Análise Matemática 2 D. Filipe Oliveira, 2011

Transcrição

1 Aálise Matemática 2 D Itrodução às Séries Numéricas Filipe Oliveira, 20

2 Coteúdo Itrodução às séries uméricas 3. Prelúdio: O paradoxo de Aquiles e da tartaruga Sucessão das somas parciais Caso das sucessões aritméticas Caso das sucessões geométricas Caso das sucessões telescópicas Noção de série covergete Um primeiro exemplo Formalização da oção de série covergete Séries geométricas Epílogo: o paradoxo de Aquiles e da Tartaruga Propriedades Gerais 2 2. Álgebra das séries covergetes Séries grosseiramete divergetes Séries resto Séries de termos positivos 9 3. Primeiras propriedades Critérios de Comparação para séries de termos positivos Represetação decimal de um úmero real O Critério de Cauchy O Critério de d Alembert Séries de termos com sial variável Covergêcia absoluta Séries alteradas

3 Itrodução às séries uméricas. Prelúdio: O paradoxo de Aquiles e da tartaruga Um dos mais famosos paradoxos de Zeão - filósofo grego da Atiguidade - é o problema de Aquiles e da tartaruga. Aquiles, herói da guerra de Tróia, vai fazer uma corrida com uma tartaruga cuja velocidade é 5 vezes iferior à sua: v A = 5.v T. É cocedido um avaço d à tartaruga. No istate t = 0, ambos começam a correr o mesmo setido. Eis a posição iicial: Istate t = 0 (A 0 : posição de Aquiles; T 0 : posição da tartatuga) Aquiles A 0 d T 0 A corrida iicia-se. Aquiles precisará de um tempo de t = d v A para atigir a posição iicial T 0 da tartaruga. Naturalmete, ao atigir esta posição, a tartaruga já se ecotra mais adiate: durate esse v lapso de tempo, percorreu a distâcia d 2 = v T t = d T va. Istate t = t = d v A A = T 0 T v d 2 = d T va Aquiles demorará agora t 2 = d 2 v A = t v T va para atigir a ova posição T da tartaruga. Uma vez mais, após esse desse lapso de tempo, a tartaruga já se ecotra mais à frete: terá coseguido percorrer a distâcia d 3 = v T t 2 = d 2 v T va 3 = d ( vt va ) 2.

4 Istate t = t + t 2 = t + t v T va A 2 = T T 2 d 3 = d ( vt va ) 2 É certo que a distâcia que os separa vai sedo reduzida drasticamete...mas também é certo que este é um processo ifiito: sempre que Aquiles atigir a posição prévia da tartaruga, esta já se ecotrará à frete, por muito pouco que seja. Após repetição deste processo vezes, temos a seguite situação: ( ) ( ) 2 ( ) Istate t = t + t t = t + t vt va + t vt va + + vt t va A = T T d + = d ( vt va ) Zeão argumetava agora que ão é possível Aquiles alcaçar a tartaruga. Teria de passar por este processo uma ifiidade de vezes, percorredo uma distâcia igual à soma ifiita de todas as distâcias d : d T otal = d + d 2 + d d 00 + d d d o que levaria um tempo total de t T otal = t + t 2 + t t 00 + t t t Estas duas quatidades, sedo iguais à soma de uma ifiidade de parcelas todas elas estritamete positivas, são aparetemete ifiitas. Com isto, Zeão pretedia demostrar que todo o movimeto é ilusão, pois o mudo real sabemos que Aquiles alcaça facilmete a tartaruga. Tal seria, de um poto de vista lógico, impossível... Nos capítulos seguites iremos itroduzir as ferrametas matemáticas ecessárias à resolução deste paradoxo..2 Sucessão das somas parciais Defiição.2. Seja (u ) N uma sucessão. A sucessão de termo geral S N = u + u u N = diz-se sucessão das somas parciais associada a (u ) N. u 4

5 Ou seja, o N-ésimo termo da sucessão das somas parciais é simplesmete a soma dos N primeiros termos da sucessão origial. Por exemplo, tomado a sucessão de termo geral u =, tem-se S = =, S 2 = + 2 = 3 2, S 3 = = 6... etc : para todo N N, S N = N. Obter uma expressão explícita para S N é, em geral, impossível. No etato, tal pode ser coseguido as seguites situações já estudadas durate o Esio Secudário:.2. Caso das sucessões aritméticas Seja (u ) N a sucessão aritmética de primeiro termo a e razão r, isto é, para todo N, Tem-se, para todo N N, S N = N u + u N 2 u = a + ( )r. = N 2a + (N )r. 2 Por ão se tratar de um resultado importate o âmbito do estudo das séries uméricas (que defiiremos mais adiate), ão se apreseta uma prova deste resultado, que pode ser ecotrada em qualquer bom maual do o ao..2.2 Caso das sucessões geométricas Bem mais fudametal é o seguite resultado, referete à sucessão das somas parciais de sucessões geométricas: Teorema.2.2 Seja (u ) N a sucessão geométrica de primeiro termo a e razão r, isto é, para todo N, u = ar. Etão, para todo N N, S N = a rn r. Deixou-se de fora o caso r =, por ão se tratar de um caso iteressate: essa situação u = a para todo pelo que S N = u + u u N = a + a + + a = Na. 5

6 Prova Por defiição, S N = u + u u N = a( + r + r r N ). Assim, S N ( r) = a( + r + r r N )( r) = a[( + r + r r N ) (r + r 2 + r r N )] = a( r N ). Dividido esta igualdade por ( r) obtêm-se o resultado pretedido. Podemos realizar o mesmo cálculo de uma forma um pouco mais formal, evolvedo as propriedades dos somatórios. Dessa forma ão precisamos de utilizar reticêcias (... ), que podem por vezes causar alguma cofusão: ( N ) S N ( r) = ( r) ar = a( r) r = a r r r ( N = a r ) ( N ) N+ r = a r r = a( r N ). =2.2.3 Caso das sucessões telescópicas Não existido uma defiição precisa, diz-se tradicioalmete que uma sucessão (u ) N é telescópica (ou de Megoli) se for cohecida explicitamete uma outra sucessão (a ) N tal que para todo N, u = a a +. Por exemplo, as sucessões de termo geral: u = (+) = + (tomar a = ), v = si( + ) si() = ( si()) ( si( + )) (tomar a = si()) ( ) w = l + = 2 l() 2 l( + ) (tomar a = 2 l()), Megoli, são sucessões telescópicas. Tal como acotece para as sucessões aritméticas ou geométricas, o termo geral da sucessão das somas parciais associada a uma sucessão telescópica pode ser obtido explicitamete: S N = u = (a a + ) = (a a 2 ) + (a 2 a 3 ) + (a 3 a 4 ) + + (a N 2 a N ) + (a N a N ) = a a N+. 6

7 Por exemplo, S N = ( + ) = N +. De maeira mais geral, aproveitado este tipo de simplificações, é possível determiar explicitamete a sucessão das somas parciais de muitas outras sucessões, como por exemplo as da forma u = a a +k. (k iteiro fixo ) Não se apreseta aqui um resultado geral (apesar de ser possível fazê-lo). De facto, é bem meos cofuso deduzi-lo caso a caso, utilizado as propriedades dos somatórios, como o exemplo que se segue: Exemplo.2.3 S N = = 2 N ( + 2) = ( 2 ) = Noção de série covergete.3. Um primeiro exemplo 2 N+2 2 = ( N + ). N + 2 =3 Tomemos a sucessão geométrica de termo geral u = 2 (a = 2 e r = 2 ): S N = 2 = N = 2 2 N 2 O que acotece a esta igualdade se tomarmos o limite N +? Tem-se lim S N = lim 2 = lim 2 N =. + 2 = 2 N. Isto sigifica que, de certa forma, se somarmos a ifiidade de parcelas ão obtemos uma quatidade ifiita como poderíamos igeuamete pesar. Obtemos simplesmete o valor. Escrevemos 2 =. 7

8 Este resultado ão é assim tão espatoso... É verdade que estamos um certo setido a somar uma ifiidade de parcelas estritamete positivas. Mas também é verdade que essas parcelas são cada vez mais pequeas. Aliás, este resultado é muito fácil de perceber ituitivamete: obtémse uma boa ilustração desta igualdade tomado um segmeto de comprimeto e dividido-o sucessivamete ao meio (... ).3.2 Formalização da oção de série covergete De maeira mais geral: Defiição.3. Seja (u ) N uma sucessão umérica e (S N ) N N a respectiva sucessão das somas parciais. Diremos que a série u é covergete se a sucessão (S N ) N N é covergete, isto é, lim S N R. Nesse caso, deotamos a soma da série por u := lim S N. a série u é divergete se a sucessão (S N ) N N é divergete, isto é, lim S N = ± ou lim S N ão existe. Em rigor, o que se etede por série é o par ordeado de sucessões ((u ) N, (S N ) N N ). No etato, este curso, apeas usaremos esta palavra o setido da Defiição.3.. Exemplo Como vimos, S N = 2 N : lim S N =. Assim, a série é covergete e tem-se N 2 2 =. 8

9 ( ) Nesta situação, Logo, S N = ( ) = ( ) + ( ) ( ) N = lim S N ão existe: a série ( ) é divergete. Aqui, S N = = ( + ) 2 lim S N = + e a série é divergete. { se N é ímpar 0 se N é par (sucessão aritmética de primeiro termo e razão ): Naturalmete, podemos também determiar a atureza e a soma de uma série de tipo telescópica aproveitado o facto de cohecermos explicitamete o termo geral da sucessão das somas parciais: Exemplo.3.3 Vimos que ( + ) = N, pelo que ( + ) é covergete, e Da mesma forma, atededo ao Exemplo.2.3,.3.3 Séries geométricas ( + ) =. ( + 2) = ( + ) = Como vimos, a expressão do termo geral da sucessão das somas parciais associada a uma sucessão geométrica pode ser determiada explicitamete. É por isso fácil determiar a atureza de uma série geométrica. O resultado, absolutamete essecial, ecotra-se sitetizado o seguite teorema: Teorema.3.4 Seja (u ) N a sucessão geométrica de primeiro termo a 0 e de razão r R. Etão: 9

10 Se r <, u é covergete, e tem-se Se r, u é divergete. u = ar = a r. Retirou-se o caso a = 0, uma vez que essa situação a sucessão (u ) N é ideticamete ula, pelo que u é obviamete covergete. Prova Se r <, lim rn = 0: lim S N = lim N coverge e tem-se N u = a rn r a r. = a r. Por defiição, u Se r =, S N = Se r =, S N = a = Na { + se a > 0 se a < 0. { a( ) 0 se é par = a se é ímpar. Por defiição, a série u é diver- Em ambos os casos, (S N ) N N ão é covergete. gete. Se r >, lim r = lim r = +. A sucessão das somas parciais, de termo geral S N = a r r, ão é covergete: u é divergete..4 Epílogo: o paradoxo de Aquiles e da Tartaruga Retomemos a expressão obtida para o tempo que levaria Aquiles a alcaçar a tartaruga: t T otal = t + t 2 + t t 00 + t t t Sabemos agora dar um setido a esta soma ifiita : trata-se da soma da série t, caso esta seja covergete. Vimos que para todo, ( ) vt t = t. 0 v A

11 Trata-se de o termo geral da sucessão geométrica de primeiro termo a = t e razão r = v T va. A série é covergete se r = v T va <, isto é v T < v A, o que faz todo o setido: Aquiles alcaça a tartaruga se e só se for mais rápido do que ela. Nesse caso, t T otal = t = a r = d v A v T. Por exemplo, tomado a distâcia iicial d = 00 m, v A = 0 m s e v T = 2 m s, obtém-se t T otal = 2, 5 s.

12 2 Propriedades Gerais 2. Álgebra das séries covergetes Propriedade Liearidade do sial de soma Sejam (u ) N e (v ) N duas sucessões uméricas. Se u e v são covergetes, etão u + v é covergete e u + v = Para todo λ R, (λu ) é covergete e u + v. (λu ) = λ u. Prova Basta observar que para todo N N, aqui de uma soma fiita. Assim, lim (u + v ) = lim (u + v ) = u + lim u + v, uma vez que se trata v = u + uma vez que u e v são covergetes. Logo, (u + v ) é covergete e tem-se a igualdade auciada. A prova é aáloga, bastado observar que para todo N N, v, (λu ) = λ u. Exemplo 2..2 Mostre que 3 +2 arcta() 2 arcta(+) é covergete e determie ( 5) a sua soma. ( 5) = ( ) 5 é a série geométrica de primeiro termo a = 5 e razão r = 5. Como r = 5 <, esta série é covergete e ( 5) = a r = 6. 2

13 arcta() arcta( + ) é uma série telescópica: arcta() arcta( + ) = arcta() arcta(n + ) arcta() π 2. Trata-se pois de uma série covergete e arcta() arcta( + ) = arcta() π 2 = π 4. Por liearidade do sial de soma, a série em estudo é covergete e 3 + ( 5) + 2(arcta() arcta( + )) = 3 + ( 5) + 2 arcta() arcta( + ) = 2 π 2. Eis um corolário desta propriedade que os será bastate útil de futuro: Corolário 2..3 Seja C 0. Etão Cu é covergete u é covergete. Prova Se Cu é covergete, pelo poto aterior também o é a série λ(cu ) para qualquer valor λ R. Tomado λ = C, λ (λu ) = u é covergete E o que dizer de da soma de uma série covergete e de uma divergete? E da soma de duas séries divergetes? Propriedade 2..4 Sejam Sejam (u ) N e (v ) N duas sucessões uméricas. Se u é covergete e v é divergete, u + v é divergete; Se u e v são ambas divergetes, ada se pode afirmar à partida sobre a atureza de u + v. Esta série poderá ser covergete ou divergete. 3

14 Prova Se u é covergete e v é divergete: Vamos provar por redução ao absurdo que w, ode w = u +v é uma série divergete. De facto, se w fosse covergete, v = w u = w + ( )u seria uma série covergete pela Propriedade 2.., o que cotradiz a hipótese. Logo w = u + v é obrigatoriamete divergete. Seja (u ) N a sucessão costate igual a : para todo, u =. Tomado v =, u e v são divergetes (as sucessões das somas parciais tedem respectivamete para + e ). No etato, (u +v ) = 0 é uma série covergete. Tomado agora v =, u e v são divergetes mas desta feita (u + v ) = 2 é uma série divergete. Fica assim claro que somado duas séries divergetes tudo pode acotecer Séries grosseiramete divergetes Vimos que é uma série divergete. De facto, tomado u = para todo, S N = u = = = N Na realidade, uma codição ecessária para que uma série seja covergete é que o seu termo geral teda para 0: +. Teorema 2.2. Seja (u ) N uma sucessão umérica. Etão u é covergete lim u = 0. + Observação Uma implicação (A B) e a sua cotra-recíproca ( B A) têm o mesmo valor lógico. Assim, também se tem 4

15 lim u 0 ( ou lim u ão existe) + + u é divergete. Desta forma, se o limite da sucessão (u ) N ão for ulo (ou ão existir), podemos afirmar de imediato que u é divergete. Diremos que esta série é grosseiramete divergete. Prova do Teorema 2.2. Seja u uma série covergete e (S N ) N N a sucessão das somas parciais. Por defiição de série covergete, Observe-se que se tem Assim, lim u N = S N S N = lim S N = l R. lim (S N S N ) = Exemplo Determie a atureza da série N u u = u N lim S N lim S N = l l = pelo que + é divergete. lim + + = lim + + = 0, Observação fudametal Existem muitas séries u divergetes tais que devemos ler a implicação do Teorema 2.2. ao cotrário! Por exemplo, tomado a sucessão de termo geral u = log ( + ) : ( lim u = lim log + ) = log() = No etato, S N = = ( log + ) ( ) + = log log( + ) log() = log(n + ) log() = log(n + ). lim S N = lim log(n + ) = + e a série é divergete. lim u = 0. Não + 5

16 2.3 Séries resto Nos capítulos ateriores apresetámos somatórios e somas de séries com iício a ordem =. Naturalmete, tal ão é obrigatório. Dada uma sucessão (u ) N e um iteiro 0 N, 0 N, podemos escrever Sedo 0 S N = u = 0 u + u = (u + u u 0 ) + u. = 0 = 0 u uma quatidade costate que ão depede de N, retira-se facilmete que é covergete se e só se = 0 u é covergete, e que esse caso lim u = 0 Acabámos pois de justificar o seguite resultado: u + lim = 0 u. u Propriedade 2.3. Seja u uma série covergete. Etão, para todo 0 N, u = u + u u 0 + u, = 0 ode = 0 u = lim = 0 u. Exemplo Calcule =3 Sabemos do Exemplo.3.3 que Assim, =3 ( + ). ( + ) =. + ( + ) = ( + ) ( + ) 2(2 + ) = 3. Uma outra propriedade que resulta de forma imediata destas observações é a seguite: 6

17 Propriedade Sejam (u ) N e (v ) N duas sucessões uméricas que apeas diferem um úmero fiito de termos, isto é, tais que o cojuto { N : u v } é fiito. Etão u e v são de mesma atureza: ou são ambas covergetes ou são ambas divergetes. Este resultado é por vezes euciado da seguite forma: modificar um úmero fiito de termos de uma sucessão ão modifica a atureza da respectiva série. Prova Seja 0 um iteiro superior ao máximo do cojuto { N : u v } (existe, pois trata-se por hipótese de um subcojuto fiito de N). Vimos que u coverge se e só se u coverge (N + ). Da mesma forma, v = 0 coverge se e só se v coverge. = 0 A prova fica cocluída observado que para todo N, u = v. = 0 = 0 Defiição Seja u uma série covergete. A sucessão (R N ) N N de termo geral R N = diz-se a série resto de u. u =N+ De maeira evidete: Propriedade Dada uma série covergete u, lim R N = 0. Prova De facto, pela Propriedade 2.3., para todo N N u = u =N+ u, 7

18 ou seja R N = u S N. Basta agora passar ao limite: lim R N = u lim S N = 0. 8

19 3 Séries de termos positivos A série u diz-se de termos positivos se N, u 0. O presete capítulo é dedicado ao estudo deste tipo de séries. 3. Primeiras propriedades Propriedade 3.. Seja (u ) N uma sucessão de termos positivos. Etão a sucessão das somas parciais (S N ) N N associada a (u ) N é crescete. Prova Tem-se, para todo N N, S N+ S N = N+ u u = u N+ 0. Sabemos da disciplia de Aálise Matemática que uma sucessão crescete (S N ) N N admite apeas dois tipos de comportameto: Se (S N ) N N ão é majorada, lim S N = +. Nesta situação, u é por defiição divergete. Se (S N ) N N é majorada, lim S N = l, ode l = sup{s N : N N} R. Aqui, u é por defiição covergete. Obtivemos pois o seguite resultado: Teorema 3..2 Seja u uma série de termos positivos. Etão u é covergete (S N ) N N é majorada. Exemplo 3..3 Mostre que a série cos 2 () 2 é covergete. 9

20 Trata-se de uma série de termos positivos. Tem-se, para todo N N, S N = cos 2 () ( N 2) 2 ( ) N, 2 ode se usou sequecialmete a defiição da sucessão das somas parciais, o facto de se ter, para todo N, cos 2 (), e a fórmula da soma dos N primeiros termos da progressão geométrica de primeiro termo 2 e de razão r = 2. Acabámos de mostrar que a sucessão (S N ) N N é majorada (por ). Podemos pois cocluir pelo Teorema 3..2 que cos 2 () 2 é covergete. cos 2 () Ifelizmete, ão parece muito fácil calcular a soma 2, em parte por ão cohecermos explicitamete o termo geral da sucessão das somas parciais (apeas cohecemos uma majoração). Em muitos casos, teremos de os cotetar com o cohecimeto da atureza das diferetes séries Critérios de Comparação para séries de termos positivos Se pesarmos um pouco, costatamos que o facto de a série 2 ser covergete jogou um papel fudametal este último exemplo. Foi em particular o que os permitiu escrever que para todo N N, 2. ( ote-se aliás que ) 2 = Aproveitado esta ideia, podemos provar um resultado mais geral: Teorema o Critério de Comparação Sejam (u ) N e (v ) N duas sucessões de termos positivos ou ulos tais que N, u v. Etão v coverge u coverge. Prova Sejam (S N ) N N e ( S N ) N N as sucessões das somas parciais associadas respectivamete a (u ) N e (v ) N. 20

21 Supodo que v é covergete, tem-se por defiição que lim S N = L R. Como ( S N ) N N é crescete, podemos afirmar que N N, SN L. Por outro lado, visto que para todo N, u v, tem-se N N, S N = Coclui-se que para todo N N, S N L. u v = S N L. Assim, (S N ) N N é majorada. Pelo Teorema 3..2, u é covergete. Exemplo Mostre que a série arcta() ( + ) é covergete. Basta observar que para todo N, 0 arcta() ( + ) π 2 ( + ) : Sedo a série de termo geral covergete, também o é a série de termo geral ( + ) v = π 2 ( + ). Pelo o Critério de Comparação, arcta() ( + ) é covergete. De otar que esta técica permite determiar a atureza desta série mas ifelizmete ão forece o valor da sua soma. No etato, atededo a que para todo N, tem-se, para todo N N, arcta() ( + ) π 2 ( + ), arcta() ( + ) N π 2 ( + ) = π 2 Passado ao limite N +, obtém-se a estimativa arcta() ( + ) π 2 ( + ) = π 2. ( + ). O o Critério de Comparação merece aida os seguites importates cometários: 2

22 Como vimos o capítulo aterior, a atureza de uma série ão é alterada se se modificar um úmero fiito de termos da sucessão. Por essa razão: Para aplicar o o Critério de Comparação ão é ecessário verificar a desigualdade u v para todo N. Basta fazê-lo a partir de uma certa ordem. Passado à cotra-recíproca: Se se verificarem as hipóteses do o Critério de Comparação 3.2., u diverge v diverge. Exemplo Mostre que a série é divergete. A série é chamada de série harmóica. Costatemos que se trata de uma série divergete: Utilizado a desigualdade log( + x) x para todo x 0, tem-se para todo N, ( log + ). Vimos que ( log + ) é divergete, pelo que a série harmóica é divergete. Eis um segudo Critério de Comparação bastate útil: Teorema o Critério de Comparação Sejam (u ) N e (v ) N duas sucessões de termos positivos, com v 0 a partir de uma certa ordem. Se u lim = l ]0; + [ + v etão u e v possuem a mesma atureza, ou seja, ou são ambas covergetes ou são ambas divergetes. 22

23 u Prova lim = l sigifica que para todo o ɛ > 0 escolhido, existe uma ordem N N tal que + v N, u l v < ɛ, ou seja, para N, l ɛ < u v < l + ɛ. Escolhedo ɛ = l 2, e tedo em cota que v > 0, obtém-se l 2 v < u < 3l 2 v. Da primeira desigualdade, pelo o Critério de Comparação, deduz-se que se u coverge, l 2 v coverge. Como l 2 0, v coverge. Da mesma forma, deduz-se da seguda desigualdade que se v coverge, u coverge. Exemplo Determie a atureza da série 2. Observemos que lim + 2 (+) ( + ) = lim + 2 = lim + = ]0; + [. + Assim, pelo 2 o Critério de Comparação, 2 e possuem a mesma atureza. ( + ) Sabemos que a seguda é covergete, logo a primeira também o é. u No caso de se ter lim = 0, as séries u e v ão têem ecessariamete a mesma + v atureza. Para ilustrar este facto, pode por exemplo tomar-se u = e v =. No etato, é válido o 2 seguite resultado: Teorema o Critério de Comparação Sejam (u ) N e (v ) N duas sucessões de termos positivos, com v 0 a partir de uma certa ordem. Se u lim = 0 + v 23

24 etão v coverge u coverge ou aida, observado a cotra-recíproca, u diverge v diverge. u Prova lim = 0 sigifica que para todo o ɛ > 0 escolhido, existe uma ordem N N tal + v que N, u < ɛ. Escolhedo por exemplo ɛ = e observado que as sucessões são positivas, obtém-se que v u < v a partir de uma certa ordem. Pode-se etão cocluir pelo o Critério de Comparação. Naturalmete, para que os Critérios de Comparação possam ser utilizados eficazmete, é ecessário cohecer à partida a atureza de um grade úmero de séries. Nesse setido, o teorema seguite forece a atureza das séries do tipo ditas séries de α Dirichlet: Teorema Séries de Dirichlet A série é divergete se α e covergete se α >. α Prova Seja α. Para todo N, α, ou seja. A série harmóica é divergete, α pelo que, pelo o Critério de Comparação, diverge. α Falta aida estudar o caso α >. Utilisaremos aqui uma técica dita de comparação com um itegral. Para 2, comecemos por observar que para x [ ; ], x α α. Itegrado esta desigualdade o itervalo [ ; ], vem Joha Dirichlet, x α dx 24 α dx = α.

25 Somado agora estas desigualdades para = 2, 3,..., N, obtém-se Por outro lado, =2 N x α dx α. =2 Como α < 0, =2 lim Logo, α é covergete. N x α dx = [ ] x α+ N x α dx = = ( N α ). α + α ( (N + ) α ) = N α α, pelo que a sucessão =2 3.3 Represetação decimal de um úmero real α é limitada. No secudário, apredemos que os úmeros reais admitem uma represetação em dízima fiita/ifiita (periódica ou ão períodica). Mas o que é exactamete uma dízima ifiita? Uma represetação que uca termia? Terá isto algum setido? De facto, este assuto uca foi muito bem explicado...a razão é simples: só agora, com o estudo das séries, possuimos os istrumetos adequados para compreeder este coceito. Tomemos o exemplo do úmero x = 0, (5) = 0, O setido que devemos dar a esta otação é o seguite: x = = 5.0. Ou seja, aquilo que está escodido por detrás de uma represetação em dízima ifiita é simplesmete a covergêcia de uma série: Defiição 3.3. Seja x [0; ] e (a ) N uma sucessão tal que para todo N, a {0; ; 2; 3;... ; 8; 9}. Diz-se que 0, a a 2... a... é uma represetação em dízima de x se x = a 0. 25

26 Note-se que a série é covergete. Basta utilizar o primeiro critério de comparação: 0 a e a série 9.0 é covergete (série geométrica de razão 0 ). Vejamos agora um exemplo curioso. Tomemos o úmero Tem-se x = 0, (9) = x = 0, (9) = 0, = 9 ( ) 0 = (Soma de uma série geométrica de primeiro termo a = 0 e razão r = 0.) =. Acabámos pois de mostrar que 0,(9)=. Da mesma forma, é fácil ver que 0, 7(9) = 0, 8, que, 345 =, 344(9),...etc. Em particular: Qualquer úmero real que admite uma represetação em dízima fiita admite também uma represetação em dízima ifiita períodica, de período 9. Em particular: Não existe uicidade da represetação decimal de um úmero real. Observação Existem vários processos elemetares que permitem verificar a igualdade 0, (9) =. Seja x = 0, (9). Multiplicado esta igualdade por 0, vem 0x = 9, (9). Desta forma, 0x x = 9, (9) 0, (9) = 9, de ode se deduz que 9x = 9 e x =. Aida mais simples: multiplique por 3 a igualdade 3 = 0, O Critério de Cauchy Sabemos do capítulo aterior que a série geométrica r coverge se e só se r <. O Critério de Cauchy, também cohecido por Critério da Raíz, diz essecialmete que se o termo geral de uma sucessão de termos positivos u se comporta o ifiito como r, etão a série u coverge ou diverge cosoate r < ou r >. Note-se que de um poto de vista ituitivo, Eis pois o euciado correcto deste Critério: u r sigifica u r. 26

27 Teorema 3.4. Critério de Cauchy Seja (u ) N uma sucessão de termos positivos com lim + u = r. (r R + 0 ou r = + ) Etão: Se r <, u é covergete; Se r > (ou r = + ), u é grosseiramete divergete. Prova Comecemos por supor que r <. Dizer que lim u = r sigifica que para todo ɛ > 0 existe + uma ordem N N tal que N, r ɛ < u < r + ɛ. Como r <, é possível escolher ɛ suficietemete pequeo por forma a que L = r + ɛ <. Etão, a partir de uma certa ordem, tem-se, em particular, que u < L, ou aida u < L. A série L é uma série geométrica de razão L [0; [, logo coverge. Pelo o Critério de Comparação, u coverge. Augusti-Louis Cauchy, Por outro lado, se r > (ou r = + ), é imediato que a partir de uma certa ordem u, ou seja, u =. Logo, a sucessão (u ) N ão tede para 0: por defiição, u é grosseiramete divergete. Exemplo Determie a atureza da série ( ) 2. ( Seja u = ) 2 (. Tem-se u = (u ) = Como e <, pelo Critério de Cauchy, ( ) 2 ) ( = + ( ) coverge. ) + e. Uma última observacão: 27

28 Se lim + u =, o Critério de Cauchy ão permite cocluir quato à atureza da série u. Por exemplo, tomado u =, temos lim + Por outro lado, tomado u =, tem-se igualmete 2 lim 3.5 O Critério de d Alembert u = e é divergete. + Dada uma sucessão (u ) N de termos positivos, sabemos que se existe também lim u e + lim u + u = lim. + + u u = mas 2 u + lim + u coverge... existe, etão Este facto permite deduzir de maeira imediata o Critério dito de D Alembert (ou Critério da Razão): Teorema 3.5. Critério de d Alembert Seja (u ) N uma sucessão de termos positivos com u + lim = r. (r R u ou r = + ) Etão: Se r <, u é covergete; Se r > (ou r = + ), u é grosseiramete divergete. Exemplo Determie a atureza da série 2 (!). Seja u = 2!. Tem-se u + u = (+) 2 (+)! 2! = ( + ( )2! 2 ( + )! = + ) Como 0 <, pelo Critério de d Alembert, 2 coverge.! Jea D Alembert,

29 4 Séries de termos com sial variável Até ao mometo, os critérios estudados apeas se aplicam a séries de termos positivos. No presete capítulo estudaremos o caso de séries cujos termos ão possuem sial costate. 4. Covergêcia absoluta Teorema 4.. Seja (u ) N uma sucessão umérica. Etão u coverge u coverge. Prova Seja (u ) N uma sucessão tal que u é covergete. Seja w = u + u. Como se tem, para todo x R, x x x, para todo N Somado u a estas desigualdades, obtém-se u u u. 0 w 2 u. Assim, w é uma série de termos positivos. Como u é covergete, pelo o Critério de Comparação, w coverge. Logo, u = w u é a difereça de duas séries covergetes, logo u é covergete. Exemplo Determie a atureza da série ( ) 2. A série ( ) = é covergete, pelo que ( ) 2 coverge. 2 2 Mais uma vez se chama a ateção para ão ler esta implicação ao cotrário: é perfeitamete possível que u seja covergete mas que u seja divergete. Nesse caso diremos que u é semi-covergete. 29

30 Caso u seja covergete, diremos que u é absolutamete covergete. Por exemplo, ( ) 2 é uma série absolutamete covergete. Na próxima secção, veremos um exemplo de uma série simplesmete covergete. 4.2 Séries alteradas Defiição 4.2. A série u diz-se alterada se para todo N a a + 0, o que sigifica que dois termos cosecutivos possuem siais opostos. Nesta secção foreceremos um critério muito iteressate que permite cocluir quato à covergêcia de certas séries alteradas. Ates de o fazer, precisamos de provar o seguite lema: Teorema 4.2. Sejam (a ) N e (b ) N duas sucessões tais que Para todo N, a b ; (a ) N é crescete; (b ) N é decrescete; lim + a b = 0. (as sucessões (a ) N e (b ) N dizem-se adjacetes.) Etão as duas sucessões são covergetes e tem-se lim a = lim b. + + Prova Como (a ) N é crescete e (b ) N é decrescete, pelo primeiro poto N, a a b b. Assim, (a ) N é crescete e majorada (por b ). Da mesma forma, (b ) N é decrescete e miorada (por a ). Por um teorema estudado em Aálise Matemática, ambas as sucessões são covergetes. A igualdade dos limites tira-se do último poto. Estamos agora em codições de demostrar o seguite critério: 30

31 Teorema Critério de Leibiz Seja u uma série alterada tal que u é decrescete; lim + u = 0. Etão u é covergete. Prova Seja u uma série alterada. Vamos supor que u 0. (A demostração é aáloga se u 0) Neste caso, os termos de ordem ímpar são positivos e os de ordem par são egativos: para todo N, u = ( ) u. Seja (S N ) N N a sucessão das somas pariciais associada.a estratégia desta demostração passa por provar que a subsucessões (a N ) N N = (S 2N ) N N e (b N ) N N = (S 2N ) N N são adjacetes. Gottfried Leibiz, Para todo N N: a N b N = S 2N S 2N = pelo que a N+ a N = 2(N+) 2N 2N u u 2 u = u 2N = ( ) 2N u 2N = u 2N 0, a N b N. já que u N é decrescete. Logo (a ) N é crescete. Por um cálculo aálogo, (b N ) N é decrescete. Fialmete, como a N b N = u 2N e como u = u 2N+ + u 2N = u 2N+ + u 2N 0 lim u N = 0, lim a N b N = 0. Assim, (S 2N ) N N e (S 2N ) N N são adjacetes pelo que possuem o mesmo limite: por um teorema de Aálise Matemática, (S N ) N N é covergete. Por defiição, u é covergete. 3

32 Exemplo Asérie ( ) (dita série harmóica alterada) verifica as codições do Critério de Leibiz, pelo que é covergete. Note-se o etato que ( ) = é divergete. Assim, ( ) é semi-covergete. 32