Borja MÓDULO 03 CENTRO DE GRAVIDADE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES NOTAS DE AULA: - Prof. Edilberto Vitorino de

Transcrição

1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA e TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE DIRETORIA ACADÊMICA DE CONSTRUÇÃO CIVIL TEC. EM CONSTR. DE EDIFICIOS EDIFICAÇÕES TÉCNICO SUBSEQUENTE ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES MÓDULO 0 CENTRO DE GRAVIDADE CG NOTAS DE AULA: - rof. Edilberto Vitorio de Borja 06.

2 MÓDULO 0 CENTRO DE GRAVIDADE OBJETIVOS Ao fial deste módulo o aluo deverá ser capa de: compreeder o sigificado de cetro de massa (cetro de gravidade, cetroide) de figuras plaas e lihas; visualiar e idetificar o cetro de massa de figuras plaas cohecidas; dividir figuras plaas compleas em figuras plaas cohecidas; eteder e determiar de Mometo ESTÁTICO (de área); determiar o cetro de massa de figuras plaas compleas; determiar o cetro de massa de figuras de liha... CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE O cetro de massa ou de gravidade (CG) é um poto o qual se localia o peso () resultate de um sistema de potos materiais (Figura ). CG FIGURA. laca homogêea. ara mostrar como determiar esse poto, cosideremos uma placa horiotal, dividiremos essa placa em pequeos elemetos (Figura ).

3 5 6 FIGURA. Divisão placa em elemetos. As coordeadas do primeiro elemeto são deomiadas e, e as coordeadas do segudo elemeto e, e assim, sucessivamete (Figura ). CG FIGURA. Coordeadas dos elemetos (fiitesimais) de uma placa homogêea. Sobre cada elemeto (ésimo) age a ação da gravidade. A força eercida pela Terra sobre esse pequeo elemeto de placa é deomiada de (força peso do elemeto ). Essas forças (ou pesos) estão orietados em direção ao cetro da Terra; porém, por fialidades práticas, elas podem ser cosideradas paralelas (figura ). A resultate dessas pequeas forças é igual ao peso total de todos os elemetos que foi dividido a placa. Isto é: F..., ou seja (eq. 0) F dp (eq. 0)

4 A soma dos mometos dos pesos (Figura ) de todos os elemetos materiais, em relação aos eios,, é etão igual ao mometo do peso resultate em relação a esses eios. i i i FIGURA. Mometos dos pesos. M (eq. 0) M (eq. 05) Etão, para determiar a coordeada do cetro de gravidade, podemos somar os mometos em relação ao eio e obter a seguite equação: M.. (eq. 06) De maeira semelhate, efetuado o somatório dos mometos em relação ao eio obtemos a coordeada do cetro de gravidade, isto é: M.. (eq. 07) odem-se geeraliar essas fórmulas e escrevê-las simbolicamete a seguite forma:. ;. (eq. 08) Ou seja, dp / dp ; dp / dp (eq. 09)

5 Eemplo.. Uma laje de 5m 7,5m suporta cico coluas que eercem sobre ela as forças idicadas a Figura 5. Determie o módulo e o poto de aplicação da úica força equivalete às forças dadas. FIGURA 5. Laje com forças aplicadas.. BARICENTRO - CENTRO DE GRAVIDADE DE FIGURAS LANAS Se levarmos em cosideração que a placa trata-se apeas de uma figura plaa (Figura 6), ou seja, ão tem massa, pode-se reescrever a equação 08 correlacioado o mometo de peso com o mometo estático (de área), ou seja, troca-se a força aplicada pela área, obtedo-se a seguite equação:.da.da ; (eq. 0) A A da / da ; da Ou seja, / da (eq. ) 5

6 FIGURA 6. Mometo estático de área. Adotaremos, a partir de etão, as seguites defiições: Baricetro ou cetro de gravidade: CG. Eios baricêtricos: Mometos estáticos: Área da figura plaa: ; Ms e Ms A Admitido a figura plaa da figura 6, posicioada em relação a um par de eios de referêcia (,), pode-se defiir seu baricetro, de coordeadas ( ; úico poto da figura plaa, que obedece simultaeamete a duas codições: Ms Ms ; (eq. ) A A ), como sedo o Da defiição da equação, pode-se cocluir, qualquer que seja a figura plaa: M s.a ; M.A (eq. ) s Se a figura plaa for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos mometos estáticos são a soma algébrica dos mometos das figuras compoetes, bem como, a área total da figura composta é a soma das áreas das figuras compoetes. (. A (. A (A A. A.A (A A. A A.A A. A A A.A.... A )... A ).... A )... A ) (eq. ) 6

7 Nessas codições, qualquer que seja a figura plaa, o cálculo do CG ( ; ), será: M.A A M.A A s i i i s i (eq. 5) i i. SIMETRIA Simetria relativamete a eio. Quado uma superfície é simétrica relativamete a um eio, o seu mometo estático relativamete ao eio é ulo e o seu cetroide situa-se sobre o eio, coforme ilustrado a Figura 7. Y B - da da CG B X a) b) FIGURA 7. CG com um eio de simetria de superfícies plaas relativamete a um eio. Caso a superfície apresete dois eios de simetria, o cetroide situa-se o poto de itersecção destes eios, como observado a Figura 8. C C C C B B B B B B B B C C C a) C b) FIGURA 8. CG com dois eios de simetria de superfícies plaas. 7

8 Simetria relativamete a poto. Quado uma superfície é simétrica relativamete a um poto, o seu cetroide situa-se esse poto (ver Figura 9). da - da - FIGURA 9. CG com eio de simetria de superfícies plaas relativamete a um poto.. CENTROIDES DE FIGURAS LANAS DE FORMATOS USUAIS Figura área Triâgulo h bh ¼ de círculo Semi-círculo 0 ¼ de elipse Semi-elipse 0 r a Semiparabólica a 8 arabólica 0 r r b b h 5 h 5 r r ab ab ah ah Arco de a parábola h 0 ah 8

9 Arco geral a h ah Setor circular r se 0 r 5. CENTROIDES DE LINHAS O cetro de gravidade de uma liha coicide com o cetroide C de uma liha de comprimeto L defiido pelo formato da liha (Figura 0). As coordeadas e do cetroide da liha L são obtidos a partir das equações (6) e (7). FIGURA 0. Cetróide de uma Liha.... eq. (6)... eq. (7) 9

10 Eemplo 5.. A figura abaio mostra o formato de uma peça fia e homogeia (fio). Determie as coordeadas de localiação do cetro de gravidade. Segmeto L (i) (i) (i). L.L (i²) (i²) AB BC CA L = 60 L = 600 L = 80 Itroduido os valores obtidos, a tabela acima, as equações defie-se o cetróide da forma de liha, obtedo-se: X.. L.L Y.. L.L 600 X 0 i Y i 60 0

11 m m Eercícios : Determiar o cetro de gravidade das lihas das figuras abaio. m cm cm m m cm X =, Y =,8 5 cm X =, Y =, cm cm (a) (b) cm cm X = 0,0 Y = 0, X = 0, Y =,85 cm m m (c) (d)

12 Eercício : Determiar o cetro de gravidade das superfícies plaas (região hachurada). 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5,0 0,5 a) 6 0,5,0 0,5, b) a) b) d) c) 0 e) 0

13 I = I = b.h =. = 9 CG CG CG b.h I = =. = Eercício : Calcular, para as figuras plaas abaio, o baricetro posicioado os eios a figura. a) b) c) d) e)

14