Ficha de Problemas n o 10: Séries (soluções)

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1 Ficha de Problemas o 0: Séries (soluções) Séries Numéricas (Soluções). a) diverge, o termo geral ão tede para 0; b) série geométrica de razão e π, coverge uma vez que e π <, e s c) (+)(+) com a +, logo coverge e s a lim a ; d) π π e ; + + é uma série de Megoli da forma a a +, +, é uma série de Megoli da forma ( )(+) a a +, com a, logo coverge com s (a + a lim a ) 4 ; e) série de Megoli da forma a a +, com a, logo diverge, uma vez que (a ) diverge; f) série de Megoli da forma a a +, com a, logo coverge, uma vez que (a ) é covergete, com lim a lim +, e s 0. g) ( ) π + π ( ), π série geométrica de razão π, coverge, porque π <, e s π π ; h) +( ) 4 ( ) ( 4 +, ( 4) coverge uma vez que 4) coverge, por ser uma série geométrica de razão 0 < 4 <, e ( 4) também coverge, por ser uma série geométrica de razão 4, e 4 <. A soma é s ; i) ( ) l l() l(+), série de Megoli da forma a a +, com + a l(), logo diverge, uma vez que (a ) diverge; ( ) e ( + e j) e + <, e s e e k) a + + e+ ; ), série geométrica de razão e, logo coverge porque +, série de Megoli da forma a a +, com, logo coverge com s a lim a. l) + + diverge, uma vez que diverge por ser uma série geométrica de razão 4 > e coverge por ser uma série geométrica de razão 0 < <. (Alterativamete: diverge uma vez que o seu termo geral ão coverge para 0.) m) série de Megoli da forma a a +, com a!, logo coverge com s a + a lim a ; ) ( + ( ) ) + ( ), coverge uma vez que coverge, por ser uma série geométrica de razão 0 <, e ( ) também coverge, por ser uma série geométrica de razão, e <. A soma é s ; o) É uma série de Megoli da forma a + a, com a arctg(), logo coverge uma vez uma vez que a π, e a sua soma é s lim a a π 4. p) Diverge, uma vez que o seu termo geral ão coverge para 0.. Divergetes: a), b), d), f), h), i) j), l) Covergetes: c), e), g), k). 4. Divergetes: c), f), g) se a b, Covergetes: a), b), d), e), g) se a < b.

2 5. a) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Comparemos com a série qual é divergete. Como, a lim cocluimos que a série dada e a série divergete. ( 0, +) (verifique) têm a mesma atureza. Logo a série dada é b) Trata-se de uma série de termos positivos. Usado o critério de d Alembert, + (+) +(+)! +! ( +!) ( + ) + ( + )!!! + ( + )! (+) (+)! Como este limite é meor que, cocluimos que a série dada é (absolutamete) covergete. c) Procededo como em a) cocluimos que a série tem a mesma atureza que a série. Logo, é covergete. d) Trata-se de uma série de termos positivos. Aplicado o critério de d Alembert, + ((+))! ()! + ()! ( + )! ( + )( + ) 0 Como este limite é iferior a cocluimos que a série é (absolutamete) covergete. e) Como + + 0, cocluimos que a série é divergete. f) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Tetemos aplicar o critério da raiz (ou de Cauchy): ( + ) + +. Como este limite é iferior a cocluimos que a série é (absolutamete) covergete. g) Comece por reparar que, cotrariamete a e), a sucessão do termo geral desta série coverge para 0 o que ão os permite tirar qualquer coclusão sobre a covergêcia ou divergêcia da série. Tratado-se de uma série de termos ão egativos, podemos tetar usar o critério de d Alembert: (+) + (+) Como este limite é iferior a a série é absolutamete covergete. (Alterativamete: usar o critério geral de comparação com (.) ) h) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Tetemos aplicar o critério de Cauchy: ( + ) ( + ) e. Como este limite é superior a cocluimos que a série é divergete. i) Como em h), a série coverge. j) Como em a) cocluimos que a série tem a mesma atureza que a série divergete. k) Como em a) cocluimos que a série tem a mesma atureza que a série. divergete.. Logo, é Logo, é

3 l) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Aplicado o critério de d Alembert, lim (000) + (+)! (000)! lim 000! 000 lim ( + )! + 0. Como este limite é iferior a, a série é covergete. m) Repare-se que é uma série de termos egativos. Cosideramos a série, que é uma série de termos positivos. Aplicado o critério de d Alembert, lim + + (+) < (verifique), logo a série coverge, e também coverge (absolutamete) a série. ) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Tetemos aplicar o critério de Cauchy: (l ) l 0 <. Logo, a série é covergete. o) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Comparado com a série covergete : arctg arctg π 0,. Logo, as séries têm a mesma atureza, ou seja, arctg p) Temos lim se lim se Como o termo geral ão coverge para 0, a série diverge. se x lim. x 0 x é covergete. q) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Comparado com a série covergete : lim se se x lim 0,. x 0 x Do critério geral de comparação, as séries têm a mesma atureza, ou seja, covergem. r) Trata-se de uma série de termos ão egativos. Comparado com a série divergete Logo, diverge. l > 6. a) coverge - comparar com ; b) diverge - comparar com ; c) coverge - critério d Alembert; l l +., a partir de determiada ordem, e do critério geral de comparação, a série d) diverge - o termo geral ão tede para 0; e) diverge - comparar com ;

4 f) coverge - critério d Alembert; g) coverge - comparar com ( ) ; h) coverge - critério d Alembert; i) diverge - o termo geral ão tede para 0; j) coverge - comparar com 4 ; k) diverge - critério d Alembert; l) coverge - ( + ) ( ++, comparar com ). 7. a) diverge - coverge para 0; +( ) série harmóica; b) diverge - o termo geral ão c) coverge - critério da raiz. 8. a) i) Temos que f(x), x, é uma fução decrescete e positiva, e que x l x b lim b + x l x dx lim [l l b + x ]b lim l l b l l +. b + Logo, do critério do itegral, a série f() l diverge. ii) Como em i) (este caso, a série coverge). iii) Temos l. Logo, como coverge, do critério geral de comparação, l também coverge. iv) Temos l l +. Logo, l >, a partir de determiada ordem, e do critério geral de comparação, a série diverge. 9. a) Para a 0, as séries a e f(a ) são de termos ão egativos, já que se lim x 0 + f(x) x L > 0, etão f(x) > 0 em ]0, a[ para algum a > 0, logo f(a ) > 0. Como a 0 +, tem-se lim f(a ) a lim x 0 + f(x) x L > 0. Como L 0, +, segue do critério geral de comparação que a e f(a ) têm a mesma atureza. b) Segue directamete de a), otado que se(x) e x arctg(x) lim, lim, lim x 0 x x 0 x x 0 x que as séries dadas covergem sse α >, por comparação com as séries de Dirichlet α. 0. ( + a ) diverge, uma vez que + a >, logo o termo geral ão coverge para 0. +a coverge, uma vez que +a < e é covergete.. a) se (b ) é limitada, com b < c, etão a b < c a ca, logo pelo critério geral de comparação, a b coverge (absolutamete). b) se a coverge, etão lim a 0, logo (a ) é limitada, e por (a), também coverge a. c) com a, tem-se divergete e covergete.. a) O termo geral da série é uma sucessão divergete já que possui dois sublimites diferetes: e. Logo, como o termo geral da série ão tede para 0 cocluimos que a série é divergete. 4

5 b) Comece por observar que, cotrariamete ao caso aterior, a sucessão do termo geral da série coverge para 0 o que ão os permite tirar ehuma coclusão sobre a covergêcia da série. Observe igualmete que ão se trata de uma série de termos ão egativos pelo que os critérios ateriormete usados para esse tipo de séries (comparação, d Alembert, Cauchy) ão podem ser directamete aplicados aqui. Estudemos a série de módulos correspodete. Como ( ) + +, por comparação desta série de termos positivos com a série covergete cocluimos que esta série é covergete e, portato a série dada é absolutamete covergete. c) Esta série é absolutamete covergete, uma vez que a série dos módulos é dada por 000 a, que é covergete (usado o Critério d Alembert: + a < ). d) ( ) ( + ) ( ) ( ++ ) ( ) ( ++. Cosideremos a série de termos positivos ) ( ++ ), e comparêmo-la com a série divergete : ( ++ ) + + 0, + logo a série de módulos cosiderada é também divergete. Cocluimos que a série dada ão pode ser absolutamete covergete. Tratado-se de uma série alterada tetemos usar o critério de Leibiz: cosidere-se a série dada a forma ( ) a com a ( ++ > 0. ) Como + a + a ( )( + + ) < 0 o que mostra que a sucessão de termo geral a é decrescete, e como a 0, podemos cocluir, pelo critério de Leibiz, que a série é covergete. Logo, a série é simplesmete covergete. Uma observação: o critério de Leibiz só decide da covergêcia de uma série, ada dizedo sobre a covergêcia ser simples ou absoluta. O resultado aterior foi obtido depois de termos verificado previamete que a covergêcia ão poderia ser absoluta. ( ) e) É uma série alterada. Cosiderado a série dos módulos correspodete se, vemos que será divergete, uma vez que lim se ( ) e portato a série dos módulos tem a mesma atureza que a série harmóica. Cocluimos que a série dada ão pode ser absolutamete covergete. Escrevedo a série dada a forma ( ) a, com a se ( ), temos que a 0 e a é decrescete, uma vez que a fução se x é crescete para 0 < x < π e é decrescete. Do critério de Leibiz, a série dada coverge. Logo, a série é simplesmete covergete. f) g) h) i) l) simplesmete covergetes, j), k) absolutamete covergetes.. a) É uma série alterada. A série dos módulos é dada por, que é divergete (uma vez que coverge sse α > ). Cocluimos que a série dada ão é absolutamete α covergete. Escrevedo a > 0 e ( ) a a + ( ) a, com a, temos que a 0, > 0 5

6 ou seja, (a ) é decrescete. Assim, pelo critério de Leibiz, a série é covergete. Logo, a série é simplesmete covergete. b) É simplesmete covergete (proceder como em a)). c) É divergete: o termo geral tem dois sublimites e, logo é divergete. Como o termo geral ão coverge para 0, a série é divergete. d) É absolutamete covergete: é uma série geométrica de razão. Séries de potêcias (Soluções) x. a) Temos ( x ) é uma série geométrica de razão x. Logo, coverge absolutamete para x < x < < x < e diverge para x x x. (x + ) b), é uma série de potêcias, cetrada em, cujo raio de covergêcia é dado ( + ) por (+) R lim ( + ) lim ( + ). (+) + Logo, a série é absolutamete covergete para x + < 4 < x < 0 e divergete para x + > x < 4 x > 0. Para x +, temos: Se x 0: obtemos a série +, que é divergete por comparação com a série harmóica. Se x 4: obtemos a série alterada ( ). Já vimos que a série dos módulos correspodete é divergete, logo esta série ão é absolutamete covergete. No etato, aplicado o critério de Leibiz, como 0 < + é decrescete, tem-se que covergete, logo coverge simplesmete. + ( ) + é Coclui-se que, (x+) (+) coverge absolutamete para x ] 4, 0[, coverge simplesmete para x 4 e diverge para x ], 4[ [0, +[. c) Faça-se y (x) : (x) + y +. Esta é uma série de potêcias cujo raio de covergêcia e dado por R lim + + Logo, a série é absolutamete covergete para y < e divergete para y >. Se y obtemos a série +. Como, esta série tem a mesma atureza que a série + harmóica, ou seja, é divergete. Se y, obtemos a série alterada ( ) +. Dado que + 0 e que + + (+)(+) < 0, deduz-se, aplicado o critério de Leibiz, que a série é covergete. Como ( ) + + e já vimos que esta série é divergete, cocluimos que para y a série é simplesmete covergete. Etão, como. y < (x) < x <, y x e y x, cocluimos que a série de potêcias dada é absolutamete covergete se x ], [, simplesmete covergete se x e divergete se x ], [ [, +]. 6

7 ( ) x ( 4x) d) raio de covergêcia dado por y, fazedo y 4x. É uma série de potêcias com R lim + Logo, a série é absolutamete covergete para y < 4 < x < 4 e divergete para y > x < 4 x > 4. Para y, temos: Se x 4 : obtemos a série que é divergete por comparação com a série.. e) ( ) Se x 4 : obtemos a série alterada. Já vimos que a série dos módulos correspodete diverge, portato a série ão coverge absolutamete. Do critério de Leibiz, uma vez que 0 e é decrescete, a série coverge, e portato coverge simplesmete. ( ) x Coclui-se que coverge absolutamete se x ] 4, 4[, coverge simplesmete para x 4 e diverge se x ] ], 4] 4, +[. (x) ( + ) ( + ) x é uma série de potêcias, cetrada em 0, cujo raio de covergêcia é dado por R lim lim (+) +. f) Logo, a série é absolutamete covergete para x < e divergete para x >. Para x, temos: Se x : obtemos a série (+) (. +) Uma vez que ( ) ( ) e, + + cocluimos que a série diverge uma vez que o termo geral ão coverge para 0. Se x : obtemos a série ( ) (+). Já vimos que lim (+) e, logo ( ) (+) tem dois sublimites e e e, e a série é portato divergete, uma vez que o termo geral ão coverge para 0. Coclui-se que ], ] [, +[. por (x) (+) coverge absolutamete para x ], [ e diverge para x!(x ) : é uma série de potêcias, cetrada em, cujo raio de covergêcia é dado! + R lim!!+ (+)! (+)!+ lim! ( + )! + ( + )!! + lim ( + )! + ( + )! + lim ( + )(! + ) ( + )! + ( + ) lim + (+)! +! Logo, a série é absolutamete covergete para x < 0 < x < e divergete para x > x < 0 x >. Para x, temos:. 7

8 Se x, obtem-se a série!!+, que é divergete uma vez que!!+ 0. Se x 0, obtem-se a série!( )!( )!+, que também é divergete, uma vez que!+ tem dois sublimites e, logo o termo geral da série ão coverge para 0.!(x )!+ Coclui-se que coverge absolutamete para x ]0, [ e diverge para x ], 0] [, +[.. a) É uma série geométrica de razão x x+, logo coverge absolutamete se x x+ < e diverge se x. Resolvedo em ordem a x, temos x < x >, ou seja ( ) x+ x+ coverge absolutamete para x > e diverge para x. b) R ; a a série coverge absolutamete para < x <, coverge simplesmete para x e diverge para x < x. c) o raio de covergêcia da série y é R e esta série coverge absoutamete para y <, coverge simplesmete para y e diverge para y < y. Fazedo y x x, coclui-se que ( x ) x coverge absolutamete para x >, coverge simplesmete para x e diverge para x >. d) R ; a série coverge absolutamete para x, coverge simplesmete para x e diverge para x < x 4; e) R 4; a série coverge absolutamete para x 5 e diverge para x < x > a) O raio de covergêcia da série y (+)! x x+ é R +, logo esta série coverge absolutamete para y R. Fazedo y x, coclui-se que a série absolutamete para qualquer x R. x (+)! coverge b) O raio de covergêcia da série ( ) + y é R, e esta série coverge absolutamete para < y <, coverge simplesmete para y e diverge para y y >. Fazedo y x, coclui-se que a série ( ) + x+ x ( ) + x coverge absolutamete para < x <, coverge simplesmete para x x e diverge para x < x >. c) R ; a série coverge absolutamete para < x < 4, diverge se x x 4. d) R a ; a série coverge absolutamete para a a < x < a a (ou seja, para a > 0, a < x < 0, para a < 0, 0 < x < a) e diverge para x a a x a a (se x + a a, as séries obtidas têm um termo geral que ão coverge para 0). e) O raio de covergêcia da série y + é R ; esta série coverge absolutamete para y e diverge para y >. Fazedo y (5x+), e resolvedo em ordem a x, temos que (5x+) + coverge absolutamete para 5 x 0 e diverge para x < 5 x > a) No poto a série dos módulos é dada por a ( ) a a Como o poto a série é divergete, a série a é divergete, e a é também divergete. Logo a covergêcia em é simples. b) O raio de covergêcia da série é, uma vez que a covergêcia em é simples (se x < R, a série coverge absolutamete em x, se x > R, a série diverge em x, logo se a série coverge simplesmete em x, tem-se x R). Logo a série coverge absolutamete para x < e diverge para x >. c) Por exemplo, x. 6. a) ( ) x + x x +, para x < (dado que y y, para y < ). 8

9 b) c) d) e) f) g) (x ) (x ), para < x <, x x + x ( x ), para < x <. (x) 4 + x, para x <. 4( x)! x e x, para x R (dado que! y e y, para y R). ( ) ( + )! (x + )+ se(x + ), para x R (dado que ( ) (+)! y+ se y, para y R). ( ) 4 ()! x 4 cos(x ), para x R (dado que ( ) ()! y cos y, para y R). Séries de Taylor (Soluções). a) e x+ e e x b) e! x, para x R. Temos f () (0) e. x x + x ( x) x ( ) x x <. Temos f () (0)!( ). c) cos(x + ) ( ) x + ( ) ()! (x + )4, para x R. ( ) x, para Temos f (4) ( ) (4)! ( ) ()!, f (k) ( ) 0, se k 4 (se ão é múltiplo de 4). d) (l x) x + (x ) + x ( x ) < 0 < x < 4. Logo, x l x ( ) + ( + ) (x )+ + C ( ) (x ) + C. ( ) + (x ), para e) Fazedo x, temos C l. Temos f () (0)! ( ), para e f(0) l. ( x ( ) e dt) t e x x, para x R. Logo,! 0 ( ) ( )! x 0 e t dt ( )!( + ) x+ + C. Fazedo x 0, temos C 0. Temos f (+) ( ) (0) ( + )! ( )!(+) ()!! e f () (0) 0. f) Como e), otado que se y ( ) (+)! y+. 9

10 ( ) g) P (x + ) x + ( ) x ( ) + x, para x <. Logo, (x + ) ( ) + x ( + )( ) x. Temos f () (0)!( + )( ) ( + )!( ). h) + x + (x ) ( ) + x + (x ), para x < < x <. Temos f () ()!( ) +. i) (arctg y) + y ( ) y, para y < < y <. Logo, arctg y ( ) + y+ + C. Fazedo y 0, temos C 0. Temos assim para < x < < x < arctg x ( ) + x4+. Temos f (4+) (0) (4 + )! ( ) +, e f (k) (0) 0 para k 4 +. j) (l(x + )) x x + x ( x ) ( ) x +, para < x <. Logo, l(x + ) Fazedo x 0, temos C 0. ( ) + x+ + C ( ) x + C. Temos f () (0) ()! ( ), f (+) (0) 0.. a) a x, com a 0 a, a 0, 0,, para x R; b) Impossível, a fução ão está defiida em 0; ( ) c) l + x, para x ], ]; d) ( + )( + )x, x ], [; e) Impossível, a fução ão está defiida em 0; ( f) ) + x, x ], [; g) Impossível, a fução ão está defiida em 0; ( ) h) + x+, x [, ]; ( ) i) ( + )! x+, x R. 0

11 . a) + (x ) + (x ), x R; b) ( ) (x ), x ]0, [; e c)! (x ), x R; ( ) d) (x ) + ( ) (x ), x [0, ]; e) 4 + ( ) + ( )(x ), x ], [; f) ( ) ( )(x ), x ]0, [; g) Impossível, a fução ão está defiida em ; h) Impossível, a fução ão está defiida em ; i) Impossível, a fução ão é difereciável em. 4. a) Temos x 4 x x4 para x < < x <. x x +4 4 x, b) Temos f(0) f (0) f (0) f (0) 0 e para 4, f () (0) 4 f () (0)!! 4. Como f (4) (0) 4! > 0, f tem um míimo em (x )e x (x )e e x (x ) e(x ) + e (x )e!! ( )! (x ). Logo, f () () e! ( )! f () () e a) A série de potêcias (x ) tem raio de covergêcia dado por R lim lim. Logo a série coverge absolutamete para x < < x < 4 e diverge para x < x > 4. Em x 4, obtem-se a série, que é uma série divergete (justifique). Em x, obtem-se a série alterada ( ) série dos módulos diverge. Logo, a série coverge absolutamete para x ], 4[. b) g() 0 e g ()! 9, logo g () 9. Temos g (x ) (x) que é covergete (critério de Leibiz), e a ( + )(x ) + +. Escrevedo x + (x ), a série de Taylor o poto de x + g (x) é ( + )(x ) + (x ) ( + 9 )(x ) + ( + )(x ) + +.

12 7. Tem-se para y <. Primitivado obtemos (l( + y)) + y ( y) ( ) y, l( + y) ( ) + y+ + C ( ) y + C. Fazedo y 0, temos C 0. MacLauri para φ é: Coclui-se que, para x < < x <, a série de φ(x) x l( + x ( ) ) x (x ) ( ) x +. Do desevolvimeto acima temos: e portato a fução tem um míimo em 0. φ (0) φ (0) φ (0) 0, φ (4) (0) 4! > 0, 8. Do Teorema Fudametal do Cálculo, φ (x) x l(+x 4 ). Como l(+y) para y < (justifique), temos φ ( ) (x) x x 4 ( ) x 4+, para x 4 < x <. Logo, para < x <, φ(x) Fazedo x 0, temos C 0. ( ) (4 + ) x4+ + C ( ) ( + ) x4+ + C. Como φ (k) (0) 0, k,,, 4, 5 e φ (6) (0) 6! > 0, φ tem um míimo em 0. ( ) y,

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