5 DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE POTÊNCIAS

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1 5 DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE POTÊNCIAS Na secção aterior cocluímos que uma fução aalítica um determiado poto é holomorfa uma viihaça desse poto. Iremos mostrar que o iverso é igualmete válido. Nesta questão adquire pois grade relevâcia a possibilidade de desevolvermos em série de potêcias uma fução que seja holomorfa. 5. SÉRIES DE LAURENT Em 843, Pierre-Alphose Lauret (83-54) obtém uma represetação em série de potêcias positivas e egativas, para uma fução que seja holomorfa uma coroa circular de cetro em 0 ; K ( 0 ; r ; r ) f : r < j 0 j < r g (0 r < r ) : Teorema (Teorema de Lauret) Se f é holomorfa em K( 0 ; r ; r ) etão X a ( 0 ) + X b ( 0 ) (série de Lauret), para cada K( 0 ; r ; r ); ode, para 0; ; ; :::; a dw; () i (w 0 ) + e para ; ; :::; b i (w 0 ) dw; () qualquer que seja a circuferêcia simples e positivamete orietada, C( 0 ; r); de cetro em 0 e raio r ]r ; r [. Ambas as séries covergem absolutamete em K( 0 ; r ; r ): Qualquer desevolvimeto de f do mesmo tipo que seja potualmete covergete coicide com o aterior. Dem.: ) Comecemos por observar que como todas as circuferêcias de cetro em 0 e raio r simples e positivamete orietada são homólogas etre si em K( 0 ; r ; r ); os coe cietes a e b dados, por () e () respectivamete, são idepedetes de r ]r ; r [ : ) Notemos também que se a série X a ( 0 ) for covergete para cada K( 0 ; r ; r ); podemos cocluir, através do lema de Abel, ser ela absolutamete covergete para cada B ( 0 ; r ) : Aalogamete o que respeita à série X b ( 0 ) ;

2 se ela for igualmete covergete para cada K( 0 ; r ; r ); ela coverge absolutamete para cada K ( 0 ; r ; ) : 3) Deste modo, costituamos arbitrariamete úmeros reais positivos R e R tais que r < R < R < r ; e costruamos as circuferêcias, simples e positivamete orietadas, de cetro em 0 ; C R ( 0 ) e C R ( 0 ); e raios R e R ; respectivamete. O ciclo C R ( 0 ); C R ( 0 ) é claramete 0-homólogo em K( 0 ; r ; r ): Como tal, pelo teorema de Cauchy global, temos para cada K( 0 ; R ; R ) que ou seja, f () I ( ; ) i f () I (C R ( 0 ); ) + f () I C R ( 0 ); i Como para cada K( 0 ; R ; R ) é cocluímos que C R ( 0 ) (w ) dw; (w ) dw + i C R ( 0 ) I C R ( 0 ); 0 e I (C R ( 0 ); ) ; f () i C R ( 0 ) (w ) dw + i C R ( 0 ) ( w) dw: Fixemos arbitrariamete K( 0 ; R ; R ): Facilmete se observa que Mas com w B( 0 ; R ) temos pelo que w 0 w 0 w 0 0 < R ; R X w 0 0 w 0 : 0 X (w 0 ) ( 0 ) + ; (w ) dw: sedo esta série absolutamete covergete para cada cada w B( 0 ; R ): Etão pelo Teorema 5 da secção 4 (SÉRIES DE POTÊNCIAS), obtemos " i C R ( 0 ) ( w) dw X # i ( 0 ) + (w 0 ) dw C R ( 0 ) " # (w i 0 ) X dw C R ( 0 ) ( 0 ) X b ( 0 ) :

3 Sedo esta série covergete para cada K( 0 ; R ; R ); da arbitrariedade de R ; R ]r ; r [ ; podemos cocluir, pelo lema de Abel, ser ela absolutamete covergete em K ( 0 ; r ; ) : Por outro lado, de modo aálogo, xado K( 0 ; R ; R ), tomado w K( 0 ; R ; ) e tedo em cota que etão 0 w 0 < R ; R de obtemos w w 0 w w 0 X 0 w 0 0 ; w 0 X ( 0 ) (w 0 ) + ; sedo esta série absolutamete covergete para w K( 0 ; R ; ): Assim, aida pelo Teorema 5 da secção 4 (SÉRIES DE POTÊNCIAS), tomado em cosideração as observações aí feitas relativamete a séries de potêcias egativas, temos i C R ( 0 ) (w ) dw i X X ( 0 ) " i C R ( 0 ) X a ( 0 ) : f (w) + dw C R ( 0 ) (w 0 ) # f (w) + dw ( (w 0 ) Sedo também esta série covergete para cada K( 0 ; R ; R ); da arbitrariedade de R ; R ]r ; r [ ; podemos igualmete cocluir ser ela absolutamete covergete para em B( 0 ; r ): Logo X X a ( 0 ) b + ( 0 ) para cada K( 0 ; r ; r ); cojuto ode ambas as séries são absolutamete covergetes. 4) No que respeita à uicidade, supohamos que X ( 0 ) + X ( 0 ) para cada K( 0 ; r ; r ); cojuto ode as séries idicadas são (potualmete) covergetes. Etão para cada k 0 iteiro, temos etão ( 0 ) X k+ ( 0 ) k + X ( 0 ) +k+ ; 0 ) 3

4 e pelo Teorema 5 da secção 4 (SÉRIES DE POTÊNCIAS), cosiderado uma circuferêcia simples e positivamete orietada, C r ( 0 ); de cetro em 0 e raio r ]r ; r [ ; podemos cocluir que ( 0 ) d X k+ ( 0 ) k d + X d: ( 0 ) +k+ Em virtude de as respectivas fuções itegradas serem primitiváveis, para ; ; :::; são ulos todos os itegrais ( 0 ) ; +k+ o, mesmo sucededo aos itegrais ( 0 ) k d 0; à excepção do caso em que k ; ou seja, k: Neste caso, o valor do itegral correspodete é i; vido etão ( 0 ) d i k; k+ o que os permite cocluir que k a k para cada k 0; ; ; ::: : Aalogamete para cada k ; iteiro, temos X ( 0 ) k ( 0 ) +k + e ( 0 ) k d X k k i; X ( 0 ) +k d+ o que implica k b k para cada k ; ; ::: : + ( 0 ) d ( 0 ) k+ : X d ( 0 ) k+ Exemplo Na coroa circular K(0; 0; ) f : 0 < jjg o desevolvimeto em série de Lauret da fução + ; é pela uicidade expressa o teorema + : 4

5 Cosiderado o teorema de Lauret r 0 < r ; a coroa circular obtida é chamada de bola perfurada de cetro em 0 e raio r ; D r ( 0 ) f : 0 < j 0 j < r g : Supodo que f é uma fução holomorfa em D r ( 0 ) ; à série de Lauret relativa a D r ( 0 ) dá-se o ome de desevolvimeto em série de Lauret de f em toro de 0 : 5. SÉRIES DE TAYLOR É claro que acima ão se exclui o caso de obter o desevolvimeto de Lauret quado f é difereciável uma bola aberta de cetro em 0 : Obtém-se um caso particular importate que os permitirá cocluir que uma fução holomorfa é uma fução aalítica. Teorema 3 (Teorema de Taylor) Se f é uma fução holomorfa o aberto U etão f é aalítica em U. Mais cocretamete, dado 0 U; seja B R ( 0 ) a maior bola aberta de cetro em 0 ; cotida em U. Etão para cada B R ( 0 ); X f () ( 0 ) ( 0 ) (série de Taylor),! tedo esta série (vulgarmete cohecida pela desigação de desevolvimeto em série de Taylor de f em toro de 0 ) raio de covergêcia R: Qualquer desevolvimeto em série de f do mesmo tipo, que seja potualmete covergete, coicide com o aterior. Dem.: Formulemos o desevolvimeto em série de Lauret de f a bola perfurada de cetro em 0 e raio R; D R ( 0 ) f : 0 < j 0 j < Rg : Etão temos que para cada D R ( 0 ) é ode, para 0; ; ; :::; e para ; ; :::; X a ( 0 ) + a i X b ( 0 ) ; dw; (w 0 ) + b (w 0 ) dw; i em que C r ( 0 ) é uma qualquer circuferêcia simples e positivamete orietada, de cetro em 0 e raio r ]0; R[. Ora, sedo f holomorfa em B R ( 0 ); temos pelo teorema de Cauchy que cada coe ciete b é ecessariamete ulo. Por sua ve, pelas fórmulas itegrais de Cauchy, resulta que a f () ( 0 ) :! No caso em que 0 0; o correspodete desevolvimeto de f em série de Taylor em toro da origem é comummete desigado por desevolvimeto em série de Mac-Lauri de f: 5

6 Logo, para cada D R ( 0 ) cocluímos que X f () ( 0 ) ( 0 ) ;! sedo obviamete esta igualdade também válida para 0 : Pelo lema de Abel, pode cocluir-se a parte restate do teorema. Exemplo 4 O desevolvimeto em série de Taylor em toro da origem da fução expoecial, é a série de potêcias X! ; já que para qualquer 0; ; ; :::; (D e ) 0 e 0 : Assim, em virtude a fução expoecial ser iteira, segudo o teorema de Taylor podemos a rmar que X e! ; para cada C: Exemplo 5 Os desevolvimetos em série de Taylor em toro da origem das fuções trigoométricas seo e coseo, são, respectivamete, as séries de potêcias X ( ) X ( ) ( + )! + ; e ()! : Com efeito, otemos que para 0; ; ; :::; D si 0; D+ 0 si ( 0 ) equato D cos ( 0 ) ; D + cos 0: 0 Deste modo, em virtude de ambas as fuções serem iteiras, podemos cocluir pelo teorema de Taylor que X ( ) X ( ) si ( + )! + ; e cos ()! ; para cada C: A uicidade apotada pelo teorema de Taylor, permite-os obter algus desevolvimetos em série de Taylor de forma mais imediata. Exemplo 6 Por exemplo, sedo a fução ( X ; ) holomorfa em C fg ; de para a bola uitária B f : jj < g ; podemos a rmar ser esta série o desevolvimeto em série de Taylor de ( ) em toro da origem. 6

7 5.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Quais os desevolvimetos de Mac-Lauri das seguites fuções: a) f () 3 : b) f () ( ) ( i) : c) f () log ( + ) : d) f () ( ) : Para cada uma destas situações, determie, caso exista, lim! f () (0) :!. Qual o desevolvimeto em série de Taylor em toro de i da fução Idique os valores das derivadas f () : f () (i) : 3. Determie os seguites desevolvimetos em série de Lauret de ( )( ) : a) Na coroa circular K(0; ; ) f : < jj < g : Idique o valor do itegral C 3 d; ode C 3 é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro a origem e raio 3: b) Na coroa circular K(0; ; ) f : < jjg : Idique o valor do itegral C 3 d; ode C 3 é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro a origem e raio 3: c) Na bola B f : jj < g : Idique o valor do itegral d; C ode C é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro a origem e raio : 7

8 d) Em D () f : 0 < j j < g : Idique o valor do itegral ( ) d; C () ode C () é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro em e raio : e) Em D () f : 0 < j j < g : Idique o valor do itegral ( ) d; C () ode C () é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro em e raio : 4. Com base o desevolvimeto de Lauret de f () 8 + ; a coroa circular K (0; 0; ) f : 0 < jj < g ; determie o valor de 8 + C d; ode C é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro a origem e raio : 5. Idique o desevolvimeto de Lauret de f () a coroa circular K (0; 0; ) f : < j obtido determie ; j < g : Através do desevolvimeto 6 d; ode é a liha dada por (t) + 5 eit ; para 0 t : 5.3. RESOLUÇÕES. a): Sedo f () 3 holomorfa a bola uitária B f : jj < g ; segudo o teorema de Taylor, f () admite um desevolvimeto em série de Mac-Lauri em B: Tedo em cota a uicidade expressa pelo teorema de Taylor, de 3 3 X 8 X +3 (jj < )

9 cocluímos ser este o desevolvimeto solicitado. Esta série dá-os a idicação de que f 0 (0) f 00 (0) 0 e f () (0)! ; para 3: Logo f () (0) lim :!!. b): A maior bola de cetro a origem ode é holomorfa é B f : jj < g : Para B tem-se f () ( ) ( i) f () ( ) ( i) + i + i i + i + + i i i + i X + + i X i i + i X + i X ( i) X ( ) i i + + i ; que por uicidade costitui o desevolvimeto em série de Mac-Lauri de f () : Tem-se que f () (0) ( ) i i + i! ; e esta sucessão ão possui limite pois quado 4k obtemos como sublimte i i i; e quado 4k vai-se obter um outro sublimite diferete: : +i +i +i i. c): Segudo o teorema de Taylor, a fução log ( + ) admite um desevolvimeto em série de Mac-Lauri a bola uitária B f : jj < g ; visto ser esta a maior bola aberta de cetro em cotida o domíio de holomor a daquela fução. Por outro lado, temos para cada B; + X ( ) : Assim, pelo Teorema 5 da secção 4 (SÉRIES DE POTÊNCIAS) obtemos para B; log ( + ) [0;] + w dw X ( ) 9 [0;] w dw X ( ) + + ;

10 ou seja, log ( + ) X ( ) ; série de potêcias que, por via da uicidade demostrada, costitui o desevolvimeto de Mac-Lauri em toro da origem da fução log ( + ) : Neste caso f () (0) ( ) ;! que é uma sucessão covergete para ero.. d): Sedo holomorfa em B f : jj < g ; f () ( ) admite um desevolvimeto em série de potêcias de ; válido apara cada B: Se atedermos a que D ( ) e a que X ( B) ; obtemos por derivação termo-a-termo que ( ) X ; para qualquer B: De f () (0)! cocluímos ser esta uma sucessão divergete para +.: Pretede-se uma série de potêcias ão egativas de ( i) que, segudo o teorema de Taylor, represetará f () a bola B p (i) de cetro em i e raio p (a maior bola de cetro em i ode f () é holomorfa). Temos que f () i ( i) i ( i) i i i i i X i i 0

11 sempre que Logo para qualquer B p (i) é i i <, j ij < j ij, j ij < p : f () X ( i) + ( i) ; que por uicidade costitui o desevolvimeto de Taylor de f () em toro de i: Deste modo f () (i)! ( i) + e por coseguite f () (i)! ( i) + : 3. a): Para K(0; ; ) f : < jj < g ; temos ( )( ) ( ) ( ) ; obtedo-se através da soma da série geométrica X + + X ( ) ; o qual por uicidade é o desevolvimeto de Lauret de a coroa circular idicada. O itegral d i C 3 coicide com o coe ciete b da série de Lauret obtida. Logo d i: C 3 3. b): Para K(0; ; ) f : < jjg ; temos ( )( ) ( ) ( ) : De ovo através da soma da série geométrica temos X + + X ( ) X + : Novamete tedo em cota a uicidade expressa o teorema de Lauret, este é o desevolvimeto de Lauret de a coroa circular idicada.

12 Quato ao valor do itegral solicitado, de d i C 3 b 3; resulta C 3 d 3i: 3. c): Para B f : jj < g ; temos aalogamete ( )( ) ( ) + X + + X X + : + É este o desevolvimeto de Lauret de em B: Aalogamete às alíeas ateriores, temos este caso d a 0 i C 3 o que implica C 3 d i: ; 3. d): Com D () f : 0 < j j < g ; tem-se ( )( ) ( ) X ( ) : Como i C () ( ) d a ; obtemos C () d i: ( )

13 3. e): Se D () f : 0 < j j < g ; etão ( )( ) + ( ) X ( ) ( ) : O itegral C () ( ) d 0; já que o coe ciete b 3 daquele desevolvimeto de Lauret é ulo. 4.: Pretede-se o desevolvimeto em série de Lauret de em potêcias de : Ora, como f () 8 + ; f () ( ) 8 + ; temos que para K (0; 0; ) f : 0 < jj < g ; é f () X 8 + X + X X 9 ; que costitui o desevolvimeto pedido. O valor do itegral 8 + i C d X é o coe ciete b deste desevolvimeto. Como b ; tem-se que 8 + d i: C 5.: Neste caso o desevolvimeto de Lauret de f () a coroa circular K (0; 0; ) f : < j de : + 6 ; j < g é um desevolvimeto em potêcias 3

14 Como o poliómio + 6 tem como raíes e 3 temos que f () ( + 3) ( ) : Ora como j j > ; tem-se ( ) X ( ) + : Aalogamete, X levado em liha de cota que 4 j j Logo X f () 5 ( ) + 4 < 4 ( ) 4 + ( ) ; j j < : X ( ) ( ) ; e este é o desevolvimeto em série de Lauret de f em K (0; 0; ) : Como é a circuferêcia simples e positivamete orietada de cetro em e raio 5; o itegral i + 6 d ( ) f () d; i costitui o coe ciete b do desevolvimeto obtido. Etão de b 5 resulta que i d : 4