Ou seja, em que o caso de igualdade é quando todos são iguais (ou semelhantes). n n n. a 1 a 2...a n. α M(α) = 1 + a α a α n n

Transcrição

1 Desigualdades As desigualdades têm mudado um pouco de cara os últimos aos. O que eram aplicações aparetemete aleatórias das desigualdades cohecidas virou um mote de desigualdades com ovas ideias, para os quais aplicações diretas das desigualdades cohecidas ão fucioam. Mas isso ão quer dizer que você ão precisa domiar essas desigualdades.. As cohecidas Vamos separar as desigualdades de acordo com o caso de igualdade. Não é a ossa iteção demostrar ou mostrar todas, já que as demostrações estão bem documetadas em vários outros materiais... Uma desigualdade boba que ão deve ser desprezada Todo quadrado é ão egativo. Para todo x real, x 0.. Desigualdades que aproximam potos Ou seja, em que o caso de igualdade é quado todos são iguais (ou semelhates). Desigualdade das médias. Sedo a, a,...,a reais positivos, a a a a a...a a a a A igualdade ocorre quado a = a = = a. Desigualdade das médias poteciais. Sedo a, a,..., a reais positivos, defia ( a α M(α) = a α a α ) α Etão α < β = M(α) M(β) A igualdade ocorre quado a = a = = a. Desigualdade de Jese. Se f é uma fução covexa (para quaisquer dois potos A e B o gráfico da f, o gráfico da f etre A e B está debaixo do segmeto AB; caso f seja derivável duas vezes, f (x) > 0 para todo x o domíio da f) está etão, sedo E(y i ) a média aritmética dos úmeros y i, E(f(x i )) f(e(x i )) Se f é uma fução côcava (para quaisquer dois potos A e B o gráfico da f, o gráfico da f etre A e B está acima do segmeto AB; caso f seja derivável duas vezes, f (x) < 0 para todo x o domíio da f) etão E(f(x i )) f(e(x i )) Todas as desigualdades ateriores fucioam com médias poderadas.

2 Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Sedo a, a,..., a e b, b,..., b reais, (a a a )(b b b ) (a b a b a b ) A igualdade ocorre quado existem costates k, l reais tais que la i = kb i para todo i =,,...,. Desigualdade de Cauchy-Schwarz a forma de Egel. Sedo a, a,..., a e b, b,..., b reais positivos, a a a (a a a ) b b b b b b A igualdade ocorre quado existem costates k, l reais tais que la i = kb i para todo i =,,...,. Desigualdade de Hölder. Sedo a, a,...,a, b, b,..., b e c, c,..., c reais positivos, (a 3 a3 a3 )(b3 b3 b3 )(c3 c3 c3 ) (a b c a b c a b c ) 3 Desigualdade de Muirhead. Se a sequêcia de reais ão egativos (a, a,..., a ) majora a sequêcia de reais ão egativos (b, b,..., b ) (ou seja, a a i b b i para i < e a a = b b ) etão x a xa... xa x b xb...xb sym sym para todos x, x,..., x reais positivos, com igualdade quado x = x = = x ou as sequêcias são iguais. Desigualdades de Newto e Maclauri. Seja d k = σ k / ( k), em que σk é o k-ésimo poliômio simétrico das variáveis positivas x, x,..., x o termo em x k de (x x )(x x )...(x x ). Etão (Desigualdade de Newto) d k d k d k para k =,,..., (Desigualdade de Maclauri) d d / d / d /.3. Desigualdades que afastam potos Nem todas as desigualdades jutam potos. Algumas têm o caso de igualdade os extremos. Desigualdade do rearrajo. Sejam a a... a e b b... b reais. Etão, sedo c, c,..., c uma permutação da sequêcia b, b,..., b, os valores máximo e míimo de são respectivamete a c a c a c a b a b a b e a b a b a b Os casos de igualdade são um pouco mais complicados, especialmete se há úmeros iguais. Desigualdade de Chebyshev. Sejam a a... a e b b... b reais. Etão a a a b b b a b a b a b Se as sequêcias estiverem em ordem ivertida, a desigualdade se iverte também. Novamete, como essa desigualdade decorre de rearrajo, os casos de igualdade são complicados. Além disso, essa desigualdade ão é verdadeira para médias com pesos. Fuções covexas e côcavas. Se f(x) é uma fução covexa (côcava) em [a, b] etão seu máximo (míimo) esse itervalo é f(a) ou f(b); isso também vale para fuções de várias variáveis: basta checar os extremos e as froteiras. A próxima desigualdade é um meio-termo.

3 Desigualdade de Schur. Sedo x, y, z reais ão egativos e t real positivo, x t (x y)(x z) y t (y x)(y z) z t (z x)(z y) 0 com igualdade quado x = y = z ou quado dois dos úmeros x, y, z são iguais e o outro úmero é zero. A desigualdade é válida para todos x, y, z reais se t é um iteiro par. Para t = ela equivale a symx 3 xyz sym de modo que ela pode ser muito útil se aliada a Muirhead. x y,. Algumas técicas padrão.. Homogeizar desigualdades Uma desigualdade é homogêea quado ão se altera quado multiplicamos cada variável pelo mesmo úmero real t. Às vezes, é melhor trabalhar com desigualdades homogêeas (para, por exemplo, aplicarmos Muirhead); caso haja alguma codição sobre as variáveis, podemos substitui-la para obtermos desigualdades homogêeas. Às vezes, fazemos o camiho iverso, para cair, por exemplo, em uma desigualdade do tipo f C... Desigualdades simétricas Uma desigualdade é simétrica quado ão se altera ao permutarmos as variáveis. Caso ela se mateha só se trocarmos duas variáveis, digamos, x e y, ela é simétrica em x e y. No primeiro caso, podemos estabelecer uma ordem etre as variáveis; o segudo, podemos supor, sem perda de geeralidade, x y..3. Algumas substituições Vale a pea ficar de olho em possíveis substituições, como trigoométrica (x = tg α = x x = se α, por exemplo) ou geométricas ( a b e Pitágoras, a = x y, b = y z e c = z x para a, b, c lados de um triâgulo) ou simplesmete que simplificam deomiadores chatos (x = b c, y = c a e z = a b em a bc b ca c ab, por exemplo). 3. Novas dificuldades e ovas técicas A razão pela qual as desigualdades foram separadas em duas classes é a seguite: é importate saber quado jutar ou separar potos. Atigamete, praticamete todas as desigualdades tiham como caso de desigualdade todas as variáveis iguais, evolviam fuções covexas, e eram simétricas e homogêeas. Muitas aida matêm essa característica, mas outras têm ovos desafios. 3.. Os casos de igualdade são bizarros Tome, por exemplo, o seguite problema do baco da IMO 005: Exemplo 3.. (Baco IMO 005) Quatro úmeros reais p, q, r, s satisfazem pq rs = 9 e p q r s =. Prove que existe uma permutação (a, b, c, d) de (p, q, r, s) tal que ab cd. Primeiro, ote que ão é possível termos p = q = r = s. E a permutação a verdade é uma quimera: basta supor que p q r s, porque a melhor permutação é tomar p e q grades e r e s pequeos.

4 Mesmo assim, o caso de igualdade parece ser mais próximo de todos jutos do que de todos separados, porque precisamos aproximar pq de rs. De fato, ão é difícil otar que um caso de igualdade é p = 3 e q = r = s =. Pela quatidade de quadrados que aparecem e pela assimetria, parece iteressate dividir os úmeros em dois grupos: p, q e r, s. Começamos observado que pq rs = (p q) (p q ) (r s) (r s ) = (p q) (r s) Agora, ão parece que há muito o que fazer a ão ser abrir (p q r s) : (p r q s) = p q r s (pq rs pr qs ps qr) Como coseguirmos expressões ão simétricas? Usado rearrajo! Note que pq rs pr qs ps qr (a primeira desigualdade, cosidere (p, s) e (q, s); a seguda, (p, q) e (r, s)). Etão, substituido p q r s e p q r s e cosiderado essa desigualdade, 9 = (pq rs pr qs ps qr) 6(pq rs) = pq rs 0 Quase! Faltou só um sial! Mas temos pq rs = (p q) p q (r s) r s = (p q) (r s) de modo que, sedo S = p q, S (9 S) 0 S 9S 0 0 S 4 ou S 5 Como p q r s, S 9, de modo que p q 5. Logo pq rs = (p q) (p q ) (r s) (r s ) = (p q) (r s) 5 = Desigualdades do tipo f(x i ) C com fuções f em covexas em côcavas Desigualdades que saem direto com Jese têm dimiuído os últimos tempos (a úica dificuldade a mais que aparecia era os pesos que apareciam). Etão começaram a aparecer desigualdades com fuções f que ão são em côcavas em covexas em todo o itervalo. Nesse caso, há as seguites possibilidades para atacar os problemas: () Estudar a covexidade de f e dividir em casos, de acordo com os itervalos de covexidade; () Estimar f por retas ou outras curvas (veremos como fazer isso logo) (3) Uma combiação dos ateriores.

5 Exemplo 3.. Sedo a, b, c reais positivos, prove que (b c a) (c a b) (a b c) (b c) a (c a) b (a b) c 3 5. Como a desigualdade é homogêea, podemos supor, sem perda de geeralidade, que a b c = 3 (só para o caso de igualdade ser a = b = c = ). A desigualdade etão é equivalete a (3 a) (3 b) (3 c) (3 a) a (3 b) b (3 c) c 3 5. Seja etão f(x) = (3 x) (3 x) x. Note que f (x) = 8(x 3) (x 6x9) e f (x) = 08(x 6x3) (x 6x9), Note que f tem 3 duas raízes, 3± 3, ambas o itervalo [0, 3]. Ou seja, f ão é em côcava em covexa esse itervalo. Vamos usar a estatégia de passar reta tagete, etão. Vamos tetar ecotrar uma desigualdade do tipo f(x) mx em que o caso de igualdade é para x = (que é o caso de igualdade o osso problema). De cara, temos f() = m m = 5 Mas ão basta a reta cruzar f, porque aí o sial da desigualdade iverte em x = ; a reta deve tageciar o gráfico da f em x =. Logo f () = m m = 8 5 Logo = 3 5. Vamos verificar se f(x) 8x 3 5 : para isso é só abrir a cota e lembrar que x = é raiz dupla dessa equação (use isso para checar suas cotas!): 8x 3 f(x) 5 5(4x x 9) (8x 3)(x 6x 9) 36x 3 54x 8 0 (x ) (x ) 0, o que é verdade para todo x 0. Logo como queríamos demostrar. (3 a) (3 b) (3 c) (3 a) a (3 b) b (3 c) = f(a) f(b) f(c) c 8a 3 8b 3 8c (a b c) = = ,

6 Só para ilustrar, mostramos o gráfico da f e da reta: Nem sempre uma reta só resolve. Veja o próximo exemplo. Exemplo 3.3. Se a, b, c e d são úmeros reais positivos tais que a b c d =, prove que a (a ) b (b ) c (c ) d (d ) 6 5. x Seja f(x) = (x ). Note que, sedo f(x) = = f ( (x x) e f crescete em [0, ], podemos supor, x ) sem perda de geeralidade, que a, b, c, d. De fato, se por exemplo a > trocamos a por a < a, e a bcd <, de modo que f(a)f(b)f(c)f(d) = f ( a) f(b)f(c)f(d) < f(x)f(y)f(z)f(w), em que substituímos a, b, c, d por x, y, z, w tais que x mí(a, a ), y mí(b, b ), z mí(c, c ), w mí(d, d ) e x y z w =. Para cada x 0 cosidere a reta tagete ao gráfico de f em (x 0, f(x 0 )), ou seja, g(x) = f(x 0 )f (x 0 )(x x 0 ). Vejamos quado f(x) g(x). Notado que x = x 0 é raiz dupla de f(x) g(x), temos f(x) g(x) = x (x ) x 0 (x 0 ) x 0(x 0 ) x 0 x 0 (x 0 )3 (x x 0 ) = (x x 0)(xx 0 )(x x 0 )( xx 0 ) (x ) (x 0 x 0 x 3 0 ) (x 0 (x x 0) )3 x x 0 ( = (x (x ) (x 0 x0 )(xx 0 )( xx 0 )(x )3 0 ) x 0 ( x 0)(x ) ) = = (x x 0 ) ( ( x (x ) (x 0 x 0)(x )3 0 ) x 0 (x x 0 )(x 0x x ) ) (x x 0 ) ( (x ) (x 0 x0 ( x 0)x 3 x 0(3 x 0)x 4x 0 x 3x ) )3 0 O sial de f(x) g(x) é o mesmo que o sial de h(x) = x 0 ( x 0 )x3 x 0 (3 x 0 )x 4x 0 x 3x 0

7 Como estamos trabalhado somete com x 0 (0, ], todos os coeficietes de h, com a possível exceção de 3x 0, são egativos. O caso de igualdade o problema é a = b = c = d =, etão x 0 = é uma escolha atural. Nesse caso, g(x) = 4 5 ( ) 48 5 x e h(x) = 3 4 x3 6 x x 4. Note que h(x) 0 para x 8. Etão, se a, b, c, d 8 etão f(a) f(b) f(c) f(d) g(a) g(b) g(c) g(d) = ( a b c d 4 ) = Resta etão os casos em que um ou mais úmeros são meores do que 8. Note que, como abcd = e a, b, c, d etão o máximo dois úmeros são meores do que 8. Se dois úmeros são meores do que 8, como f é crescete etão f(a) f(b) f(c) f(d) f ( ) 64 f() = < 64 < 6 5 Se exatamete um úmero é meor do que 8, digamos a, etão tomamos x 0 = 3. Nesse caso, o termo idepedete de h(x) é 3 ( 3) < 0, o que quer dizer que h(x) < 0 para todo x [0, ]. Sedo g(x) = ( x 8), 3 f(a) f(b) f(c) f(d) f(a) ( 3 3 b c d 3 ) = f(a) a Sedo f (x) = (3x4 8x ) (x ) > 0 para 0 < x 4 8, f (x) é crescete esse itervalo, de modo que f (a) f ( ) 8 = 8 ( ( 8) ) (( 8) ) 3 = = <, = 537,6 3 3 < Logo o lado direito da última 3 desigualdade é crescete em a, de modo que f(a)f(b)f(c)f(d) f ( ) = < = < 6 5 A última desigualdade pode ser verificada otado que = e < < < 37 97, que é verdadeiro pois = 889 > > Desigualdades que parecem as cohecidas, mas ivertidas Como seria Cauchy-Schwarz ao cotrário? Exemplo 3.4. Sejam a, a,...,a e b, b,...,b reais positivos, e sejam m e M o míimo e o máximo de ai b i, i. Prove que (a a a )(b b b ) (M m) 4Mm (a b a b a b )

8 Como atacar um problema que parece ao cotrário? Pesado também ao cotrário: o lugar de pesar em desigualdades que jutam potos, vamos separar: primeiro, ote que (quado ocorre a igualdade?) ( ) ( ai m M a ) i 0 (M m)a i b i a i b i b Mmb i i Somado as desigualdades para i =,,..., obtemos (M m)(a b a b a b ) (a a a ) Mm(b b b ) Aplicado médias, (M m)(a b a b a b ) Mm(a a a )(b b b ) e é só elevar ao quadrado. O caso de igualdade fica a seu cargo, mas ote que as razões ai b i vão ser iguais a m ou M. Outra maeira de resolver problemas desse tipo é trabalhar com covexidade: fuções covexas têm máximos em extremos. Exemplo 3.5. Sejam a, a,..., a reais ão egativos. Prove que m a a a a a a ( )M, ode m = mí i<j { ( ai a j ) } e M = máx i<j { ( ai a j ) }. A primeira desigualdade é bem simples, a verdade: é só colocar o foco os ( a i a j ) : cada um deles é maior ou igual a m, e é igual a a i a j a i a j. Somado ciclicamete para (i, j) = (i, i ), sedo a = a, obtemos (a a a ) ( a a a a 3 a a ) m a a a a a a a 3 a a m Agora é só aplicar médias a seguda fração: a a a a 3 a a a a a a 3... a a = a a...a e somar as desigualdades. Note que se m > 0 e > a desigualdade é estrita, pois os dois casos de igualdade ão podem ocorrer. O outro lado é mais iteressate, porque é ao cotrário. Nesse caso, vamos usar covexidade. Para ão ter que lidar com raízes, seja a i = x i, de modo que a expressão agora é f(x, x,..., x ) = x x x x x... x

9 Supoha, sem perda de geeralidade, a = x x... x = b. Etão M = ( a a ) = (a b ). Agora, f é covexa (o produto some após duas derivadas e os outros coeficietes cotiuam ão egativos após derivar), de modo que assume valor máximo os extremos. Assim, algus x i s, digamos, k são iguais a a e os outros k, iguais a b. A expressão para esses valores é Agora, devemos provar que f(a, a,...,a, b, b,..., b ) = ka ( k)b a k b k }{{}}{{} k k ka ( k)b a k b k ( )(a b ) ka ( k)b a k b k ( )(a b ) ( )a b (( ) k)a (( ) ( k))b a k b k, que sai direto por médias (com os pesos certos, que teho certeza que você vai saber ecotrar). Aliás, o valor de k que maximiza f depede de a e b. Novamete, se M > 0 a desigualdade também é estrita Desigualdades com variáveis Muitas desigualdades têm variáveis e, pior aida, ão são em simétricas. Muitas vezes, a ideia é tetar estimar com uma telescópica ou qualquer outra soma fácil de calcular. Exemplo 3.6. (Baco IMO 00) Sejam x, x,..., x reais. Prove que x x x x x x x x x <. Primeiro, Cauchy (ou médias poteciais, ou quadrática-aritmética...) para aparecer quadrados: ( x x x x x x x x ( x ( x x ) ( x x ) x ) ( x x x ) x ) E agora, telescopamos (escolha um x qualquer): x (x x x ) (x x ) x (x x x ) < (x )(x x ) x (x x )(x x x 3 ) (x x )(x x ( ) ( ) ( ) ) = x x x x x x x x3 3 x x x x = x x <, x e é só substituir a origial e tirar a raiz. x

10 3.5. Desigualdades ão são mais simétricas Já vimos algumas desigualdades que ão são simétricas, mas vale a pea ver algumas desigualdades cíclicas com quatro variáveis a, b, c, d. Nessas desigualdades, você pode: Escolher qualquer uma das variáveis para ser a maior; Verificar se é possível supor, sem perda de geeralidade, a c e b d (esse caso, é claro, se você usou o item aterior, a ou b deve ser o maior); Utilizar a fatoração ab bc cd da = (a c)(b d). Exemplo 3.7. Sejam a, b, c, d reais positivos. Prove que a a b b c b b c c d c c d d a d d a a b a b c d Passado a, b, c, d para o primeiro membro, obtemos a a c b c b b d c d c c a d a d d b a b 0 Aqui, ifelizmete ão dá para supor que a c e b d ao mesmo tempo (mas dá para supor uma delas: é só trocar a por c e b por d ao mesmo tempo). Vamos esperar para ver se vamos precisar fazer alguma suposição do tipo. Mas dá para fatorar a c e b d: a a c b c b b d c d c c a d a d d b a b = (a c)(a ad bc c ) (b d)(ab b cd d ) (b c)(d a) (c d)(a b) O a c e o b d sugerem que dá para fatorar um pouco mais; mas e ad bc e ab cd? Para isso, usamos o truque que você já deve ter usado em teoria dos úmeros: ad bc = b(a c) a(b d) = d(a c) c(b d) e ab cd = b(a c) c(b d) = a(b d) d(a c): (a c)(a ad bc c ) (b c)(d a) = (a c) (a c d) (b c)(d a) (a c) (a c d) (b c)(d a) (b d)(ab b cd d ) (c d)(a b) (b d) (b d a) (c d)(a b) (b d) (b d a) (c d)(a b) (b d)(a c)d (c d)(a b) Vamos provar algo um pouco mais forte: provaremos que ( (a c)(b d) Utilizado médias, temos (a c) (a c d) (b c)(d a) (b d) (b d a) (c d)(a b) (a c)(b d)c (b c)(d a) d (c d)(a b) c (b c)(d a) (a c d)(b d a) (a c)(b d) (b c)(d a)(c d)(a b) E agora vemos que a vitória está próxima: a raiz quadrada parece ser maior do que os dois termos que queremos que sejam meores! De fato, (a c d)(b d a) (b c)(d a)(c d)(a b) d (c d)(a b) (a c d)(b d a)(c d)(a b) d (b c)(d a) )

11 e (a c d)(b d a) (b c)(d a)(c d)(a b) c (b c)(d a) (a c d)(b d a)(b c)(d a) c (c d)(a b) Agora, vale a pea supormos sem perda de geeralidade que a é o maior de todos. Aí a primeira desigualdade é verdadeira porque a c d > a d, b d a > b a b c, c d > d e a b > a d e a seguda é verdadeira porque a c d > c d, b d a > a b, b c > c e d a > a c. Note que as desigualdades são estritas a ão ser que a = c e b = d, que é o caso de igualdade. Outra dica que fucioa para qualquer desigualdade cíclica: se um produto x x... x é igual a, pode valer a pea substituir x = a a, x = a a 3,..., x = a a, ou x = a a, x = a3 a,..., x = a a (as duas substituições são diferetes). Exemplo 3.8. (Rússia) Sejam x, x,...,x reais positivos, > 3, tais que x x... x =. Prove que x x x x x x 3 x 3 x 3 x 4 x x x x x x > Sejam x = a a, x = a3 a,..., x = a a. Etão o termo típico do somatório é x i x i = ai a i ai a i ai a i = a i a i a i a i (sedo os ídices tomados módulo ; tete fazer a outra substituição para ver o que acotece) Aí fica fácil termiar: cada termo é maior do que ai S, sedo S = a a a. Assim, x x x > a a a S x x x 3 = x 3 x 3 x 4 x x x x x x Exercícios Os problemas ão estão em ehuma ordem específica, em em termos de dificuldade em de técica. 0. (IMO 008) (a) Prove que para todos os úmeros reais x, y, z, diferetes de, com xyz =. x (x ) y (y ) z (z ) ( ) (b) Prove que existe uma ifiidade de teros de úmeros racioais x, y, z, diferetes de, com xyz =, para os quais ocorre a igualdade em ( ). 0. (Baco IMO 006) Sedo a, a,...,a reais positivos, prove que i<j a i a j a i a j (a a a ) i<j a i a j.

12 03. (Baco IMO 009) Sejam a, b, c reais positivos tais que a b c = a b c. Prove que 04. Sedo x, y, z reais positivos, prove que (a b c) (a b c) (a b c) 3 6. (x y z) (y z x) (z x y) x (y z) y (z x) z (x y) (Baco IMO 004) Sejam a, b, c reais positivos tais que ab bc ca =. Prove que 3 a 6b 3 b 6c 3 c 6a abc. 06. (IMO 004) Seja 3 um iteiro. Sejam t, t,..., t úmeros reais positivos tais que ( > (t t t ) ). t t t Prove que t i, t j e t k são medidas dos lados de um triâgulo para quaisquer i, j, k com i < j < k. 07. (IMO 005) Sejam x, y, z reais positivos tais que xyz. Prove que x 5 x x 5 y z y5 y x y 5 z z5 z x y z (IMO 006) Determie o meor real M tal que a desigualdade é verdadeira para todos os reais a, b e c. ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c ) 09. (IMO 007) Sejam a, a,...,a úmeros reais. Para cada i ( i ) defiimos d i = máx{a j : j i} mí{a j : i j } e d = máx{d i : i }. (a) Prove que para quaisquer úmeros reais x x... x, máx{ x i a i : i } d. ( ) (b) Prove que existem úmeros reais x x x para os quais vale a igualdade em ( ). 0. (Baco IMO 007) Seja um iteiro positivo e x e y reais positivos tais que x y =. Prove que ( ) ( x k ) y k x 4k y 4k < ( x)( y). k= k=. (OBM 009) Seja > 3 um iteiro fixado e x, x,...,x reais positivos. Ecotre, em fução de, todos os possíveis valores reais de x x x x x x x x 3 x 3 x x 3 x 4 x x x x x x x x

13 . (CGMO 00) Sejam x, x,...,x reais tais que x x x =. Prove que k= Quado ocorre a igualdade? ( k i= ix i ) x k k ( ) x k k. k= 3. (Baco IMO 008) Sejam a, b, c, d reais positivos tais que abcd = e a b c d > a b b c c d d a. Prove que a b c d < b a c b d c a d. 4. (OBM 008) Sejam x, y, z reais tais que x y z = xy yz zx. Ecotre o valor míimo de x x y y z z. 5. (Baco IMO 006) Se a, b, c são lados de um triâgulo, prove que a b c a b c a b c a b c a b c a b c (Baco IMO 009) Sejam a, b, c reais positivos tais que ab bc ca 3abc. Prove que a b a b b c b c c a c a 3 ( a ) b b c c a. 7. (Baco IMO 007) Sejam a, a,...,a 00 reais ão egativos tais que a a a 00 =. Prove que a a a a 3 a 00a < (Baco IMO 008) Prove que, para todos reais positivos a, b, c, d, (a b)(a c) a b c (b c)(b d) b c d Determie quado ocorre a igualdade. (c d)(c a) c d a (d a)(d b) d a b 9. (Chia 0) Sejam a i, b i, i =,,..., reais ão egativos, 4, tais que a a a = b b b > Ecotre o máximo de i= a i(a i b i ) i= b i(a i b i ) 0. (Chia 0) Sejam a, a,...,a reais. Prove que a i a i a i i= i= sedo a = a, M = máx i a i, m = mí i a i. (M m). Sejam a, b, c, d reais tais que a b c d =. Prove que ab bc cd da 3.

14 . (Romaia Master 00) Para cada iteiro positivo, ecotre o maior real C com a seguite propriedade: dadas quaisquer fuções f (x), f (x),..., f (x) defiidas o itervalo fechado 0 x e que assumem valores reais, é possível ecotrar úmeros x, x,...,x, com 0 x i, tais que f (x ) f (x ) f (x ) x x x C. 3. (Tuymaada 00) Sejam a, b, c, d reais positivos tais que abcd =. Prove que ab a bc b cd c da d 4 4. (MEMO 007) Sejam x y z reais tais que xyyz zx =. Prove que xz <. É possível melhorar a costate?