11 Aplicações da Integral

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1 Aplicações da Itegral Ao itroduzirmos a Itegral Defiida vimos que ela pode ser usada para calcular áreas sob curvas. Veremos este capítulo que existem outras aplicações. Essas aplicações estedem-se aos mais variados campos do cohecimeto e, apeas para citar dois desses campos, destacaremos a Geometria e a Física. Na Geometria, além do cálculo de áreas sob curvas como já vimos, podemos usar a Itegral Defiida para calcular comprimeto de arcos e volumes; a Física, para calcular o trabalho realizado por uma força, mometo, cetros de massa e mometo de iércia, além de várias outras aplicações. Faremos aqui, apeas, aplicações geométricas.. Áreas etre curvas Deomiaremos por área etre curvas a área de regiões limitadas por curvas que são gráficos de fuções. Vamos cosiderar, para melhor etedimeto, o exemplo a seguir. Exemplo. Calcular a área limitada pelas curvas y = x e y = x Observe, o gráfico ao lado, que as curvas se iterceptam os potos de coordeadas (,) e ( 2, 2). A área procurada está represetada pela região colorida. Usado a otação de área sob curvas podemos escrever: A = A 2 ( x 2 + 2) A 0 (x) + A 0 2 ( x) A 2 2 (x 2 2) e, daí, A = [ x x] [x3 3 2x] =

2 Aplicações da Itegral Cálculo Diferecial e Itegral Este cálculo pode ser simplificado através do método que passaremos a descrever. Para isso vamos cosiderar duas fuções f e g, cotíuas em [a, b], com f(x) g(x) para todo x [a, b], e a região do plao limitada pelos gráficos de f, de g e pelas retas verticais x = a e x = b (a figura abaixo é um esboço da região descrita). Façamos uma partição do itervalo [a, b], através dos potos: a = x 0 x x i x i x = b e sejam xi = x i x i e t i [x i, x i ], com i =,2,3,,. Para cada i podemos iscrever a região cosiderada um retâgulo de base xi e altura h i (t i ), como mostrado ao lado. A soma S das áreas desses retâgulos, dada por S = h i (t i ) xi é uma aproximação da área da região cosiderada. Na costrução das áreas dos retâgulos referidos ateriormete devemos cosiderar os três casos diferetes para o cálculo de h i (t i ), em razão das diferetes situações que a região cosiderada pode se apresetar. ) f(t i ) 0 e g(t i ) 0 h i (t i ) = f(t i ) g(t i ); 2) f(t i ) 0 e g(t i ) < 0 h i (t i ) = f(t i ) + g(t i ) = f(t i ) g(t i ); 3) f(t i ) < 0 e g(t i ) < 0 h i (t i ) = g(t i ) f(t i ) = g(t i ) + f(t i ) = f(t i ) g(t i ). Nos três casos temos h i (t i ) = f(t i ) g(t i ) e, portato, S = h i (t i ) xi = [f(t i ) g(t i )] xi. É de se esperar que, quado xi 0, a área procurada será dada por: A = lim [f(t i ) g(t i )] xi = [f(x) g(x)] dx. Voltado ao Exemplo. podemos, agora, resolvê-lo pelo ovo método: [ x x] dx = [ x3 x2 + 2x ] = a b

3 Cálculo Diferecial e Itegral Aplicações da Itegral Exercício. ) Calcular a área limitada pelas curvas: a) y = x 3 e y = x 2 b) y = x 2, y = x 2 + 2x + 2 e y = x 2 2x + 2 c) y = x e y = 2x 2 d) x = 4 y 2 e 2x = 3 y 2 e) y = 2x 2, y = 4 x2 e y = 2x + 2, o primeiro quadrate. 2) As curvas y = 2x 2 + 2, y = x 2 e x = 2 limitam uma região o plao que apreseta o formato de um peixe. Esboce o gráfico da região e calcule a sua área. 3) Esboce a região do plao limitada pela parábola y = 9 x 2, pela reta tagete a esta parábola o poto x = 2 e pelo eixo x. Em seguida, calcule a sua área. 4) Ecotre a área da região limitada pelas parábolas de equações: y = x 2 + 4, y = 4x x 2 e y = (x 2 + 4x)..2 Volumes de sólidos de revolução Muitos dos sólidos com que trabalhamos podem ser obtidos através da rotação de uma região plaa em toro de um eixo, deomiado eixo de rotação. A esfera, por exemplo, pode ser obtida girado um semicírculo em toro de um eixo que coteha o diâmetro do semicírculo. Sólidos obtidos dessa forma são chamados sólidos de revolução. Dada certa região plaa pode-se gerar uma ifiidade de sólidos de revolução, cada um deles obtido em fução de um determiado eixo de rotação. Cosideraremos somete as situações em que o eixo de rotação é paralelo a um dos eixos coordeados e região plaa limitada por gráficos de fuções cotíuas. Para tato, seja y = f(x) cotíua em [a, b] e tomemos a região limitada pelo gráfico da fução, pelo eixo x e pelas verticais x = a e x = b (Fig.). A Fig.2 apreseta o sólido de revolução gerado pela rotação da região descrita, em toro do eixo x (Fig. 2). Fig. Fig.2

4 Aplicações da Itegral Cálculo Diferecial e Itegral Para chegarmos à itegral defiida que os dê o volume do sólido de revolução, obtido como ateriormete, comecemos com uma partição do itervalo [a, b] e a costrução de uma Soma de Riema. Seja P uma partição do itervalo [a, b] através dos potos a = x 0 x x i x i x = b Cosideremos t i [x i, x i ], xi = x i x i com i =,2,3,, e, também, como cohecida, a fórmula para o cálculo de volume de um cilidro circular reto. O volume V que queremos ecotrar será aproximado por uma soma de volumes de cilidros, costruídos como a figura a seguir. Os cilidros cosiderados possuem raio de base igual a f(t i ) e altura xi. Assim o volume V i, do i-ésimo cilidro é dado por V i = π[f(t i )] 2 xi A soma dos V i, idicada por S, os dá uma aproximação do volume pretedido, ou seja, V S = π[f(t i )] 2 xi Não é difícil costatar que essa aproximação tora-se cada vez melhor, à medida que aumetamos os potos da partição tomada para o itervalo [a, b]. Além disso, a soma apresetada é uma Soma de Riema para a fução F(x) = π[f(x)] 2 o itervalo [a, b]. Portato, podemos defiir o volume de revolução por

5 Cálculo Diferecial e Itegral Aplicações da Itegral b V = πf 2 (x) dx. a Exemplo.2 Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em toro do eixo x, da região limitada pela parábola y = x 2 +, x = 2 e pelo eixo x. 2 V = π(x 2 + ) dx = π (x 4 + 2x 2 + ) dx 0 V = π [ x x3 3 + x] 2 0 = 206π 5 Exemplo.3 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do disco em toro do eixo x. (y 2) 2 + x 2 Observe que o sólido obtido através dessa rotação (figuras e 2) tem o formato de uma câmara de ar de um peu. Em matemática esse sólido chama-se Toro. Fig. Fig.2

6 Aplicações da Itegral Cálculo Diferecial e Itegral Neste caso, o resultado será obtido calculado-se a difereça dos volumes de dois sólidos de revolução. O volume procurado é a difereça etre os volumes dos sólidos gerados pela região limitada por e pela região limitada por quado giradas em toro do eixo x. Assim, teremos: y = 2 + x 2, retas x = e x = e pelo eixo x y = 2 x 2, retas x = e x = e pelo eixo x V = π (2 + x 2 ) 2 V = π [(2 + x 2 ) 2 (2 x 2 ) 2 ] dx π (2 x 2 ) 2 Para resolver esta última itegral, façamos a substituição: dx dx = π 8 x 2 dx e teremos que: V = 8π π 2 π 2 x = seu, π 2 u π 2 cos 2 u du = 8π π 2 π 2 + cos2u 2 du = 4π 2. Exemplo.4 Ecotrar o volume do sólido obtido pela rotação do disco (y 2) 2 + x 2 do Exemplo.3, agora em toro do eixo y. Para rotações desse tipo devemos cosiderar x como fução de y: x = f(y) = (y 2) 2, y 3. Assim, o volume procurado será dado por:

7 Cálculo Diferecial e Itegral Aplicações da Itegral 3 V = π [ (y 2) 2 ] dy = 4π 3 Outra aplicação é obtida quado giramos, em toro do eixo y, uma região limitada pelo gráfico de uma fução y = f(x), a x b, pelas retas verticais x = a e y = b e pelo eixo x. Vamos cosiderar, como a figura a seguir, a 0 e f(x) 0. Seja P uma partição de [a, b], caracterizada pelos potos: e seja t i [x i, x i ], i =,2,3,,. a = x 0 x x i x i x = b Cosidere V i a difereça dos volumes dos dois cilidros de alturas f(t i ) e raios da base r i = x i e r i = x i, respectivamete. Podemos, etão, escrever que: V i = πf(t i )x 2 2 i πf(t i )x i Vamos aproximar o volume procurado por: V V i = πf(t i )(x 2 i x 2 i ) = πf(t i )(x i + x i )(x i x i ) = πf(t i )(x i + x i ) xi Fazedo xi 0, teremos que x i, x i t i ou x i + x i 2t i. Desta forma, para suficietemete grade, teremos: Assim, defiimos o volume como V 2πt i f(t i ) xi V = lim 2πt i f(t i ) xi

8 Aplicações da Itegral Cálculo Diferecial e Itegral ou seja b V = 2πxf(x) dx. a Exemplo.5 Calcular o volume obtido ao girar, em toro do eixo y, a região limitada pela parábola y = 4(x x 2 ) e o eixo x. V = 8π x(x x 2 ) dx = 2π 0 3 Observe que para usarmos o processo utilizado o Exemplo.4, para calcularmos o volume do exemplo aterior, teríamos de isolar x em termos de y e cosiderar uma difereça de volumes. Exercício.2 ) Calcular os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região dada em toro do eixo idicado: a) Limitada por y = x, 0 x 4 e o eixo x, em toro do eixo x; b) A mesma região do item a), girada em toro do eixo y; c) Limitada por y = x 3 2, eixo x e a reta x =, em toro do eixo y; d) Limitada por y = 9 x 2, pelo eixo x e pelas retas x = e x = 2, em toro do eixo y; e) Limitada por y = x e y = x 3 em toro do eixo x e, depois, em toro do eixo y. 2) Verifique, usado os processos desevolvidos esta seção, que o volume da esfera de raio R é igual a (4 3)πR 3.

9 Cálculo Diferecial e Itegral Aplicações da Itegral.3 Volume de um sólido cuja seção plaa tem área dada Nesta seção obteremos uma fórmula para o cálculo de volumes, mais geral do que a obtida para volumes de sólido de revolução. Dado um sólido tal que suas seções trasversais, em relação a um determiado eixo, teham áreas cohecidas, veremos como é possível calcular o seu volume através de uma itegral. Para facilitar, tomaremos o eixo trasversal às seções plaas como sedo o eixo x. Vamos cosiderar o sólido compreedido por dois plaos perpediculares ao eixo horizotal cotedo, respectivamete, as retas verticais x = a e x = b, coforme figura a seguir. Seja P uma partição de [a, b] dada por a = x 0 x x i x i x = b Cohecedo A(x), a área da seção trasversal ao eixo x, para cada elemeto x de [a, b], podemos, etão, aproximar o volume procurado por V V i ode V i = A(t i ) x i é o volume de um sólido cuja área da base é A(t i ), t i [x i, x i ], e x i = x i x i a altura, medida ao logo do eixo x. Etão, podemos dizer que: V A(t i ) x i.

10 Aplicações da Itegral Cálculo Diferecial e Itegral ou seja Ao fazer, teremos x i 0 e, assim, defiimos: V = lim A(t i ) x i b V = A(x) dx. a Exemplo.6 Calcular o volume do sólido cuja base é o círculo x 2 + y 2 r 2 e as seções perpediculares ao eixo x são retâgulos de altura r. Para cada x [ r, r] teremos a área da seção expressa por: A(x) = 2yr = 2r r 2 x 2. Portato, o volume V do sólido é dado por: r V = 2r r 2 x 2 Para resolver a itegral, basta fazer a seguite substituição: r dx e, como resultado teremos x r = seu, π 2 u π 2 V = πr 3. Exercício.3 ) Calcule o volume do sólido cuja base é o círculo x 2 + y 2 r 2 e as seções perpediculares ao eixo x são triâgulos isósceles retâgulos. 2) Calcule o volume do sólido que tem por base a elipse de eixos 0 e 8, sabedo-se que as seções perpediculares ao eixo maior são quadrados. 3) Calcule o volume do sólido cuja base é o triâgulo determiado pelo eixo x, eixo y e a reta x + y = e cujas seções trasversais ao eixo x são triâgulos equiláteros.

11 Cálculo Diferecial e Itegral Aplicações da Itegral 4) Mostre que a fórmula para se calcular o volume de revolução: b V = π f 2 (x) dx, a pode ser obtida pelo método desta seção. Exercício.4 ) Use os métodos expostos este capítulo para resolver as questões a seguir. a) Mostre que o volume do coe de altura H e raio da base R é ( 3)πR 2 H. b) Mostre que o volume do elipsoide de revolução é dado por (4 3)πab 2. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 b 2 = c) Mostre que o volume da pirâmide reta de base quadrada de lados a e altura h é dado por V = 3 a2 h. d) Mostre que o volume da pirâmide reta de base quadrada com aresta a e altura h é dado por V = 2 3 h(a2 h 2 ). 2) Calcule o volume dos sólidos descritos a seguir. a) Sólido obtido pela rotação da região limitada pelo eixo x e pela parábola y = x 2 4x, primeiro em toro do eixo x e, depois, em toro do eixo y. b) Sólido cuja base é o círculo x 2 + y 2 e as seções trasversais ao eixo x são triâgulos equiláteros. c) Sólido obtido pela rotação em toro do eixo y da região limitada por y = lx, pelo eixo x e pela reta x = e. d) Sólido obtido pela rotação em toro do eixo x da região limitada por y = x 2, y = x 2 4x + 4 e pelo eixo x. e) Sólido obtido pela rotação da região limitada pelo eixo y, por y = x e pela reta y =, primeiramete, em toro do eixo y e, depois, em toro do eixo x.

12 Aplicações da Itegral Cálculo Diferecial e Itegral f) Sólido cuja base é o triâgulo de vértices em (0, ), (2,0) e (0,) e cujas seções perpediculares ao eixo x são círculos cetrados ele. g) Sólido cuja base é o círculo x 2 + y 2 r 2 e as seções perpediculares ao eixo x são quadrados. h) Sólido obtido pela rotação, em toro da reta x = a, da região limitada pela parábola y 2 = 4ax e pela reta x = a.