Instituto Universitário de Lisboa

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1 Istituto Uiversitário de Lisboa Departameto de Matemática Exercícios de Sucessões e Séries

2 Exercícios: sucessões. Estude quato à mootoia cada uma das seguites sucessões. (a) (g) + (b) (c) + (h) + (i) ( ) ( ) (d) ( ) (e) + (j) ( ) ( ) + (f) ( ) (k) + +. Idique, justicado, as sucessões limitadas do exercício. 3. Averigue a existêcia do limite das seguites sucessões. Calcule o seu valor os casos em que existe. (a) (b) + + (c) ( ) (d) + (e) ( ) + (f) (g) ( + ) (h) (i) si( π ) (j) cos(π) + ( ) +! (k) ( )!( + ) (l) ( + ) (m) () + 3 7/ + (o) (p) ( + ) (Sugestão: ote que (+) = + ) (q) a =, a + = a +, (Sugestão:(a ) é moótoa e limitada? ) (r) a =, a + = + a, 4. Seja a = = k= k. Por idução verique que a = seguido os seguites passos: ( + ) ( + ) (a) Comece por cormar que a =. ( + ) (b) Agora, supodo que a =, derive a + = igualdade a + = a + ( + ). ( + )( + ), usado a

3 5. Seja a = + r + r + r = k=0 rk. Por idução verique que a = r r seguido os seguites passos: (a) Comece por cormar que a = r r. (b) Agora supodo que a = r r derive a + = r+, usado a igualdade r a + = a + r Se a > 0 para todo o e lim a + a = L verique que: (a) quado L > etão lim a =. (b) quado L < etão lim a = Usado, se ecessário, sucessões equadradas, mostre que se tem: (a) a! 0 (b)! + (c) α 0, para qualquer α e a > 0; a (d) (e) + ( + ) + + () 0 Exercícios: séries geométricas e de Megoli 8. Paradoxo de Zeão (a) Uma determiada pessoa para ir do poto A ao poto B teria de passar pelo poto médio A etre estes dois potos. Estado em A teria de passar pelo poto médio etre A e B, o poto A. E assim sucessivamete. Argumetava Zeão que uca se chegaria a B. Utilizado a série geométrica mostre que Zeão estava errado. (b) Se o passo utilizado o argumeto de Zeão for de /3 em vez de / acha que a coclusão da alíea aterior se matém correcta? Comece por deir u como a distâcia percorrida após passos e verique que u = u + 3 ( u ) = u. Derive etão por substituição sucessiva, (ou por idução), que u = k= k 3 k. Coclua. 3

4 (c) E se o passo utilizado fosse 0 < r <? 9. Paradoxo de São Petersburgo Cosidere o seguite jogo. Temos dois iterveietes a "casa" e o "jogador", o jogador iveste K u.m. e a casa, paga um prémio g k de acordo com a seguite regra: uma moeda é atirada ao ar sequecialmete até que saia "cara", quado a primeira cara sai o k-ésimo laçameto o prémio recebido pelo jogador é de g k = k. (a) Qual a probabilidade p k de receber o prémio o mometo k, i.e. qual a probabilidade da primeira "cara"sair o k-ésimo laçameto? (b) Calcule o valor do jogo (i.e. o seu valor esperado, ou média) E = k= p kg k. (c) Que coclusão pode retirar da perguta (b)? 0. Sabedo que a taxa de juro de capitalização do diheiro será de 5%/ao, de etre as seguites opções qual escolheria? (a) Receber e imediatamete. (b) Receber 5000 eo prícipio de todos os aos para todo o sempre, i.e. receber a quatia idicada o iício do ao t, para todo o t. (c) Receber 0, 00 (, 06) t e o iício do ao t, para todo o t.. Uma bola é deixada cair de uma altura h, cada vez que bate o chão ela volta a saltar até /3 da altura de ode caiu o mometo aterior. Qual a distâcia total (para cima e para baixo) percorrida pela bola?. Calcule, em caso de covergêcia, o valor das seguites séries: (a) 3 ( 5 ) (b) (c) (d) (+ 3 5 ) (e) ( 3 + ( 3) ) 3. Cosidere as seguites séries geométricas em fução do parâmetro real x. Determie para cada uma a razão r = r(x), o itervalo de covergêcia e a soma da série. (a) x 3 + (b) (x) 0 4 (c) (x ) (d) x (e) 0 (x) 7x (f) x + (g) ( x x )

5 4. (a) Partido das seguites igualdades, para 0 < x < : i. k=0 xk+ = ( x ) k=0 xk+ ii. = (x k+ ) k=0 x x corme que k=0 (k + )xk = ( x). (b) Calcule + p= k=p xk. (c) O que pode cocluir das igualdades obtidas ateriormete? 5. (a) Mostre que se tem 0, = 0, (9) =. (b) Calcule o racioal correspodete à dízima 3, 666. (c) Calcule o racioal correspodete à dízima, Cosidere o modelo autoregressivo em que os valores da variável y o mometo t são determiados pelo valor de y o mometo t e pelo valor de uma outra variável x o mometo t, assim temos y t = x t + αy t. (a) Determie que y t = k=0 αk x t k. (b) Qual o efeito da variável x o mometo j, x j, o valor de y o mometo t, y t, i.e. y t x j? (c) Determie o efeito cumulativo de logo prazo y t k=0? O que mede efeito x j cumulativo de logo prazo? (d) Ecotre um exemplo ecoómico que possa ser modelado desta forma. 7. Determie para que valores de a R as seguites séries covergem e determie o seu valor. (a) 0 ( a a+ ) (b) 0 ( a ) (c) 0 a (d) 0 ( a / ) 5

6 8. Cosidere a série de termo geral a a + (a) Mostre que S = a a + (b) Coclua que a a + = a lim a Cosidere a série de termo geral (a) Mostre que (+) = + (b) Mostre que k= k(k+) = + (c) Coclua que (+) =. ( + ) 0. Geeralize o exercício aterior e, para um dado iteiro k, calcule o valor da série ( + k) 3 Séries de termos ão egativos. Série de Dirichelet (a) Usado a desigualdade = α = + ( α + ) ( + 3 α 4 α + 5 α + 6 α + ) ( + 7 α 8 α ( α + ) ( + α 4 α + 4 α + 4 α + ) ( + 4 α 8 α +... ( ) = + (α ) = Verique que a série = α coverge para α >. 6

7 (b) Usado o mesmo géero de técica mas com a desigualdade + α + ( 3 α + 4 α ) + ( 5 α + 6 α + 7 α + 8 α ) α + ( 4 α + 4 α ) + ( 8 α + 8 α + 8 α + 8 α ) +... verique que a série = α diverge para α.. Estude a atureza das seguites séries de termos ão egativos: (a) (e) + + (b) (f) si + (c) + (d) (Obs: si(a) a se a 0.) + (g) + + (h) (3 )( + ) 3. Usado o critério da razão, determie a atureza das seguites séries uméricas: (a) (d)!! (b) 0 (e) 3!! (c) (!) ()! 4. Usado o critério da raíz, determie a atureza das seguites séries uméricas: (a) (b) 3 (c) ( ) (d) (e) (log ) 4 Covergêcia absoluta 5. Verque se as seguites séries covergem e, em caso armativo, classique a covergêcia equato simples ou absoluta: 7

8 (a) ( ) + log (b) ( ) (c) si + (d) ( ) (e) ( ) log (f) ( ) + (g) si 3 + (h) si( π ) (i) ( ) (j) ( ) + log (k) ( ) + (l) ( ) log (m) ( ) ( + ) 6. Mostre que se a é uma série covergete de termos estritamete positivos e se (b ) é uma sucessão limitada, etão a b é absolutamete covergete. 7. Mostre que ( ) α é covergete, para qualquer α > 0. 5 Séries de potêcias 8. Estude as seguites séries quato à covergêcia: (a) x (b)! x (c) x (d) 3 x + 9. Usado o desevolvimeto em série de Taylor coclua que e x = + =0 x! = + x + x + x3 3! + + x! +, x R, e que log( + x) = + = ( ) + x, x ], ]. 30. Usado o desevolvimeto em sérei de Taylor do logaritmo, determie o valor da série harmóica alterada + ( ). = 8

9 3. Determie as séries de Taylor do seo e do co-seo e os respectivos raios de covergêcia. 3. Sabedo que f(x) = x = x, x ], [. 0 (a) Verique a validade do desevolvimeto aterior. (b) Determie a série de Taylor de f (x) = ( x) e o respectivo raio de covergêcia. 9

10 6 Soluções. (a) Decrescete (b) Crescete (c) Crescete (d) Não moótoa (e) Decrescete (f) Não moótoa (g) Crescete (h) Decrescete (i) Não moótoa (j) Não moótoa (k) Decrescete (g) Divergete (h) (i) (j) (k) 3 (l) Divergete (m) 0 () (o) 3 4 (p) (q) (r) (a) Limitada (b) Não limitada (c) Limitada (d) Limitada (e) Limitada (f) Limitada (g) Não limitada (h) Limitada (i) Não limitada (j) Limitada (k) Limitada 3. (a) 0 (b) (c) Divergete (d) 0 (e) 0 (f) (a) (b) (c) Para qualquer r o total camihado é. 9. (a) p k = k. (b) E =. (c) Para etrar este jogo o "jogador"estaria disposto a ivestir toda a sua riqueza M, dado que E > M. 0. (c). 5 0

11 . (a) 00 (b) + (c) 7 (d) (e) (a) r(x) = x 3 ; ] 3, 3[; x 9 3x (a) 6. (b) r(x) = x ; ], [; 3 x. (c) r(x) = x x ; ], 3[; 3 x. (d) r(x) = x ; ], [; x x 3. (e) r (x) = x 3, r (x) = x 4 ; ] 3, 3 [; 3 x 8x 4 x. (f) r(x) = x ; ], [ ], + [; 4 x (x ). (g) r(x) = (b) 3 (c) 3 7. (a) a > x x ; ], [; (b) < a < a 0 (c) a = 0 (d) a < 3 a > 3. (a) Divergete x x. (b) Covergete (c) Covergete (d) Covergete (e) Divergete (f) Divergete (g) Divergete (h) Covergete 3. (a) Covergete (b) Covergete (c) Covergete (d) Covergete (e) Divergete 4. (a) Covergete (b) Covergete (c) Covergete (d) Covergete (e) Covergete 5. (a) Coverge simplesmete (b) Coverge absolutamete (c) Coverge absolutamete (d) Coverge simplesmete (e) Coverge simplesmete (f) Coverge simplesmete (g) Coverge absolutamete (h) Diverge (i) Coverge simplesmete (j) Coverge simplesmete (k) Diverge (l) Coverge simplesmete

12 (m) Diverge (a) Absolutamete covergete em 9. x [, ], divergete caso cotrário. (b) Absolutamete covergete em x = 0, divergete caso cotrário. (c) Absolutamete covergete em x ], [, divergete caso cotrário. (d) Absolutamete covergete em 30. log x ] /3, /3[, divergete caso cotrário. 3. si x = ( ) =0 (+)! x+, r = 3. (a) cos x = ( ) =0 ()! x, r =. (b) 0 x, r =.