CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL Coceito de derivada Iterpretação geométrica A oção fudametal do Cálculo Diferecial a derivada parece ter sido pela primeira vez explicitada o século XVII, pelo matemático fracês Pierre de Fermat y f (a+ h) Q f (a) P a a + h x Cosidere-se uma fução f e sejam P e Q dois potos da curva de coordeadas (a, f (a)) e (a+h, f (a+h)) O declive da recta que passa por esses dois potos é dado por = a + h a h Defie-se tagete a uma curva f um poto (a, f (a)) como a recta cujo declive é o lim h 0 h A h chama-se razão icremetal 7

2 Defiição: Seja f uma f r v r Chama-se derivada da fução f o poto de abcissa a (represeta-se por f (a)) ao limite, caso exista, f ( a+ h) lim h 0 h f ( a) f ( Nota: A expressão lim também pode ser usada para x a x a defiir derivada da fução f o poto a Para verificar a equivalêcia basta fazer x - a = h e efectuar os cálculos Nota: Se f (a) existe, diz-se que f é derivável em a ou que f tem derivada em a Defiição: Seja f uma f r v r Chama-se derivada à esquerda da fução f o poto de abcissa a (represeta-se por f a )) ao limite, caso exista, lim h 0 h ( - Defiição: Seja f uma f r v r Chama-se derivada à direita da fução f o poto de abcissa a (represeta-se por f ( a + )) ao limite, caso exista, lim + h 0 h 8

3 Uma fução f tem derivada o poto a sse existem e são iguais as derivadas laterais esse poto O valor comum dessas derivadas é a derivada da fução o poto Defiição: Uma f r v r diz-se derivável um itervalo ] c[ em todos os potos do itervalo b, se é derivável Defiição: b, se é derivável em todos os potos do itervalo aberto e derivável à direita de b e à esquerda de c Uma f r v r diz-se derivável um itervalo [ c] De modo idêtico defie-se fução derivável em itervalos do tipo] b,+ [], c [[ b, c [] b, c ][ b,+ [ ou], c] Defiição: Uma f r v r diz-se derivável se é derivável em todos os potos do seu domíio Defiição: Seja f uma f r v r Chama-se fução derivada de f (represetase por f ) à fução de x, defiida para todos os potos ode existe derivada fiita, tal que f ( x+ h) f ( f ( = lim h 0 h 9

4 Nota: Para além da otação f ( poderão surgir outras otações Por exemplo: d ( f ( ) dy ' D f ( ou y Calcule, usado a defiição, a fução derivada de cada uma das seguites fuções: a) f ( = a, a costate b) f ( = x c) f ( = x d) f ( = x e) f ( = se x f) f ( = cos x 30

5 Derivabilidade e cotiuidade Toda a fução que admite derivada fiita um poto é cotíua esse poto Exemplo: Seja f ( = x + 1 Estude a fução quato à cotiuidade e difereciabilidade o poto de abcissa 1 OBSERVAÇÃO: O recíproco deste teorema é FALSO 31

6 Regras de derivação A derivada de uma costate é igual a zero A derivada da fução idetidade é igual a um Sejam f e g duas f r v r que admitem derivada o respectivo domíio, etão: ± 1 [ f ( g( ] = f ( ± g ( [ f ( g( ] = f ( g( + g ( f ( 3 f ( g( = f ( g( g ( [ g( ] f ( Sejam f e g duas f r v r que admitem derivadas os respectivos domíios A derivada da fução composta h( = ( f g) ( é dada por: h ( = f g( g ( x ( ) ) 3

7 Se f tiver derivada o seu domíio, etão [ f ( ] iteiro positivo 1 ( ) = [ f ( ] f ( Observação: Esta regra é aida válida para potêcias de expoete racioal Calcule : a) [ ( )] se 3 x b) [ f ( ], Se f é uma f r v r ivertível, com derivada fiita e ão ula o seu domíio, etão a sua iversa é também derivável com derivada dada por: [ f 1 ( y) ] = 1 f (, com y = f ( Calcule as derivadas das seguites fuções: a) arcse ( x ) b) arccos( x ) c) arcta ( x ) d) arccotg ( x ) 33

8 Derivada da fução implícita Na fução implícita a variável y é defiida como uma fução de x, por meio de uma equação que evolve as duas variáveis: F ( x, y) = 0 Diz-se que a equação idicada defie y como fução implícita de x a) x y = 1 b) x + y = 1 A técica de derivação da fução implícita cosiste em derivar ambos os membros da equação em ordem a x, cosiderado sempre y como uma fução de x a) Derivar y 3 x, supodo y = f ( b) Determiar o coeficiete agular da tagete ao gráfico de 4 3 y + 3y 4x = 5x + 1, o poto P ( 1, ) Nota: Supõe-se que a equação defie implicitamete uma fução difereciável f, tal que y = f ( 34

9 Derivada de fuções defiidas de forma paramétrica Cosideremos uma fução defiida pelas equações paramétricas: x = φ ( t) y = ψ ( t) Supodo que φ e ψ são deriváveis e que x = φ (t) admite iversa t = (, igualmete derivável, podemos cosiderar y = f (, como a composta de y = ψ (t) com t = ( Usado a regra de derivação da fução composta: dy =ψ ( t) ( d y dy dt = ou seja dt dy d y = dt dt Exemplo: Calcular a derivada da fução y = f ( defiida pelas equações paramétricas: x = a + r cosθ y = b + r seθ, com θ [ 0, π [ Nota: Estas equações defiem uma circuferêcia de raio r e cetro em (a,b) 35

10 Derivadas sucessivas Seja f uma fução que admite derivada de primeira ordem Esta derivada coduz a uma ova fução: f Se, por sua vez, esta ova fução admite derivada, obtemos uma derivada de seguda ordem que se represeta por f Da mesma forma a terceira derivada, se existir, represeta-se por f e assim sucessivamete ( ) Após derivações sucessivas ( iteiro positivo) obtém-se a () derivada de ordem de f que se represeta por f Podemos usar as seguites otações: d ( f ( ) dy ' f ( Df ( ou y, para a primeira derivada d ( f ( ) d y f ( D f ( ou y, para a seguda derivada ( ) ( f ) ( a -ésima derivada d ( f ( ) D f ( d y ou y ( ), para a)calcular a seguda derivada da fução paramétrica atrás defiida b)determiar uma expressão geral para a ésima derivada da fução log ( x ) 36