Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do 2 ō Teste - LEIC

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1 Cálculo Diferecial e Itegral I Resolução do ō Teste - LEIC Departameto de Matemática Secção de Àlgebra e Aálise I.. Determie o valor dos seguites itegrais (i) e x se x dx x + (ii) x (x + ) dx (i) Visto que a fução itegrada é o produto de uma expoecial por um seo (ou um coseo), utilizase a itegração por partes. Toma-se, por exemplo, u e x e v se x. Primitivado u e derivado v vem u e x e v cos x. Pela fórmula de primitivação por partes ( b a u v dx [uv] b a b a uv dx) vem e x se x dx [e x se x] e x cos x dx e se e se e x cos x dx e se e x cos x dx Como, ao aplicar a fórmula, se obteve um itegral semelhate mas com o seo substituído por um coseo, aplica-se de ovo a mesma fórmula, matedo as escolhas feitas, isto é tomado u e x e v cos x. Vem u e x e v se x e ex se x dx e se ([e x cos x] ) ex se x dx e se ( e cos e cos ) ex se x dx e se e cos + ex se x dx Fazedo I ex se x dx a igualdade etre o primeiro membro e o último resulta a seguite equação em I: e se e cos + I e se e cos + I I e se e cos + I Etão o valor do itegral que se pretede calcular é e x se x dx e se e cos + (ii) Neste caso a fução itegrada é uma fracção racioal pelo que se aplica o método cohecido para este tipo de itegrais. Dado que a fracção é própria (grau do umerador ão superior ao grau do deomiador) ão é ecessário fazer a divisão iteira etre os dois poliómios, O deomiador já está factorizado, recohecedo-se imediatamete que tem uma raiz real dupla x e uma raiz real simples x. Etão a decomposição em fracções simples vai ter a forma: x + x (x + ) A x + B x + C x + () Reduzido ao mesmo deomiador, obtém-se a idetidade poliomial x + Ax(x + ) + B(x + ) + cx () Como se sabe que existem A, B e C que toram a idetidade verdadeira para todo o x R, tem-se que, para esses valores de A, B e C a idetidade é verdadeira para x e x (as raízes do deomiador). Substituido x por esses valores obtém-se, para x, e, para x, + A. + B. + C. B () ( ) + A. + B. + C( ) C (4) Como só existem duas raízes do deomiador, o valor de A pode ser obtido cosiderado os coeficiete dos moómios em x ou em x. Usado, por exemplo, os termos em x vem A + C A C (5)

2 Usado esta decomposição para calcular o itegral vem x + x (x + ) dx x dx + Todas as primitivas que falta calcular são da forma u α+ se α u u α dx α + l u se α x dx + dx (6) x + Para a primeira fracção tem-se u x, α, tedo-se para a seguda u x, α e, para a terceira, u x + e α. Etão: x [ ] + x [ x (x + ) dx [l x ] + + [l x + ] x + l (x + ) ] x, (8) usado a Regra de Barrow e as propriedades da fução logaritmo. Como, o itervalo de itegração os argumetos de todos os logaritmos que figuram a expressão aterior são positivos, podem retirar-se os módulos e, calculado os valores uméricos das expressões vem: x + x (x + ) dx ( + l 9 I. Determie a área da região plaa A defiida por ) ( + l 4) + l 9 8 A { (x, y) R : y l x x } Para escrever a expressão itegral que dá a área em questão é útil começar por esboçar a região do plao correspodete. Para tal traçam-se as rectas de equações y e x bem como a curva correspodete ao gráfico da fução logaritmo, obtedo-se (7) (9) sedo a região A a região sombreada. Dado que x varia etre e (pois l x x e ) e que esse itervalo a curva que deita superiormete a região é o gráfico da fução l x e a fução que deita iferiormete A é o eixo das abcissas (y ), a área de A é dada por S(A) l x dx () Para primitivar a fução l x utiliza-se (como é usual para este tipo de fuções) a primitivação por partes. Como a fução itegrada cosiste de uma só fução, toma-se u e v l x utilizado-se a fórmula de itegração por partes b b u v [uv] b a uv () obtém-se, dado que u x e v x, a a l x dx [x l x] x x dx ( l l ) dx l [x] l ( ) l 7

3 Etão a área da região A vale S(A) l 7 e. I. Cosidere a fução f : R R defiida por f(x) se t + 4 cos t dt (i) Determie o valor de f(π) usado a mudaça de variável u cos t. (ii) Calcule, caso exista, o ite [ ] x x f(x) + x + se(π x) (iii) Determie o poliómio de Taylor de grau associado a f em potêcias de x π (i) Utilizado a mudaça de variável idicada tem-se, calculado a derivada du dt Para os extremos vem Aplicado a mudaça de variável vem, etão u cos t du se t dt () t u cos t x u cos x () f(x) se t + 4 cos t dt cos x du + 4u (4) Por ispecção da fução itegrada costata-se que esta é a derivada da fução arctg(u) a meos de uma costate. Vem f(x) cos x Fialmete, fazedo x π vem f(π) + 4u du [arctg(u)]cos x arctg arctg( cos x) arctg arctg( cos π) arctg arctg( ) (5) arctg (6) (ii) Dado que f() pois é o valor de um itegral com os extremos de itegração coicidetes, por cálculo directo do ite pretedido coclui-se que se trata da soma de uma idetermiação do tipo com uma idetermiação do tipo. Comecemos, etão por estudar a existêcia de ite de cada uma das parcelas idividualmete. Quato à primeira, começa-se por trasformar a idetermiação usado a idetidade a b e b l a válida para quaisquer a, b R +. Tem-se, etão, x x e x l x (7) Calculado directamete o ite do expoete quado x + obtém-se uma idetermiação do tipo. Para se poder aplicar a Regra de Cauchy ao cálculo do ite do expoeet é ecessário trasformar essa idetermiação uma do tipo ou do tipo. Como é mais simples a expressão que se obtém passado para o deomiador a raíz, procede-se desse modo obtedo-se para o ite do expoete: x l x x + x + Fialmete, para se poder aplicar a Regra de Cauchy é ecessário que as fuções que figuram o umerador e o deomiador da fracção assim obtida sejam difereciáveis um itervalo da forma ], ɛ[ (ɛ > ) ão se aulado a derivada do deomiador esse itervalo (o que é, evidetemete, verdade l x x (8)

4 este caso já que se trata de uma fução logaritmo e de uma potêcia) e que exista o ite do quociete das derivadas, isto é o ite (l x) ( ) x + x x x + x x x + x x + x (9) Como o ite existe, pode usar-se a Regra de Cauchy e, assim, (l x) x l x ( ) x x e () x + x + x + x visto que a expoecial é uma fução cotíua. No que diz respeito ao segudo termo, como já se viu é uma idetermiação do tipo em que o deomiador é difereciável (por ser a composta da fução seo com uma fução poliomial), ão se aulado a sua derivada um itervalo da forma ], ɛ[ (ɛ > ). Como o umerador é o itegral idefiido de uma fução cotíua (por ser uma fracção racioal em seos e coseos cujo deomiador ão se aula) é difereciável pelo Teorema Fudametal do Cálculo e f (x) se x + 4 cos x. () Assim sedo, para ser possível aplicar a Regra de Cauchy basta que exista o ite do quociete das derivadas: x + f (x) [se(π x)] x + Como o ite existe, pela Regra de Cauchy, e o ite em causa vale x + se x +4 cos x (π x) cos(π x) se ( + 4 cos ) cos(π) () f(x) se(π x) x + f (x) [se(π x)] () [ ] x x f(x) + +, (4) x + se(π x) visto que o ite da soma é a soma dos ites quado ambos existem e são fiitos. (iii) O poliómio de Taylor de grau associado a uma fução f, duas vezes difereciável, em potêcias de x π é dado por P (x π) f(π) + f (π)(x π) + f (π) (x π) (5)! Como já se verificou a alíea aterior, f é difereciável e a sua derivada é uma fracção racioal em seos e coseos logo é, por sua vez, difereciável. Logo f é duas vezes difereciável, sedo f (x) e, pela regra da derivação do quociete, se x + 4 cos x f se (π) + 4 cos (6) f (x) (se x) ( + 4 cos x) se x( + 4 cos x) ( + 4 cos x) cos x( + 4 cos x) se x( 8 cos x se x) ( + 4 cos x) (7) Simplificado e substituido tem-se f (x) cos x ( + 4 cos x + 8 se x ) ) ( + 4 cos x) cos x ( se x ) ) ( + 4 cos x) f (π) ( )(5 + 4.) ( + 4.( ) ) 5 (8)

5 Substituido em (??) (da alíea (i), f(π) arctg ) obtém-se o poliómio que se pretedia, II. Aalise a atureza das seguites séries uméricas P (x π) arctg (x π) (9) (i) 5 (ii) ( + )( + ) (iii) arctg 5 + (i) Para se estudar a atureza da série comece-se por otar que os termos da série são todos positivos. Isto sigifica que em caso de covergêcia esta é absoluta e que se podem aplicar os critérios cohecidos para séries de termos positivos. Como o termo geral figuram expoeciais é de esperar que o critério de D Alembert se possa aplicar. Cosidere-se etão a 5 a+ e calcule-se o ite de a : a + a 5 + (+) ( + ) 5 ( ) 5 ( ) Pode, portato, aplicar-se o Critério de D Alembert que permite afirma que a série dada é divergete já que o ite a+ a é superior a. (ii) Trata-se, ovamete, de uma série de termos positivos logo, também este caso, a covergêcia da série só pode ser absoluta. Como do termo geral só figuram potêcias, pode-se aplicar o Critério de Comparacão (a forma do ite) comparaado com uma série de Dirichlet, da forma. Para α escolher a série de comparação ote-se que, para muito grade o comportameto do termo geral deve ser semelhate ao comportameto de etre os dois termos gerais vem ( + )( + ). + ( + ). Calculado o ite correspodete à comparação ( ) R Como o ite é um úmero real positivo, as séries têm a mesma atureza, pelo Critério de Comparação. Como a série é uma série de Dirichlet com α > é uma série covergete logo a série dada / também é covergete e, portato, absolutamete covergete. (iii) Também este caso o termo geral é sempre positivo e todas as sucessões que figuram o termo geral são domiadas por uma potêcia, já que o arcotagete é uma fução itada. Isso idica que, ovamete, se poder comparar a série com uma série de Dirichlet. Mais aida, como a sucessão de termo geral arctg é uma sucessão covergete, pode usar-se o Critério de Comparação a forma de ite e compar a série dada com a série de Dirichlet. Tem-se 5 arctg arctg π arctg π R+ () 5 Como o ite é um úmero real positivo, as séries têm a mesma atureza e, como é uma série 5 de Dirichlet com α > e, portato, covergete, a série dada é covergete e, assim, absolutamete covergete. II. Cosidere a seguite série de potêcias (x ) + (i) Determie o maior itervalo aberto ode a série é absolutamete covergete (ii) Defia, os potos ode esta existir, a fução soma da série ()

6 (i) Como se trata de uma série de potêcias a forma usual a (x α) (com a e α ) basta + calcular o raio de covergêcia, r, e sabe-se que ela será absolutamete covergete para x ]α r, α + r[ e divergete para x R \ [α r, α + r]. Sabe-se, aida, que, caso o ite exista, o raio pode ser dado por a () a + + Como este ite existe, r e o maior itervalo aberto ode a série é absolutamete covergete é, portato, ], + [], 5 [. (ii) Como se quer determiar a soma da série, covém reescrever o seu termo geral a forma do termo geral de uma série para a qual se coheça forma de calcular a soma, este caso uma série geométrica. Vem + (x ) ( ) (x ) () Dado que a soma da série geométrica é cohecida, p a.r arp r, tem-se que a soma da série dada é para todo o x ], 5 [ S(x) + (x ) (x ) x + 5 x, (4) III. Sejam α R, N, f : R R uma fução cotíua tal que f(α) e φ : R R a fução defiida por (i) Mostre que α φ(x) (t x) f(x t) dt (t α) + f (α t) dt ( + )φ(α) (ii) Sabedo que, se g é uma fução cotíua em [a, b] existe c [a, b] tal que determie, caso exista, o valor do ite (b a)g(c) b a φ(x) x x g(x) dx, (i) Dado que todas as fuções itegradas são, este caso, difereciáveis, pode aplicar-se a fórmula de itegração por partes para calcular o itegral que dá φ(α). Dado que se pretede relacioar este com um itegral ode figura a derivada de f escolhe-se u (t α) e v f(α t) o que resulta (dado que pois pertece a N) em u (t α)+ + e v f (α t) e, assim, [ ] φ(α) (t α) + α + f(α t) + α (t α) + + f (α t) dt ()+ ( α)+ + f() + f(α) + α (t α) + + f (α t) dt (5) + α (t α) + f (α t) dt, pois f(α) e + é uma costate, o que diz respeito à variável de itegração. Logo, ( + )φ(α) α (t α) + f (α t) dt, como se queria provar.

7 (ii) Utilizado o resultado apresetado o euciado (Teorema da Média) tem-se que φ(x) para algum c c(x) etre e x. Etão (t x) f(x t) dt (x )(c x) f(x c) x(c x) f(x c) (6) Como c(x) está sempre etre e x, x c(x) e φ(x) x x (c x x) f(x c). (7) x φ(x) x ( ) f( ). (8)