UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cmpus Uiversitário - Viços, MG 657- Telefoe: () E-mil: dm@ufv.br 6ª LISTA DE MAT 4 /II SÉRIES NUMÉRICAS. O que cotece se você dicior um úmero fiito de termos um série covergete ou retirr um úmero fiito de termos de um série divergete? Justifique su respost! b. Se coverge e diverge, o que se pode dizer respeito d série b. Mostre que série? Justifique su respost! é divergete, usdo: l ) O Teste d Comprção; b) O Teste d Comprção por Limite. 4. Os termos de um série são defiidos recursivmete pels equções 5,,. Determie se coverge ou diverge Um série é defiid pels equções cos,,. Determie se coverge ou diverge. 6. Supoh que, pr todo e quelim.. Mostre que série diverge. 7. Mostre que se lim., etão série coverge.

2 8. Sej f um fução difereciável, tl que f(). Mostre que, se e for covergete, etão l( ) é covergete. 9. Se se( ) é um série covergete, com termos positivos, é verdde que tmbém coverge?. Verifique que s séries bixo tedem s hipóteses do Teste d Itegrl e, em seguid, decid sobre covergêci d série. ) e b) l c) 4. Utilize o Teste d Comprção Diret ou Comprção por Limite pr determir se cd série é divergete ou covergete: ) b) 6 / c) d) e) ( )( ) l f) cos. Verifique que s séries bixo tedem s codições do Critério de Leibiz e coclu que els são covergetes: ) b) e. Use o Teste d Rzão ou d Riz pr determir se série coverge ou diverge ou se o teste é icoclusivo, os seguites csos: ) / l ( )! b) c) e)! d) f) 5!

3 4. Aproxime s soms bixo com erro meor do que 5 6 : ) ()! b)! 5. Prove que, se é covergete,, pr todo, etão: ) A série é covergete. b) A série m, m, é covergete. DICA: b b (Prove isto!) 6. Dizer se são covergetes ou divergetes s séries: ) cos b) 6 c) d) e) f) 5 6 h) g) i) l j) k) log cos l) / l m) r, r ), o) e p) q) / 5 r)!! s) x, x t) u).l.ll.

4 v), p w) l p ( ) x) cos y) z) x! A) / t t dt 7. Clssifique s firmções bixo como verddeir (V) ou fls (F) ddo um demostrção ou um cotr-exemplo. ) ( ) Se coverge e, pr todo, etão coverge. b) ( ) Se coverge, etão. c) ( ) Se e são divergetes, etão b é divergete. b d) ( ) Se e b são covergetes, etão b é covergete. e) ( ) Se diverge, etão lim L. f) ( ) Se g) ( ) Se coverge, etão coverge. diverge, etão diverge. h) ( ) Se diverge e, pr todo, etão i) ( ) Se coverge. é um sequêci costte, etão diverge. j) ( ) Se lim e b diverge, etão diverge. b k) ( ) Se lim e b b coverge, etão l) ( ) Se coverge, etão coverge. m) ( ) Se coverge, etão coverge. coverge. ) ( ) Se coverge bsolutmete, etão.

5 8. Dizer se são covergetes ou divergetes s séries bixo: ) 4 4 b), ode, se é pr 4, se é ímpr 4 / c) ( )., 9. Sej um sequêci de úmeros reis e sej s. Cosidere s firmtivs bixo: por I Se s é covergete, etão lim. II Se lim III, etão s é covergete. s sequêci defiid é covergete se, e somete se,, pr todo p. p A(s) firmtiv(s) verddeir(s) é (são): ) Apes I. d) Apes III. b) Apes I e III. e) Apes II e III. c) I, II e III. Dê um cotr-exemplo pr (s) firmtiv(s) fls(s) e prove (s) verddeir(s).. Determie se s séries bixo são bsolutmete covergete, codiciolmete covergete, ou divergete. Use qulquer teste que preç mis proprido pr justificr su respost. ) b) c) π se e l d) e) 5 4 f) se e h) g) cos π i) l

6 j) ( ) k) l e e ( ) cos. Se e b são covergetes, etão b é bsolutmete covergete. b DICA:.b (Prove isto!). Se covergete s séries: é bsolutmete covergete, etão são bsolutmete ), ( ) b) c) DICAS: ) Devemos ter lim, logo, pr todo suficietemete grde. b) M, logo M.. Dê um exemplo de um série tl que é covergete e é divergete. 4. Mostre que: ) Se coverge e, se b, etão, se b coverge. b) Se coverge e, se c, etão, se c coverge. 5. O que está errdo qui? Multiplique mbos os ldos d série hrmôic lterd S

7 por pr obter S Reú os termos com o mesmo deomidor, pr chegr S A série do ldo direito é quel com qul começmos. Portto S = S e, dividido por S obtemos =. 6. Mostre que som dos primeiros termos d série É mesm que som dos primeiros termos d série Esss séries covergem? Qul é som dos primeiros + termos d primeir série? Se série coverge, qul é su som?