an converge. a n converge.

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1 2. SÉRIES NUMÉRICAS SÉRIES & EDO :::: :::::::::::::::::::::::::::: FUNDAMENTOS GERAIS. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justi que. (a) Se lim a = 0, etão a coverge.! (b) Se a diverge, etão lim a 6= 0:! (c) Se a coverge e a 0; 8; etão p a coverge. (d) Se a diverge, etão a 2 diverge. (e) Se a e b divergem, etão (a + b ) diverge. (f) Se a diverge e a 6= 0; 8; etão a coverge. (g) Se fa g é uma sequêcia costate, etão a coverge. (h) Se a coverge, etão 00 a coverge. 2. Ideti que cada série abaixo com uma série de ecaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma o caso de ela covergir. (a) 2 (b) =0 (d) ( + ) 2 (g) " # (j) ( + ) 2 l ( + 2) =3 (e) (h) (k) = ( 2) ( ) (c) (f) p + p p + + p (i) 2 =3 (4 3) (4 + ) (l) 2 se ( + =2) : Ecotre uma série, cuja -ésima soma (S ) vem dada por: (a) S = (b) S = 2 + (c) S = 2

2 2 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS 4. or observação do limite do termo geral, veri que que as séries abaixo são divergetes: (a) (d) p + p + cos (b) [ + ( ) ] (c) (e) se (f) Ecotre os valores de x que toram a série x 2 covergete e calcule o valor da soma. Idem! 2 : para a série 2 + x (x 3) (x 3) : 6. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 0 metros. A bola repica aproximadamete metade da distâcia após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo. 7. A extremidade de um pêdulo oscila ao logo de um arco de 24 cetímetros em sua primeira oscilação. Se cada oscilação é aproximadamete 5=6 da oscilação precedete, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distâcia total percorrida pelo pêdulo até etrar em repouso total. 8. Dois atletas disputam 0 provas de percurso em 0 etapas sucessivas. Os tempos de cada etapa são os mesmos e a tabela a seguir mostra as distâcias, em km, percorridas por cada um deles as quatro etapas iiciais: etapa etapa 2 etapa 3 etapa 4 atleta A 2 atleta B 2 4 2! 23! 8 3! 34! 6 4! 45! Se a vitória é dada àquele que alcaçou o maior percurso, qual foi o atleta vecedor? 2.2. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::: SÉRIES DE TERMOS OSITIVOS. Use um Critério de Comparação para determiar a atureza das séries abaixo:

3 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES NUMÉRICAS 3 (a) (f) arctg (k) se = 2 (p) p (b) (g) 3 l 3 (l)! (q) p + 4 (c) (h) (m) (r) p (d) 2 + cos 2 (i) l ( + =2 ) () (s) 3 p se (=) (e) (j) (o) (t) ( ) 2 l 2 p Em cada caso, veri que que a fução que estede o -ésimo termo da série satisfaz às hipóteses do Critério da Itegral e em seguida determie a atureza da série. (a) =3 3 (l ) 2 (b) (2 + 3) 2 (c) ( ) (d) (e) arctg 2 + : 3. Em cada caso, determie o meor úmero de termos que devem ser somados, para aproximar a soma da série com um erro meor do que E: (a) 2 ; E = 0:00 (b) 3 ; E = 0:0 (c) (l ) 2 ; E = 0:0: 4. Se fa g é uma sequêcia de termos positivos e lim! p a = l > 0; prove que a série a coverge se p > e diverge se 0 < p : 5. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justi que cada resposta para melhor compreeder a teoria. (a) Se a > 0; 8; e a é covergete, etão a diverge. (b) Se a > 0; 8; e a é covergete, etão p a a + é covergete. p (c) Se a > 0; 8; e lim a =, etão a série! a diverge. (d) Se a > 0, 8; e lim a = 0, etão a série a p coverge.! (e) Se a e b são divergetes, com a 0 e b 0; 8, etão (f) Se a > 0; 8; e lim! a + a =, etão a série a diverge. (g) Se 0 < a < e a coverge, etão a 2 coverge. (h) Se 0 < a < e a coverge, etão a a coverge. (a + b ) diverge.

4 4 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS (i) Se a e b são covergetes, com a 0 e b 0; 8, etão a b coverge. (j) A série de termo geral a = 2 l é covergete Mostre que : 2.3. :::: ::::::::::::::::::::::::: SÉRIES ALTERNADAS. Aproxime a soma da série pela soma parcial S 4 e estime o erro a aproximação. (a) ( ) + 3 (b) ( ) 2 : 2. Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da série com quatro casas decimais e com erro meor do que E = 5 0. Diga quado a aproximação é por falta ou por excesso: (a) ( ) + p (b) ( ) 2 (c) ( ) : 3. Veri que que as séries abaixo atedem às codições do Critério de Leibiz e coclua que elas são covergetes: (a) ( ) (b) ( ) 2 (c) ( ) Determie os valores iteiros de p que toram a série covergete. (a) ( ) ( ) p (b) (c) ( ) (l ) p + p (d) ( ) se (=) : 2.4. :::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: CONVERGÊNCIA ABSOLUTA, TESTE DA RAZÃO & TESTE DA RAIZ. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justi que cada resposta para melhor assimilar a teoria. (a) Se a coverge, etão a2 coverge. (b) Se a coverge absolutamete, etão a2 = + a 2 coverge. (c) Se a2 coverge, etão a coverge absolutamete. (d) Se lim! (a =b ) = 0 e a diverge, etão b diverge. (e) Se lim! (a =b ) = e b coverge, etão a coverge.

5 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES NUMÉRICAS 5 (f) Se a coverge absolutamete, a 6= 0; etão = ja j diverge. (g) Se a e b são divergetes, etão a b é divergete. (h) Se a e b são covergetes, etão a b é covergete. (i) ara todo iteiro positivo k a série alterada ( ) kp coverge. 2. Usado o Critério da Raiz, veri que que as séries dadas abaixo covergem: (a) (b) ( p ) (c) (d) ( 5) + (l ) : 3. Supoha que a sequêcia fa g seja covergete e teha limite l. Cosidere as sequêcias fa + g e fa g de idas por: a + = 2 (a + ja j) e a = 2 (a ja j) (a) Calcule os limites: lim a + e lim a : (b) Se a coverge absolutamete, mostre que a + e a covergem. (c) Se a coverge codicioalmete, mostre que a + e a divergem. 4. Dê exemplo de duas séries a e b ; sedo a primeira divergete e a seguda covergete, tais que lim (a =b ) = 0. O Critério da Comparação o Limite foi violado?! 5. ESTRATÉGIA ARA TESTAR A CONVERGÊNCIA Na teoria estabelecemos vários critérios para testar a covergêcia de uma série umérica e a di culdade é: qual o teste adequado a uma determiada série. Essa di culdade também surge quado se itegra fuções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Apresetamos um roteiro que poderá ajudar a ivestigação. (i) Se lim a 6= 0 ou a sequêcia fa g é divergete o critério do -ésimo termo deve ser usado para cocluir que a série a diverge. (ii) Se a série é da forma r ela é uma série geométrica, que coverge para = ( r) se jrj < e diverge se jrj : (iii) Se a série é da forma (b b + ) ela é uma série de ecaixe, que coverge para b lim b ; se fb g covergir. Se fb g divergir a série de ecaixe também diverge. (iv) Se a série é da forma = p ela é uma p-série e será covergete apeas quado p > :

6 6 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS (v) Nos outros casos teta-se o Critério da Razão seguido o esquema: (a) Agora, teste a covergêcia das seguites séries:! (e) (!) 2 (2)! (i) p (b) (f) (j) ( ) 2! 3 p 3 + (l ) (c) (g) 2! (k)! (d) (h) 2 (l) (2 + 3 ) = ( ) cos 2 ( ) ( + 2) 6. Teste a covergêcia das séries: (a) 3 5 : : : (2 )! (b) : : : (2) 4 7 : : : (3 2) (c) 3 5 : : : (2 )!2 : RESOSTAS & SUGESTÕES 2. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. rocure justi car as a rmações falsas com um cotraexemplo. ara as a rmações verdadeiras, procure um critério de covergêcia adequado. (a) (F) (b) (F) (c) (F) (d) (F) A série harmôica é um cotraexemplo. Veja o caso da série harmôica. Cosidere a = = 2. A série p = 2 é a série harmôica divergete. Veja as séries em (c). (e) (F) Cosidere a = = e b = = ( + ) :

7 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES NUMÉRICAS 7 (f) (F) Cosidere a = : (g) (F) Se fa g é uma sequêcia costate, a série a só covergirá quado a 0: Se esse ão é o caso, etão lim a 6= 0 e a série correspodete diverge. (h) (V) Cosequêcia do Critério da Cauda! 2. Em cada caso, observe o termo geral a da série e comprove que: ou lim a 6= 0 ou a sequêcia (a ) ão tem limite. 3. O termo geral a é calculado a partir da relação: a = S S : (a) 2 (3 2) (3 + ) = 2 3 (b) = (c) 2 = 0: 4. (a) 3 (b) (c) (d) (e) 8 5 (f) 7 8 (g) 2 (h) 6 (i) 8 (j) l 2 (k) 8 6 (l) 5. x 2 = metros cetímetros. x2 x 2, se jxj < ; e =0 (x 3) 2 + = ; se < x < 5: 5 x 8. O vecedor foi o atleta A, com percurso de km cotra km do atleta B. : 2.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. Nos critérios de comparação, existem duas séries evolvidas: a série de prova b ; de atureza cohecida, e a série sob ivestigação a. I São Covergetes: (a), (b), (c), (d), (e), (g), (h), (i), (k), (l), (m), (o), (p), e (r). I São Divergetes: (f), (j), (), (q), (s) e (t). (a) Compare com a p-série covergete = 4 : a = = b : (b) Compare com a série geométrica covergete =3 : (c) Compare com a p-série covergete = 3=2 : p p a = = 3=2 = b :

8 8 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS (d) Compare com a p-série covergete 3= 2 : (f) Compare com a série harmôica = : a = arcta = b ; 0 : (i) Use o fato l ( + ) ; 8 ; e compare com uma série geométrica. (k) Compare, o limite, com a série covergete = 2 : (s) Compare, o limite, com a série harmôica =. Veja: 2. (a) (C) (b) (C) (c) (C) (d) (D) (e) (C). 3. (a) = 00 (b) = 2 (c) > e 00 : lim a se (=) = lim = : b = 4. Use comparação o limite, com a série de prova = p : 5. (a) (V) (b) (V) (c) (V) (d) (F) (e) (V) (f) (F) (g) (V) (h) (V) (i) (V) (j) (F). 6. Iicialmete recorde-se que e para cocluir ote que: Z Z + x 2 dx X dx = lim [arcta x]x=b + x2 x= = =4 B! 2 + = 2 + X 2 + Z x 2 dx: 2.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. (a) 8; (b) : 2. (a) S ' 0:858 (FALTA) (b) S ' 0:7987 (EXCESSO) (c) S ' 0:783 (EXCESSO) 3. Em cada caso, vemos que a série é alterada e resta-os veri car que a sequêcia (b ) que gura a série de Leibiz ão cresce e tem limite zero. (a) É claro que b = decresce e tem limite zero.

9 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES NUMÉRICAS 9 (b) Neste caso, b = é ão crescete, porque b + = b 2 + ; 8 ; 2 e, além disso, lim b = 0, como pode ser facilmete comprovado usado a Regra de L Hôpital ou o Critério da Razão para sequêcias. 2 (c) Temos b = 3 ; que decresce e tem limite zero. + 2 (d) A sequêcia b = se (=) tem limite zero e para comprovar que ela decresce, otamos que a fução extesão f (x) = se (=x) tem derivada f 0 cos (=x) (x) = x 2 < 0; para x : 4. Em (a) e (b) a série coverge se o iteiro p for positivo; em (c) a série coverge seja qual for o iteiro p: 2.4 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. (a) F (b) V (c) F (d) F (e) F (f) V (g) F (h) F (i) V. 2. Em cada caso, veri que que lim p ja j <. or exemplo, em (b), temos: 3. Cosiderado que l = lim a, temos: lim p ja j = lim p = = lim p = 0: (a) lim a + = 2 (l + jlj) e lim a = 2 (l jlj) : (b) Se a coverge absolutamete, etão a + e a são covergetes, por serem somas de séries covergetes. (c) Se a coverge codicioalmete, etão a + e a são divergetes, por serem somas de uma série covergete ( a ) com outra divergete ( ja j). 4. Recorde-se que os Critérios de Comparação se aplicam às séries de termos positivos. 5. I Covergem Absolutamete: (a), (b), (c), (e), (h), (i), (j), (k) e (l). I São Divergetes: (d), (f) e (g). 6. A série (a) é divergete, porque lim a = : A série (b) é covergete, porque lim a + a = 2=3: Na série (c) temos lim a + = e o Teste da Razão ão se aplica. Ela pode ser comparada com a a série divergete (=2) e deduzimos que ela é divergete.