Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 3. Sucessões; série geométrica

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1 Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Cadero de Exercícios 3 Sucessões; série geométrica Nota: Os problemas ão resolvidos as aulas costituem trabalho complemetar que os aluos devem fazer e esclarecer juto da equipa docete. Atóio Atues Louis Serraito Patrícia Xufre Rui Sousa Moteiro Mauela Ducla Soares

2 1 Sucessões 1. (a) Escreva o termo geral das sucessões: i. 1, 1, 1, 1,... ii. 1, 0, 1, 0,... iii. 1, 1 2, 1 3, 1 4,... iv. 0, 1 2, 2 3, 3 4,... v. 1, 1 2, 1 3, 1 4,... vi. 1, , , ,... (b) Diga quais as que são limitadas. (c) Quais são crescetes, decrescetes, ou em uma coisa em outra? (d) Quais são covergetes? 2. Seja a sucessão de termo geral u = (a) Mostre que é crescete. (Sugestão: desevolva 1+ 1 pela fórmula do biómio e compare u com u +1. ) (b) Mostre que a sucessão é superiormete limitada por 3. (Sugestão: u < ! + 1 3! + + 1! ) 1 (c) Coclua que a sucessão (u ) N écovergete. 3. A sucessão de termo geral u = 2 tem limite (a) Explique verbalmete o que se etede por lim u =2. (b) Determie a mais baixa ordem a partir da qual todos os termos da sucessão distam do limite 2 meos do que (c) Repita a alíea aterior para uma distâcia meor do que 0.5. (d) Represete um gráfico os 4 primeiros termos da sucessão. Ilustre esse gráfico os resultados obtidos em (b) e (c). 4. Seja a sucessão de termo geral u =( 1) q (Teste itermédio, 10/11/2001) (a) Calcule o limite ` desta sucessão. (b) Verifique, utilizado a defiição de limite, que, de facto, lim u = `. (c) Determie a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão se ecotram a vizihaça δ =0.1 do limite `. (Exame fial, 28/6/2002) 5. (a) Defia limite de uma sucessão real. (b) Calcule o limite da sucessão de termo geral u = (c) Seja a sucessão de termo geral v = 1 2. i. Mostre, pela defiição, que lim v =0. ii. Determie a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão se ecotram a vizihaça δ =0.25 do limite 0. (Teste itermédio, 6/4/2002) 6. Se (u ) N é uma sucessão de termos positivos, mostre que: (a) A sucessão é crescete se u +1 u 1 para todo o. (b) A sucessão é decrescete se u+1 u 1 para todo o (2 1) (c) Use o resultado das alíeas ateriores para mostrar que lim (2) existe.

3 7. Seja (v ) N uma sucessão qualquer que apreseta a seguite propriedade: 1, 2 N, 1 < 2 v 1 v 2 < 1 1. (a) Mostre que, desde que seja suficietemete grade, os termos de v estão arbitrariamete próximos us dos outros. Isto é, mostre que a sucessão (v ) N verifica a codição ε > 0, p N : r>p s>p v r v s < ε. (b) Sucessões que verificam a codição apresetada em (a) dizem-se sucessões de Cauchy. Mostre que se uma sucessão é covergete etão é uma sucessão de Cauchy. (Teste itermédio, 13/11/2004) 8. Diga se as seguites sucessões são covergetes ou divergetes e, o caso de serem covergetes, calcule o limite: (a) 3 h a (i) a 4i (b) (c) 1+( 1) (d) 2( 1) (e) (f) (g) (h) + a 9. Estude quato à covergêcia as sucessões seguites: (j) se 2π 3 (k) se π (l) se (π + π) (m) cos π () cos (!π) (o) cos(π) 2+1 (a) 2 +1 (b) a + b,com0 <a<b (c) (d) µ (e) 2 +3 (f) (g) (h) µ µ h +1 + (+1)2 2 3 (i) 2 se() + + (+1) +1 l( +1) (j) l (k) l ( +1) l (l) i (m) l (+1) l l(+1) l µ 1+ 1 () 2 e +1 e (a) Supoha que depositou 1000 euros um baco a um juro aual de i =5%. Calcule o motate da sua cota o fim do primeiro ao se a capitalização dos juros se faz: i. aualmete; ii. mesalmete; iii. semaalmete; iv. diariamete; v. todas as horas; vi. ao miuto. (b) Observe que a sua cota aumeta sempre que o úmero de capitalizações por ao aumeta, mas aquele crescimeto ão ultrapassa um determiado limite superior. Que limite é esse? (c) Formalize a alíea aterior, idicado o factor a ser aplicado aos 1000 euros quado se atige aquele limite superior. (Diz-se etão que o juro é capitalizado de forma cotíua.) (d) Supoha agora que, em vez de 1000 euros, tem uma quatia P e que o período de ivestimeto é t aos em vez de 1 ao. Qual a quatia que irá ter o fim dost aos se a capitalização for cotíua? 11. Idique, justificado, quais das proposições seguites são verdadeiras. (a) Se, para todo N, setiveru > 0 e u 0, etãou será decrescete a partir de certa ordem. (b) Uma sucessão cujos termos alteram de sial é divergete. (c) A distâcia etre os termos cosecutivos de uma sucessão covergete tede para zero.

4 (d) Todaasucessãocomumúmeroifiito de termos distitos tem pelo meos um poto de acumulação. (e) Toda a sucessão limitada e com um úmero ifiito de termos distitos tem pelo meos um poto de acumulação. (f) Qualquer sucessão ão limitada é divergete. (g) Qualquer sucessão moótoa e ão limitada ão tem subsucessões covergetes. (h) Se o cojuto dos termos de uma sucessão ão tiver máximo em míimo, a sucessão será divergete. (i) Uma sucessão de úmeros positivos decrescete coverge. (j) Toda a sucessão decrescete é covergete. (k) Uma sucessão limitada tem máximo ou míimo. (l) Uma sucessão limitada tem máximo e míimo. 12. Dadas as sucessões de termos gerais a, b e c tais que a b c a partir de certa ordem e lim a = lim c,sabe-sequeb é covergete para o mesmo limite. Utilize este resultado (cohecido como Teorema das Sucessões Equadradas) para estudar, quato à covergêcia, as seguite sucessões: 1 (a) (+1) 2 (+2) 2 (2) 2 1 (b) Série geométrica 1. Cosidereasériegeométrica (c) cos(2k) 2 +1, k R (a) Represete a série utilizado o sial de somatório P. (b) Costrua as 5 primeiras somas parciais. (c) Qual o termo geral da sucessão das somas parciais? Verifique que se trata de uma sucessão crescete, superiormete limitada. Qual o seu limite? (d) Qual a soma da série? (e) Utilize o software Scietific Workplace ou o Excel para calcular o valor umérico da soma dos 5, 10 e 30 primeiros termos da série. Observe a difereça etre os valores ecotrados e a soma da série. Comete. 2. Seja a série (a) Costrua a sucessão das somas parciais até à ordem 5. (b) Qual o termo geral da sucessão das somas parciais? Verifique que se trata de uma sucessão crescete, ão superiormete limitada. O que pode dizer sobre a covergêcia desta sucessão? Qual a atureza da série? (c) Utilize o software Scietific Workplace ou Excel para calcular o valor umérico da soma dos 5, 10 e 30 termos da série. (d) Verifique umericamete que a sucessão das somas parciais ultrapassa 10 6 do 13 o parao14 o termo. 3. (a) Mostre que a série geométrica P = é covergete. Calcule a sua soma. (b) Mostre que = 5 9.(Noteque0.555 se pode exprimir como a soma de uma série geométrica de razão 1 10.) (c) Geeralize a alíea aterior mostrado que para qualquer algarismo a se tem 0.aaa = a 9. (Teste itermédio, 15/11/2003) 4. As cidades A e B distam etre si 200 km. Um ciclista parte de A em direcção a B o mesmo istate em que um moscardo parte de B em direcção a A. O ciclista desloca-se à velocidade costate de 20 Km/h, o moscardo voa a 100 km/h. Quado o moscardo ecotra o ciclista volta para B e logo que chega a B dirige-se de ovo para o ciclista, e assim sucessivamete até chegarem os dois jutos a B. Que distâcia percorreu o moscardo? (A maeira difícil de resolver este problema é exprimir a distâcia total percorrida pelo moscardo como soma de uma série. Há também uma maeira fácil de resolver o problema. Resolva-o das duas maeiras.)

5 5. As reservas aturais de petróleo em determiado país o começo de 1981 eram de 12 mil milhões de toeladas. A extracção esse ao foi de 50 milhões de toeladas. (a) Quado é que as reservas estarão esgotadas se a extracção se mativer ao ritmo actual? (b) Supoha que todos os aos a extracção de petróleo é reduzida de 1%, a começar em Quato tempo é que as reservas durarão este caso? 6. Admita que as reservas mudiais de petróleo o iício de 1972 eram de 91 biliões ( ) de toeladas, e que o cosumo mudial esse ao se estimou em 2.5 biliões de toeladas. (a) Se o ritmo de cosumo se mativesse, de etão para cá, igual ao de 1972, quais seriam as reservas o iício de 1996? Por quato tempo mais haveria reservas dispoíveis? (b) Qual a taxa a que se deveria reduzir o cosumo aual, a partir de 1972, para que se possa cosumir idefiidamete? Verifique com o Scietific Workplace se a sua resposta está correcta. 7. Supoha que em cada ao se vedem 3 4 das casas de habitação dispoíveis para veda, e se costroem 2000 ovas casas. Qual a situação do mercado imobiliário o logo prazo, isto é, qual o úmero de casas para veda o logo prazo? 8. Um idivíduo com idade de 40 aos resolveu fazer um plao de poupaça para a sua reforma, que se efectivará quado ele completar 60 aos. Para tal, efectuou um depósito iicial de 1000 cotos e o fim de cada ao, até completar os 60 aos, adicioa 100 cotos ao capital além dos juros etretato acumulados. Admite-se que a taxa de juro aual é costate e igual a 10%. (a) Qual o motate de que ele vai dispor o iício da sua reforma? (b) Se ele quiser ter dispoível cotos o mometo em que se reforma, qual o motate do reforço aual ecessário para garatir essa quatia? 9. O cosumo mudial de ferro em 1971 foi aproximadamete 780 milhões de toeladas. As reservas mudiais o iício desse mesmo ao eram aproximadamete 250 biliões ( ) de toeladas. (a) Supoha que o ível de cosumo se matém ialterado os aos que se seguem a Por quato mais tempo durarão as reservas? (b) Se, o etato, o cosumo aumetar de 5% em cada ao, relativamete ao ao aterior, por quato mais tempo haverá ferro dispoível para cosumir? (c) Digaqualataxaaqueocosumodeveserreduzidoaualmeteparaquesepossagaratirquevai haver ferro idefiidamete. 10. Admita que as reservas mudiais de petróleo são aproximadamete 100 biliões de barris, e que o cosumo durate o correte ao é 1 bilião de barris. Quato tempo durarão as reservas se o ível de cosumo: (a) Se mativer costate e igual ao do ao em curso? (b) Crescer a uma taxa de 2% por ao? (c) Dimiuir a uma taxa de 2% por ao? 11. Estimou-se que as reservas mudiais de cobre em 1972 eram aproximadamete toeladas, e que esse mesmo ao o cosumo mudial foi de toeladas. Supoha que, a partir de etão, a procura cresceu a uma taxa de 2% em cada ao. (a) Quais seriam as reservas o pricípio do ao 2000? (b) O resultado da alíea aterior permite cocluir que, com o mesmo padrão de crescimeto do cosumo, o cobre acabará detro de um úmero fiito de aos. O que acoselharia que se fizesse a partir do ao 2000 para garatir que haja cobre dispoível idefiidamete? Apresete os cálculos em que baseou a sua resposta. 12. Admita que as reservas de íquel o iício de 1996 foram estimadas em toeladas e que o cosumo em 1994 foi de toeladas e em 1995 foi de toeladas. Supoha que depois de 1995 a taxa de variação o cosumo é igual à que se verificou de 1994 para 1995.

6 (a) Qual foi o cosumo em 1996? Por quato tempo mais durarão as reservas? (b) A que taxa terá que ser reduzido o cosumo depois de 1996 para que se garata que as reservas ão desçam uca abaixo de toeladas? 13. Um estudate de ecoomia acabou a sua liceciatura e foi aceite um programa de pós-graduação de um ao. Sabedo que: Depois de acabar a pós-graduação ele irá receber euros a mais por ao durate os 40 aos seguites; Não irá receber euros durate o ao da pós-graduação porque durate esse ao ão poderá trabalhar; Com a pós graduação ele irá gastar euros em material de educação; respoda às seguites questões: (a) Se a taxa de juro for 8%, será que o estudate deve aceitar etrar a pós-graduação? (b) Qual a taxa de juro que lhe permite ficar idiferete etre aceitar ou ão? 14. Sabedo que um projecto requer 100 milhões de euros de custos imediatos, 50 milhões de euros o fim do 1 o ao e 25 milhões de euros o fim de 2 aos, e sabedo que as receitas líquidas (receitas custos) são de 16 milhões de euros o fim decadaaoacomeçaremdaquia3aos,seataxadejuroforde9%, qual o valor deste projecto actualizado para o mometo iicial? 15. Um determiado projecto de ivestimeto exige custos imediatos de euros e gera redimetos líquidos auais de euros, a começar o fim do primeiro ao e a cotiuar para sempre. Admite-se que a taxa de juro é costate e igual a 5%. (a) Calcule o valor actual líquido (VAL) deste ivestimeto e cofirme que ão é razoável fazer o ivestimeto. (b) Ilustre ituitivamete porque é que o projecto ão é razoável, admitido que o ivestidor pode pedir o diheiro emprestado à taxa de 5% ao ao (compare os juros que ele tem de pagar pelo empréstimo com os redimetos do projecto). (c) Ilustre também ituitivamete que o projecto ão é razoável, admitido que o ivestidor ão precisa de fazer o empréstimo, mas pode ivestir o diheiro à taxa de 5% ao ao. (d) Comete a afirmação: Em ordem a decidir sobre a viabilidade ecoómica de um ivestimeto, é sempre apropriado utilizar o critério do VAL, idepedetemete de ser ecessário ou ão recorrer a um empréstimo para obter os fudos destiados ao fiaciameto dos custos. (Teste itermédio, 22/03/ O João tem, este mometo, d euros a sua cota bacária e pretede retirar todos os aos um motate fixo igual a m euros. Admita que o primeiro levatameto ocorre agora e que a taxa de juro aual é r. Imediatamete após o primeiro levatameto, o João terá o baco S 1 = d m euros. (a) Sedo S o motate que o João tem o baco imediatamete após o -ésimo levatameto, obteha uma expressão que relacioe S e S 1. (b) Mostre que o João poderá levatar diheiro durate aos, sedo =1 l(1+r rd m ) l(1+r). (Admita que 1+r> rd m.) (Teste itermédio, 13/11/2004