2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES

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1 CAPITULO II COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES Acreditamos que os coceitos de Combiação Liear (CL) e de Depedêcia Liear serão melhor etedidos se forem apresetados a partir de dois vetores e, depois, geeralizados para uma quatidade fiita qualquer COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES Sejam u e v dois vetores ão ulos e ão paralelos de V Cosiderado dois úmeros reais e quaisquer, teremos os vetores u e v, respectivamete, paralelos a u e v O vetor uv represeta todas as somas obtidas com os vetores u e v Chamamos a cada vetor de Combiação Liear (CL) dos vetores u e v Exemplificado: u v u ½ u v v u v u u v u = ½ u + v = u + v v = u + 0 v Fig Portato, a cada par de úmeros reais e estará associado um vetor Nestas codições, imagia-se uma ifiidade de vetores que são gerados por u e v 3

2 Defiição Geeralizado: Sejam v, v, v3, v4,, v, ( ), vetores distitos de V e escalares (úmeros reais),, 3, 4,,, ( ) O vetor tal que v v3 v34 v4 v chama-se Combiação Liear dos vetores v, v, v3, v4,, v, com coeficietes,, 3, 4,, DEPENDÊNCIA LINEAR Queremos discutir 0 como combiação liear de um cojuto fiito com vetores de V, isto é, 0 v v3 v34 v4 v A perguta que se faz é : A úica maeira de se obter o vetor 0 é torado todos os coeficietes dos vetores iguais a zero? Exemplificaremos, utilizado dois vetores, que existe a possibilidade de obtermos 0 sem que todos os coeficietes destes vetores sejam zeros a) Seja o cojuto {u, v }, com u e v ão ulos e paralelos Se u é paralelo a v, etão existe um úmero real (escalar) k 0 tal que v = k u Assim, 0 = v + k u Note que os coeficietes de u e v ão são zeros A outra possibilidade de se escrever o vetor ulo é: 0 = 0 v + 0u b) Seja o cojuto {u, v }, com u e v ão ulos e ão paralelos Neste caso, a úica maeira de se escrever o vetor ulo é 0 = 0 v + 0u Vejamos: imagiemos a possibilidade de se obter 0 = r u + s v sem que os coeficietes r e s sejam zeros, etão, teríamos s v = r u e, daí, v ( r/ s) u, evideciado que u e v são paralelos, mas isto é uma cotradição, pois u ão é paralelo a v O tal fato ocorreu porque admitimos que r e s eram diferetes de zero Logo, r e s são ambos iguais a zeros CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE DEPENDENTE (LD) O exemplo (a) acima mostra que certos cojutos de vetores possuem dois modos de se escrever o vetor 0 : com algum coeficiete ão zero e, o caso óbvio, com todos os coeficietes zeros Nestas codições o cojuto de vetores é chamado de Liearmete Depedete (LD) Defiição : Dado um cojuto com,, vetores { v, v, v3, v4,, v } e escalares,, 3, 4,, Diz-se que o cojuto de vetores é Liearmete Depedete (LD) se existirem escalares ão todos iguais a zeros tal que 0 v v v3 v4 v 3 4 4

3 CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI) O exemplo (b) acima mostrou que certos cojutos de vetores possuem uma só maeira de se escrever o vetor 0 : com todos os coeficietes iguais a zero Neste caso o cojuto de vetores é chamado de Liearmete idepedete (LI) Defiição 3: Dado um cojuto com,, vetores { v, v, v3, v4,, v } e escalares,, 3, 4,, Diz-se que o cojuto de vetores é Liearmete Idepedete (LI) se 0 v v3 v34 v4 v sómete quado os coeficietes forem todos iguais a zeros Nota: Segue das defiições e 3 que Se um cojuto de vetores ão é LD, etão é LI É usual dizer que os vetores v, v, v3, v4,, v são LI ou LD se o cojuto destes vetores for LI ou LD, respectivamete (ver HOFMANN / KUNGE, págia 43 Álgebra Liear) EXEMPLO ) Apresete, geometricamete, situações que permitam eteder a proposição: Um cojuto de três vetores {u, v, }, sedo u, v e ão ulos e coplaares, é LD Solução: a) Os três vetores coplaares possuem direções distitas Podemos imagiar represetates u e v de cada um dos vetores u e v um mesmo plao, de modo que se obteha o vetor, isto é, uv para algum par de reais e v u u u uv v v Fig Sedo uv, teremos uv 0, ode se vê que um dos coeficietes da combiação liear dos vetores é diferete de zero Etão, {u, v, } é LD b) Apeas dois dos três vetores coplaares têm mesma direção 5

4 º Caso : u// u v u Supor = u, * v Fig 3 Temos que u 0 Fazedo u0 v0 vê-se que ao meos um dos coeficietes da combiação liear ão é zero, evideciado que {u, v, } é LD Nesta situação, = u + 0 v é escrito como combiação liear de u e v Mas v ão pode ser escrito como combiação liear de u e Verifique! º Caso : u// v u v u v Supor v = u, * Fig 3 Temos que u v0 Fazedo uv0 0 vê-se que ao meos um dos coeficietes da combiação liear ão é zero, evideciado que {u, v, } é LD Nesta situação, ão pode ser escrito como combiação liear de u e v Cotudo, tem-se que v = u + 0 ou u = (/ ) v + 0 c) Os três vetores possuem mesma direção ( u// v// ) u v Supor = v e v = u Fig 4 Assim, + v = 0 e u + v = 0 Adicioado as igualdades, Temos a combiação liear u v0, ode em todos os coeficietes são zeros Neste caso, muitas são as maeiras de se escrever como combiação liear de u e v Por exemplo, = v 4 u, = v 6 u, = v + 0 u, etc 6

5 Nota: Todas as situações apresetadas mostram o vetor 0 escrito como combiação liear de u, v e sem que todos os coeficietes sejam zeros, mostrado que {u, v, } é LD É importate ressaltar que {u, v, } é LD se um dos vetores for ulo u Supor v 0 Fig 5 Se, por exemplo, v 0, etão podemos escrever 0 0 u v 0, *, evideciado que em todos os coeficietes da combiação liear de u, v e seja zero Podemos afirmar que todo cojuto de vetores que possuir o vetor ulo é LD, visto que 0 pode ser obtido pela combiação liear, ode se associa o coeficiete diferete de zero ao vetor ulo e coeficietes iguais a zero a cada um dos demais vetores do cojuto ) Justifique a proposição: Um cojuto de três vetores {u, v, }, sedo u, v e ão ulos e ão coplaares, é LI Solução: v u Fig 6 Supohamos, por absurdo, que os vetores u, v e ão ulos e ão coplaares formam um cojuto LD Sedo assim, existem escalares, e 3 ão todos iguais a zeros tais que u3 v 0 3 Caso seja um dos coeficietes diferete de zero, etão, ( ) u( ) v 7

6 A relação acima diz que é combiação liear dos vetores u e v, portato, os três vetores são coplaares, cotradizedo a hipótese de que ão eram coplaares Tal cotradição ocorreu pelo fato de termos admitido {u, v, } LD Etão, {u, v, } é LI 3) Quatro vetores do espaço V 3 forma um cojuto LD (quaisquer que sejam os vetores) Solução: O fato de três vetores um plao (dimesão ) formarem um cojuto LD é aálogo ao de quatro vetores o espaço (dimesão 3) formarem um cojuto LD Isto é, podemos mostrar que um destes quatro vetores pode ser escrito como combiação liear dos demais Seja o cojuto { u, v,,} t formado de vetores ão ulos de V3 a) Se três vetores são coplaares, por exemplo, u, v e, ode se tem uv, etão podemos escrever uv 0 t 0 evideciado que pelo meos um dos coeficietes ão é zero, figuras 7 a e 7 b Portato, { u, v,,} t é LD t u v Fig 7 a u, v, e t são coplaares t u v Só u, v e são coplaares Fig 7 b Nota: Etedemos do exposto que se um dado cojuto possuir um subcojuto LD, etão será também LD (Fig 7b) 8

7 b) Não possui três vetores coplaares 3 v E Cosideremos os represetates dos quatro vetores com origem um poto P Temos que u = PA, v = PB, = PT e t = PQ Coduzido pela extremidade Q do vetor t uma paralela ao vetor, obtemos o poto R o plao PAB Coduzido por R paralelas aos vetores v e u obtemos D e C tais que PD = u e PC = v Coduzido por Q plao paralelo a PAB, temos o poto E tal que PE = 3 Temos, por costrução, que t = PR + RQ, sedo PR = u + v e RQ = 3 Assim, t = u + v + 3 Etão, t u T v 3 = 0 O fato da combiação liear dos quatro é LD vetores ser 0 e ter coeficietes ão todos iguais a zeros, segue que { u, v,,} t t C R P Fig 8 D u A u 4) Mostre que se o cojuto { u, v} é LI, etão o cojuto { u,( u v)} é LI Solução: A codição para que { u, ( u v)} seja LI é que ocorra u ( uv) 0 somete se 0 Vejamos: u ( uv) 0 u uv0 ( ) uv 0 Sedo por hipótese que { u, v} é LI, etão 0 0 Portato, o cojuto { u,( u v)} é LI Q v B 9

8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Prove que: ) O cojuto {, u u} é LD ) Se { u, v} é LI, etão o cojuto { u, v,( u v)} é LD 3) Se { u, v, } é LI, etão o cojuto {( uv), ( u v), ( u)} é LI 4) Se A é um cojuto de vetores e 0 A, etão A é LD 5) O cojuto { 0 } é LD 6) Se A é um cojuto de vetores e B um subcojuto LD de A, etão A é LD 7) Se { u, v, } é LI, etão para cada vetor g de V3 existe uma úica tera de úmeros reais, e 3 tal que g u v3 8) O cojuto { ( u v), ( u v) } é LI somete se { uv, } é LI 9) Se S é um cojuto de vetores LI, etão todo subcojuto ão vazio de A é LI 30