média aritmética, geométrica ou harmôica dos termos a e c. Harmôico global: Se m, > 0, defiimos o harmôico global etre m e, deotado por h = h(m, ) satisfazedo à relação harmôica: h(m,) = m + A média harmôica é o dobro do harmôico global, i.e., H(m,) = 2h(m,).

8 Seção 4 Sequêcias e Progressões aritméticas 7 Se x, x 2, x 3,..., x > 0, defiimos o Harmôico global etre eles por h(x, x 2, x 3,..., x ) = x + x 2 + x x Na Págia Matemática Essecial você ecotra muitos materiais didáticos com aplicações da Matemática. Na pasta Alegria, existem algus passatempos matemáticos e um lik sobre Harmoia e Matemática, ode usamos o harmôico global em aplicações o cálculo de tempos, resistêcias, capacidades elétricas, capacidades motivas, letes, geometria, etc. 4 Sequêcias e Progressões aritméticas Sequêcias aritméticas aparecem em processos lieares e são cohecidas o Esio Médio, como Progressões Aritméticas ifiitas. Uma Progressão Aritmética (PA) fiita ão é uma sequêcia, pois seu domíio é um cojuto fiito {,2,3,...,m} cotido o cojuto N dos úmeros aturais.. Progressão Aritmética fiita é uma coleção fiita de úmeros reais, de modo que cada termo a partir do segudo, é obtido pela soma do aterior com um úmero fixo r deomiado razão da PA. 2. Elemetos básicos de uma Progressão Aritmética: Seja uma PA fiita da forma: C = {a, a 2, a 3,..., a,..., a m, a m }. (a) m é o úmero de termos da PA. (b) é a posição e ídice do termo geral a o cojuto C. (c) a é o -ésimo termo da PA, que se lê: a ídice. (d) a é o primeiro termo da PA, que se lê: a ídice. (e) r é a razão da PA e é possível observar que a 2 = a + r, a 3 = a 2 + r,..., a = a + r,..., a m = a m + r 3. Razão de uma PA: A razão de uma Progressão Aritmética, é obtida, subtraido cada termo do termo seguite, ou seja: r = a 2 a = a 3 a 2 = a 4 a 3 =... = a a

9 Seção 4 Sequêcias e Progressões aritméticas 8 4. Razões de Progressões Aritméticas fiitas defiidas por cojutos: (a) C = {2,5,8,,4} tem razão r = 3, pois 2+3 = 5, 5+3 = 8, 8+3 = e + 3 = 4. (b) M = {,2,3,4,5} tem razão r =, pois + = 2, 2 + = 3, 3 + = 4 e 4 + = 5. (c) M(3) = {3,6,9,2,5,8} tem razão r = 3, pois 6 3 = 9 6 = 2 9 = 5 2 = 3. (d) M(4) = {0,4,8,2,6} tem razão r = 4, pois 4 0 = 8 4 = 2 8 = 6 2 = Fórmula do Termo geral: Para a PA com razão r, defiida por P = {a, a 2,..., a, a }, existe uma fórmula do termo geral, dada por a = a + ( )r Com o material apresetado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrever toda a PA. Além disso, a razão r pode ser obtida por r = a a 6. Detalhes sobre os termos de uma PA: (a) Seja a PA com razão r=5, dada por C = {3,8,..., a 30,..., a 00 }. Os termos a 30 e a 00 desta PA podem ser obtidos, substituido os dados da PA a fórmula do termo geral a = a + ( )r. Assim: a 30 = 3 + (30 )3 = 90 a 00 = 3 + (00 )3 = 300 Qual é o termo de ordem = 2 20 desta PA? (b) Iterpolação de múltiplos: Para iserir os múltiplos de 5, que estão etre M = 2 e N = 623, motaremos a tabela: M a a 2 a 3... a N O primeiro múltiplo de 5 é a = 25, o último múltiplo de 5 é a = 620 e a razão é r = 5. Substituido os dados a fórmula do termo geral, obtemos 620 = 25 + ( )5

10 Seção 4 Sequêcias e Progressões aritméticas 9 assim, = 20, assim o úmero de múltiplos de 5 etre 2 e 623, é igual a 20. O cojuto de tais úmeros é dado por C 5 = {25,30,35,40,45,...,600,605,60,65,620} 7. Progressões Aritméticas moótoas: Quato à mootoia, uma PA pode ser: (a) crescete se para todo N: r > 0 e a < a +. (b) costate se para todo N: r = 0 e a + = a. (c) decrescete se para todo N: r < 0 e a + < a. Exemplos: A progressão aritmética (PA) fiita defiida pelo cojuto (a) C = {2,4,6,8,0,2} é crescete, pois r = 2 e a < a 2 <... < a 5 < a 6. (b) G = {2,2,2,2,2} é costate e r = 0. (c) Q = {2,0, 2, 4, 6} é decrescete, r = 2 e a > a 2 >... > a 4 > a Extremos e Meios em uma PA: Em uma Progressão Aritmética (fiita) dada pelo cojuto: C = {a, a 2, a 3,..., a,..., a m, a m } os termos a e a m são os extremos e os demais: a 2, a 3,..., a m 2, a m são os meios aritméticos. Exemplo: Na PA defiida por C = {,3,5,7,9,}, os úmeros e são os extremos e os úmeros 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos. 9. Termos equidistates dos extremos: Em uma PA com m termos, dois termos são equidistates dos extremos se a soma de seus ídices é igual a m +. Exemplo: Para a PA defiida pelo cojuto C = {a, a 2,..., a,..., a m, a m }, são equidistates dos extremos os pares de termos: a e a m, a 2 e a m, a 3 e a m 2,... e... Exemplo: Se m é par, temos m/2 pares de termos equidistates dos extremos, como vemos a PA defiida por C = {4,8,2,6,20,24}, que

11 Seção 4 Sequêcias e Progressões aritméticas 0 possui um úmero par de termos e os extremos são a = 4 e a 6 = 24, assim: a + a 6 = a 2 + a 5 = a 3 + a 4 = 28 Exemplo: Se m é ímpar, temos (m )/2 pares de termos equidistates e aida teremos um termo isolado, de ordem (m + )/2, que é equidistate dos extremos, como vemos a PA de C = {4,8,2,6,20} ode 4 e 20 são os extremos da PA e os úmeros 8, 2 e 6 são os meios da PA. a + a 5 = a 2 + a 4 = a 3 + a 3 = Iterpolação aritmética: Iterpolar k meios aritméticos etre úmeros a e b, é obter uma PA com = k +2 termos tal que a = a e a = b. Para realizar a iterpolação, basta determiar a razão da PA. Exemplo: Para iterpolar 6 meios aritméticos etre a = 9 e b = 9, basta gerar uma PA tal que a = 9, a m = 9 e m = 8. Como r = a m a m, 9 ( 9) etão r = = 4 e assim a PA ficará a forma do cojuto: 7 C = { 9, 5,,3,7,,5,9}. Soma dos primeiros termos de uma PA fiita: Em uma PA (fiita), a soma dos primeiros termos é dada pela fórmula: S = (a + a ) 2 Exemplo: Seja a PA dada por C = {2,5,8,...,89}. Obtemos a soma dos 30 primeiros termos da PA, com a = 2, r = 3, = 30, e a fórmula da soma: 2. Exercício: S = (a + a ) 2 (2 + 89)(30) = 2 = 9(30) 2 (a) Calcular o úmero ímpar positivo de ordem. = 365 (b) Calcular a soma dos primeiros úmeros ímpares positivos. (c) Calcular a soma dos 500 primeiros úmeros ímpares positivos, isto é, calcular S = (d) Costruir uma aplicação de sequêcias aritméticas o estudo de juros simples em Matemática Fiaceira. (e) Costruir uma aplicação de sequêcias aritméticas em sua área de estudo.

12 Seção 5 Sequêcias geométricas e PG 5 Sequêcias geométricas e PG As importates sequêcias geométricas, são cohecidas o Esio Médio como Progressões Geométricas (PG) ifiitas, mas uma Progressão Geométrica fiita ão é uma sequêcia pois o domíio da PG fiita é um cojuto fiito {,2,3,...,m} que é um subcojuto próprio de N. Tais sequêcias aparecem em Matemática Fiaceira, a aálise de motates, taxas de juros, fiaciametos e prestações, e em estudos de decaimeto radioativo (teste do Carboo 4 para estimar a idade de objetos atigos). No Esio Superior tais sequêcias aparecem em estudos de sequêcias e séries de úmeros e de fuções, sedo a série geométrica (um tipo de sequêcia obtida pela soma de termos de uma sequêcia geométrica) muito importate para obter outras séries uméricas e séries de fuções.. Progressão Geométrica (PG) fiita é uma coleção fiita de úmeros com as mesmas características que uma sequêcia geométrica, mas com um úmero fiito de elemetos. As Progressões Geométricas (PG) são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguite pelo atecessor seja um quociete fixo. 2. Elemetos de uma Progressão Geométrica fiita: Seja uma PG fiita dada pelo cojuto com m elemetos: G = {a, a 2,,..., a,..., a m, a m }. (a) m é o úmero de termos da PG. (b) idica a e ídice de ordem do termo geral a. (c) a é o -ésimo termo da PG, que se lê a ídice. (d) a é o primeiro termo da PG, que se lê a ídice. (e) q é a razão da PG, obtida pela divisão de cada termo pelo seu atecessor, isto é: a 2 a = a 3 a 2 = a 4 a 3 =... = a m a m = q 3. Observação: Em uma Progressão Geométrica (PG), cada termo é a média geométrica etre o aterior e o posterior ao termo tomado, daí a razão de tal deomiação para este tipo de sequêcia.

13 Seção 5 Sequêcias geométricas e PG 2 4. Fórmula do termo geral da PG: A fórmula do termo geral de uma PG com termos, razão q, primeiro termo a e a como -ésimo termo, é a = a q 5. Progressões geométricas fiitas: Para a PG defiida pelo cojuto (a) G = {2,4,8,6,32}, a razão é q = 2, obtida pela divisão do termo seguite pelo aterior, isto é, 32 6 = 6 8 = 8 4 = 4 2 = 2 (b) G = {8,2,/2,/8,/32}, a divisão de cada termo pelo seu aterior é q = /4, pois: /32 /8 = /8 /2 = /2 2 = 2 8 = 4 (c) T = {3,9,27,8}, temos que q = 9 3 = 27 3 = 8 3 = 3 (d) A = {0,00,000,0000}, temos que q = 00 0 = = = 0 (e) E = {4,6,64,...}, obtemos o termo geral da sequêcia tomado a = 4 e a 2 = 6. Assim q = 6/4 = 4. Substituido estes dados a fórmula do termo geral da sequêcia geométrica, obtemos: f () = a q = 4 4 = 4 ( )+ = 4 (f) M = {5,25,25,...}, temos que a = 5 e q = 5, e usamos a fórmula do termo geral da PG, para escrever: a = a.q = 5.5 = 5.5 = 5 +( ) = 5 6. PG moótoas: Quato à mootoia, uma PG pode ser: (a) Crescete, se para todo N: q > e a < a +. (b) Costate, se para todo N: q = e a = a +.

14 Seção 5 Sequêcias geométricas e PG 3 (c) Decrescete, se para todo N: 0 < q < e a > a +. (d) Alterada, se para todo N: q < 0. Exemplos: A progressão geométrica (PG) fiita, defiida pelo cojuto (a) U = {5,25,25,625} é crescete, pois q = 5 e a < a 2 < a 3 < a 4. (b) V = {3,3,3} é costate, pois q = e a = a 2 = a 3 = 3. (c) W = { 2, 4, 8, 6} é decrescete, pois q = 2 e a > a 2 > a 3 > a 4. (d) X = { 2,4, 8,6} é alterada, pois q = 2 < Iterpolação geométrica: Iterpolar k meios geométricos etre os úmeros a e b, é obter uma PG com k + 2 = termos, em que a = a, b = a. Para obter esta iterpolação, basta obter a razão da PG. Exemplo: Para iterpolar três meios geométricos etre 3 e 48, basta tomar a = 3, a = 48, k = 3 e = 5 para obter a razão da PG. Como a = a q, etão 48 = 3q 4 e segue que q 4 = 6, assim a razão é q = 2 e temos a PG: R = {3,6,2,24,48}. 8. Fórmula da soma dos termos de uma PG fiita: Seja uma PG fiita, defiida pelo cojuto Y = {a, a q, a q 2,..., a q }. A soma dos primeiros termos desta PG é dada por S = a q q Exemplos de somas dos termos em uma PG: Obtemos a soma dos termos da PG defiida pelo cojuto (a) W = {3,9,27,8}, com q = 9/3 = 3, a = 3 e = 4, usado a fórmula da soma dos termos de uma PG fiita, para obter: S 4 = = 38 = = 20 = (b) X = {2,2,2,2,2}, com a razão q = e a = 2, gera S 5 = 2(5) = Observação: Uma sequêcia geométrica é semelhate a uma PG ifiita, mas esse caso ela possui ifiitos elemetos, pois o domíio desta fução é o cojuto N.

15 Seção 5 Sequêcias geométricas e PG 4 0. Série geométrica: Uma série geométrica é um somatório da forma: aq = a + aq + aq aq +... = a( + q + q q +...) =0. Soma de uma série geométrica: Seja uma sequêcia geométrica defiida por f () = aq, cuja imagem é o cojuto ifiito: F = {a, aq, aq 2, aq 3,..., aq,...} Podemos obter a soma de uma série geométrica, com o limite abaixo: ode S = =0 aq = lim S S = a q q Se < q <, etão lim q = 0 e a soma S dos termos desta sequêcia geométrica, é a soma da série geométrica S = aq = a + aq + aq 2 + aq aq +... = a q =0 Exemplos de somas de séries geométricas: (a) A soma de todos os termos da sequêcia geométrica S = {2,4,8,6,...}, cuja razão é q = 2, S = 2(2 ) e o valor da soma é: S = = lim S = lim 2(2 ) = (b) A soma dos termos da sequêcia geométrica Y = {5,5/2,5/4,5/8,...}, é obtida com a razão é q = /2 e a = 5, e a fórmula da soma de uma série geométrica com razão tal que < q < : S = 5 2 = 0 (c) Para obter a soma dos termos da sequêcia geométrica dada pelo cojuto Y = {,/2,/4,/8,/6,...}, q = /2 e a =, logo: S = 2 = 2

16 Seção 6 Propriedades dos limites das sequêcias 5 6 Propriedades dos limites das sequêcias Se lim f () = A, lim g () = B e c é uma costate real, etão. lim[f () + g ()] = lim f () + lim g () = A + B 2. lim[f () g ()] = lim f () lim g () = A B 3. lim[f () g ()] = lim f () lim g () = A.B 4. lim[c f ()] = c lim f () = c.a 5. Se B 0 etão, lim f () lim f () = g () lim g () = A B 7 Algus limites especiais. Se < a < etão lim a = 0 2. Se a > 0 etão lim a = 3. lim = si( 4. lim ) = 5. lim ( + x ) = e x 8 Exercícios. Seja a sequêcia f () = 2 dos úmeros ímpares positivos. Obter: (a) S = f () + f (2) + f (3) + f (4). (b) A soma dos primeiros ímpares positivos. 2. Para a sequêcia com imagem f (N) = {3,6,9,2,5,8,...}, obter: (a) f () (b) f (2) (c) f (4) f (3) (d) f () 3. Para a sequêcia com imagem f (N) = {3, 6,2, 24,48,...}, obter: (a) f () (b) f (2) (c) f (4) f (3) (d) f ()

17 Seção 8 Exercícios 6 4. Seja a sequêcia f () = (a) S = f () + f (2) + f (3) + f (4). (b) Se 30 9 e 3 são termos da sequêcia, idique as suas ordes. 20 (c) Aalisar se esta é uma sequêcia geométrica. 5. Exibir o cojuto imagem da sequêcia f que idica a altura de um avião que levata vôo do solo à razão de 3 metros por miuto. 6. Exibir a sequêcia aritmética f tal que f (N) = {2,7,2,...}. 7. Obter a 5 a sequêcia aritmética dada por C = {a + b,3a 2b,...}. 8. Calcular o úmero de termos da PA defiida por W = {5,0,...,785}. 9. Exibir uma aplicação de sequêcia geométricas a sua área de estudo. 0. Para cada f = f (), calcular o limite lim f (). (a) f () = (j) f () = si() + (b) f () = + 2 (k) f () = 2 + (c) f () = ( ) (l) f () = (d) f () = (e) f () = [ ( ) (m) f () = ( + )2 ] (f) f () = ( ) (g) f () = (h) f () =! (i) f () = + () f () = (a + )2 a 2 (o) f () = (a + )3 a 3 (p) f () = si(a + ) si(a)