Sucessões Reais. Ana Isabel Matos DMAT

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1 Sucessões Reais Aa Isabel Matos DMAT 8 de Outubro de 000

2 Coteúdo Noção de Sucessão Limite de uma Sucessão 3 Sucessões Limitadas 3 4 Propriedades dos Limites 4 5 Limites I itos 8 5. Propriedades dos Limites I itos Sucessões Moótoas 7 Subsucessões 4 8 Resultados úteis o cálculo de limites 6 9 Sucessões de idas por recorrêcia 7 9. O Método de Idução Exercícios Propostos Exercícios Complemetares 5 8/O utubro/000

3 Noção de Sucessão De ição Chama-se sucessão de úmeros reais a qualquer aplicação u do cojuto N; dos iteiros positivos, em R, a qual pode ser represetada por (u ) N, (u ) ou simplesmete por (u ). A u chama-se o termo geral da sucessão. São exemplos de sucessões de úmeros reais: u : N!! R u = +3 ; v : N! R e t : N! R :! v =e! t = 3p si Exemplo A progressão aritmética de razão r e primeiro termo a; cujos termos são a; a + r; a + r; : : :, é de ida por: u = a + ( ) r, 8 N : Exemplo A progressão geométrica de razão r e primeiro termo a; cujos termos são a; ar; ar ; : : :, é de ida por: u = ar, 8 N : Limite de uma Sucessão De ição Diz-se que o úmero real a é limite da sucessão (u ) ; ou que (u ) coverge ou tede para a; e escreve-se lim u = a ou u! a ou abreviadamete lim u = a!+ se para qualquer > 0 existe p N tal que para qualquer > p, ju aj <. Isto é u! a sse 8 > 0 9 p N : > p ) ju aj <. Ou seja, u! a sse para qualquer > 0, existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão pertecem ao itervalo ]a ; a + [. De ição 3 Uma sucessão (u ) diz-se covergete se existe um úmero real a tal que u! a. Uma sucessão que ão é covergete diz-se divergete. 8/O utubro/000

4 Exemplo 3 Dada a sucessão de termo geral u = de ição, que lim u = 0; ou seja que +3 8 > 0 9p N : > p ) ju 0j < : Seja > 0; ju 0j <, + 3 <, + 3 <,, + 3 >, > 3, >, mostremos, por pois +3; >0 3 : Cosidere-se p N tal que p 0 +3 <. 3. Etão para > p tem-se que As sucessões (( ) ) e ( + 3) são divergetes. Proposição (Uicidade do limite) O limite de uma sucessão quado existe é úico. De ição 4 Uma sucessão que coverge para zero diz-se um i itésimo. Da de ição de limite de uma sucessão, coclui-se imediatamete que: u coverge para a sse u aé um i itésimo. Observação Assim como de imos as oções de sucessão e sucessão covergete os reais, podemos também de ir estas oções os complexos ou em qualquer corpo ode esteja de ida uma relação de ordem que seja compatível com as operações (por exemplo, os racioais). Em qualquer uma destas situações, podemos fazer um estudo aálogo ao que aqui será feito para o caso dos reais. 3 Sucessões Limitadas Recordemos que sedo A um subcojuto de R e a e b reais, diz-se que b é um majorate de A se qualquer elemeto de A for meor ou igual a b e diz-se que a é um miorate de A se qualquer elemeto de A for maior ou igual a a. Diz-se que um subcojuto de R é majorado (ou limitado superiormete) se tiver majorates, miorado (ou limitado iferiormete) se tiver miorates e limitado se for majorado e miorado. Um cojuto que ão seja limitado diz-se ilimitado. 3 8/O utubro/000

5 De ição 5 Uma sucessão (u ) diz-se limitada se o cojuto dos seus termos, fu ; u ; u 3 ; : : : ; u ; : : :g ; é limitado, ou seja se, 9L; M R 8 N; L u M. Note-se que a codição aterior é equivalete à seguite: 9M R + 8 N; ju j M. Por exemplo as sucessões de termos gerais u = ( ), v = si e w = são limitadas. Proposição Toda a sucessão covergete é limitada. Observação O recíproco desta proposição ão se veri ca. Cosidere-se, por exemplo, a sucessão (( ) ). Esta sucessão é limitada mas ão é covergete. Proposição 3 Se (u ) é um i itésimo e (v ) é uma sucessão limitada etão (u :v ) é um i itésimo. Exemplo 4 Cosideremos a sucessão de termo geral v = si ( + ) : + 3 A sucessão si ( + ) é limitada pois 0 si ( + ) ; 8 N. Pela proposição aterior, a sucessão de termo geral v = si (+) coverge +3 para zero, uma vez que é o produto do i itésimo +3 pela sucessão limitada si ( + ). 4 Propriedades dos Limites Proposição 4 Não se altera o limite de uma sucessão covergete modi - cado um úmero ito de termos da sucessão. Proposição 5 Se os termos de uma sucessão são todos iguais a uma certa costate, etão a sucessão tem por limite essa costate. Por exemplo, aplicado os dois resultados ateriores coclui-se que a 7 sucessão de termo geral v = coverge para. > 7 4 8/O utubro/000

6 Proposição 6 Se (u ) e (v ) são sucessões covergetes tais que, a partir de certa ordem, u v, etão lim u lim v. Observação 3 Note-se que o resultado aterior ão se veri ca para desigualdades estritas, isto é, ão é verdade que sedo (u ) e (v ) sucessões covergetes tais que, para qualquer N; u < v, se teha ecessariamete que lim u < lim v. Por exemplo, sedo u = e v = 0, tem-se que u < v para qualquer N, e o etato lim u = lim v = 0: Proposição 7 (Propriedades operatórias) Sejam(u ) e (v ) sucessões tais que u! a e v! b, com a; b R. Etão:. u + v! a + b;. cu! ca, sedo c R; 3. u :v! ab; 4. se b 6= 0 e v 6= 0; 8 N etão u v! a b ; 5. se p N; u p! a p ; 6. ju j! jaj ; 7. se p N e u 0; 8 N etão pp u! pp a; 8. se p N e p é ímpar etão pp u! pp a: Exemplo 5 Cosiderem-se as sucessões cujos termos gerais são: u = e Como u! 0 e v! v = tem-se: 7 > 7 : u + v! ; u :v! 0; v! 4; 4 p u! 0; u! 0; jv j! ; u v! 0 e 3p v! 3p : 5 8/O utubro/000

7 Observação 4 A sucessão (ju j) pode ser covergete sem que (u ) seja covergete. Por exemplo, ( ) é divergete mas j( ) j =!. No etato é verdade que u! 0 sse ju j! 0; o que é cosequêcia imediata da de ição de limite de uma sucessão. Teorema 8 (Sucessões equadradas) Sejam (u ), (v ) e (w ) sucessões tais que, a partir de certa ordem, u v w. Se u! a e w! a; etão v! a. Exemplo 6 Vimos, o exemplo 4, que a sucessão si (+) é um i- +3 itésimo. Podemos chegar à mesma coclusão aplicado o teorema das sucessões equadradas: 0 si ( + ) ; 8 N ) 0 si ( + ) ; 8 N ; como o limite da sucessão ula é 0 e lim +3 = 0; etão lim si (+) +3 = 0. Exemplo 7 Cosidere-se a sucessão de termo geral u = : Vamos mostrar que u! 0, para o que utilizaremos o teorema das sucessões equadradas. Facilmete se veri ca que u 0; 8 N. Por outro lado temos que: = = + : Tem-se assim, 0 u + : Como o limite da sucessão ula é 0 e lim equadradas coclui-se que lim u = 0. + = 0, pelo teorema das sucessões Observação 5 Covém observar que para calcular o limite da sucessão de termo geral u = ão é possível aplicar as propriedades operatórias dos limites, visto estas serem válidas apeas quado o úmero de parcelas é xo, o que ão acotece este caso. Embora o caso do exemplo aterior esse raciocíio, apesar de ser errado, coduzisse ao valor certo do limite, isso já ão se veri ca o exemplo que se segue. 6 8/O utubro/000

8 Exemplo 8 Cosidere-se a sucessão de termo geral w = : Embora todas as parcelas desta soma tedam para zero, vamos mostrar, utilizado o teorema das sucessões equadradas, que w!. Usado um raciocíio similar ao do exemplo aterior, tem-se que isto é, + + Por outro lado, + + ou seja, Portato, Como, e lim + w + w + + = : + ; + : + + = + = + : + w + = lim + : = = lim + = lim = ; + pelo teorema das sucessões equadradas coclui-se que lim w = lim = : + = + = 7 8/O utubro/000

9 5 Limites I itos De ição 6 Diz-se que uma sucessão (u ) tem limite mais i ito ou tede para mais i ito e, escreve-se, lim u = + ou u! +; se, para todo o úmero L positivo existe uma ordem p tal que para > p; u é maior do que L. Ou seja, u! + sse para qualquer real positivo existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do que esse real. Simbolicamete, u! +, 8L > 0 9p N : > p ) u > L: Se u! + diz-se que (u ) tem limite meos i ito ou tede para meos i ito e escreve-se Isto é, lim u = ou u! : u!, 8L < 0 9p N : > p ) u < L: Fialmete, se ju j! + diz-se que (u ) tem limite i ito ou tede para i ito e escreve-se Isto é, lim u = ou u! : u!, 8L > 0 9p N : > p ) ju j > L: De ição 7 Uma sucessão com limite i ito diz-se um i itamete grade. Caso o limite seja + ou a sucessão dir-se-á um i itamete grade positivo ou i itamete grade egativo, respectivamete. Por exemplo: - a sucessão de termo geral u = 3 + é um i itamete grade positivo; - a sucessão de termo geral v = 3 + é um i itamete grade egativo; - a sucessão de termo geral w = ( ) 3 + é um i itamete grade (sem sial determiado). Uma sucessão diz-se propriamete divergete se tede para mais i- to ou para meos i to. Uma sucessão diz-se oscilate se ão for covergete em propriamete divergete. Em resumo, as sucessões classi cam-se do seguite modo: 8 8/O utubro/000

10 covergetes (limite ito); 8 < propriamete divergetes (limite + ou ) divergetes : oscilates (os restates casos). 5. Propriedades dos Limites I itos Proposição 9 Sedo(u ) e (v ) duas sucessões tem-se que:. se u! + e, a partir de certa ordem, u v, etão v! +;. se u! e, a partir de certa ordem, v u, etão v! : Exemplo 9 Mostremos que u = p +! +: Temos que u = p + p para e como p =! +, etão pelo resultado aterior coclui-se que p +! +: Sedo (u ) e (v ) duas su- Proposição 0 (Propriedades operatórias) cessões tem-se que:. se u! + e v! + etão u + v! +;. se u! e v! etão u + v! ; 3. se u! + (resp. ) e v! a; com a R; etão u + v! + (resp. ); 4. se u! e v! a; com a R; etão u + v! ; 5. se u! + (resp. ) e v! b; com b R + ; etão u :v! + (resp. ); 6. se u! + (resp. ) e v! c; com c R ; etão u :v! (resp. +); 7. se u! e v! etão u :v! : Observação 6 Muitas vezes estas propriedades são idicadas um modo mais abreviado, que a seguir exempli camos para o caso das alíeas e 7: (+) + (+) = + e : = : 9 8/O utubro/000

11 Os símbolos + ; ; (+) (+) ; (+) + ( ) ; 0:; 0: (+) ; 0: ( ) são desigados por símbolos de idetermiação. Isto quer apeas dizer que estes casos o facto de existir ou ão limite, bem como o seu valor, depede das sucessões evolvidas. Por exemplo, cosideremos as sucessões de termos gerais u = + ; v = e w = 3 + : Como (u ) ; (v ) ; e (w ) tedem para +; as sucessões (v w ) e (u w ) correspodem a situações de idetermiação, sedo o etato fácil estudá-las quato à covergêcia. De facto: lim (v w ) = lim [( 3 + 3) ( 3 + )] = ; lim (u w ) = lim [( + ) ( 3 + )] = lim ( 3 + ) = = lim = : Proposição Sedo (u ) uma sucessão de termos diferetes de zero, temse que:. se u! etão é um i itésimo); u! 0 (isto é, o iverso de um i itamete grade. se u! 0 etão u! (isto é, o iverso de um i itésimo é um i itamete grade). De ição 8 Se uma sucessão (u ) tede para a e, a partir de certa ordem, u > a diz-se que (u ) tede para a por valores superiores e escreve-se u! a + : Aalogamete, se uma sucessão (u ) tede para a e, a partir de certa ordem, u < a diz-se que (u ) tede para a por valores iferiores e escreve-se u! a : É fácil ver que se u! 0 + resp. 0 etão u! + (resp. ) : Por exemplo, vimos que a sucessão de termo geral v = si ( + ) /O utubro/000

12 é um i itésimo. Pela proposição aterior podemos cocluir que é um i itamete grade. Reparado que v > 0; para qualquer N, podemos mesmo a rmar que v é um i itamete grade positivo. Combiado os dois últimos resultados tem-se: Proposição Se (u ) e (v ) são duas sucessões, tedo a última os termos todos diferetes de zero, etão:. se v! e (u ) tem limite ito, u v! 0;. se v! 0 e (u ) tem limite i ito ou ito e diferete de zero, u v! ; Tal como o caso aterior, estas propriedades são por vezes represetadas do seguite modo: a = 0, 0 = e a =, se a 6= 0: 0 Os símbolos 0 0, e são também símbolos de idetermiação, pois tal como a situação aterior, o facto de existir ou ão limite, bem como o seu valor, depede das sucessões evolvidas. Cosideremos ovamete as sucessões de termos gerais u = + ; v = e w = 3 + : Todas tedem para +; pelo que as sucessões u v v ; u e v w correspodem a situações de idetermiação do mesmo tipo. No etato, facilmete se determiam os seus limites que são, respectivamete, 0; + e. De facto, u = + v = = e aalogamete se prova para os restates casos ! 0 Observação 7 Usado o raciocíio aterior, facilmete se prova que sedo P () = a 0 + a + + a p p, com a p 6= 0; e Q () = b 0 + b + + b q q, com b q 6= 0; poliómios de graus p e q, respectivamete, tem-se que: + ; se ap > 0 lim P () = lim P () Q() = 8 < : ; se a p < 0;, se p > q 0, se p < q a p b q, se p = q: v 8/O utubro/000

13 6 Sucessões Moótoas De ição 9 Uma sucessão (u ) diz-se crescete (em setido lato) se u + u, para todo o N. Dir-se-á estritamete crescete se u + > u, para todo o N. Uma sucessão (u ) diz-se decrescete (em setido lato) se u + u, para todo o N. Dir-se-á estritamete decrescete se u + < u, para todo o N. Uma sucessão (u ) diz-se moótoa se for crescete ou decrescete e estritamete moótoa se for estritamete crescete ou estritamete decrescete. Exemplo 0 Cosideremos a sucessão de termo geral u = p + : É claro que esta sucessão é decrescete, uma vez que o umerador é costatemete igual a e o deomiador q é positivo e crescete. De facto, ( + ) +( + ) > +; pelo que ( + ) + ( + ) > p +, dode (sedo úmeros positivos) se coclui que p(+) < p : Portato, +(+) + u + < u,8 N; pelo que (u ) é estritamete decrescete. Exemplo Para veri car que a sucessão a = p é estritamete crescete, podemos recorrer ao estudo da difereça a + a ou do quociete a + a. Isto é, ver que a + a > 0 para qualquer N; ou que a + a > para qualquer N (ote-se que a + a > é equivalete a a + > a porque a > 0, 8 N ). Ituitivamete deve ser claro que esta sucessão é crescete, pois o seu termo geral a parcela cresce mais rapidamete que a parcela e a raiz quadrada é uma fução crescete. Assim, q p a + a = ( + ) ( + ) = p p + = p p + p + + p = p + + p = = p + + p > 0,8 N: 8/O utubro/000

14 Aalogamete poderíamos mostrar que, para qualquer > ; q a + ( + ) r r ( + ) + + = p = a = > : Como a = 0 e, para qualquer > ; a + a > ; com a > 0, coclui-se que a + > a : Portato, a sucessão a = p é estritamete crescete. Observe-se que o caso do exemplo aterior tora-se mais fácil averiguar a desigualdade a + a >. Teorema 3 Toda a sucessão moótoa e limitada é covergete. Mais precisamete, toda a sucessão crescete e majorada tem limite (igual ao supremo do cojuto dos seus termos) e toda a sucessão decrescete e miorada tem limite (igual ao í mo do cojuto dos seus termos). Re ra-se que o supremo de um cojuto é o meor dos seus majorates e o í mo é o maior dos seus miorates. Exemplo Cosideremos ovamete a sucessão do exemplo aterior supodo >. Como a = p > 0 e a < a + vem que > : a a + Portato, a sucessão a ; de ida para > ; é moótoa decrescete e, como é limitada pois 0 p p ; 8 > ; coclui-se que tem limite ito. Proposição 4 Toda a sucessão moótoa tem limite ito ou i ito. Assim, dada uma sucessão moótoa, tem-se um de dois casos: a sucessão é limitada e, portato, tem limite ito, visto que é covergete; a sucessão ão é limitada, e este caso tem limite + ou é crescete ou decrescete. coforme A sucessão (a ) do exemplo aterior é moótoa crescete e ão é limitada, pelo que tem limite +. Aalogamete, a sucessão de termo geral a = p é decrescete e ão é limitada, pelo que tede para. 3 8/O utubro/000

15 Exemplo 3 Cosidere-se a sucessão de termo geral + : Prova-se que esta sucessão é crescete e tem todos os termos compreedidos etre e 3. É, portato, uma sucessão moótoa e limitada, pelo que é covergete em R: O limite desta sucessão é um úmero real muito importate e represetase por \e". Assim, lim + = e; sedo este úmero um irracioal. 7 Subsucessões De ição 0 Seja (u ) uma sucessão e ( k ) uma sucessão estritamete crescete de elemetos de N. A sucessão v k = u k diz-se uma subsucessão de (u ). Uma subsucessão duma sucessão (u ) é simplesmete uma sucessão que é extraída da origial escolhedo certos ídices, em úmero i ito, por ordem crescete. Escolhedo ; ; 3 ; : : : ; com < < 3 < : : : ; e cosiderado a sucessão u ; u ; u 3 ; : : :, costituída pelos elemetos da sucessão origial correspodetes a esses aturais, obtemos uma subsucessão da sucessão origial. Duma sucessão (u ) podem extrair-se uma i idade de subsucessões: u ; u 4 ; : : : ; u k ; : : : (dos termos de ídice par); u ; u 3 ; : : : ; u k ; : : : (dos termos de ídice ímpar); u 3 ; u 6 ; u 9 ; : : : ; u 3k ; : : : (dos termos de ídice múltiplo de 3); etc. Por exemplo, o estudo da sucessão de termo geral u = ( ) são particularmete importates duas sucessões - a subsucessão dos termos de ordem par, de termo geral v = u = ; e a subsucessão dos termos de ordem ímpar, de termo geral w = u =. Proposição 5 Toda a subsucessão duma sucessão com limite ( ito ou i ito) tem o mesmo limite. Corolário 6 Se uma sucessão tiver duas subsucessões com limites diferetes, a sucessão ão tem limite. 4 8/O utubro/000

16 Por exemplo, a sucessão de termo geral 8 < v = : se é úmero primo se ão é úmero primo tem duas subsucessões com comportametos perfeitamete distitos - a subsucessão dos termos correspodetes aos aturais primos e a subsucessão dos termos correspodetes aos aturais ão primos. A primeira subsucessão tem limite 0 e a seguda tem limite, pelo que a sucessão ão tem limite. Proposição 7 Se (u ) é uma sucessão tal que as suas subsucessões dos termos de ordem par e dos termos de ordem ímpar são ambas covergetes e têm o mesmo limite, etão (u ) é covergete. Por exemplo, aplicado este resultado, coclui-se facilmete que a sucessão ( ) é covergete. Proposição 8 Toda a sucessão de reais tem uma subsucessão com limite ( ito ou i ito). De ição Chama-se limite superior de uma sucessão (u ) ; e represetase por limu ou lim sup u ; ao maior dos limites ( itos, + ou ) das subsucessões que se podem extrair de (u ). Chama-se limite iferior de uma sucessão (u ) ; e represeta-se por limu ou lim if u, ao meor dos limites ( itos, + ou ) das subsucessões que se podem extrair de (u ). No caso da sucessão de termo geral 8 < v = : tem-se que se é úmero primo se ão é úmero primo limv = e limv = 0: Exemplo 4 Seja x = si subsucessões: : Desta sucessão podemos extrair três u k = x k = k si (k) = 0 v k = x 4k+ = (4k + ) si k + = 4k + w k = x 4k+3 = (4k + 3) si k + 3 = 4k 3 5 8/O utubro/000

17 cujos limites são, respectivamete, 0; + e. Qualquer outra subsucessão de (x ) tede para um destes limites, tedo-se limx = + e limx = : Observação 8 Os limites superior e iferior de um sucessão (u ) podem também obter-se do seguite modo: limu = lim supu k, sedo supu k = sup fu k : k g! k k e limu = lim if u k, sedo if u k = if fu k : k g :! k k Recorde-se que o supremo de um subcojuto de R é o meor dos seus majorates e o í mo o maior dos seus miorates (caso existam). 8 Resultados úteis o cálculo de limites Proposição 9 (Limite da potêcia) Sedo a um escalar real tem-se que 8 +, se a > >< 0, se jaj < lim a =, se a = ão existe, se a = >:, se a < : Proposição 0 (Limite da média aritmética) Se (u ) é uma sucessão tal que u! a, com a R, a = + ou a =, etão u + u + + u! a. Exemplo 5 lim = 0; pois! 0: Corolário Sedo (u ) uma sucessão, se (u + u )! a etão u! a: Exemplo 6 Cosidere-se a sucessão de termo geral u = l : lim l = 0; pois [l ( + ) l ] = l +! l = 0: 6 8/O utubro/000

18 Proposição (Limite da média geométrica) Se (u ) é uma sucessão de reais ão egativos e u! a; com a R ou a = +, etão p u u : : : u! a. Corolário 3 Sedo (u ) uma sucessão de reais positivos, se u + u! a etão p u! a: Exemplo 7 Sedo a > 0, lim p a = pois lim a a = : Exemplo 8 Cosidere-se a sucessão de termo geral u = p!: lim p! = + pois lim ( + )!! = lim ( + ) = +: Proposição 4 Se (u ) é um i itamete grade e a R; etão lim + a u = e a. u Exemplo 9 Cosidere-se a sucessão de termo geral u = + lim + 4 = lim + : lim = e 4 : = e Sucessões de idas por recorrêcia Uma sucessão pode ser de ida por uma relação de recorrêcia. Nesta situação ão é dada a expressão do termo geral sedo idicado o valor do primeiro termo (ou dos primeiros termos) e o valor de um certo termo é de ido a partir do aterior (ou etão a partir de mais do que um termo aterior), como por exemplo, u = u + = u, 8 N ; cujos cico primeiros termos são ; ; 4; 36; 576; ou v =, v = v + = v + 3v, 8 N ; 7 8/O utubro/000

19 cujos cico primeiros termos são ; ; ; 4; : Duas sucessões bem cohecidas, das quais já falámos ateriormete, que podem ser de idas por recorrêcia, são: - progressão aritmética de razão r e primeiro termo a; de ida por u = a u + = u + r, 8 N ; - progressão geométrica de razão r e primeiro termo a; de ida por u = a u + = u :r, 8 N : 9. O Método de Idução Cosideremos a sucessão (u ) de ida por recorrêcia do seguite modo: u = u + = u, 8 N : Deve ser ituitivo que, qualquer que seja N; 0 < u <, visto que o primeiro termo é (que é positivo e meor do que ), o segudo termo é o quadrado deste (e portato também é positivo e meor do que ) e assim sucessivamete. O Método de Idução Fiita, que se apreseta de seguida, é o método ideal para provar esta a rmação. De facto, este método é fudametal para provar muitas das propriedades dos aturais e também outras propriedades em que itervêm aturais. Como se perceberá facilmete, é especialmete idicado para provar propriedades de sucessões de idas por recorrêcia. Teorema 5 (Pricípio de Idução Fiita) Seja P () uma codição a variável (atural) tal que P () é verdadeira, para qualquer N, P () ) P ( + ). Etão P () é verdadeira, para qualquer N. O Método de Idução Fiita aplica-se, etão do seguite modo: prova-se que P () é verdadeira; 8 8/O utubro/000

20 para N (arbitrário), assume-se como hipótese que P () é verdadeira (é chamada Hipótese de Idução) e prova-se que P ( + ) é verdadeira (é chamada Tese de Idução) - a este passo chama-se Passo de Idução, e uma propriedade P () estas codições diz-se hereditária; coclui-se, pelo Pricípio de Idução Fiita, que P () é verdadeira para qualquer N. Observação 9 De um modo ituitivo, este método fucioa porque podemos obter qualquer úmero atural a partir do adicioado sucessivamete : De facto, sabedo que se P () é verdadeira etão P ( + ) é verdadeira (para qualquer atural ), e tedo provado que P () é verdadeira, tem-se que P () é verdadeira (pois = + e P () é verdadeira), sedo P () verdadeira, etão P (3) é verdadeira (pois 3 = + e P () é verdadeira), e assim sucessivamete. Deve ser claro que métodos perfeitamete aálogos fucioam para propriedades em N 0 ou propriedades que sejam verdadeiras apeas para os aturais maiores ou iguais a um certo k N. A difereça reside, o primeiro caso, em começar-se por provar que P (0) é verdadeira, e o segudo caso, que P (k) é verdadeira. Exemplo 0 Cosideremos a sucessão de ida por recorrêcia do seguite modo: u = u + = u u, 8 N : Provemos, por idução, que 0 < u <, 8 N. Neste caso, a propriedade P () é 0 < u < : P () é verdadeira, pois u =, pelo que 0 < u < ; Supohamos que 0 < u <, com vista a provar que 0 < u + < : Tem-se que u + = u u. Como 0 < u <, u < u ; pelo que 0 < u u : Por outro lado, como u 0, u u u <. Portato, 0 < u u = u + <. Pelo Pricípio de Idução coclui-se que, para qualquer N; 0 < u <. 9 8/O utubro/000

21 É agora fácil provar que a sucessão é covergete e calcular mesmo o valor do seu limite. De facto, provámos que a sucessão é limitada e é imediato que é decrescete ( pois u + = u u < u ), pelo que é covergete. Seja a R o limite desta sucessão. Como u! a; u +! a e u + = u u ; pelas propriedades dos limites coclui-se que a = a a, pelo que a = 0: Note-se que para podermos aplicar o método que seguimos para o cálculo deste limite, é idispesável provar primeiro que tal limite existe, isto é, que a sucessão é covergete. Observação 0 Por idução, é fácil provar que: a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética, (a ) ; de razão r e o termo a; é dada por S = a+a :; a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica, (a ) ; de razão r 6= e o termo a; é dada por S = r :a: r Referêcias [] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 977; [] Azeha, Acilia e Jeróimo, M. A., Cálculo Diferecial Itegral em R e R, McGraw-Hill, 995; [3] Caraça, Beto de Jesus, Coceitos Fudametais de Matemática, Gradiva, 998; [4] Piskouov, N., Calcul Di éretiel et Itégral, MIR, 976; [5] Wade, W. R., A Itroductio to Aalysis, Pretice Hall, 995; 0 8/O utubro/000

22 0 Exercícios Propostos Exercício Prove, por de ição, que +0 lim =.!+ Exercício Calcule o limite das seguites sucessões: (+)!!!( +) ++3+:::+ 5. P 6. k= k 3 8. p 9. +se cos() p + 3. p ( + )!! q p log Exercício 3 Utilize o teorema das sucessões equadradas para calcular os seguites limites: 8/O utubro/000

23 . + (+) + + (+). P k= 3.! 4.! p +k = P k=0 (+k) Exercício 4 Diga, justi cado, quais das seguites a rmações são verdadeiras ou falsas:. A sucessão de termo geral a = se se > 0 é divergete.. A sucessão de termo geral a = se é par + 3 se é ímpar é divergete. 3. Se (u ) é uma sucessão decrescete de termos positivos etão é covergete. 4. Uma sucessão decrescete de termos positivos tede para zero. Exercício 5 Estude a atureza das seguites sucessões e idique se são ou ão limitadas. Calcule, em cada caso, os limites iferior e superior.. [ + ( ) ] :. (se ) 5 3. cos()+cos() 4. a 4 ; a R 5. ( )! 6. [( ) + ] + 8/O utubro/000

24 7. ( ) 8. se 3 + cos ( ) ( ) + : Exercício 6 Prove que, para qualquer N, P i= i = (+) : Exercício 7 Sedo (a ) a progressão aritmética de razão r e o termo a, prove que S = a+a ; ode S é a soma dos primeiros termos desta progressão. Exercício 8 Seja (a ) a progressão geométrica de razão r e o termo a.. Sedo S a soma dos primeiros termos desta progressão, prove, supodo a 6= 0 que, se r 6= etão S = a r r :. Diga em que codições a sucessão (S ) é covergete. Exercício 9 Sedo a R; com 0 < a <, cosidere a sucessão de ida por recorrêcia do seguite modo: u = a u = u u + ; 8 > :. Prove, por idução, que 0 u ; 8 N:. Prove que (u ) é covergete e calcule o seu limite. Exercício 0 Seja (a ) uma sucessão de ida por recorrêcia do seguite modo: a = Seja (b ) a sucessão de termo geral. Calcule b 3 : a + = a ; 8 > : b = + a :. Prove, por idução, que 0 a, para todo o atural. 3. Prove que b +, para todo o atural. 3 8/O utubro/000

25 4. Mostre que (b ) é covergete e calcule o seu limite. Exercício Cosidere a sucessão u = 3 4 u + = u + ; 8 > :. Mostre que u > ; 8 >.. Mostre que lim!+ u = +: 4 8/O utubro/000

26 Exercícios Complemetares Exercício Sejam (u ) e (v ) duas sucessões de termos positivos tais que u = 4; v = ; u + = u + v e v + = p u v ; 8 N:. Prove, por idução que u > v, 8 N ;. Justi que que (u ) é decrescete. Exercício 3 Cosidere a sucessão u = 3!.. Mostre, usado o pricípio de idução ita, que se tem, qualquer que seja > 3, u < ;. Utilizado o teorema das sucessões equadradas e o resultado da alíea aterior, determie lim u. Exercício 4 Determie, caso exista, o limite das sucessões que têm por termo geral:. cos() + + ( )+ + 3; p ; 3. ( 3 + ) 3 4. P k=0 5. p p 3 +k ; ; 6. [( + 3)! ( + )!] : Exercício 5 Seja u = e v = , em que!! 3!! N:. Calcule lim u ;. Prove, pelo método de idução ita que v < 3! ; 8 N ; 3. Justi que que (u + v ) é covergete. 5 8/O utubro/000

27 Exercício 6 Cosidere a sucessão u = u + = u u. Prove, pelo método de idução matemática que u = ;. Calcule lim!+ u : 6 8/O utubro/000

28 Soluções : -.: ;.: +;.3: 0;.4: ;.5: ;.6: 3;.7: ;.8: ;.9: ; 3.0: 0;.: +;.: ;.3: +;.4: ;.5: ;.6: e ;.7: e ;.8: 0; 3.: 0; 3.: ; 3.3: 0; 3.4: 0; 4.: falsa; 4.: verdadeira; 4.3: verdadeira; 4.4: falsa; 5.: propriamete divergete, ilimitada, +; +; 5.: covergete, limitada, 0; 0; 5.3: covergete, limitada, 0; 0; 5.4: se jaj < 6; cov., limitada; 0; 0; se a > 6, propriamete divergete, ilimitada, +; +; se a < 6, oscilate, ilimitada, ; +; se a = 6, cov., limitada, ; ; se a = 6, oscilate, limitada,, : oscilate, ilimitada, ; +; 5.6: oscilate, limitada, 0,4; 5.7: oscilate, ilimitada, 0; +; 5.8: oscilate, limitada, 6: - 7: - 8.: -; 8.: jrj < 9.: -; 9.: 0 p 3+ ; p 3+ ; 5.9: oscilate, limitada,, 3; 0.: + 0.: -; 0.3: -; 0.4: 7 : - : - 3.: -; 3.: 0 4.: 3; 4.: +; 4.3: +; 4.4: ; 4.5: +; 4.6: + 5.: ; 5.: -; 5.3: - 6.: -; 6.: 0 7 8/O utubro/000