Aula 4 - Desigualdades I

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1 Murilo Vascocelos Adrade 7 de Fevereiro de 05 Itrodução A partir de agora partiremos para técicas meos gerais de resoluções de problemas. Etrado o mudo da álgebra, começamos com desigualdades. A razão que começo com este assuto é que acredito que é bem rápido de crescer este domíio, e após muito pouco treio é possível resolver problemas bastate difíceis. Desigualdades ão são tão legais quato igualdades mas são provavelmete mais comus que estas últimas a matemática do mudo real. Ao se deparar com problemas do mudo real, muitas vezes precisamos estimar, otimizar, calcular piores e melhores ceários, etc. Para isso, é idispesável o uso de desigualdadas. Em computação, por exemplo, precisamos calcular o quão rápido é um algoritmo, e para isso usamos desigualdades o tempo todo. O grade problema com desigualdades é que, muitas vezes, ão sabemos por ode começar para prová-las. Em geral, uma desigualdade é algo da forma f(x,..., x ) g(x,..., x ) Para que esta desigualdade seja válida, ela deve valer para todos os valores do domíio (por exemplo, se o domíio for x,..., x R, devemos provar que a desigualdade acima vale para todos os reais). Outros domíios bastate comus são R +, N, [0, ], etc. Nuca se esqueça do domíio do problema que você está trabalhado. Em geral ele é fudametal para a resolução do problema.. Como resolver? Ao se deparar com um problema aparetemete impossível de desigualdades tete pesar o seguite: Para que casos vale a igualdade? Tete casos como as bordas do domíio, casos em que todos os úmeros são iguais, casos em que as variáveis são proporcioais (como em Cauchy-Schwarz), etc. Isto pode ajudar a idetificar a desigualdade a ser usada. Prove algo mais difícil! Muitas vezes (quase todas) temos que provar desigualdades itermediárias. No caso acima, provamos por exemplo f(x,..., x ) h(x,..., x ) e em seguida h(x,..., x ) g(x,..., x ). Utilize aálise dimesioal Para ter um melhor etedimeto da desigualdade, veja a dimesão dos lados da desigualdade. Por exemplo, uma desigualdade do tipo ab a + b (ode temos um lado de dimesão e o outro de dimesão ) ão pode ser resolvida somete com as desigualdades clássicas. Em geral, precisa de mais iformação sobre a dimesão das variáveis, e.g. a + b = k.

2 Murilo Vascocelos Adrade Homogeeização A desigualdade é homogêea as variáveis? Isto é, se multiplicarmos todas por uma costate λ, a desigualdade permaece? Se sim, podemos supor coisas como x + x x =, ou x =, etc. Tópico pricipal Nesta seção iremos estudar um pouco algumas das pricipais desigualdades usadas em olimpíadas.. Desigualdades triviais Teorema.. (Desigualdade Triagular) Se A,B,C são potos do espaço, AB AC + CB, com igualdade se e somete se (sse) C está o segmeto AB. Teorema.. (Quadrado de um real é sempre positivo) Se x é um úmero real, x 0 Aplicações: Para todos os reais a, b temos a + b ab e (a + b) 4ab Para todo real x > 0 temos x + x Estas desigualdades, apesar de parecerem ridículas, podem resolver iúmeros problemas em olimpíadas. Vamos agora provar duas desigualdades importatíssimas usado apeas o fato que o quadrado de um real é positivo.. Desigualdade de Cauchy-Shwarz Teorema.3. Sejam a,..., a, b,..., b úmeros reais. Etão (a a )(b b ) (a b a b ) com igualdade sse os vetores (a,..., a ) e (b,..., b ) são colieares. Prova. Seja A = ( i= a i )( i= b i ) e B = ( i= a ib i ). Assim A B = a i b j a i b i a i a j b i b j a i b i + i= i j i= = a i b j + a jb i a i a j b i b j i<j = (a i b j a j b i ) 0 i<j i<j.3 Desigualdade etre as médias Teorema.4. Se a,..., a > 0, temos a a...a a + a a Prova. O caso = pode ser obtido facilmete através da desigualdade ( a a ) 0. O caso geral já foi provado em aulas ateriores

3 Murilo Vascocelos Adrade.4 Desigualdade do rearrajo A desigualdade do rearrajo é bem ituitiva. Imagiemos que temos uma loja com tipos de artigos: feijão e arroz. Temos 5 pacotes de feijão e 3 de arroz. Um cliete falou que quer comprar todo o estoque, com os dois artigos a preço de e reais (em qualquer ordem). Qual a melhor forma de apreçar os artigos? Bom, se você é bom vededor como eu vai escolher o feijão a reais e o arroz a real ( o que dá um valor total de = 3, cotra = da outra escolha). Este exemplo os diz que devemos associar maior com maior e meor com meor. Este é exatamete o que diz a ossa desigualdade: Teorema.5. Se a a... a e b b... b são duas sequêcias crescetes de reais temos a b σ() + a b σ() a b σ() a i b i ode σ é uma permutação de,... A igualdade sse a permutação é a fução idetidade σ(i) = i, i Prova. Seja σ uma permutação diferete da idetidade. Assim existem i < j com σ(i) > σ(j). Seja σ a permutação obtida a partir de σ trocado as posições i e j. Se deotarmos por S σ = i= a ib σ(i), temos S σ S σ = (a j a i )(b σ(i) b σ(j) ) 0, com igualdade sse a i = a j ou b σ(i) = b σ(j). Desta maeira, a partir de uma permutação qualquer podemos prosseguir desta maeira, sempre escolhedo i como o meor possível e j tal que σ(j) = i (a cada operação estamos aumetado mi{i, σ(i) i}, e logo ão podemos fazer isso ifiitamete). Assim a maior soma S σ possível ocorre quado σ é a idetidade. i=.5 Desigualdade de Chebyshev Teorema.6. Se a a... a e b b... b são duas sequêcias crescetes de reais temos a + a a b + b b i= a ib i Iversamete, se b b... b, a desigualdade é para o outro lado: a + a a b + b b i= a ib i Prova. Esta desigualdade segue da desigualdade do rearrajo aplicada vezes: Se somarmos todas elas: e o resultado segue dividido por. a b + a b a b = a b + a b a b a b + a b a b a b + a b a b... a b + a b a b a b + a b a b (a + a a ) (b + b b ) a i b i i=.6 Outras técicas Desigualdades é um assuto muito vasto, e muitas das desigualdades cohecidas podem ser obtidas a partir de outras. Em várias situações podemos resolver problemas com muito pouco cohecimeto (mas em geral muita álgebra), ou às vezes a utilização de uma desigualdade clássica pode servir de atalho para a solução de uma questão. Por isso discutiremos um pouco outras técicas que podem ser úteis: 3

4 Murilo Vascocelos Adrade.6. Idução Idução! Sempre que houver um iteiro (por exemplo várias variáveis a, a,..., a ), faz setido tetar usar idução..6. Simetria ou Circularidade Se as variáveis são idistiguíveis (i.e. podemos trocar os valores de duas variáveis sem afetar os lados direito e esquerdo da desigualdade), podemos fazer hipóteses adicioais, como por exemplo a a... a, etc. Vejamos um exemplo: a b+c + b c+a + c a+b 3 Exemplo. Se a, b, c > 0 etão Como a,b, c podem ser trocados sem modificar os valores dos lados direito e esquerdo, podemos supor a b c. Desta maeira b+c c+a a a+b e podemos usar Chebyshev: b+c + b c+a + c a+b 3 (a + b + c)( b+c ( + c+a + a+b ). ) Mas b+c + c+a + a+b ((b + c) + (c + a) + (a + b)) 9 e assim o resultado segue multiplicado as duas últimas equações. Em certos casos, ao itroduzirmos ovas variáveis como σ i, a soma simétrica i a i (e.g. σ = i<j a ia j ) facilita as cotas. Às vezes as variáveis ão podem ser trocadas, mas existe uma simetria de rotação (e.g. x substitui x que substitui x 3... x que substitui x ). Neste caso podemos escolher um deles e assumir que é o maior (ou o meor) valor..6.3 Suavização para a média Aqui a idéia é de aumetar (ou dimiuir) um valor f(x, x,..., x ) ao aproximar duas das variáveis. Vamos a um exemplo: Exemplo. Sejam x, y, z R +, com xyz =. Prove que x + y + z + x + y + z (xy + xz + yz) Podemos supor por simetria que x y z. Seja f(x, y, z) = x +y +z +x+y +z (xy +xz +yz). Assim, f(x, y, z) f(x, yz, yz) = y + z + y + z (xy + yz + xz) yz + 4x yz = (y z) + ( y z) x( y z) = ( y z) (y + z x + + yz) Como x y z, temos y + z x 0. Logo f(x, y, z) f(x, yz, yz) 0, com igualdade sse y = z. Seja a = x e b = yz, com ab =. Assim f(a, b, b) = a + a + b 4ab = b 4 + b + b 4 b = b 4 (b ) (b 3 + 4b + b + ) 0 A igualdade ocorre sse a = b =. Desta maeira, f(x, y, z) f(x, yz, yz) 0, com igualdade sse x =, y = z, yz =, ou seja, x = y = z =..6.4 Substituição Existem algumas substituições clássicas (exercício: como essas substituições ajudam a dimesão dos problemas?): a + b =. Use a = cos α e b = seα abc =. Substitua a = x y, b = y z e c = z x 4

5 Murilo Vascocelos Adrade abc = a + b + c +. Substitua a = x+z y, b = y+x z e c = z+y x (prove isso com cotas!) Se a, b, c são os lados de um triâgulo, chame x = a + b c, y = a + c b e z = b + c a. Desta forma, a codição a + b > c se trasforma x > 0 3 Exercícios Resolvidos. Seja abcd =. Prove que a + b + c + d + ab + ac + ad + bc + bd + cd 0 Solução Pela desigualdade A-G, temos a +b +c +d +ab+ac+ad+bc+bd+cd 0 0 a b c d abacadbcbdcd = 0 0 a 5 b 5 c 5 d 5 = 0. Qual o máximo valor que pode assumir a expressão 3seα + 4cosα, com 0 α π Solução Somas de produtos os fazem lembrar de Cauchy-Schwarz. Aqui 3seα+4cosα (3 + 4 )(se α + cos α) = 5. Falta mostrar que este valor pode ser obtido. Mas isto é fácil, Cauchy-Schwarz os diz que o caso de igualdade temos (seα, cosα) é proporcioal a (3, 4), e assim (seα, cosα) = (3/5, 4/5), o que é obtido quado α = arcse(3/5). 3. Prove que, se x,y,z são reais positivos, temos (x + y)(x + z)(y + z) 8xyz Solução Aplicamos a desigualdade A-G três vezes: (x + y)(x + z)(y + z) ( xy)( xz)( yz) = 8xyz. 4. Prove que, se x,y,z são reais positivos, temos x 3 + y 3 + z 3 x y + y z + z x 3 3 x 3 x 3 y 3 = x y. Aplicado esta desigual- Solução Pela desigualdade de médias A-G, x3 dade 3 vezes provamos o resultado. 5. Sejam x, y, z reais ão-egativos. Prove que: (a) x + y + z xy + yz + xz (b) x 3 + y 3 + z 3 x y + y z + z x (c) x + y + z x y + y z + z x 3 + x3 3 + y3 Solução (a) Como a desigualdade é simétrica (i.e. podemos trocar x,y,z), podemos supor sem perda de geeralidade x y z e assim usar a desigualdade do rearrajo: xx + yy + zz xy + yz + xz. (b) A desigualdade ão é simétrica, etão ão podemos supor algo como x y z. No etato a desigualdade do rearrajo aida é válida, pois a relação etre x, y, z é guardada etre x, y, z (i.e. o maior cotiua maior, o meor cotiua meor, etc). Assim x x + y y + z z x y + y z + z x pela desigualdade do rearrajo. (c) idêtico. 6. Prove que, para a, b reais positivos e atural, a + b a + b (a + b ) Solução Segue da desigualdade de Chebychev a +b (a+b) (a +b ) 4 Problemas 4. Idéias básicas. Sejam a > b > c > d > 0, com a + d = b + c. Prove que ad < bc. Seja a e seja x real. Prove que x +a x +a 5

6 Murilo Vascocelos Adrade 3. Prove que, para todos x, y, z reais temos x + y + z xy + yz + zx 4. Prove que, para 3 iteiro temos + > ( + ) 4. Desigualdades clássicas 5. Prove que para x,...x > 0, temos (x + x x ) ( ) x x x 6. Sejam a,b,c,d,e reais positivos tais que a + b + c + d + e = 8 e a + b + c + d + e = 6. Qual o maior valor de e? 7. Sejam a,b,c reais positivos tais que a + b + c abc. Prove que a + b + c 3abc 8. Mostre que o sistema de equações abaixo ão possui solução os úmeros reais: a + b + c + 3(x + y + z ) = 6 ax + by + cz = 9. Se a, b, c são reais positivos, prove que a+b + b+c + a+c ( a + b + ) c ( ) 9 0. Se a, b, c são reais positivos, prove que a+b+c a+b + b+c + a+c. (Coe Sul 994) Seja p um real positivo dado. Achar o míimo valor de x 3 + y 3 sabedo que x e y são úmeros reais positivos tais que xy(x + y) = p. Sejam x, y, z reais. Prove que 4x(x + y)(x + z)(x + y + z) + y z 0 3. Ecotre as soluções reais positivas do sistema x + x = 4; x + x 3 = ; x 3 + x 4 = 4; x 4 + x = 4. Sejam a, b, c reais positivos. Prove que a a b b c c a b b c c a e assim o resultado segue. 5. Sejam a, b, c reais positivos, com a + b + c =. Prove que ab + bc + ca 3 6. Sejam a, b, c, d reais positivos. Prove que a b+c + b c+d + c d+a + d a+b 4.3 Problemas ível Olimpíadas 7. (IMO 978) Sejam c, c,..., c iteiros positivos distitos. Prove que c + c c (IMO 995) Sejam a, b, c > 0 com abc =. Prove que a 3 (b+c) + b 3 (c+a) + c 3 (a+b) 3 9. (IMO 964) Sejam a,b,c os lados de um triâgulo. Prove que a (b+c a)+b (c+a b)+c (a+b c) 3abc 6

7 Murilo Vascocelos Adrade 5 Para saber mais Referêcias [] Cauchy-Schwarz Master Class, M. Steele. [] Wiig Solutios, E. Lozasky e C. Rousseau, Chapter.3 [3] The Art ad Craft of Problem Solvig, P. Zeitz, Chapter 5.5 [4] Problem Solvig Strategies, A. Egel, Chapter 7. [5] Notas do professor Ki Yi Li, Chapter. [6] A Taste Of Mathematics (ATOM), volume 4, E. Barbeau, B. L. R. Shawyer [7] Desigualdades (artigo), C. Shie, 7