Exercícios Complementares 2.2

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1 Exercícios Complemetares A O que sigi ca uma série a ser divergete? 2.2B Falso ou Verdadeiro? Justi que. (a) se lim a = 0, etão a coverge;! (b) se a diverge, etão lim a 6= 0;! (c) se a coverge e a 0; 8; etão p a coverge; (d) se a diverge, etão a 2 diverge; (e) se a e b divergem, etão (a + b ) diverge; (f) se a diverge e a 6= 0; 8; etão a coverge; (g) se fa g é uma seqüêcia costate, etão a coverge; (h) se a coverge, etão 00 a coverge. 2.2C or observação do limite do termo geral, veri que que as séries abaixo são divergetes: (a) (d) p + p + cos (b) [ + ( ) ] (c) (e) se (f) ! 2 : 2.2D Ecotre uma série cuja -ésima soma vem dada por: (a) S = (b) S = 2 + (c) S = 2 2.2E Em cada série abaixo, calcule a -ésima soma parcial e o valor da soma da série o caso de ela covergir.

2 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS (a) 2 =0 3 (d) l + (g) " # (j) ( + ) 2 l ( + 2) (b) =3 (e) (h) (k) ( + ) (c) (f) (i) (l) 2 (4 3) (4 + ) 2 se ( + =2) F Ecotre os valores de x que toram a série x 2 covergete e calcule o valor da soma. Idem para a série 2 + x (x 3) (x 3) G Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a fração ordiária que ela represeta: (a) 0; : : : (b) 5; : : : (c) 3; : : : (d) 2; : : : : 2.2H Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 0 metros. A bola repica aproximadamete metade da distâcia após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo. 2.2I A extremidade de um pêdulo oscila ao logo de um arco de 24 cetímetros em sua primeira oscilação. Se cada oscilação é aproximadamete 5=6 da oscilação precedete, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distâcia total percorrida pelo pêdulo até etrar em repouso total. 2.2J Admiistra-se a um idivíduo uma dose de Q uidades de um certo remédio. A quatidade que permaece a correte sagüíea ao al de t miutos é Qe kt, ode k é uma costate positiva. Admitido que a mesma dose seja admiistrada em itervalos sucessivos de T miutos, mostre que a quatidade de remédio R () imediatamete após a -ésima dose vem dada por: X R () = Qe jkt : j=0 Ecotre uma cota superior para a quatidade de remédio a correte sagüíea após um úmero arbitrário de doses e ache o meor tempo etre as doses, de modo que a quatidade de remédio R () ão exceda um ível de risco M, M > Q. :

3 2 SÉRIES NUMÉRICAS CA K Supoha que cada uidade moetária itroduzida a ecoomia recircule do seguite modo: 85% da uidade origial são gastos; em seguida, 85% daqueles 0,85 são gastos, e assim por diate. Determie o impacto ecoômico (o total gasto) se $ ,00 forem itroduzidos a ecoomia. 2.2L Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamete a população N moscas macho esterilizadas, e 90% dessas moscas sobrevivem a um determiado dia. Após dias, mostre que o úmero de moscas esterilizadas a população é dado por: N = N + (0:9) N + (0:9) 2 N + ::: + (0:9) N e determie o úmero de moscas esterilizadas que devem ser liberadas a cada dia, se o objetivo do programa, a logo alcace, é mater moscas esterilizadas a população. 2.2M Dois atletas disputam 0 provas de percurso em 0 etapas sucessivas. Os tempos de cada etapa são os mesmos e a tabela a seguir mostra as distâcias, em km, percorridas por cada um deles as quatro etapas iiciais: etapa etapa 2 etapa 3 etapa 4 atleta A 2 atleta B 2 4 2! 23! 8 3! 34! 6 4! 45! Se a vitória é dada àquele que alcaçou o maior percurso, qual foi o atleta vecedor? 2.2N Com auxílio do Exercício.6L calcule o valor da soma ( + )! : 2.2O Cosidere a seqüêcia de Fiboacci fa g de ida o Exemplo.5.5. Mostre que: (a) (b) a a + = ; 8 2; a a a a + a a + = e Exercícios Complemetares 2.4 a a a + = 2: 2.4A Use o teste da Comparação ou Comparação o Limite para determiar a covergêcia ou a divergêcia das séries abaixo:

4 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 3 (a) (e) arctg (i) se 2 (m) (q) p 4 3 (b) (f) 3 l 3 (j)! () p ( ) 2 (r) l 2 (c) (g) (k) (o) (s) p (d) 2 + cos 2 (h) l + 2 (l) (p) (t) 3 p p B Veri que que a fução que estede o -ésimo termo de cada série dada abaixo, atede às hipóteses do Teste da Itegral e em seguida decida sobre a covergêcia da série: (a) 3 =3 (l ) 2 (e) 2 (b) (2 + 3) 2 (c) ( ) (f) ( 3 ) (g) arctg 2 + =4 (d) (h) 2 p 2 2.4C Determie todos os úmeros reais e que toram as séries covergetes. 2.4D Observado a demostração do Teste da Itegral, veri que a relação: (l ) e l l ( + ) < < + l : Usado esse fato, estime o úmero de termos da série harmôica para que se teha S > 00: resposta: > e 00 ' 2: que devem ser somados 2.4E Em cada caso abaixo, determie o meor úmero de termos que devem ser somados para aproximar a soma da série com um erro meor do que E: (a) 2 ; E = 0:00 (b) 3 ; E = 0:0 (c) (l ) 2 ; E = 0:0: 2.4F Se fa g é uma seqüêcia de termos positivos e lim! p a = l > 0; prove que a série a coverge se p > e diverge se 0 < p : 2.4G Se a e também covergete. b são séries de termos positivos covergetes, mostre que a b é

5 4 SÉRIES NUMÉRICAS CA H Falso ou Verdadeiro? Justi que: (a) se a > 0; 8; e a é covergete, etão a diverge; (b) se a > 0; 8; e a é covergete, etão p a a + é covergete; p (c) se a > 0; 8; e lim a =, etão a série a diverge;! (d) se a > 0, 8; e lim a = 0, etão a série a p coverge;! (e) se também diverge; a e (f) se a > 0; 8; e lim! 2.4I A série b são séries de termos positivos divergetes, etão a série 2 + a + a l =, etão a série a diverge. é covergete ou divergete? + (a + b ) 2.4J Mostre que : Exercícios Complemetares A Aproxime a soma da série pela soma parcial S 4 : Estime o erro. (a) ( ) + 3 (b) ( ) (2)! (c) ( ) 2 (d) ( ) B Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da série com quatro casas decimais e com erro meor do que E = 5 0. Diga em cada caso quado a aproximação é por falta ou por excesso: (a) ( ) 2 (b) ( ) + p (c) ( ) (d) ( ) 3 + : 2.6C Veri que que as séries abaixo atedem às codições do Critério de Leibiz e coclua que elas são covergetes: (a) ( ) (b) ( ) 2 (c) ( ) (d) ( ) 2 + : 2.6D Determie os valores iteiros de p que faz com que cada série abaixo seja covergete.

6 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 5 (a) ( ) p p (b) ( ) p + p (c) ( ) (l ) p : 2.6E Seja fb g a seqüêcia de ida por: b = =, se for ímpar, e b = = 2, se for par. Mostre que a série ( esse caso. ) b é divergete e explique porquê o Critério de Leibiiz ão se aplica Exercícios Complemetares A Falso ou Verdadeiro? Justi que: (a) se a coverge, etão a 2 coverge; (b) se a coverge absolutamete, etão a 2 + a 2 coverge; (c) se a 2 coverge, etão a coverge absolutamete; a (d) se lim = 0 e a diverge, etão b diverge;! b a (e) se lim = e b coverge, etão a coverge;! b (f) se a coverge absolutamete, a 6= 0; etão ja j diverge; (g) se a e b são divergetes, etão a b é divergete; (h) se a e b são covergetes, etão a b é covergete; (i) para todo iteiro positivo k a série alterada ( ) kp coverge. 2.8B Usado o Teste da Raiz, veri que que as séries dadas abaixo covergem: (a) 3 + (b) ( p ) (c) 5 5 (d) ( 5) + (l ) : 2.8C Supoha que a seqüêcia fa g seja covergete e teha limite l. Cosidere as seqüêcias fa + g e fa g de idas por: a + = 2 (a + ja j) e a = 2 (a ja j) (a) Calcule lim a + e lim a ;

7 6 SÉRIES NUMÉRICAS CA. 2 (b) Se a coverge absolutamete, mostre que a + e a covergem; (c) Se a coverge codicioalmete, mostre que a + e a divergem. 2.8D Estratégia para testar a covergêcia. Nos fudametos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a covergêcia ou divergêcia de uma série umérica; a di culdade é: qual o teste adequado a uma determiada série. Essa di culdade também surge quado se itegra fuções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresetamos um roteiro que poderá ajudar a ivestigação.. Se lim a 6= 0 ou a seqüêcia fa g é divergete o critério do -ésimo termo deve ser usado para cocluir que a série a diverge; 2. Se a série é da forma r ela é uma série geométrica, que coverge para = ( r) se jrj < e diverge se jrj ; 3. Se a série é da forma (b b + ) ela é uma série de ecaixe, que coverge para b lim b ; se fb g covergir. Se fb g divergir a série de ecaixe também diverge; 4. Se a série é da forma = p ela é uma p-série e será covergete apeas quado p > ; 5. Tete o Teste da Razão seguido o esquema: l <! a coverge abs. % l = lim a + a! l > ou l =! a diverge & l =!?! ja j & Alterada! Fim! Fim! Critérios Comparação / Itegral! Critério de Leibiz Teste a covergêcia das séries:

8 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 7 (a)! (e) (!) 2 (2)! (i) p (b) (f) (j) ( ) 2! 3 p 3 + (l ) (c) 2! (d) (g) (h) (k) 2! (l) (2 + 3 ) = ( ) cos 2 ( ) ( + 2) 2.8E Escreva os cico primeiros termos e em seguida teste a covergêcia das séries: (a) 3 5 : : : (2 )! (b) : : : (2) 4 7 : : : (3 2) :

9 8 SÉRIES NUMÉRICAS CA. 2 Respostas e Sugestões Exercícios A A série a ser divergete sigi ca que sua soma ão é um úmero real. Em outras palavras, isso sigi ca que a seqüêcia fs g de suas somas parciais é divergete. (h) 8 2.2B (a) F (b) F (c) F (d) F (e) F (f) F (g) F (h) V 2.2D (a) 2 (3 2) (3 + ) = 2 3 (b) = (c) 2 2 = 0: 2.2E (a) 3 (b) (c) 2 (d) (e) (f) 7 8 (g) 3 2 (h) 2 (I) 2 (h) l 2 (k) F A série x 2 coverge para < x < 5: 2.2G (a) (b) (c) (d) x 2 x 2, se jxj < e =0 (x 3) 2 + coverge para 5 x se 2.2H 30 m 2.I. 44 cm 2.J. Q ; T = e ct c l( M Q M ) 2.K. $ L M O vecedor foi o atleta A, com percurso de km cotra km do atleta B. Exercícios A (a) C (b) C (c) C (d) C (e) D (f) C (g) C (h) C (i) C (j) D (k) D (l) C (m) C () D (o) C (p) C (q) C (r) C (s) C (t) D 2.4B (a) C (b) C (c) C (d) D (e) C (f) C (g) C (h) C 2.4C A série (l ) é sempre divergete e l coverge para > : 2.4E (a) = 00 (c) > e (a) V (b) V (c) V (d) F (e) V (f) F R 2.4I Diverge, (ela é a soma de uma série covergete com uma divergete (Teorema 2..8(b)). 2.4J Da g. 2.2 ote que: R + x 2 dx 2 + = x 2 dx e agora use: R dx = lim [arcta x]x=b + x2 x= = =4: B!

10 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MMATOS 9 Exercícios A (a) 8; (b) ; (c) (d) 3; Exercícios A (a) F (b) V (c) F (d) F (e) F (f) V (g) F (h) F (i) V 2.6C (a) C (b) C Abs (c) C Abs (d) D (e) C Abs (f) D (g) D (h) C Abs (i) C Abs (j) C Abs (k) C Abs (l) C Abs (b) 2.6D (a) 3 5 : : : (2 )! = : (divergete, porque lim a = ) : : : (2:) 4 7 : : : (3 2) = (covergete, porque lim a + a = 2 3 )