Exponenciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Expoeciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Prelimiares Lembremos que, dados cojutos A, B R ão vazios, uma fução de domíio A e cotradomíio B, aotada por, f : A B, é uma regra, ou correspodêcia, que associa a cada úmero em A um, e somete um, úmero em B. Mostrar que uma certa fução f : A B está bem defiida é simplesmete mostrar que tal regra realmete é uma fução, isto é, mostrar que existe, e é úico, um úmero y B que está associado a cada úmero x A. Ao os referirmos a uma fução f : A B estará implícito que A e B são subcojutos ão vazios de R. Vale ressaltar que, quado somete a regra de uma fução f é dada, estaremos supodo que o cotradomíio é R e o domíio é o maior subcojuto de R ode f estará bem defiida. Exemplo 1 f : R R dada por f(x) = x está bem defiida? Justifique! Exemplo 2 f : R R dada por f(x) = 1/x está bem defiida? Justifique! Exemplo 3 Seja f : R R dada por f(x) = [x]=maior iteiro meor ou igual a x. Determie, justificado, f( 2). Exemplo 4 Seja f : R R uma fução tal que f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) x 1, x 2 R. Determie, justificado, f(0). Defiição 5 uma fução f : A B será dita: (A) Ijetora ou Ijetiva, se a úmeros diferetes de A correspodem úmeros diferetes de B, isto é, x 1 x 2 A f(x 1 ) f(x 2 ). (B) Sobrejetora ou Sobrejetiva, se a qualquer úmero de B está associado um úmero de A ( ão ecessariamete úico ), isto é, y B, existe x y A tal que f(x y ) = y. (C) Bijetora ou Bijetiva, se for ijetora e sobrejetora, isto é, y B existe um úico x y A tal que f(x y ) = y. 1

2 Exemplo 6 A fução f(x) = [x], defiida acima, é ijetora? É sobrejetora? Exemplo 7 A fuñção f : R R dada por f(x) = 2 x é ijetora? É sobrejetora? É bijetora? Exemplo 8 A fuñção f : R R dada por f(x) = é ijetora? É sobrejetora? É bijetora? { x 2, se x 0 x, se x > 0 Exemplo 9 A fuñção f : R R dada por f(x) = É bijetora? { x 2, se x 0 x, se x > 0 é ijetora? É sobrejetora? Defiição 10 Uma fução f : A B será dita: (A) Crescete se, para quaisquer x 1 < x 2 A, tivermos f(x 1 ) f(x 2 ) (B) Decrescete se, para quaisquer x 1 < x 2 A, tivermos f(x 1 ) f(x 2 ) (C) Estritamete crescete se, para quaisquer x 1 < x 2 A, tivermos f(x 1 ) < f(x 2 ) (D) Estritamete decrescete se, para quaisquer x 1 < x 2 A, tivermos f(x 1 ) > f(x 2 ) Observação 11 Observe que: 1) Estritamete crecete crescete 2) Estritamete decrecete decrescete Exemplo 12 A fução f(x) = [x], defiida acima, é crescete? É estritamete crescete? Exemplo 13 A fução f(x) = (x 1) 2 é crescete? Estritamete decrescete? É estritamete crescete? Decrescete? Exemplo 14 Alguma das fuções dos exemplos 8 ou 9 é crescete? Estritamete crescete? Decrescete? Estritamete decrescete? Observação 15 Lembremos que, sedo uma fução f : A B bijetora, fica bem defiida a iversa de f, f 1 : B A, defiida por f 1 (y) = x f(x) = y. Exemplo 16 Mostre que a fução f(x) = 3x 1 é bijetora e determie a regra que defie sua iversa. Exemplo 17 Mostre que a fução f : ( 1, 1) R, dada por, f(x) = determie, justificado, sua iversa. x, é bijetora e 1 x 2

3 Observação 18 Sedo f : A B uma fução temos, aida, o gráfico de f dado por G(f) = {(a, f(a)) R R tal que a A}. Exemplo 19 Faça um esboço do gráfico da fução do exemplo 1. Exemplo 20 Faça um esboço do gráfico da fução do exemplo 3. Exemplo 21 Faça um esboço do gráfico da fução do exemplo 8. Exercício 22 1) Determie o domíio da fução f(x) = 4 x x ) Faça um esboço do gráfico da fução f(x) = x 2 2x 1 3) Sob quais codições sobre a e p o domíio da fução f(x) = (px 2 +2 p(a + 2)x+2) 1/2 é R? Justifique! 4) Para cada m R cosidere a fução defiida por f(x) = (m 2 1)x + 3. (a) Para quais valores de m a fução é crescete? justifique! (b) Para quais valores de m a fução é estritamete crescete? justifique! (c) Para quais valores de m a fução é decrescete? justifique! (b) Para quais valores de m a fução é estritamete decrescete? justifique! 5) Cosidere a fução f : R \ {3/2} R \ {1/2} defiida por f(x) = x+2. Mostre que f 2x 3 é bijetora e determie sua iversa. 6) Cosidere a fuñção f : R R dada por { x f(x) = 2 1, se x 0 x 1, se x < 0 (a) Mostre que f é bijetora. (b) Determie f 1 (x) (c) Faça um esboço do gráfico de f 7) Seja f : R R uma fução satisfazedo as 3 codiçoes abaixo: (a) f(x + 5) = f(x) (b) f( x) = f(x) (c) f(1/3) = 1. Determie: 7.1) f(16/3) 7.2) f(29/3) 7.3) f(12) + f( 7). 8) Sejam f, g : R R duas fuções, tais que f(x) = 2x + 1 e g(2x 1) = f(x 1), x R. Determie g(x). 3

4 2 Fução Expoecial 2.1 Defiição Defiição 23 Cosidere a 1 um úmero real positivo. Defiimos a fução expoecial de base a, exp a : R R +, por exp a (x) = a x x R. Exemplo 24 em sala Observação 25 Já sabemos que exp a é uma fução crescete se a > 1 e decrescete se 0 < a < 1 e, portato, exp a é sempre uma fução ijetora! A proposição abaixo, apesar de muito simples e evidete, será muito utilizado o restate destas otas. Proposição 26 Seja b > 1 um úmero real. positivo, existe um úmero atural a tal que Etão, qualquer que seja a um úmero real a < b a. Prova. Notemos que, sedo b > 1, podemos escrever b = 1 + h com h > 0. Usado o teorema[biômio de Newto] temos que, para qualquer atural > 1, b = (1 + h) > 1 + h. Como desejamos b > a basta escolhermos tal que 1 + h > a, isto é, basta tomarmos a tal que a > a 1 e, daí, o resultado segue. h Nosso objetivo, agora, é mostrar que exp a é uma fução sobrejetora. Iiciemos com o seguite lema. 1 Lema 27 Cosidere b > 1. Etão, qualquer que seja a R +, existe um úmero iteiro a 0 tal que 1 < a 1 a < b. Prova. Façamos, iicialmete, o caso a > 1. Pela proposição acima, existe a N tal que 1 < a < b a, o que os leva a, 1 < a 1/ a < b. Se a < 1, teremos 1/a > 1 e, portato, existe a tal que 1 < (1/a) 1/ a < b. Daí, temos, 1 < a 1/( a) < b. 1 Lema é um resultado que, geralmete, será utilizado para demostrar um teorema logo a seguir. 4

5 Teorema 28 Qualquer que seja a > 1, a fução exp a é uma fução sobrejetora. Prova. Fixado um úmero real a > 1, cosideremos a fução exp a e mostremos que, dado y R + existe x y R tal que a xy = y. Iicialmete, façamos o caso y > 1. Seja Γ o cojuto Γ = {x R; a x < y}. A ideia é mostrar existe sup Γ e que a sup Γ = y. Notemos que: 1) Pelo lema acima, 1/ a Γ e, portato, Γ. 2) Γ é limitado superiormete, pois, pela proposição acima, existe um úmero iteiro tal que y < a e, portato, se x Γ teremos x <. Etão, por (1) e (2) acima existe b = sup Γ. Mostremos que a b = y. Se a b < y, temos 1 < y a b e, pelo lema aterior, existe um úmero atural tal que a 1/ < y a b ou aida, a (1/)+b < y o que os leva a 1/ + b Γ, cotrariado o fato de b = sup Γ. De maeira aáloga, se a b > y, temos 1 < ab e, pelo lema aterior, existe um úmero atural tal que 1 < y a1/ < ab ou y aida, a b 1/ > y o que os leva a b 1/ < b ser uma cota superior para Γ, cotrariado, ovamete, o fato de b = sup Γ. Supodo, agora, 0 < y < 1, teremos 1 > 1 e pela primeira parte acima, existe x tal que y a x = 1 1 ou aida = y, isto é, a x = y. y a x Corolário 29 Qualquer que seja a > 0, a fução exp a é uma fução sobrejetora. Prova. O caso a > 1 está feito o teorema acima. Sejam, etão, a < 1 e y um úmero real positivo. Pelo teorema acima, existe x tal que ( 1 a )x = y, o que os leva a a x = y e, portato, exp a é sobrejetora. Exercício 30 1) A fução f(x) = 2 (x2) é sobrejetora? 2) A fução f(x) = (1/2) x+1 é sobrejetora? È ijetora? É bijetora? Justifique! È ijetora? É bijetora? Justifique! 2.2 A Covexidade da Fução Expoecial Nesta subseção, I, J R estarão sempre idicado itervalos reais. Defiição 31 Uma fução f : I J será dita covexa se para todo úmero real t tal que 0 t 1 e quaisquer x 1 < x 2 I tivermos f será dita, aida, estritamete covexa se f(tx 1 + (1 t)x 2 ) tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ). f(tx 1 + (1 t)x 2 ) < tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ), 0 < t < 1 e x 1 < x 2 I. 5

6 De maeira aáloga, defiimos Defiição 32 Sejam I, J R dois itervalos. Uma fução f : I J será dita côcava se para todo úmero real t tal que 0 t 1 e quaisquer x 1 < x 2 I tivermos f será dita, aida, estritamete covexa se f(tx 1 + (1 t)x 2 ) tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ). f(tx 1 + (1 t)x 2 ) > tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ), 0 < t < 1 e x 1 < x 2 I. Exemplo 33 Em sala! Exemplo 34 Em sala! Exercício 35 Mostre que f : I J é covexa se, e somete se, a fução f é côcava. Vejamos o sigificado geométrico das defiições acima. Proposição 36 Sejam x 1 < x 2 dois úmeros reais. Um úmero real x pertece ao itervalo [x 1, x 2 ], isto é, x 1 x x 2 se, e somete se, existe um úmero t, com 0 t 1 satisfazedo x = tx 1 + (1 t)x 2. Prova. Mostremos que x 1 x x 2. Temos: x 1 = tx 1 + (1 t)x 1 tx 1 + (1 t)x 2 = x tx 2 + (1 t)x 2 = x 2. Para termiar a prova, basta otar que x = x 2 x x 2 x 1 x 1 + x x 1 x 2 x 1 x 2. Cosidere dois potos o plao (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) com x 1 x 2. Sabemos que a equação da reta que passa por estes potos é dada por ou aida y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1. Pelo resultado acima, se tomarmos x [x 1, x 2 ] existe t [0, 1] tal que x = tx 1 + (1 t)x 2. Se substituímos este valor a equação da reta passado por (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), afim de ecotrar a ordeada correspodete teremos y = y 2 y 1 x 2 x 1 (tx 1 + (1 t)x 2 x 1 ) + y 1 = y = y 2 y 1 x 2 x 1 (1 t)(x 2 x 1 ) + y 1 = = y 2 ty 2 y 1 + ty 1 + y 1 = ty 1 + (1 t)y 2. Logo, a reta passado pelos potos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) passa pelo poto (tx 1 + (1 t)x 2, ty 1 + (1 t)y 2 ). 6

7 Supohamos, agora, que uma fução f : I J seja estritamete covexa e cosideremos x 1 < x 2 R. Se x (x 1, x 2 ) sabemos existir t (0, 1) tal que x = tx 1 + (1 t)x 2. Tomemos o segmeto de reta uido os potos (x 1, f(x 1 )) e (x 2, f(x 2 ). Pelo cometário acima, temos que o poto deste segmeto de reta correspodete à abscissa x = tx 1 + (1 t)x 2 é o poto (tx 1 + (1 t)x 2, tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 )). f sedo covexa, teremos f(x) = f(tx 1 + (1 t)x 2 ) < tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ), isto é, o poto (x, f(x)) pertecete ao gráfico de f está abaixo do poto (x, y) = (x, tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 )) pertecete ao segmeto de reta, ou aida, fixados dois potos do gráfico de f, o gráfico de f este itervalo estará abaixo do segmeto de reta uido estes dois potos. Note que iterpretação aáloga é verdadeira para fuções estritamete côcavas, isto é, fixados dois potos do gráfico de f, o gráfico de f este itervalo estará acima do segmeto de reta uido estes dois potos. Nosso trabalho, agora, é mostrar que uma fução expoecial é covexa. Na demostração faremos uso da chamada desigualdade etre as médias aritmética e geométrica. fato 37 Sejam um úmero atural, x 1, x 2,..., x úmeros reais ão egativos, isto é, 0. Etão x 1 + x x x 1 x 2... x. Além disso, a igualdade só acotece se x 1 = x 2 =... = x 1 = x. Lema 38 Sejam c e x úmeros reais maiores que 1. Etão, c x > 1 + (c 1)x. Prova. Provemos, iicialmete, para x racioal. Seja, etão, x = p q+ > 1. Logo, x = com q q N. Utilizamos, agora, a desigualdade acima para q + úmeros sedo, q iguais a 1 e iguais a 1 + (+q)(c 1). Etão, temos, q vezes {}}{ (1 + > (q+)+(+q)(c 1) +q vezes {}}{ ( + q)(c 1) Elevado ambos os membros a ( + q)(c 1) ( + q)(c 1) ) + (1 + ) (1 + ) +q > < +q (1 + (+q)(c 1) ), o que os leva a c > (1 + (+q)(c 1) ) +q., teremos +q c +q > q (c 1). Não os ocuparemos com os detalhes técicos do caso geral, mas a ideia é, supodo existir x R maior que 1 tal que c x 1 + (c 1)x e usado a defiição de potêcia via supremo, obter daí um úmero racioal x < r < 1 tal que c r 1 + (c 1)x < 1 + (c 1)r, o que seria uma cotradição com o caso racioal já provado. 7

8 Lema 39 Sejam b > 1 e 0 < y < 1 úmeros reais. Etão, b y < 1 + (b 1)y. Prova. Basta o lema aterior fazer x = 1/y e c = 1 + b 1, obtedo assim o resultado. x Teorema 40 Qualquer que seja a > 0 e a 1, fução exp a é estritamete covexa, isto é, t (0, 1) e x 1 < x 2. a tx 1+(1 t)x 2 < ta x 1 + (1 t)a x 2 Prova. Note que se x 1 = x 2 o resultado é óbvio. Façamos, iicialmete, o caso a > 1. Neste caso basta tomar, o lema aterior, b = a x 2 x 1, supodo x 2 > x 1. O caso a < 1 é uma cosequêcia direta. Não é difícil provar que a tx 1+(1 t)x 2 = ta x 1 + (1 t)a x 2, com t (0, 1) se, e somete se, x 1 = x 2. Logo, sedo x 1 x 2 e 0 < t < 1 temos a tx 1+(1 t)x 2 < ta x 1 + (1 t)a x 2. Exercício 41 1) A fução f(x) = x 2 é uma fução covexa? Justifique! 2) A fução f(x) = x 3 é uma fução covexa? Justifique! 2.3 O Gráfico da fução Expoecial Utilizaremos, agora, as iformações obtidas a respeito da fução expoecial para fazer um esboço do seu gráfico. Façamos o caso a > 1. Neste caso temos: 1) exp a é uma fução bijetora crescete 2) exp a é uma fução covexa 3) exp a (x) > 0 4) Se x > 0 temos exp a (x) > 1 e se x < 0 temos exp a (x) < 1. Lembremos que exp a (0) = 1 5) Qualquer que seja o úmero k R + existe um umero positivo t tal que se x > t teremos exp a (x) > k.(proposição 26) 2 6) Qualquer que seja o úmero k R + existe um umero egativo t tal que se x < t teremos exp a (x) < k. 3 Usado estas iformações podemos fazer um esboço da fução exp a o caso a > 1. Vejamos. Exemplo 42 Em sala! 2 lim x exp a (x) = 3 lim x exp a (x) = 0 8

9 No caso a < 1, temos: 1) exp a é uma fução bijetora decrescete 2) exp a é uma fução covexa 3) exp a (x) > 0 4) Se x > 0 temos exp a (x) < 1 e se x < 0 temos exp a (x) > 1. Lembremos que exp a (0) = 1 5) Qualquer que seja o úmero k R + existe um umero egativo t tal que se x < t teremos exp a (x) > k. 4 6) Qualquer que seja o úmero k R + existe um umero positivo t tal que se x > t teremos exp a (x) < k. 5 Exemplo 43 Em sala! Exercício 44 Fazer um esboço do gráfico das fuções: a)f(x) = ( 2) x b)f(x) = ( 2 3 ) x c)f(x) = ( 1 3 )x+1 3 Equações e Iequações Expoeciais Nesta seção, iiciaremos o estudo das chamadas equações e iequações expoeciais, estudo este que será retomado após o estudo da fução logarítmica. Salietamos que as equaçôes ou iequações expoeciais são aquelas ode a icógita figura como expoete. 3.1 Equações Expoeciais Na solução de equações expoeciais sempre faremos uso da ijetividade da fução expoecial, isto é, a x = a y x = y. Vejamos algus exemplos. Exemplo 45 Resolver a equação ( 3) x = Solução 46 Em sala! Exemplo 47 Resolver a equação 4 x x + 2 = 0. Solução 48 Em sala! Exemplo 49 Resolver a equação 2 x x + 2 x+1 2 x x+3 = lim x exp a (x) = 5 lim x exp a (x) = 0 9

10 Solução 50 Em sala! Exemplo 51 Resolver a equação x 2x2 7x+4 = x. Solução 52 Em sala! Exemplo 53 Resolver a equação ( 3) x = Solução 54 Em sala! Exemplo 55 Determie, justificado, os úmeros reais m para os quais a equação possui solução. 4 x (m 2).2 x + 2m + 1 = 0 Solução 56 Em sala! Exercício 57 1) Resolva as equações abaixo: a)( 1 5 )x = 125 b)( 4 3) x = 3 9 c)7 4x+3 = 49 (d)8 x2 x = 4 x+1 e)3 2x 1.9 3x+4 = 27 x+1 f) 5 x 2. x 25 2x 5 2x 5 3x 2 = 0 g) x x 1 3x 7 8 x 3 h)2.4 x x x+1 4 x = 20 i)5.2 2x 4 2x = 0 j)x x2 5x+6 = 1 k)(x 2 x + 1) (2x2 3x 2) = 1 l)4 x + 6 x = 2.9 x 2) Determie os úmeros reais m tais que a equação 3 2x (2m + 3).3 x + (m + 3) = 0 possui solução. 3.2 Iequações Expoeciais Para resolver iequações expoeciais será essecial lembrar que, sedo a > 1, temos, a x > a y x > y. Já se, 0 < a < 1, temos, a x > a y x < y. Vejamos algus exemplos. Exemplo 58 Resolver a iequação ( 3 2) x <

11 Solução 59 Em sala! Exemplo 60 Resolver a iequação Solução 61 Em sala! ( 1 2x )3x x x2 ( 1 8 )x 1 Exemplo 62 Resolver a iequação 4 x x + 2 > 0 Solução 63 Em sala! Exemplo 64 Determie as soluções positivas da iequação x (x2) > x 2x Solução 65 Em sala! Exercício 66 1) Resolva as iequações: a)3 x < 1/27 b)2 5x 1 8 c)1 7 x2 4x d)(3 x ) 3x 1 > 1 27 e)7 x+1 x 1 7 x 1 x+1 < 343 f)(0, 1) 1 x+1.(0, 01) 1 x+3 < (0, 001) 1 x+2 f)2 x x < 3 x x x g)x 4x 3 < 1 h) x 5x2 11x+3 > 1 i)x x2 x 2 x 4 11