Séries de Fourier AM3D. Generalidades sobre funções periódicas

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Alexandre Antunes Eger
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1 11 1 Séries de Fourier AM3D Geeralidades sobre fuções periódicas Defiição 1 Seja f uma fução da variável real. Diz-se que f é periódica de período T > se x D f, f(x+t = f(x. Exemplo As fuções seo e co-seo são periódicas, de período π, 4π, 6π...etc. De facto, Propriedade 1 Se f é T periódica, f é T periódica para todo N. Prova Basta observar que para todo x R, f(x = f(x+t = f(x+t +T = f(x+t +T +T = = f(x+t. Defiição Se f admitir um mais pequeo período T, dizemos que T é o período fudametal de f. Exemplos O período fudametal das fuções f(x = (x e f(x = si(x é T = π. O período fudametal de f(x = ta(x é T = π. A fução costate f(x = 1 é periódica para todo T >, pelo que ão possui período fudametal. Temos as seguites propriedades de demostração imediata: 1

2 Propriedade Sejam f e g duas fuções T periódicas. Etão: qualquer combiação liear αf +βg, ode α,β R é T-periódica. Se f é itegrável, para todo a R, a+t a f(xdx = T f(xdx. Em particular, tomado a = T a+t, f(xdx = a T T f(xdx. As fuções da forma e si ( π Comecemos por observar que a fução f(x = T x tem período fudametal T. De facto, ( ( π π f(x+t = T (x+t = T x+π ( π = T x = f(x, e é fácil ver que T é o mais pequeo período possível (efectuar[ o mesmo cálculo para T < T. No que segue, será prático cosiderar o periodo cetrado em T ; T ]. É pois usual cosiderar o meio-periodo L = T. Exemplo A fução f(x = ( π 1 x é 1-periódica. O meio-período é L = 1.

3 ( π Assim, da mesma forma, a fução f(x = T x tem periodo fudametal T. Colocado T = L, Propriedade 3 As fuções e si possuem período fudametal L. Observação : Estas fuções são também T = L periódicas Exemplos (T = π f(x = (x, = 1. Período fudametal: T = π. 3

4 f(x = (x, =. Período fudametal: T = π. f(x = (3x, = 3. Período fudametal: T = π 3. f(x = (4x, = 4. Período fudametal: T = π 4. 4

5 Observe-se que todas estas fuções são π- periódicas. Em particular qualquer combiação liear também o é. Por exemplo, eis o gráfico da fução f(x = (x 3(x+(3x+(4x : Decomposição em série de Fourier A perguta que se faz agora é a seguite: Será que qualquer fução L- periódica se pode obter por combiação liear das fuções ( ( ( π 1π π = 1,,,...,..., ( ( 1π π si, si,...,si,...? A resposta a esta perguta é egativa. No etato, à imagem das séries de Taylor, uma tal decomposição existe se formos autorizados a utilizar uma série, ou seja, a somar uma ifiidade de termos. Mais precisamete, temos o seguite resultado: Propriedade 4 Seja f uma fução cotíua e L-periódica. Etão existe A R e sucessões (a N, (b N tais que x R, f(x = A+ + + a + b si. 5

6 Este resultado é fudametal. Implica em particular que( qualquer sial periódico se π pode decompor em oscilações elemetares da forma e si. Como calcular os valores de A, a e b? O método repousa as seguites igualdades: Lema 5 Tem-se si ( mπ dx =. ( mπ dx = se m; L se = m ; L se = m =. ( mπ { se m; si si dx = L se = m. Prova O primeiro poto é imediato, já que se itegra uma fução impar um itervalo cetrado em. Se = m, ( mπ dx = dx = = L+ 1 ( π dx = { L+L = L se = ; L+ = L se. 1+ ( π dx Se m, a fórmula de trigoometria (a(b = 1 ((a+b + (a b garate que ( mπ dx =. Os cálculos do último poto são aálogos. 6

7 Podemos agora calcular todos os coeficietes. Dada uma fução f π-periódica e cotíua, começamos por escrever f(x = A+ + uma simples itegração etre e L forece + a + b si. f(xdx = LA : A = 1 f(xdx. L ( π Para obter o valor de a multiplicamos por e itegramos etre e L: ( π f(x dx = ( π + ( A dx+ a π de ode resulta, tedo em cota o lema aterior, + dx+ b ( si π dx, ( π f(x dx = a L : a = 1 ( π f(x L dx. Observação: defiido a por esta fórmula, a = 1 f(xdx = A. L Cálculos aálogos levam a b = 1 ( π f(xsi L dx.. Fialmete, obtemos a decomposição de f em série de Fourier: Propriedade 6 Dada f cotíua L-periódica, f(x = a a + b si, ode a = 1 L f(x dx e b = 1 L f(xsi dx. Observação Se f é seccioalmete cotíua: os potos x em que f é cotíua, como vimos, f(x coicide com a soma da série de Fourier de f. 7

8 Nos potos x de descotiuidade tem-se Observação a a + b si Se f é par, b = para todo. A série de Fourier de f é etão f(x = a + + a. Esta série chama-se por vezes série de co-seos. = f(x+ +f(x. Da mesma forma, se f é ímpar, a = e f decompõe-se em série de seos : f(x = + b si. Exemplo Seja f a fução -periódica par tal que f(x = 1 x o meio-período [;1]. Tem-se para todo N b =. Por outro lado, a = f(x 1 x dx = 1 f(x(πxdx = 1 (1 x (πxdx. Para =, a = [x x ]1 = 1. Para 1, itegrado por partes: f(x = 1 x, f (x = 1, g (x = (πx, g(x = 1 π si(πx, Assim, a = f(x = [ (1 x 1 ] 1 1 π si(πx + 1 π si(πxdx = π = π (1 (πx = π (1+( 1+1. [ (πx π (1+( 1+1 (πx = (k 1 ((k 1πx : π k=1 f(x = π (πx+ 4 9π (3πx+ 4 5π (5πx π ] 1 =

9 1 A preto: + 4 π (πx+ 4 9π (3πx; 1 A vermelho: + 4 π (πx+ 4 9π (3πx+ 4 5π (5πx Decomposição em série de co-seos e em série de seos Dada uma fução f defiida o itervalo [; L], podemos defiir A extesão par L periódica de f: f(x = { f(x se x L f( x se x que prologamos por L periodicidade à recta real. Da mesma forma, defie-se a extesão ímpar L periódica de f por a que jutamos a L periodicidade. ˆf(x = { f(x se x L f( x se x Desta forma, podemos desevolver em série de co-seos ou em série de seos qualquer fução seccioalmete cotíua o itervalo [; L]. Exemplo Cosideremos a fução defiida por f(x = 3x o itervalo [;π]. Desevolvimeto em série de co-seos Temos a = 1 π π π f(x( xdx = π π 3x(xdx = 6 π ([ x si(x ] π π si(x dx 9

10 e a = 6 π π = 6 π = 3π. Fialmete, [ (x ] π = 6 π (( 1 1 se 1 f(x = 3π π (( 1 1(x = 3π + 1 (k 1 ((k 1x π k=1 = 3π 1 π (x 4 1 (3x 3π 5π (5x+... para todo x [;π], uma vez que f é cotíua em R. Desevolvimeto em série de seos f(x = 3π 1 π (x 4 3π (3x Para 1, b = 1 π π π ˆf(xsi(xdx = π π 3xsi(xdx = 6 π ([ x (x ] π π + (x dx = 6 ( 1 + = 6( 1+1. Observado que ˆf é cotíua em [;π[, temos para todo x este itervalo f(x = + 6( 1 +1 si(x = 6si(x 3si(x+si(3x 3 si(4x+... 1

11 f(x = 6si(x 3si(x+si(3x 3 si(4x 11

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