Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo

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1 Seqüêcias e Séries Notas de Aula 4º Bimestre/200 º ao - Matemática Cálculo Diferecial e Itegral I Profª Drª Gilcilee Sachez de Paulo

2 Seqüêcias e Séries Para x R, podemos em geral, obter sex, e x, lx, arctgx e valores de outras fuções trascedetes utilizado uma calculadora ou uma tabela. Um problema fudametal cosiste em determiar como as calculadoras calculam esses úmeros, ou como se costrói uma tabela. As séries uméricas ifiitas (somas ifiitas) podem ser usadas para obter valores fucioais de uma certa fução f(x), ou seja, valores aproximados para f(c), c R. Portato, temos que iterpretar essas somas ifiitas e saber o seu sigificado preciso. Lidar com o ifiito sempre foi um problema difícil; e os matemáticos sabem disso há mais de dois milêios. E para que ós tehamos uma idéia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastate esclarecedor. Cosidere a soma ifiita, S = Se escrevermos S = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +, teremos S = 0. Mas podemos também escrever S = ( ) ( ) ( ) ( ) e agora cocluímos que S =. Aida há uma terceira possibilidade, tão legítima como as ateriores: S = ( ) = S 2S = S = /2. Afial, S = 0, S = ou S = /2? Por que três respostas diferetes? Claro que ão podemos aceitar ehuma delas em detrimeto das outras. Este exemplo apota para a ecessidade de se coceituar o que sigifica soma ifiita. Como veremos, essa coceituação excluirá a possibilidade de somas ifiitas do tipo que acabamos de cosiderar. E para chegar a essa coceituação devemos primeiro estudar as chamadas seqüêcias uméricas. Seqüêcias uméricas Defiição. Uma seqüêcia de úmeros reais é uma fução a : N R que associa a cada úmero atural a um úmero real a(), idicado por a, o qual é chamado ésimo termo da seqüêcia. Figura : Represetação gráfica de uma seqüêcia umérica. Um exemplo cocreto de seqüêcia umérica é dado pela seqüêcia dos úmeros pares positivos (2, 4, 6, 8, 0,, 2, ), cujo termo geral da seqüêcia é desigado por a = 2, =, 2, 3,. A seqüêcia dos úmeros ímpares positivos também tem uma fórmula simples para o termo geral, a qual é dada por a = 2 +, com = 0,, 2, 3, ; ou a = 2 para =, 2, 3,. Mas em sempre o termo geral de uma seqüêcia é dado por uma fórmula, embora, evidetemete, sempre haja uma lei de formação bem defiida que permite determiar o termo geral da seqüêcia. É esse o caso das aproximações decimais por falta de 2, que formam a seqüêcia ifiita a =, 4; a 2 =, 4; a 3 =, 44; a 4 =, 442; a 5 =, 442; a 6 =, 4423;

3 Outro exemplo é a seqüêcia dos úmeros primos, 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, Como se sabe, ão existe fórmula para o termo geral da seqüêcia dos úmeros primos, mas todos eles estão determiados e podem ser ecotrados, por exemplo, pelo chamado crivo de Eratóstees. A otação (a ) é muito usada para deotar uma seqüêcia. Também se escreve (a, a 2, a 3, ), ou (a ) N,ou simplesmete a. Podemos também usar quaisquer outras letras, como (b ), (c ), (x ), (y ), (z ), etc. Algus autores costumas escrever {a } em vez de (a ), mas preferimos reservar essa otação etre chaves para o cojuto de valores da seqüêcia. Essa distição é importate, pois uma seqüêcia possui ifiitos elemetos, mesmo que seu cojuto de valores seja fiito. Por exemplo, a seqüêcia (+,, +,, +,, +,, ), é ifiita, com elemeto geérico a = ( ) ( ) ; mas o seu cojuto de valores possui apeas dois elemetos, + e -, de forma que, segudo covecioamos, {a } = {, +}. s () Seqüêcia de termo geral a = 2. (2, 4, 8, 6, 32, ) (2) Seqüêcia de termo geral a = ( +. 2, 2 3, 3 4, 4 ) 5, () (2) Figura 2: Represetação gráfica das seqüêcias uméricas () e (2). Observamos que quado cresce ifiitamete, os termos a da seqüêcia () também crescem ifiitamete. Ao passo que os termos a da seqüêcia (2) acumulam-se próximos ao úmero. (3) Seja a = t k, t 0 e t. Calcule o termo geral da seqüêcia (a ). k=0 Solução: a = +t+t 2 + +t. Multiplicado pelo fator t obtemos, ta = t+t 2 +t 3 +t +. Assim, a ta = t + ( t)a = t + a = t+. t Note que a é a soma dos ( + ) primeiros termos da P.G., t, t 2,, t,. Para algumas seqüêcias damos o primeiro termo a e uma regra que permite determiar qualquer termo a k+ a partir do termo precedete, para k. Isto é o que costitui uma defiição por recorrêcia e a seqüêcia é dita defiida por recorrêcia. 2

4 (4) Ache os quatro primeiros termos e o ésimo termo da seqüêcia defiida por a = 3 e a k+ = 2a k para k. a = 3 = a 2 = 2a = 2 3 = 6 = 2 3 a 3 = 2a 2 = 2.6 = 2 = a 4 = 2a 3 = 2.2 = 24 = Isto sugere que a = 2 3. É possível provar por idução fiita que a suposição é correta. Prove!. Seqüêcias covergetes e divergetes Algumas seqüêcias apresetam uma propriedade de que quado cresce arbitrariamete, a se aproxima de um úmero real L, ou seja, a difereça a L é tão pequea quato se deseja, desde que seja suficietemete grade. Defiição 2. Seja (a ) uma seqüêcia umérica e L um úmero real. Dizemos que (i) (ii) (iii) lim a = L ε > 0; N N : > N = a L < ε. + lim a = + M > 0; N N : > N = a > M. + lim a = M > 0; N N : > N = a < M. + Figura 3: Represetação gráfica de uma seqüêcia a que se aproxima de um úmero real L. Na figura 3, exibimos uma seqüêcia (a ) tal que lim a = L. + Defiição 3. Se existe um úmero real (fiito) L tal que lim a = L a seqüêcia (a ) é dita + covergete. Caso cotrário, a seqüêcia é dita divergete. 3

5 (5) Utilize a defiição para provar que a seqüêcia é a =, tem limite L =. Solução: ( 0, 2, 2 3, 3 4,, ),, cujo termo geral Exercício: () Prove utilizado a defiição de limite que a seqüêcia (a ) = para o úmero. Solução: ( ) coverge + 2 Algus Teoremas para covergêcia de seqüêcias Teorema. a) lim + r = 0, se r < b) lim + r ão existe se r > Teorema 2 (Teorema do Cofroto). Sejam (a ), (b ) e (c ) seqüêcias tais que lim c. Se existe N tal que a c b, para todo >, etão + lim b = L. + lim a = L = + Observação: Se suprimirmos de uma seqüêcia a um úmero fiito de seus termos, isso ão altera em ada o caráter da seqüêcia com o ifiito. Assim, se a seqüêcia origial coverge para L, ou diverge, a ova seqüêcia covergirá para L ou divergirá, respectivamete. Teorema 3. Seja (a ) uma seqüêcia. Se lim a = 0, etão lim a =

6 Exercício: (2) Utilizado a Defiição 3, os Teoremas, 2 e 3, verifique se são covergetes ou divergetes as seguites seqüêcias: ( ) ( a) b) a 2 2 = t k, 0 < t <, c) a = 2 ) k=0 d) a = ( )+ ( ) 5 e) (, 0) f) e 2 g) ( ) cos 2 3 h) ( se(π/2)) i) ( ) l j) (0 ) k) a = ( ) l) ( ).2 Seqüêcias Moótoas Defiição 4. Dizemos que uma seqüêcia (a ) é moótoa ão-decrescete (ou crescete) se, para todos os aturais m, tais que m < implicar a m a (ou a m < a ). Se m < implicar a m a (ou a m > a ) dizemos que a seqüêcia (a ) é moótoa ão-crescete (ou decrescete). Defiição 5. Uma seqüêcia (a ) é limitada se existe um úmero real positivo K tal que a K, N. Teorema 4. Se (a ) é uma seqüêcia covergete etão (a ) é limitada. Perguta: Toda seqüêcia limitada é covergete? Solução: Não. Cosidere a seqüêcia a = ( ). Evidetemete, a seqüêcia é limitada, a, N. Etretato, os valores desta seqüêcia alteram de para idefiidamete, e portato ela ão é covergete. Teorema 5. Se (a ) é uma seqüêcia moótoa e limitada etão (a ) é covergete. Teorema 6. a) Se (a ) é uma seqüêcia moótoa cresecete (ou ão-decrescete) e ilimitada superiormete etão lim a = +. + b) Se (a ) é uma seqüêcia moótoa decresecete (ou ão-crescete) e ilimitada iferiormete etão lim a =. + ( ) 5 (6) A seqüêcia é covergete. 3! Solução: 5

7 Exercício: (3) Verifique se são covergetes ou divergetes as seguites seqüêcias: a) a = 2 b) a = ( )

8 Lista : Seqüêcias A) Exercícios do Guidorizzi Vol. 4 Págias 6-0: Exercícios. () (2) a-b-c-d-l-m--o-q-s (3) (4) a-b (5) (9) (2) B) 8 a Respostas dos exercícios de úmero ímpar do bloco B)

9 2 Séries uméricas Defiição 6. Seja (a ) uma seqüêcia ifiita. A soma ifiita a = a +a 2 +a 3 + +a + é chamada série umérica ifiita de termo geral a. Se somarmos apeas os primeiros termos desta série, teremos o que chamamos de soma parcial S = a k = a + a 2 + a a. k= s (7) A seqüêcia dos úmeros pares forece a série = 2 de termo geral a = 2. (8) A seqüêcia umérica (, 2, 6, 24, 20, 720, ) forece a série =! de termo geral a =!. (9) A seqüêcia umérica (, 2, 3,, ), forece a série =, de termo geral a =, cohecida como série harmôica. ( 2, 6, 2, 20, 30,, (0) A seqüêcia umérica ( + ), de termo geral a = ) ( + ), forece a série =, cohecida como série telescópica. ( + ) Defiição 7. Dizemos que um úmero real S é a soma da série coverge para S quado a, ou que a série a lim S = S ( o limite da seqüêcia das somas parciais (S, S 2, S 3, ) + é S). Neste caso, escrevemos S = a. Quado lim S ão existe, dizemos que a série a + diverge. s () A série ( ) + = + + diverge. Trata-se da série que os motivou a coceituar soma ifiita. Solução: Seqüêcia das somas parciais: S = a =, S 2 = a + a 2 =, S 3 = a + a 2 + a 3 =, S 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 =,. S = a + a a =. 7

10 Limite da seqüêcia (S ): lim S = (2) A série = diverge. Solução: Seqüêcia das somas parciais: Limite da seqüêcia (S ): lim S = (3) A série 2 = coverge. Solução: Seqüêcia das somas parciais: Limite da seqüêcia (S ): lim S = () (2) (3) Figura 4: Represetação da seqüêcia (S ) dos exemplos (), (2) e (3). Exercício (4) Determie a série ifiita que tem a seguite seqüêcia de somas parciais. Além disso, verifique se a série é covergete ou divergete. a) ( S = 4 + ) b) ( S = ) c) ) (S = 2 + d) (S = 2 ) 8

11 2. Séries Geométricas Uma série geométrica é da forma a + ar + ar 2 + ar ar + = ar, com a 0. A ésima soma parcial da série geométrica é S = a( r ), r. r De fato, Se r < = lim r = 0, e assim, lim S = a r. Se r > = lim r ão exite, e assim, lim S ão existe. Se r =, etão S = a e portato, lim S = lim a ão existe. Se r =, etão S oscila e portato, lim S ão existe. Coclusão A série geométrica coverge se r < e a sua soma é S = A série geométrica diverge se r. a r. Exercícios (5) Determie se a série é covergete ou divergete, se covergete ecotre a soma. a) b) c) d) e) 0, 3 + 0, , , (6) Expresse a dízima periódica 2, como razão de dois iteiros. 2.2 Série Harmôica A série é cohecida como série harmôica. O Teorema euciado a seguir será utilizado para provar a divergêcia da série harmôica. Teorema 7. Se a série a é covergete etão, dado ε > 0, N N tal que S m S < ε para todo m, > N. 9

12 A série harmôica é divergete. De fato, 2.3 Série Telescópica A série ( + ) é cohecida como série telescópica. A série telescópica é covergete. De fato, 2.4 Propriedades das séries (P) Se a coverge, etão ca também coverge, c R. E vale, ca = c a. (P2) Se a e b covergem, etão (a ± b ) também coverge. E vale, (a ± b ) = a ± b. (P3) Se a coverge e b diverge, etão (a ± b ) diverge. (P4) Se a e b divergem, etão (a ± b ) pode divergir ou covergir. No mometo oportuo, veremos exemplos para a (P4). 0

13 s (4) Justifique, utilizado ( as propriedades acima, se a série a seguir é covergete ou divergete. a) 5 b) 2 2 ) ( ) c) Para muitas séries é díficil ou praticamete impossível ecotrar uma fórmula simples para S. Em tais casos, são usados algus testes que ão os forecem a soma S da série; dizem-os apeas se a soma existe. Isto é suficiete a maioria das aplicações porque, sabedo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastato somar um úmero suficiete de termos da série. 2.5 Séries de termos positivos Teorema 8. Se a é uma série de termos positivos e se existe K > 0 tal que S K, N, etão a série a coverge. Em uma série de termos positivos, é evidete, que (S ) é moótoa ão-decresete S S 2 S 3 S, pois a a + a 2 a + a 2 + a 3 a + a a. Portato, basta verificar se a seqüêcia (S ) é limitada para cocluir se a série divergete, segudo os Teoremas 5 e 6, respectivamete. a é covergete ou (5) Verifique se a série 2 coverge. 2.6 Teste da Divergêcia Teorema 9 (Teorema da divergêcia). Se lim a 0, etão a série a diverge. De fato, CUIDADO: lim a = 0 ão garate a covergêcia da série. (Ver série harmôica). (6) Prove que as séries são divergetes: a) b) 2( ) + c) ( ) d) l. +

14 s para a (P4): e) ( ) + f) ( ) Teste da Itegral Teorema 0. Sejam a uma série de termos positivos e f uma fução cotíua, tal que f() = a, N. Etão, a coverge f(x) dx coverge. (7) Determie se a série dada é covergete ou divergete: a) b) 2 c) d) e e) l f) e 2.8 Série-p Uma série do tipo é deomiada Série-p. p A série-p coverge se p >. Caso cotrário, se p, a série-p diverge. De fato, 2.9 Teste da comparação Teorema. Sejam a e b séries de termos positivos. a) Se b coverge e a b, > N N, etão a coverge. b) Se b diverge e b a, > N N, etão a diverge. 2

15 (8) Determie se a série dada é covergete ou divergete: a) se(3) 2 + b) c) Para utilizarmos um Teste da Comparação devemos primeiro escolher uma série b adequada para etão provar que a b ou b a para todo iteiro maior do que algum iteiro positivo N. Esta prova pode ser difícil se a é uma expressão complicada. O teorema seguite é um teste de comparação mais fácil de aplicar porque escolhida b, basta calcular o limite do quociete a /b quado. Teorema 2. Se a e ambas as séries covergem, ou ambas divergem. a b são séries de termos positivos e se lim b = c > 0. Etão, ou Para obter uma série b coveiete para ser usada a forma limite do teste da comparação o caso em que a é um quociete,um bom processo cosiste em reter apeas os termos do umerador e do deomiador que têm o maior efeito sobre a magitude. Podemos também substituir qualquer fator costate c por, pois b e cb são ambas covergetes ou divergetes. a termos de maior magitude escolha de b = = 6 4/3 4/3 Tabela : Ilustração para escolha de b. (9) Determie se as séries seguites covergem ou divergem: a) b) c) d) ( 2 + ) 2.0 Séries Alteradas Uma série ifiita é deomiada série alterada quado seus termos são alteradamete positivos e egativos. Isto é, ( ) a = a a 2 + a 3 a ( ) a + ou ( ) a = a + a 2 a 3 + a 4 + ( ) a +. 3

16 Teorema 3 (Teste de Leibiz). Em uma série alterada, Se a a + e lim a = 0, etão a série é covergete. Coseqüêcia: divergete. Em uma série alterada, se a a + e lim a = c > 0, etão a série é (20) Determie se as seguites séries alteradas covergem ou divergem: a) ( ) b) ( ) c) ( ) + 2 ( + ) d) ( ) 2. Covergêcia Absoluta e Covergêcia Codicioal Defiição 8. Uma série ifiita a é dita absolutamete covergete se a série a é covergete (2) Verifique se a série ( ) é absolutamete covergete. 2 Teorema 4. Se a é absolutamete covergete etão a é covergete. (22) Verifique se a série se() 2 coverge. Defiição 9. Uma série ifiita a é dita codicioalmete covergete se a série é covergete, mas a é divergete. (23) Verifique que a série alterada ( ) Exercícios ) é codicioalmete covergete. (7) Determie se a série é absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete. a) ( ) ) b) ( ) ) c) cos(π/6)) d) ( ) 2( /)) 2 + l( + ) 2! 4

17 2.2 Teste da Razão Teorema 5 (Critério D Alembert). Seja a uma série de termos ão ulos. Seja lim a + a = L. (a) Se L < etão a série é absolutamete covergete. (b) Se L > ou L = + etão a série diverge. (c) Se L = ada se pode cocluir. (24) Use o teste da razão e determie se a série é absolutamete covergete, codicioalmete covergete, divergete ou se o teste é icoclusivo. a)! b) Teste de Raíz c) ( ) +! 2 d)! e) ( ) Teorema 6 (Critério de Cauchy). Seja a uma série de termos ão ulos. Seja lim a = L. (a) Se L < etão a série é absolutamete covergete. (b) Se L > ou L = + etão a série diverge. (c) Se L = ada se pode cocluir. (25) Ache lim a e use o teste da raíz para determiar se a série coverge, divergete ou se o teste é icoclusivo. a) ( ) [l( + )] b) 2 2 c) [l()] /2 5

18 TESTE SÉRIE CONVERGÊNCIA COMENTÁRIOS ou DIVERGÊNCIA Termo Geral a Diverge se lim a 0 Icoclusivo se lim a = 0. Série Geométrica ar Coverge para s = a se r <. Útil para testes de r Diverge se r comparação. Série-p Coverge se p > Útil para testes de p Diverge se p comparação. a, b (i) Se b coverge, etão a A série de comparação Comparação coverge. b é, em geral, série a, b > 0, a b a, (ii) Se a diverge, etão diverge. b geométrica ou série-p. a Comparação b Se lim = k > 0 Para achar b cosidere b por Limite a, b > 0 (i) as duas séries são ambas apeas os termos de a covergetes ou divergetes. que têm maior efeito sobre a magitude. Séries Alteradas ( ) a Coverge se lim a = 0 Aplicável somete (Leibiz) a > 0 e se a a +. as séries alteradas. Absolutamete Covergete Razão a a Se a coverge Útil para séries que etão a coverge. Se lim a + a = L (ou ) a Série Útil têm termos positivos e termos egativos. se a evolve (i) Coverge (absolutamete) se L <. fatoriais ou (ii) Diverge se L > (ou ). potêcias de grau. (D Alembert) (iii) Icoclusivo se L =. Raíz a Se lim a = L (ou ) a Série Útil se a evolve (i) Coverge (absolutamete) se L <. potêcias de grau. (Cauchy) (ii) Diverge se L > (ou ). (iii) Icoclusivo se L =. Itegral a a = f() (i) Coverge se f(x)dx coverge. f(x) obtida de f() (ii) Diverge se f(x)dx diverge. deve ser: positiva; cotíua e decrescete x. 6

19 Lista 2: Séries (A) Determie se cada uma das séries abaixo é covergete ou divergete: ( 4 + ) cos( 3 2 π) + 2 3! ! 0. ( 2 + 2) /3. ( ) + 2 ( + ) 2. ( ) cos( 3 π) 2 4. ( ) ( ) e! ( 2 + ) 8. l( + ) (B) Determie se a série dada é absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete.. ( ) +2! 2. 2! 3. ( ) ( ) + (l ) 2 (C) Calcule s, s 2, s 3 e s e depois calcule a soma da série, caso seja covergete.. 2 (2 + 5)(2 + 3) l

20 (D) Use o teste de divergêcia para determiar se a série diverge, ou se é ecessária uma ivestigação adicioal e (0, 3) 3. ( 2 l ) l( + ) 7. e 8. se(/) (E) Utilize séries cohecidas, covergetes ou divergetes, jutamete com as propriedades de séries (P)-(P4) para determiar se a série é covergete ou divergete. No caso de covergêcia, determie a soma.. 3. =3 [( ) + 4 ( ) ] 3 4 [ ] 8 + ( + ) (2 2 3 ) [( ) ( ) ] 2 3 (F) Use o teste da itegral para determiar se a série coverge ou diverge.. (3 + 2) e 2 3. =2 (l ) (G) Use o teste básico de comparação (Teorema ) para determiar se a série coverge ou diverge cos 2 (H) Use a forma limite do teste da comparação (Teorema 2) para determiar se a série coverge ou diverge = e ( + ) 2 8

21 (I) Determie lim a + a se o teste é icoclusivo. e use o teste da razão para determiar se a série coverge, diverge ou ( + ) ! (J) Determie lim a e use o teste da raíz para determiar se a série coverge, diverge ou se o teste é icoclusivo.. 2. (l ) / (K) Determie se as séries alteradas seguites covergem ou divergem.. ( ) ( ) 5 3. ( ) ( + e ) 4. ( ) e2 + e 2 (L) Determie se a série é absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete.. ( ) cos( π 6 ) 2 3. )π se( ( ) 2/! 9