12 Séries. O esquema usado a seguir permite um melhor entendimento da forma de se obter a solução do problema.

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1 2 Séries 2. Sequêcia O matemático italiao Leoardo de Pisa (80 250), também chamado Fiboacci, escreveu em 202 o Livro Liber Abaci (O Livro do Ábaco), o qual propôs o seguite problema: Caso ão ocorram mortes, ecotrar ao fial de um ao o úmero de casais de coelhos ascidos de um úico casal, sabedo-se que cada casal produz um outro casal a cada mês e que, com dois meses de idade, o casal já é adulto e começa a reproduzir. O esquema usado a seguir permite um melhor etedimeto da forma de se obter a solução do problema. Tempo Casais Adultos Casais Não Adultos Total de Casais 0 º mês 0 2 2º mês + 0 = 2 3 3º mês = 3 5 4º mês = 5 8 5º mês = 8 3 2º mês Observação: Os ídices iferiores usados os úmeros da 3º colua represetam a idade do casal em meses. Completado-se as coluas até o 2º mês, o leitor ecotrará, o fial da última colua, valor correspodete a 377 casais, que compreede os 376 casais ascidos (resposta do problema) mais o casal iicial. A solução deste atigo e iteressate problema apreseta, curiosamete, em cada uma das coluas da tabela aterior, exceto a primeira, a mesma listagem de úmeros, a partir de certo valor, como podemos perceber a seguir: Leoardo Fiboacci (75-250), também chamado Leoardo de Pisa foi, segudo Howard Eves Itrodução à História da Matemática, Ed. Da Uicamp, 995, p.292, o mais taletoso matemático da Idade Média. É iteressate ler i Eves: Fiboacci e o Século XIII, p.292 e seguites. Vale a pea, também, ler cico tópicos, começado com A Expasão dos Numerais Ido-Arábicos, págias 72-75, de Carl B. Boyer, História da Matemática, Editora Edgard Blucher Ltda, 996, São Paulo.

2 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Seguda colua:,,, 2, 3, 5,... Terceira colua: 0,, 2, 3, 5, 8,... Quarta colua:, 2, 3, 5, 8, 3,... A primeira listagem, a partir do terceiro termo, e a seguda, a partir do segudo termo, repetem os termos da terceira listagem. Os úmeros destas listages, com exceção do primeiro da seguda listagem, prologados idefiidamete, são deomiados Números de Fiboacci. Observem que se desigarmos os úmeros da listagem:,, 2, 3, 5, 8, por temos que a, a 2, a 3,, a 2, a, a, N a = a 2 = a 3 = a + a 2 a 4 = a 2 + a 3 a = a + a 2 Exemplo 2. Esta listagem é deomiada Sequêcia de Fiboacci. Escolhedo-se a = e a 2 = 3 e adotado-se a = a + a 2, tem-se:, 3, 4, 7,, 8, Em geral, usamos o termo Sequêcia para desigar uma listagem com ifiitos úmeros dispostos uma certa ordem, tal como mostramos o exemplo a seguir. Exemplo 2.2 a), 2, 3, 4, 5, (Sequêcia dos úmeros aturais); b) 0, 2, 4, 6, 8, (Sequêcia dos úmeros pares ão egativos); c), 4, 7, 0, (Termos de uma Progressão Aritmética); d), 2, 4, 8, 6, (Termos de uma Progressão Geométrica); e),2,3,,2,3, f), 2, 3, 4,

3 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Uma sequêcia pode ser escrita listado os seus elemetos a forma a, a 2, a 3, a 4,, a, () ode os ídices idicam a posição ou a ordem de cada elemeto a sequêcia ou, quado for possível, através de uma forma compacta a qual o termo de ordem, a, ecotra-se defiido por alguma lei de formação. Neste caso, a sequêcia será deotada por {a } e a é chamado de termo geral da sequêcia. No item a) do Exemplo 2.2, temos: a =, a 2 = 2, a 2 = 3,, a = Logo esta sequêcia será deotada por {}. O leitor deverá verificar que a sequêcia do item b), do Exemplo 2.2, pode ser escrita a forma compacta por {2( )}. A represetação da sequêcia tato a forma compacta, quato através da listagem de seus termos, como em (), sugere a costrução de uma fução com domíio o cojuto N dos úmeros aturais e com cotradomíio o cojuto R dos úmeros reais. Em outras palavras, estamos dizedo que, cohecida a sequêcia podemos defiir a fução a, a 2, a 3, a 4,, a, f: N R f() = a Equivaletemete, a toda fução com domíio N podemos associar uma sequêcia pela lei a = f(). Deste modo, a defiição de sequêcia pode ser formalizada por meio de fução. Como cosequêcia, podemos falar o gráfico de uma sequêcia como sedo o gráfico da fução que lhe é associada. Gráfico da Sequêcia e) do Exemplo 2.2

4 Séries Cálculo Diferecial e Itegral É importate observar que a exemplo do que tem sido feito até o mometo, iremos os referir à fução associada a uma sequêcia usado apeas a sua lei de formação, deixado subetedido o seu domíio N e o seu cotradomíio R, exceto quado o cotexto exigir a ecessidade de suas referêcias. Exemplo 2.3 é é a) A sequêcia defiida pela fução b) O termo geral da sequêcia f() = 2 + 3, 5, 7,, 2 +, 2, 2 3, 3 4, 4 5, a = + O estudo que desevolveremos terá por objetivo classificar uma sequêcia como covergete ou divergete (ão covergete). Com esse ituito daremos a seguite defiição: Defiição 2. Dizemos que uma sequêcia {a } é covergete quado existe o limite lim a. Caso este limite ão exista, dizemos que a sequêcia é divergete. O valor do limite, quado ele existe, é deomiado limite da sequêcia.

5 Cálculo Diferecial e Itegral Séries A sequêcia do item f) do Exemplo 2.2 possui termo geral dado por e, portato, é covergete, pois a = ( ) + lim [( )+ ] = 0 Por outro lado, a sequêcia d) do mesmo exemplo tem termo geral dado por a = 2 e, portato, é divergete, pois. Exemplo 2.4 A sequêcia é covergete, pois Exercício 2. lim 2 =. { 2 + } lim [ 2 + ] = 2 ) Justifique porque as sequêcias a), b) c) e e) do Exemplo 2.2 são divergetes. 2) Ecotre o termo geral das sequêcias seguites e represete graficamete as três primeiras. a), 2, 3, 4,, b),,,,, c),,,,, 5 d) 20, 30, 42, 56, e) 2, 2 3, 3 4, 4 5, f) 5 2, 5 6, 5 2, 5 20, 3) Verifique se as sequêcias do exercício aterior covergem ou divergem. 4) Verifique se as sequêcias dadas a seguir covergem ou divergem. a) { } b) + {2 5 2 } c) { 4 2 } d) {sh() + 5 ch() } e) {( + ) } f) { l( + ) i) {cos ()} j) { cos () e } } g) {sh()} h) { se() }

6 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Defiição 2.2 Dizemos que uma sequêcia a é crescete se a a +, para todo. Defiição 2.3 Dizemos que uma sequêcia a é decrescete se a a +, para todo. Sequêcias crescetes ou decrescetes são deomiadas sequêcias moótoas. Exemplo 2.5 A sequêcia { } é decrescete e a sequêcia de Fiboacci é crescete. Pelos exemplos que vimos ateriormete, poderíamos pesar que o fato de uma sequêcia ser moótoa implica obrigatoriamete sua covergêcia. Etretato, existem sequêcias moótoas covergetes e sequêcias moótoas divergetes. Mas o teorema que iremos euciar a seguir relacioa os dois coceitos. Ates, porém, daremos uma defiição. Defiição 2.4 Dizemos que uma sequêcia a é limitada se existir um úmero k 0, tal que a k, para qualquer úmero. Exemplo 2.6 As sequêcias e) e f) do Exemplo 2.2 e as do Exemplo 2.3 são limitadas. As sequêcias a), b), c) e d) do Exemplo 2.2 ão o são. De fato, a sequêcia e) do Exemplo 2.2, podemos cosiderar k = 3. Ecotre os valores de k para as demais sequêcias limitadas, citadas o parágrafo aterior. Já as demais sequêcias citadas ão são limitadas, pois: lim a =. Teorema 2. Toda sequêcia moótoa e limitada é covergete. Não demostraremos este teorema por sua demostração faz uso de coceitos que fogem aos objetivos desse curso. Faremos apeas uma ilustração gráfica para deixar mais claro o seu euciado.

7 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Seja {a } uma sequêcia moótoa crescete e limitada, com a 0, sedo k um úmero real tal que a k,. É de se esperar que os valores de a vão se aproximado de um úmero k 0 k, quado cresce idefiidamete. Isto acotece porque esses valores estão crescedo e ão podem ultrapassar a barreira imposta por k. Quado ecessitamos apeas de saber se uma determiada sequêcia é covergete ou ão, idepedetemete do valor do limite, este teorema é de grade utilidade. Isto acotece, pricipalmete, as aplicações teóricas. 2.2 Séries O estudo de Itegral Defiida fez uso de somas do tipo: S = f(x i ) xi i= e do limite dessas somas com tededo ao ifiito. Essas somas, deomiadas Somas de Riema, costituem termos da sequêcia {S } = S, S 2, S 3,, S, cuja covergêcia depede da fução y = f(x) e da atureza das partições do itervalo o qual a fução está defiida. Tedo-se a covergêcia de {S } e supodo-se [a, b] o itervalo ode as somas foram costruídas, defiimos lim S = f(x) dx. Relembramos o coceito de Itegral Defiida para dizer que pelo meos uma situação particular já trabalhamos com a adição de um úmero ifiito de parcelas e obtedo, em cotrapartida, um úmero real como resultado da soma. O assuto que iremos abordar em seguida tratará de somas desta atureza, as quais deomiaremos Séries. Vejamos um exemplo. a b

8 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Exemplo 2.7 Imagiemos que uma pulga está a m de um cachorro e que saltado a direção dele percorra, em cada salto, a metade da distâcia que a separa dele. É possível que a pulga alcace o cachorro? Para respoder a perguta, observemos que a pulga se aproxima do cachorro, da seguite maeira: ( 2)m, após o primeiro salto; ( 4)m, após o segudo salto; ( 8)m, após o terceiro salto e, assim por diate. Logo a distâcia da pulga ao cachorro pode ser descrita pela sequêcia: { 2 } = 2, 4, 8, 6,, 2, A resposta da questão será afirmativa caso seja possível efetuar a seguite soma: 2 = () 2 e, se o seu valor for, o míimo, igual a. Vamos cosiderar, iicialmete, a soma o mometo em que a pulga completou o -ésimo salto. Nesse caso teremos S = (2) 2 e, é fácil observar, que S represeta a soma dos termos de uma Progressão Geométrica, a qual o primeiro termo é igual a 2 e razão, também, igual a 2. Ora, quado se tem uma Progressão Geométrica de primeiro termo igual a a e razão igual a q, a soma dos primeiros termos S = a + aq + aq 2 + aq aq (3) é dada por S = a q q (4) Para se obter (4), basta multiplicar (3) por q, ecotrado-se qs = aq + aq 2 + aq aq que subtraída de (3) dará S qs = a aq de ode resulta (4).

9 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Além disso, quado 0 < q <, teremos que: lim S = lim [a q q ] = a q Voltado ao osso caso, temos em (2): a = 2 e q = 2 e, portato, e, aida em (), teremos lim S = 2 2 = 2 2 = = lim 2 S =. Como iicialmete a pulga se ecotrava a m do cachorro, é certo que ela o alcaçará. O procedimeto utilizado o exemplo pode ser geeralizado. Cosideremos {a } uma sequêcia qualquer e S = a + a 2 + a a a soma dos primeiros termos dessa sequêcia. A soma S é chamada Soma Parcial e o limite lim S é deomiado Série. A otação utilizada é a seguite: a = lim S Caso o limite das somas parciais exista quado tede ao ifiito, diremos que a série é Covergete e que coverge para o valor desse limite, que é etão deomiado soma da série. Quado esse limite ão existe diremos que a série é Divergete. Devido ao grade iteresse histórico e ao grade úmero de aplicações, tato práticas quato teóricas, duas séries merecem meções especiais: a série geométrica e a série harmôica. Uma amostra particular da série geométrica foi exibida o exemplo aterior. Em geral, a série geométrica é uma série do tipo: aq = a + aq + aq 2 + aq aq +, a 0.

10 Séries Cálculo Diferecial e Itegral O estudo apresetado o Exemplo 2.7 permite cocluir que a série geométrica é divergete quado q e covergete para q <, isto é, aq = a q Faremos o estudo da série harmôica, o exemplo a seguir. Exemplo 2.8 A série = é deomiada série harmôica. O ome da série é proveiete do seguite fato: se a, b e c são três termos cosecutivos da série harmôica, etão o úmero b é média harmôica de a e c. Em outras palavras, etre a, b e c, vale a relação: b = 2ac a + c A série harmôica é um exemplo de uma série divergete. O argumeto utilizado para demostrar a divergêcia dessa série faz uso de um procedimeto bastate comum o estudo de covergêcia ou divergêcia, tato de sequêcias quado de series. O procedimeto resume-se em comparar a série (ou sequêcia) dada com outra de comportameto cohecido. Para tato vamos reescrever a série harmôica e agrupar seus termos da seguite maeira: = { } + { } + { } + ode o primeiro grupo ficam dois termos, o segudo ficam quatro termos, o terceiro ficam oito termos, o quarto dezesseis e assim por diate (observar que o deomiador do último termo de cada grupo é sempre uma potêcia de 2). Em seguida, substituido todos o termos de cada grupo pelo meor termo do grupo, obteremos o seguite: { } + { } + { } + Substituido-se cada grupo pela soma dos seus termos, teremos:

11 Cálculo Diferecial e Itegral Séries que Como o segudo termo desta desigualdade cresce ilimitadamete, cocluímos é divergete. Para exibir a versatilidade do procedimeto utilizado ateriormete, vamos agora utilizá-lo para se estudar a covergêcia da série: Exemplo Os termos da série dada podem se agrupados da seguite maeira: 2 = + { } + { } + { } + Substituido-se todos os termos de cada grupo, pelo maior termo do grupo, teremos: ou 2 + { } + { } + { } De ode se coclui que isto é, a série dada é meor do que uma série geométrica covergete. Como a sequêcia das somas parciais da série dada é crescete, segue-se pelo Teorema 2. que essa sequêcia é covergete. Logo a série dada

12 Séries Cálculo Diferecial e Itegral 2 é covergete. Apresetaremos agora algumas propriedades que serão úteis para se decidir sobre a covergêcia de séries. Essas propriedades aplicam-se os casos em que uma série é obtida de outra através de operações elemetares. Supohamos que determiada série é covergete. Se multiplicássemos por um úmero todos os termos da sequêcia que a origiou, seria a ova série covergete? O teorema a seguir respode questões deste tipo. Teorema 2.2 Sejam a e b séries covergetes e c um úmero. Etão, também são covergetes as seguites séries Demostração ca, (a + b ) e (a b ). º) Mostraremos iicialmete que ca Seja S = a + a 2 + a a e como a série lim S = S é covergete. a é covergete, temos que: Chamemos T = ca + ca 2 + ca ca, a soma parcial de ca e para mostrar covergêcia da série deveremos mostrar a existêcia de lim T. Mas, lim T = lim (ca + ca 2 + ca ca ) = lim c(a + a 2 + a a ), de ode se coclui que lim T = c lim S = cs.

13 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Logo, a série em questão é covergete. 2º) Mostraremos agora que (a + b ) também é covergete. Como a e b são covergetes e se S = a + a 2 + a a e T = b + b 2 + b b etão existem os limites lim S e lim T que deomiaremos por S e T, respectivamete. Nosso objetivo é mostrar que existe o lim U ode: Como U = (a + b ) + (a 2 + b 2 ) + (a 3 + b 3 ) + + (a + b ). segue-se que lim U = lim [(a + b ) + (a 2 + b 2 ) + (a 3 + b 3 ) + + (a + b )] lim U = lim [(a + a 2 + a a ) + (b + b 2 + b b )] dode se tem que lim U = lim [S + T ] = S + T. Cocluímos que o limite existe e, portato, a série (a + b ) é covergete. Deixamos a prova da última propriedade como exercício. Observe que ela é cosequêcia das duas primeiras. Observações ) Da primeira propriedade observe que também podemos cocluir que, se a for divergete e c um úmero real ão ulo, etão a série ca também será divergete. 2) Já a seguda propriedade ão os permite cocluir ada quado à covergêcia de (a + b )

14 Séries Cálculo Diferecial e Itegral quado as séries a e b forem divergetes. E, realmete, este caso aquela série tato pode ser covergete quato divergete. O exemplo a seguir ilustra este fato. Exemplo 2.0 A série De fato, a = ( ) = lim S = lim =. é divergete. Logo, pela observação (parte ) também será divergete a serie No etato, a série b = ( ). (a + b ) = 0 = 0 é covergete. Por outro lado, é divergete a série Exercício 2.2 (a + a ) = 2. ) Justifique a divergêcia da série 3 2) Justifique a covergêcia da série ( ) Os procedimetos usados até agora para verificar a covergêcia ou divergêcia de uma série foram muito particulares, como o caso da série geométrica ou da série harmôica. Para um estudo mais geral, destacam-se os deomiados Testes de Covergêcia, que apresetaremos a forma de teoremas. Esses testes, como a própria deomiação diz estabelecem apeas se uma dada série coverge ou diverge sem, o etato, calcular o valor da soma da série o caso das covergetes. Essa situação,

15 Cálculo Diferecial e Itegral Séries etretato, é o que mais iteressa a maioria das aplicações. Um primeiro teste, que é bem atural, diz respeito ao limite da sequêcia {a } que dá origem à série Teorema 2.3 (Teste do Termo Geral) a. Se a é covergete, etão lim a = 0. Demostração: Sejam S = a + a 2 + a a e S = a + a 2 + a a + a. Daí, coclui-se que S S = a () Como a série a é covergete, temos a existêcia do limite cujo valor chamaremos de S. Daí teremos, também, que cocluímos que Observações lim a = 0. ) Este teorema é mais usado a sua forma egativa, ou seja: se lim a 0 etão a série a é divergete. lim S = S lim S, e, portato, 2) A recíproca do Teorema 2.3 ão é válida, pois a série harmôica tem-se lim a = lim = 0 e. o etato, sabemos que a série é divergete. Exemplo 2. A série 2 + é divergete, pois, lim 2 + = 2 Os próximos testes que abordaremos são mais coclusivos que o do termo geral, o setido de se decidir se uma série coverge ou ão. Cotudo, todos eles têm certas restrições quato à sua aplicabilidade, ão esgotado, portato, a discussão sobre a covergêcia de séries. Apresetaremos os mais usados.

16 Séries Cálculo Diferecial e Itegral 2.3 Séries de Termos Positivos Uma série a é chamada série de termos positivos, quado a 0, para todo. Os quatro testes que apresetaremos em seguida referem-se às séries que possuem essa característica. Teorema 2.4 (Teste da Comparação) Sejam a e b duas séries de termos positivos. Etão: a) se b covergete; for covergete e a b, N, a série a também será b) se b for divergete e a b, para todo, a a também será divergete. Demostração: Usaremos o Teorema 2. para provar a parte (a). Para tato, vamos cosiderar as somas parciais: S = a + a 2 + a a e T = b + b 2 + b b. Observe que as sequêcias {S } e {T } são crescetes, pois S S + a + = S +. O mesmo ocorre com {T }. Como a b é covergete, digamos para um valor T, podemos afirmar que S = S T T. Assim, cocluímos que {S } é uma sequêcia moótoa e limitada e, portato, existe o lim S. Como cosequêcia, temos a covergêcia da série a. Para provarmos a parte (b) é suficiete observar que se a série a fosse

17 Cálculo Diferecial e Itegral Séries covergete teríamos, pela parte (a), a covergêcia da série a hipótese. Logo o que se afirma a parte (b) é verdadeiro. b o que cotradiz O teorema que acabamos de demostrar pode ser expresso, uma maeira iformal, do seguite modo: se uma série for meor do que outra covergete, ela própria será covergete; quado for maior do que outra divergete, ela também será divergete. Exemplo 2.2 a) A série é divergete. De fato, = 4 e a série 4 diverge (ver Teorema 2.2) b) A série coverge, pois e a série é covergete = Exercício 2.3 ) Mostre que a série a, ode a R, só é covergete quado a = 0. 2) Teste a covergêcia das seguites séries: a) d) g) ( ) b) 000 e) ( + ) h) c) 5 e f) cos () i) 2 3) Mostre que o teste da comparação permaece válido quado a cb, a parte (a) e quado a cb, parte (b), ode c é uma costate maior do zero.

18 Séries Cálculo Diferecial e Itegral 4) Seja a uma série covergete e b para > N, ode N é um dado úmero iteiro e positivo. Mostre que Sugestão: Mostre que c e d covergem ode: c = { b, > N 0 N uma outra série tal que b = a b coverge. 0, N e d = { a, > N 5) Teste a covergêcia das séries: a) d) g) ( ) cos j) 2 + b) e) h) k) l 3 c) f) 2 se (π ) i) l) 7 + O teste seguite irá comparar a covergêcia de uma série com a covergêcia de uma itegral imprópria. Teorema 2.5 (Teste da Itegral) Seja y = f(x) uma fução cotíua e decrescete, com f(x) 0, o itervalo [, [. Etão, se a) f(x) b) f(x) dx é covergete, a série f() dx é divergete, a série f() coverge; diverge. Demostração Como y = f(x) é cotíua e positiva o itervalo [, + ], N, a itegral + f(x) dx

19 Cálculo Diferecial e Itegral Séries pode ser iterpretada como a área sob a curva f em [, + ]. Comparado as áreas dos retâgulos, iscrito e circuscrito, com a área sob a curva f, em cada itervalo da forma [, + ], devido ao fato de f ser decrescete, obtemos as seguites desigualdades: ou 2 f(2) f(x) 3 dx f() f(3) f(x) dx f(2) f() 2 Somado estas desigualdades, temos que: f(x) dx f( ) f(2) + f(3) + + f() f(x) dx f() + f(2) + + f( ) S f() f(x) dx S () ode S é a soma parcial da série f(). Da primeira desigualdade de (), temos S f() + f(x) dx (2)

20 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Provaremos iicialmete a parte (a). Como em uma série de termos positivos a sequêcia {S } é crescete segue-se, pelo Teorema 2., que para mostrar a existêcia do limite lim S basta verificarmos que {S } é uma sequêcia limitada. Estamos supodo que f(x) dx coverge e, portato, vamos admitir que seja L o seu valor. Como f(x) 0, teremos que f(x) dx f(x) dx = L. Deste fato e da desigualdade (2), cocluímos que S f() + L, para qualquer valor de. Como S 0, para qualquer, temos que S f() + L e, portato, {S } é limitada. Para provarmos a parte (b), usaremos a seguda desigualdade de (), ou seja S f(x) dx. Supodo etão que a f(x) dx diverge e, como f(x) 0 é decrescete, podemos afirmar que de ode cocluímos que a série é divergete. lim f(x) dx = f()

21 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Exemplo 2.3 Já vimos ateriormete que a série harmôica é divergete e que a série 2 é covergete. Usado o Teste da Comparação podemos mostrar que a série p, deomiada p-série, diverge se 0 < p e coverge se p 2. De fato, para temse: p, se 0 < p e p, se p 2. 2 O que podemos dizer sobre a covergêcia da série em questão quado se tem < p < 2? Como a fução F() =, p > 0 p é decrescete, podemos usar o Teste da Itegral para mostrar que a série é covergete para < p < 2. Observado que p, p > 0 B x p dx = lim x p B dx = lim B ( x p+ p + ) B = lim B ( ( p)b p p ) e que (p ) > 0, teremos lim B p = 0 B

22 Séries Cálculo Diferecial e Itegral e, portato, x p dx = p Desta forma, cocluímos que a série dada coverge quado p > e diverge quado 0 < p <. Exemplo 2.4 Vamos agora testar a covergêcia da série l =2 Na série dada a primeira coisa que os chama a ateção é o fato de a variação começar a partir de 2. Isto acotece porque a fução f() = l ão está defiida para =. No etato, o termo geral da série poderia ser redefiido de forma a poder tomar-se o variado a partir de. Para a série em questão teríamos: ( + )l( + ) Em geral isto sempre pode ser feito mas, a prática, utiliza-se a expressão mais apropriada. Quado a variação acotece a partir de um valor > e o Teste da Itegral puder ser aplicado, este deve ser adaptado. No presete caso devemos testar a covergêcia da série: dx. xl(x) Assim, lembrado que 2 teremos ou 2 dx = lim xl(x) dx = l(l(x)) + C, xl(x) B B 2 xl(x) dx = lim B (l(l(x))) B 2

23 Cálculo Diferecial e Itegral Séries 2 dx = lim [(l(lb)) (l(l2))] =. xl(x) B Como a itegral diverge, cocluímos que a série também diverge. Exercício 2.4 ) Teste a covergêcia de: a) l =2 d) arctg() + 2 b) l e) e c) e f) e 2 2) Mostre que a série (l) p coverge se p > e diverge se 0 < p. Os dois próximos testes serão muito utilizados o estudo de Série de Potêcias, que veremos mais adiate. Esses testes são deomiados de Teste da Razão e Teste da Raiz. Teorema 2.6 (Teste da Razão) Seja a uma série de termos positivos com a + lim = c. Etão, se a 0 c < a série coverge e, se c >, a série diverge. Demostração: Como o a + lim = c, podemos dizer que a + c aproxima-se de a a zero quado cresce. Ou seja a + a c <, para N

24 Séries Cálculo Diferecial e Itegral ode é um úmero positivo que pode ser tomado meor do que. Logo, +c < a + a < +c = q () Se c <, podemos cosiderar tal que +c = q <, bastado para isso escolher N coveietemete. Pela seguda parte da desigualdade () e usado o fato de que ela é válida para N, obtemos as seguites desigualdades: a N+ < qa N a N+2 < qa N+ < q 2 a N a N+3 < q 3 a N a N+m < q m a N e, a partir dos dois lados da última desigualdade, fazedo m assumir todos os valores iteiros e positivos, podemos costruir as seguites séries: a N+m m= e q m a N m= Como a seguda série é covergete, por ser uma série geométrica com razão q <, cocluímos, pelo Teste da Comparação, que a primeira delas também é uma série covergete. Fialmete, rememorado o Exercício 2.3 (item 4), cocluímos que a a é covergete. No caso em que c é maior do que, usado a primeira parte da desigualdade () e o fato de que o úmero pode ser tomado de forma que c, para N escolhido adequadamete. Desta forma, teremos: Daí, +c < a + a, N. a + a >, de ode se coclui que a + > a para N.

25 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Fialmete, cocluímos que e, pelo Teste do Termo Geral, a série diverge. Exemplo 2.5 lim a 0 a) A série 2 é covergete, pois a + ( + )2 (+) lim = lim [ a 2 ] = lim [ ] = lim [ 2 + ] = 2 b) A série! é divergete, pois a + ( + )+ lim = lim [ a ( + )!! ] = lim [( + ) ( + )! ( + )! ] = lim ( + ) e daí, cocluímos que a + lim = lim ( + a ) = e >. c) Pelo Teste da Razão ada podemos dizer sobre a covergêcia de pois p, p, a + lim = lim a ( p + ) =. No etato, pelo Exemplo 2.3, sabemos que a série dada diverge para 0 < p e coverge para p >.

26 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Teorema 2.7 (Teste da Raiz) Seja a uma série de termos positivos tal que lim a = c, ode c é um úmero ão egativo. Etão, se 0 c <, a série é covergete e, se c >, a série é divergete. Demostração: O procedimeto é semelhate ao adotado a prova do Teste da Razão. Como lim a = c, etão para grade, ou seja, N, teremos a c <, ode > 0 pode ser tomado pequeo à medida em que se aumeta o valor de N. Da desigualdade aterior tem-se que +c < a < +c (2) No caso em que c <, toma-se +c = q < e, com isto, a seguda parte da desigualdade (2) os dá que a < q. Daí a < q, para N. Pelo Teste da Comparação, cocluímos que a série dada é covergete. Por outro lado, se c >, basta tomar tal que c > para cocluir que a para todo N, resultado a >. Logo e, portato, a série dada é divergete. Exemplo 2.6 lim a 0 > a) 2 ( + )2 b) é covergete, pois é divergete, pois lim 2 2 = lim = 0 lim + ( ) 2 = lim ( + ) = e

27 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Exercício 2.5 Verifique se as seguites séries covergem ou divergem: )! 4) 2! 7) 23+ 2) 5 e 2 5) 3! 8) 0 3) (l) =2 6) 2! 2.4 Covergêcia Absoluta Os testes de covergêcia estudados o parágrafo aterior, aplicados somete às séries de termos positivos, podem ser estedidos ao estudo de covergêcia de séries que ão são equadrados aqueles tipos. Estudaremos esta seção algus tipos de séries que, embora ão sedo costituídos de termos positivos, permitem que apliquemos os testes ateriores, com adaptações ecessárias. Uma série bastate importate cuja covergêcia estudaremos é a série alterada. O Teste da Série Alterada é iteressate pela sua simplicidade e pelo alcace de suas aplicações. Defiição 2.5 alterados. Uma série a é dita alterada se os termos da sequêcia {a } tem siais Exemplo 2.7 As séries ( ) e ( )+ são séries alteradas.

28 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Teorema 2.8 (Teste da Série Alterada) Seja a Etão a série a Demostração: uma série alterada, tal que é covergete. lim a = 0 e a + a. Vamos supor que a seja positivo (supodo-o egativo a demostração será aáloga a que será desevolvida). Podemos, etão, afirmar que todos os termos de ordem ímpar serão positivos, equato todos os de ordem par serão egativos. Tomemos, agora, a seguite soma parcial da série dada: S 2 = a + a a a 2 + a 2. Agrupado os (2 2) primeiros termos dessa soma, teremos: S 2 = S a 2 + a 2. Como a 2 a 2, por hipótese, e, devido à suposição iicial, temos que a 2 > 0 e a 2 0, podemos escrever que a 2 + a 2 0. Logo, S 2 S ou, aida, S 2 2 S 2 () A soma parcial dada ateriormete pode, aida, ser reagrupada a forma: S 2 = S 2 + a 2. Como a 2 0, podemos cocluir que S 2 S 2 (2) De forma semelhate, trabalhado com a soma parcial S 2 = a + a a a a 2 podemos cocluir que S 2 S 2 3 (3) Usado (), (2) e (3) podemos escrever que: S 2 S 4 S 2 2 S 2 S 2 S 2 3 S 3 S (4)

29 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Cosideremos, agora, as sequêcias {S 2 } e {S 2 }. Da desigualdade () cocluímos que a primeira das duas sequêcias dadas é crescete e, da desigualdade (4), que ela é limitada por S. Logo, pelo Teorema 2., {S 2 } é covergete, digamos para o valor L. Já a sequêcia {S 2 } é decrescete e também limitada, portato, covergete, digamos para o valor L 2. Aliado aos fatos ateriores a hipótese de que o limite do termo geral é zero, podemos escrever: L L 2 = lim (S 2 S 2 ) = lim a 2 = 0 e, portato, L = L 2 = L. Deste fato deduzimos que lim S = lim (a + a a ) = L seja par ou ímpar. Segue-se, portato, que a série dada é covergete. Exercício 2.6 Faça a demostração do Teste da Série Alterada cosiderado que a < 0. Exemplo 2.8 ( ) é covergete, pois, é alterada, + e lim ( ). = 0 O teste que apresetaremos agora mostra-os que em muitas das vezes podemos testar a covergêcia de uma série de termos ão positivos covergêcia da série a. a testado a Como esta última é uma série de termos positivos, podemos fazer uso dos testes já cohecidos. Teorema 2.9 (Teste da Covergêcia Absoluta) Se a é covergete, etão a também é covergete.

30 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Demostração: A partir do termo geral a da série dada, vamos costruir os seguites termos gerais: b = { a, a 0 0, a < 0 e c = { 0, a 0 a, a < 0 Estes termos gerais, assim costruídos, gozam das seguites propriedades: As séries b a e c a. b e c são séries de termos positivos e, devido às propriedades dadas, podemos cocluir que elas são covergetes pelo Teste da Comparação. Como podemos escrever que a = (b c ) temos, pelo Teorema 2.2, que a série dada é covergete. Defiição 2.6 Dizemos que a é absolutamete covergete se a for covergete. Exemplo 2.9 a) ( ) 2 é covergete, pois ( ) 2 = 2 e 2 é covergete; pela defiição aterior a série também é absolutamete covergete. b) A série ( ) é covergete, como vimos pelo Teste da Série Alterada, mas ão é absolutamete covergete, pois a série harmôica é divergete.

31 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Exemplo 2.20 ( ) + x 2 (2 )! é absolutamete covergete, ode x é um úmero real qualquer. etão: De fato, seja a = x 2 (2 )! a + a = x 2(+) [2( + ) ]! (2 )! x 2+ (2 )! = x 2 (2 + )! x 2 = x 2 (2 + )(2) e, portato, a + lim = 0. a Pelo Teste da Razão, temos a covergêcia absoluta da série. Exercício 2.7 Dadas as séries seguites verifique se são: a)covergetes; b) absolutamete covergetes. ) ( ) 4) ( ) ) ( ) 3 2) ( ) l =2 (2 )π se [ 5) 2 ] ) ( ) + 3) ( )+ e 6) ( ) + 2

32 Séries Cálculo Diferecial e Itegral 2.5 Série de Potêcias Se o leitor observar o Exemplo 2.20 otará que a covergêcia verificada ão foi feita apeas para uma úica série, mas para ifiitas séries. Para cada x real a série ( ) + x 2 (2 )! é covergete. Como para cada x a soma da série é úica, podemos falar uma fução real dada pela seguite lei de formação: f(x) = ( ) + x 2 (2 )! cujo domíio é o cojuto R dos úmeros reais. Este processo pode ser geeralizado para outras séries. Defiição 2.7 Uma série da forma a x é chamada Série de Potêcias. No estudo que iremos desevolver, em várias ocasiões, surgirá a ecessidade de se expressar a série de potêcias de forma diferete daquela apresetada a defiição aterior. A ecessidade surge, pricipalmete, em razão de simplificações que são realizadas o termo geral da série o que os leva, às vezes, a trocar o valor iicial do ídice de variação da série por outro qualquer, como já foi feito a seção 2.3. Também, o termo geral da série em sempre será da forma a x. A própria série que serviu de itrodução a esta seção é um exemplo deste fato. Nessa série os termos de potêcias pares são ulos e, por isso, o termo geral expressa apeas os termos de ordem ímpar. Aida, algumas vezes, tora-se coveiete expressar o termo geral em potêcias de (x a) em vez de potêcias de x. Por comodidade, desevolveremos os ossos resultados para as séries de potêcias a forma apresetada a Defiição 2.7, chamado a ateção para o fato de que é fácil a adaptação para os outros casos. Estudaremos agora a covergêcia de séries de potêcias para podermos defiir fuções através dessas séries como fizemos o exemplo. O primeiro passo é dado a forma de um teorema que mostra que se uma série de potêcias coverge quado x = x 0 etão ela coverge um itervalo.

33 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Teorema 2.0 Seja x 0 > 0 e a absolutamete covergete sempre que x < x 0. Demostração: A série x covergete quado x = x 0, etão esta série é a x 0 é covergete. Como a x = a x a x 0 temos pelo Teste da Comparação que a x < x 0. x é absolutamete covergete se Defiição 2.8 Deomiamos raio de covergêcia R de uma série de potêcias a ao úmero tal que a série é absolutamete covergete para x < R e é divergete para x > R Quado a série for covergete para qualquer úmero real x diremos que o seu raio de covergêcia é ifiito. Em x = 0 a série de potêcias é sempre covergete e, quado ela covergir somete esse caso, diremos que o raio de covergêcia é zero. Dos Teoremas 2.9 e 2.0 pode-se cocluir que uma série de potêcias é covergete em itervalos da forma ] R, R[, [ R, R[, ] R, R] e [ R, R], ode R é o raio de covergêcia. Defiição 2.9 Deomia-se itervalo de covergêcia I da série de potêcias ao itervalo tal que a série coverge se x I e diverge para x I. x Os testes da Razão e da Raiz são de grade valia a determiação do raio de covergêcia e, cosequetemete, a determiação do itervalo de covergêcia.

34 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Exemplo 2.2 Vamos ecotrar o itervalo de covergêcia da série x Usaremos o Teste da Razão para determiar a covergêcia absoluta. a + x + x + lim a x x = lim + = lim x = x x + Logo se x < a série é absolutamete covergete e é divergete se x >. Cocluímos etão que o raio de covergêcia é igual a. Aalisemos, agora, o que acotece com a série quado x =. Já vimos ateriormete que se x = a série é divergete (série harmôica). Quado x =, a série é covergete (Exemplo 2.8). Logo o itervalo de covergêcia da série é [,[. Exemplo 2.22 Para ecotrar o itervalo de covergêcia de x usaremos o Teste da Raiz: lim x x = lim = 0. Logo a série é covergete para qualquer úmero real. Etão o raio de covergêcia é ifiito e o itervalo de covergêcia é R. Se I for o itervalo de covergêcia de uma série de potêcias poderemos defiir uma fução, cujo domíio é I, dada por f(x) = a x. Pode-se provar que esta fução tem derivada, tem primitiva e que estas são, também, séries de potêcias com o mesmo raio de covergêcia de f. Este resultado é expresso o teorema a seguir, que apresetaremos sem demostração.

35 Cálculo Diferecial e Itegral Séries Teorema 2. Se potêcias f(x) = a =0 x a x, etão: =0 com x < R, ode R é o raio de covergêcia da série de a) f é derivável e f (x) = a x () x b) f é itegrável e f(x)dx 0 = a =0 x + ( + ) (2) Aida, os raios de covergêcia de () e (2) são, também, iguais a R. Exemplo 2.23 A fução f(x) = ( ) x =0 2 é covergete para x < 2 (verifique!) Tedo-se a covergêcia da fução dada teremos pelo Teorema 2., que: f (x) = ( ) 2 x =0 2 x e f(x)dx 0 = ( ) 2 ( + ) =0 x + são ambas covergetes para x < 2. Escrevedo algus termos das séries ateriores podemos observar que o Teorema 2., de fato, os diz que uma série de potêcias covergete pode ser derivada e itegrada termo a termo: f(x) = x 2 + x x3 + f (x) = 2 + x 9 8 x2 + x f(x)dx 0 = x2 4 + x x4 +

36 Séries Cálculo Diferecial e Itegral Exemplo 2.24 Seja f(x) uma fução que possui derivadas de todas as ordes um itervalo cotedo zero. A série de potêcias f () (0) x! =0 = f(0) + f (0)x + f (0) x2 2! + f (0) x3 3! + é deomiada Série de Maclauri 2 de f. Se f(x) for uma fução que possui derivadas de todas as ordes um itervalo cotedo o úmero real a, a série de potêcias f () (a) x! =0 (x = f(a) + f (a)(x a) + f a)2 (x (a) + f a)3 (a) + 2! 3! é chamada Série de Taylor da fução f, em x = a. Exercício 2.8 ) Resolva: a) Dada a série x! =0 b) Se f(x) = x! =0 mostre que ela é covergete em R. mostre que f (x) = f(x). c) Que fução você cohece com essa propriedade? 2) Verifique que a série de Maclauri de f(x) = sex é dada por: ( ) x 2+ (2 + )! 2 Maclauri, C. ( ), matemático escocês, a quem Ives, H., i Itrodução à História da Matemática, dedica duas citações: (...) um dos matemáticos mais capazes do século XVIII, p.469, e (...) foi um matemático prodígio, p.470, tedo-se graduado aos 5 aos de idade.