Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros

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1 3. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomial P, a variável x, é toda expressão do tipo: P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0, ode IN, a i, i = 0,,..., são úmeros reais chamados coeficietes e as parcelas a x i i, i =,...,, termos do poliômio. Cada termo é deomiado moômio. Exemplos: 4 3 P(x)=5x + 3x x + ; P( x) = 8x + π ; 5 P( x) = x + 3x + Cotra-exemplos (expressões que ão represetam poliômios): f ( x) = x 3x + 5; f ( x) = x 4 + x Valor umérico de um poliômio Seja P(x) um poliômio. Cosidere x=α (α IR) um valor fixo atribuído a x. Calcule P(α)=a α + a α +... aα + aα + a0. P(α) é o valor umérico do poliômio para x=α. OBS:. O valor umérico do poliômio P para x=0 é: P(0)=a 0 + a a 0 + a0 + a0 = a0. Isto é, P(0) é igual ao termo idepedete de x.. O valor umérico do poliômio P para x= é: P()= a a +... a + a + a0 = a + a +... a + a a a k k= 0 Assim, P()=, isto é, P() é igual a soma dos coeficietes do poliômio. 3. Quado P(α)=0, dizemos que α é raiz do poliômio P(x). 3.. Poliômio ulo É aquele em que todos os seus coeficietes são iguais a zero (P(x)=0) Grau de um poliômio O grau de um poliômio P(x), ão ulo, é o maior expoete da variável x, com coeficiete ão ulo, que aparece a expressão que defie P(x).

2 Exemplo: 4 6 P(x)=5x x gr(p)=6 P(x)= 3x 5x + gr(p)= P(x)=5 gr(p)=0 OBS: Não se defie o grau de poliômio ulo Igualdade de poliômios Dois poliômios P(x) e Q(x) são iguais, P(x)=Q(x), quado todos os seus coeficietes são ordeadamete iguais. Sejam P(x)= a x + a x +... a x + ax + a0 e Q(x)= b x + b x +... b x + b x + b0 a a P(x)=Q(x) a 3.5. Operações 0 = b = b... = b 0 Coeficietes de mesmo grau são iguais Sejam P(x) e Q(x) tais que P(x)= a x + a x +... a x + ax + a0 e Q(x)= b x + b x +... b x + b x + b0, IN Adição e subtração de poliômios A adição e subtração de poliômios é feita a partir da adição e subtração dos coeficietes correspodetes a um mesmo grau. P(x)+Q(x)=( a + b x + ( a + b ) x +...( a + b ) x + ( a + b ) x + ( a ) ) 0 + b0 P(x)-Q(x)=( a b x + ( a b ) x +...( a b ) x + ( a b ) x + ( a ) ) 0 b0 Exemplo: P(x)= 3x 3 x + e Q(x)=3x 4 7x 3 + x P(x)+Q(x)= (0+3)x + (3 7) x + ( + 0) x + (0 + ) x + ( + ) = 3x 4x x + x P(x)-Q(x) = (0-3)x + (3 ( 7)) x + ( 0) x + (0 ) x + ( ) = 3x + 0x x x +

3 3.5.. Multiplicação de poliômios A multiplicação é feita pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e multiplicação. OBS: Se o grau do poliômio P é e o grau do poliômio Q é, etão o grau do poliômio P.Q será +m. Exemplo: P(x)=x- e Q(x)=5x + x P(x).Q(x)=( x-)( 5x + x ) 3 P(x).Q(x)= 0x + 4x 4x 5x x + 3 P(x).Q(x)= 0x x 6x Divisão de poliômios Dividir um poliômio P(x) por um poliômio D(x), ão ulo, é achar um par de poliômios Q(x) e R(x), de tal maeira que: Ou seja, dividir o poliômio P(x) pelo poliômio D(x) é obter os poliômios Q(x) e R(x) tais que: Quado o resto da divisão de P(x) por D(x) é ulo, dizemos que o poliômio P(x) é divisível por D(x). Método de divisão de poliômios. Método da chave 3 Vamos dividir x + 3x por x + x + 5 3

4 . Dispositivo prático de Briott-Ruffii Este dispositivo é utilizado para dividir um poliômio P(x) por um poliômio do º grau da forma x-a. Neste método, trabalha-se apeas com os coeficietes do poliômio e com o valor de a. Dispositivo: Seja P(x)=a 3 x 3 +a x +a x+a 0 por D(x)=x-a Exemplo: OBS: Se o resto da divisão é zero, etão o poliômio é divisível pelo biômio divisor. 4

5 Teorema do resto O resto da divisão de um poliômio P(x) por um biômio do ºgrau do tipo x-a é igual ao valor umérico do poliômio P(x) para x=a, ou seja, P(a)=R. Como o divisor é do o grau, o resto é ulo ou tem grau zero. De qualquer modo, R é uma costate, isto é, idepedete de x. Para calcular o valor de R basta substituir a idetidade x por a. Note que a é raiz do biômio. Teorema de D Alembert Um poliômio P(x) é divisível pelo biômio x-a se, e somete se, P(a)=0. Note que a além de ser raiz do biômio x-a é também raiz do poliômio P(x). OBS: Cohecida uma raiz r do poliômio P(x), podemos obter as demais raízes de P(x) da seguite maeira: Dividimos P(x) por x-r, usado o algoritmo de Briott-Ruffii. As raízes do quociete Q(x) dessa divisão são as demais raízes de P(x). Divisão por (x-a)(x-b) Se um poliômio P(x) é divisível separadamete pelos biômios (x-a) e (x-b), com a b, etão P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b). (A recíproca é verdadeira) Geeralizado, se P(x) é divisível por fatores distitos (x-a ), (x-a ),..., (x-a ) etão P(x) é divisível pelo produto (x-a ).(x-a )... (x-a ). Exercício proposto: 5

6 3.6 Equações poliomiais Defiição: Se P(x) é um poliômio de grau >0, chama-se equação algébrica ou poliomial à igualdade P(x)=0. Assim, equação algébrica de grau é uma equação do tipo: P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0 =0, a 0 0. Raiz de uma equação algébrica Dada uma equação algébrica P(x)=0, o úmero r é uma raiz dessa equação se, e somete se, P(r)=0. Cojuto-solução Cojuto-solução de uma equação algébrica é o cojuto formado por todas as raízes (e somete por elas) da equação. Resolver uma equação é obter seu cojuto solução. Equação do o grau Uma equação é classificada como equação do o grau quado puder ser escrita sob a forma ax+b=0, ode a e b são reais com a 0. Uma equação do o grau tem apeas uma raiz que pode ser obtida isolado-se x. Equação do o grau Uma equação é classificada como equação do o grau quado puder ser escrita sob a forma ax + bx + c = 0, ode a,b e c são reais, com a 0. Uma equação do o grau tem o máximo duas raízes, que podem ser obtidas pela fórmula: b ± b 4ac b ± x= = a a OBS: Se >0 etão a equação admite duas raízes reais e distitas Se =0 etão a equação admite duas raízes reais e iguais. Se <0 etão a equação admite duas raízes complexas. Equação do 3 o e 4 o grau Uma equação é classificada como equação do 3 o e 4 o grau, quado puder ser escrita sob a forma ax + bx + cx + d = 0 ou ax + bx + cx + dx + e = 0 6

7 As raízes das equações do terceiro e quarto graus podem ser obtidas através de fórmulas gerais que são extremamete trabalhosas. OBS: As equações de grau superior a 4 ão apresetam fórmulas resolutivas. Desta forma, apresetam-se teoremas válidos para quaisquer equações algébricas que possibilitam a resolução ou, ao meos, iformações úteis a obteção das raízes de uma equação. Teorema Fudametal da Álgebra O teorema da Álgebra sobre equações algébricas de coeficietes reais diz: Toda equação algébrica de grau admite o cojuto dos úmeros complexos raízes complexas. O teorema garate a existêcia de raízes complexas, ão diz como obtê-las. O teorema tem validade o cojuto dos úmeros complexos, ou seja, pode ou ão ter raiz real. Teorema da decomposição Seja P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0 um poliômio de grau >0. Demostra-se que P(x) pode ser decomposto, ou seja, fatorado, a forma seguite: OBS: Esta forma fatorada mostra que a equação tem o máximo raízes distitas, e ão exatamete, pois ão sabemos se os úmeros Multiplicidade de uma raiz são todos distitos dois a dois. Dizemos que r é uma raiz de multiplicidade m (m ), da equação P(x)=0 se, e somete se, a equação puder ser escrita sob a forma, (x-r) m. Q(x)=0 Isto é, r é raiz de multiplicidade m de P(x)=0 quado o poliômio P é divisível por (x-r) m, ou seja, a decomposição de P apreseta exatamete m fatores iguais a (x-r). 5 Exemplo: A equação x.( + 7) multiplicidade 3). 3 x admite as raízes x=0 (com multiplicidade 5) e x=-8 (com 7

8 Pesquisa de raízes Quado se cohece uma raiz r de uma equação algébrica P(x)=0, divide-se P(x) por x-r, recaido-se uma de grau meor. Exemplo: Se x=-3 é uma raiz da equação x 3 + 3x + x + 6 = 0, determie as outras raízes. Teorema das raízes iteiras OBS: Este teorema permite descobrir se a equação tem ou ão raízes iteiras; basta para tato, verificar um por um os divisores do termo idepedete de x, a 0. Teorema das raízes racioais 8

9 Teorema das raízes complexas Exercícios ) 3) 4) Dado os poliômios P(x)=0x 4 3x + 3x + 0 e Q(x)=x 5x, determie o que se pede: a) (P+Q)(x) c)(-5).p(x) b) (P-Q)(x) d) (P.Q)(x) 5) 9

10 6) 7) 8) 9) 0

11 0) ) Exercícios propostos: ) )

12 7) (x e x -) Respostas dos exercícios propostos ) a,c,d, f ) a) 37, a primeira hora mota 84 e a seguda 88; b) Crescete, porque aumetado-se o úmero de horas de trabalho, aumeta-se o úmero de peças motada; c)[0,] 3) -4 4)m= e = 5) 6) a=0,b= e c=/ 7) a=3 e b= 8)a=b=c=3 9)a=- e b=6 0)b,c

13 3.7 Produtos otáveis Os produtos otáveis são multiplicações etre poliômios, muito cohecidas em virtude de seu uso exteso. Igualdade Exemplo (a+b) = a +ab+b (x+) = x + x + 4 (a+b) = a -ab+b (4x-) = 6x 6x + 4 a b = (a+b)(a-b) x 5 = ( x 5)( x + 5) (x-a)(x-b)=x x ( a + b) x + ab (x-5)(x-)=x 7x + 0 a = ( x a)( x + a ) x 4 = ( x )( x + ) x a = ( x a)( x + ax + a ) x 8 = ( x )( x + x + 4) x a = ( x a)( x + ax + a x + a ) x 6 = ( x )( x + x + 4x + 8) x a = ( x a)( x + ax + a x + a x + a ) x 3 = ( x )( x + x + 4x + 8x + 6) 3 x a = ( x a)( x + ax + a x a x + a ) 3.8. Fatoração Fatorar um poliômio sigifica reescrevê-lo como produto de outros poliômios. Exemplos: 3 a) x x = b) x 4 5x = 3

14 4 c) x = 3 d) x +8 = 6 e) x 7 = ) Exercícios: ) 3) Simplifique 4) Fatore o poliômio do o grau 4

15 Exercícios propostos ) Verifique as idetidades: ) Simplifique a) e) b) f) c) g) d) h) 3) Fatore o poliômio do o grau a) b) c) d) 4) Fatore os poliômios dados 5

16 5) Determie, caso existam, as raízes iteiras da equação: 3.9. Completar quadrados O processo de completar quadrados tem base as fórmulas de produtos otáveis (a+b) e (a-b), fazedo-se uma comparação direta etre os termos. É uma operação muito utilizada em poliômios de grau. Exemplos: Completar quadrados: a) x +6x Temos que comparar com (a+b) (a+b) = a + ab + b = x + 6x Comparado, diretamete, temos a=x e que ab=6x b=6 b=3. Logo b =9. (a+b) = a + ab + b (x+3) = x + 6x + 9 Assim: x + 6x = x + 6x + (9-9) = (x + 6x + 9) 9 = ( x + 3) - 9 b) x x + = (x x ) + Iicialmete, vamos descosiderar a costate. Podemos comparar essa expressão com (a-b), pois o coeficiete do termo de grau é egativo. Assim: (a-b) = a - ab + b x - x Comparado, diretamete, temos que a=x e que ab=x. Daí, b= b=/. Logo, b =/4 (a-b) = a ab + b x = x x + 4 c) Assim, (x x) + = (x x) = x x + + = x

17 Exercício: Completar quadrados a) x -4x b) x +8x+3 c) x 4 -x + Exercício proposto Completar quadrados: a) x +x+7 b) x-9x c) x 4-3x + 7