Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula

Transcrição

1 Cálculo III - SMA 333 Notas de Aula

2 Sumário 1 Itrodução 2 2 Seqüêcias Numéricas Defiição, Exemplos e Operações Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas Seqüêcias Covergetes

3 Capítulo 1 Itrodução Primeira Aula Para iiciar a discução vamos começar dizedo que, esta disciplia, todos os objetos estudados serão seqüêcias. Não vamos defiir seqüêcia este cotexto abstrato mas podemos dizer que uma seqüêcia é uma lista ifiita de objetos. As seqüêcias estão presetes o osso dia a dia desde a ifâcia. Logo depois de apreder a falar, começam a os esiar a cotar e tomamos cotato com a ossa primeira seqüêcia. Assim, a lista de úmeros {1, 2, 3, 4, 5, } é provavelmete a primeira seqüêcia com a qual tomamos cotato (mesmo sem saber represetá-la). Neste caso, os objetos são úmeros os úmeros aturais. Mais tarde, quado começamos a ler e escrever tomamos cotato com uma lista de letras e espaços dispostos em uma certa ordem para formar os textos que lemos durate a ossa vida. Assim, podemos formar uma lista ifiita de letras e espaços ou seja, uma seqüêcia ode os objetos são letras e espaços. Podemos seguir imagiado iúmeros outros exemplos do osso cotidiao ode as seqüêcias estão presetes mas vamos pesar aquelas que aparecem quado começamos a estudar matemática. Muito cedo, a ossa vida escolar aparecem as seqüêcias dos úmeros ímpares, as seqüêcias dos múltiplos de um atural dado, a seqüêcia dos úmeros primos, etc. Duas particulares seqüêcias que são efatizadas o esio médio são as progressões aritméticas e geométrica que por sua vez estão presetes em uma grade variedade de exemplos da vida cotidiaa (Veja [1]). No Brasil, todos apredemos a coviver com duas particulares progressões geométricas: a perda do poder de compra gerada pela iflação e o aumeto da dívida gerada pelos juros. É um exercício simples e istrutivo determiar a perda aual do poder de compra gerada pela iflação de 0,5% a.m. e idetificar as seqüêcias evolvidas. O mesmo pode ser feito para obter uma fórmula para o cálculo do redimeto de uma aplicação com táxa de 0.6% 2

4 a.m. Muitas outras seqüêcias estão presetes o osso dia a dia. Quado assistimos TV as images são compostas por uma seqüecia de telas que são exibidas uma após a outra e muitas vezes por segudo. Uma aálise mais profuda de algus siais elétricos periódicos que produzimos os leva a cocluir que esses siais são compostos por uma seqüêcia de siais seoidais com espectro de freqüêcias etre zero e ifiito. Estas são as Séries de Fourier que vamos estudar o fial desta disciplia. Já vimos também que as fuções de classe C apresetam uma seqüêcia de poliômios que supostamete as aproximam (os Poliômios de Taylor). Estes aparecerão quado estudarmos séries de potêcias. Em ambos os casos acima, os objetos são fuções (poliômios trigoométricos ou simplesmete poliômios). De forma bastate elemetar e muito ates da oção de seqüêcia ser sistematizada e bem compreedida, Arquimedes utilizou uma seqüêcia para determiar a área de um círculo sabedo que a razão etre o comprimeto da circuferêcia de um circulo e seu diâmetro é um úmero fixo deotado por π. Apeas para mostrar a geialidade deste grade cietista vamos apresetar a seguir o seu argumeto. Exemplo A área de uma circuferêcia. O quociete etre o comprimeto de uma circuferêcia e o diâmetro é um úmero real deotado por π. L d r L = π d = 2π r Vamos utilizar o argumeto de Archimedes para determiar a área do círculo de raio r. A idéia de Archimedes ( a.c.) foi dividir a circuferêcia em setores de igual área e reagrupá-los da seguite forma 8 Setores 3

5 16 Setores πr r Cada uma dessas figuras geométricas plaas tem área exatamete igual a área do circulo (pois é obtida do círculo recortado e reagrupado os pedaços). Esta seqüêcia de figuras geométricas plaas se aproximam do retâgulo de base πr e altura r e portato a área do círculo tem que ser exatamete πr 2. A demostração deste resultado evolve o coceito de limite de seqüêcias que itroduziremos brevemete. Se dividimos a circuferêcia em setores iguais temos r π/ A 2 r se π r cos π πr2 seπ/ π/ cos π/.

6 Se é grade cos π/ 1 e seπ/ π/ 1 (primeiro limite fudametal) e teremos A = πr 2 é, portato, fudametal etedermos o processo de passagem ao limite de uma seqüêcia para ecotrarmos soluções para problemas simples como o cálculo da área de um círculo. Exemplo Cuidado! Recorde a fórmula da soma de uma Progressão Geométrica de razão r 1 + r + r r = 1 r+1 1 r. Se r < 1, quato maior o valor de meor é o valor de r +1 e mostraremos que r +1 tede a zero quado tede a ifiito. geométrica {1, r, r 2, r 3,...} é Desta forma a soma de todos os termos da seqüêcia 1 + r + r r + = 1, 1 r r < 1. (1.1) Isto sigifica que quado tomamos S = 1 + r + r r para grade os aproximamos do valor S = 1. Uma tetativa de esteder a igualdade 1 r (1.1) para r = 1 parece coduzir a = 1 2 e de fato, matemáticos de peso como Euler, Leibiz e Beroulli chegaram a propor 1 como 2 resultado desta soma ifiita (ates de existir o coceito de série covergete que apresetaremos brevemete). Beroulli usava a seguite justificativa S = S 1 = = S 2S = 1 e S = 1. 2 No etato as somas S assumem os valores 0 e 1 alteradamete e ão se aproximam de qualquer úmero real. Logo, as maipulações algébricas acima ão fazem setido. A iterpretação correta de (1.1) é dada pela oção de limite (oção de série covergete) que expressa o fato que S se aproxima de S. lim S = S, para r < 1 e tal limite ão existe se r 1. 5

7 Capítulo 2 Seqüêcias Numéricas 2.1 Defiição, Exemplos e Operações No Cálculo I estudamos as fuções defiidas em subcojutos R e tomado valores em R e o Cálculo II estudamos as fuções defiidas em subcojutos de R m e tomado valores em R com m e aturais. Nesta seção, cosideraremos um caso particular dessas fuções que são as seqüêcias uméricas. Defiição Uma seqüêcia umérica é uma fução defiida o cojuto dos úmeros aturais e com valores reais, ou seja, f : N R. Note que cada úmero atural é levado em um úico úmero real N f R 0 f(0) 1 f(1) 2 f(2) 3 f(3).. Se deotamos f() por x, a seqüêcia f está uicamete determiada pela lista de úmeros {x 1, x 2, x 3,...} ou, abreviadamete, por {x }. Desta forma, adotaremos a otação {x } ou {x 1, x 2, x 3,...} para represetar uma seqüêcia. Cada x é chamado um elemeto da seqüêcia. Exemplo Temos A seqüêcia f : N R dada por f() = será deotada por {} ou {0, 1, 2, 3,...}. 6

8 A seqüêcia f : N R dada por f() = {1, 12, 13, 14 },.... será deotada por { 1 } + 1 ou A seqüêcia f : N R dada por f() = ( 1) {1, 1, 1, 1,...}. A seqüêcia f : N R dada por f() = {0, 12, 23, 34 }, será deotada por {( 1) } ou será deotada por { } + 1 A seqüêcia f : N R dada por f() = r, r R, será deotada por {r } ou {1, r, r 2, r 3,...}. Observação: Como uma seqüêcia é uma fução particular, estão defiidas as operações soma, multiplicação por escalar, produto e quociete de seqüêcias. Defiição Se {x } e {y } são seqüêcias e α R defiimos A soma {s } de {x } e {y } por Assim {x } + {y } = {x + +y }. O produto {p } de {x } e {y } por Assim {x }{y } = {x y }. s := x + y, N. p := x y, N. A multiplicação {m } do úmero real α por {x } por Assim α{x } = {αx }. m := αx, N. Se y 0 para todo N, o quociete {q } de {x } e {y } por Assim {x } {y } = { x y }. q := x y, N. 7 ou

9 Exemplo Temos { } { 1 {} + = + 1 } { } =, { } { } ( 1) {( 1) } =, { } = {2 }, {2} { } 2 { } =. 1 Defiição Se h : N N é uma fução estritamete crescete e f : N R é uma seqüêcia, etão a fução f h : N R é uma subseqüêcia de f. Exemplo Sejam h() = 2 e {x } uma seqüêcia. Etão {x 2 } é uma subseqüêcia de {x } chamada subseqüêcia dos pares. Seja h() = e {x } uma seqüêcia. Etão {x 2+1 } é uma subseqüêcia de {x } chamada subseqüêcia dos ímpares. Seja h() = + p, p N, e {x } uma seqüêcia. Etão {x +p } é uma subseqüêcia de {x }. A subseqüêcia dos pares (ímpares) da seqüêcia {( 1) } é a seqüêcia costate {1} (resp. { 1}). Primeira Aula 8

10 Seguda Aula 2.2 Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas Note que a seqüêcia {( 1) } é a lista ifiita {1, 1, 1, 1,, } mas a seqüêcia só assume os valores 1 ou 1. Se lembramos que esta é uma fução f : N R com f() = ( 1) etão, vemos que a imagem de f ( Im(f) = {f() : N} ) é o cojuto { 1, 1}. Defiição A imagem de uma seqüêcia é chamada cojuto dos valores da seqüêcia. Note que a seqüêcia {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, } tem o mesmo cojuto de valores que a seqüêcia {( 1) }. Exemplo Vamos cosiderar as expasão biária de um úmero real s [0, 1]. Cosidere a seqüêcia {s 1, s 2, s 3, } ode s 1 = 0 se s [0, 1/2] e s 1 = 1 se s (1/2, 1]. Se s 1 = 0 etão, s 2 = 0 se s [0, 1/4) e s 2 = 1 se s (1/4, 1/2]. Se s 1 = 1 etão, s 2 = 0 se s (1/2, 3/4] e s 2 = 1 se s (3/4, 1]. Seguido com este procedimeto obtemos a seqüêcia {s }. Não é difícil ver que s Veremos que isto sigifica que podemos escrever k s s = s s s Com isto em mete, podemos associar a cada úmero real em [0, 1] uma seqüêcia {s } com cojuto de valores em {0, 1}. Aqui vemos uma ifiidade de seqüêcias uméricas distitas com mesmo cojuto de valores. Defiição Uma seqüêcia é dita limitada se o seu cojuto de valores for limitado. Caso cotrário a seqüêcia é dita ilimitada. Etão, dizer que uma seqüêcia umérica {x } é limitada é dizer que existem úmeros m e M tais que m x M para todo N. Exemplo A seqüêcia { } é limitada. + 1 A seqüêcia {( 1) } é limitada. 9

11 { A seqüêcia cos 1 } é limitada. A seqüêcia {} é ilimitada Seqüêcias Covergetes Note que a seqüêcia {0, 12, 23, 34,... } tem a propriedade de que quato maior for a variável, mais próximo o valor { da} seqüêcia em,, fica de 1. Neste caso, diremos que o limite da seqüêcia é 1 e a seqüêcia é dita covergete com limite 1. É preciso dar uma defiição mais precisa da oção de covergêcia de uma seqüêcia. Começamos com as seqüêcias ifiitésimas. Defiição Dizemos que uma seqüêcia {x } é ifiitésima se dado ε > 0 existe um atural N = N(ɛ) tal que x < ε, N. Iterpretação da Defiição: Uma seqüêcia é ifiitésima se a partir de um certo úmero atural N todos os x s estão o itervalo ( ε, ε) e fora deste itervalo há apeas um úmero fiito de x s. Etre os elemetos x 1, x 2,, x N ecotramos todos os elemetos da seqüêcia que estão fora do itervalo ( ε, ε). { } 1 Exemplo Mostrar que a seqüêcia é ifiitésima. De fato: Dado ɛ > 0 seja N N tal que N 1. Etão, ε 1 = 1 < ε, > N. Exemplo Mostrar que a úica seqüêcia costate que é ifiitésima é a seqüêcia ula {0, 0, 0, } Defiição Uma seqüêcia {x } é covergete com limite l se a seqüêcia {x l} é ifiitésima; ou seja, se dado ɛ > 0, existe um úmero atural N = N(ɛ), tal que x l < ε, N. 10

12 Iterpretação da Defiição: Uma seqüêcia é covergete com limite l se a partir de um certo úmero atural N todos os x s estão o itervalo (l ε, l + ε) e fora deste itervalo há apeas um úmero fiito de x s. Etre os elemetos x 1, x 2,, x N ecotramos todos os elemetos da seqüêcia que estão fora do itervalo (l ε, l + ε). Notação: Se {x } é covergete com limite l, escrevemos lim x = l e lemos o limite de x quado tede para ifiito é l ou x l e lemos x tede a l quado tede a ifiito. { } Exemplo Mostre que a seqüêcia é covergete com limite De fato: Dado ɛ > 0 seja N > 1 ɛ, etão = < 1 < ɛ, N. { Exemplo Mostre que a seqüêcia cos 1 } é covergete com limite 1. De fato: Dado ε > 0 seja N > 1 ɛ, etão, pelo Teorema do Valor Médio, existe θ (0, 1 ) tal que cos 1 1 = cos 1 cos 0 = seθ 1 < ε, N. Exercício: Se {x } for uma seqüêcia covergete com limite l, mostre que a seqüêcia {cos x } será covergete com limite cos l. Seguda Aula 11

13 Terceira Aula O próximo resultado diz que, se uma seqüêcia for covergete, etão o limite será úico. Proposição Seja {x } uma seqüêcia covergete. Se etão l 1 = l 2. lim x = l 1 e lim x = l 2, Prova: Supoha por absurdo que l 1 l 2 e seja ɛ = l 1 l 2 4. Etão existem N 1, N 2 N tais que x l 1 < ɛ para todo N 1 e x l 2 < ɛ para todo N 2. Se N = max{n 1, N 2 } temos que l 1 l 2 l 1 x + x l 2 < 2ɛ = l 1 l 2, N, 2 o que é um absurdo. Segue que l 1 = l 2. Defiição Uma seqüêcia é dita divergete se ão for covergete. Proposição Se {x } for uma seqüêcia covergete com limite l, etão toda subseqüêcia de {x } será covergete com limite l. Prova: Como h : N N é crescete, temos que h(). Do fato que {x } é covergete com limite l temos que, dado ɛ > 0 existe N N tal que x l < ɛ, para todo N. Segue que, dado ɛ > 0, existe N N tal que, x h() l < ɛ para todo N. Isto mostra que lim x h() = lim x para toda h : N N crescete e o resultado segue. A Proposição é importate pois implica o seguite critério egativo de covergêcia que é bastate utilizado. Proposição Se uma seqüêcia possui duas subseqüêcias covergetes com limites distitos, etão a seqüêcia é divergete. Exemplo A seqüêcia {( 1) } é divergete. Proposição Toda seqüêcia covergete é limitada. Prova: Se lim x = l, seja ɛ = 1. Etão, existe N N tal que x l < 1 para todo N. Seja M = max{ x 1,, x N, l + 1}. Etão x M para todo N. Observação: Note que, toda seqüêcia covergete ser limitada mas em toda seqüêcia limitada é covergete (por exemplo, {( 1) } é limitada, mas ão é covergete). 12

14 Proposição Seja {x } uma seqüêcia. Etão {x } é covergete com limite 0 se, e somete se, { x } é covergete com limite 0. Prova: A seqüêcia {x } é covergete com limite 0 se, e somete se, dado ɛ > 0 existe N N tal que x 0 = x 0 < ɛ, N, se, e somete se, a seqüêcia { x } é covergete com limite 0. Proposição Seja {x } uma seqüêcia covergete com limite l. Etão, a seqüêcia { x } é covergete com limite l. A volta ão é válida, em geral. Prova: Se {x } é covergete com limite l temos que: dado ɛ > 0, existe N N tal que x l x l < ɛ, N. Segue que { x } é covergete com limite l. Para verificar que a recíproca ão é válida em geral, basta cosiderar a seqüêcia {( 1) } que ão é covergete e cujo módulo é covergete. Terceira Aula 13

15 Quarta Aula Exemplo Cosidere a seqüêcia {r }. Temos {r } é covergete com limite 0, se r < 1; {r } é covergete com limite 1, se r = 1; {r } é divergete, se r = 1 ou r > 1. Sugestão: Mostre que se r > 1, etão { r } é ilimitada. Proposição Se {x } é covergete com limite 0 e {y } é limitada, etão {x y } é covergete com limite 0. Prova: Como {y } é limitada, existe M > 0 tal que y M para todo N. Como {x } é covergete com limite 0, dado ɛ > 0 existe N N tal que x < ɛ para todo N. M Segue que x y < ɛ M = ɛ, N. M Disto segue que {x y } é covergete com limite 0. { } 1 Exemplo A seqüêcia cos é covergete com limite 0. Defiição Uma seqüêcia {x } é dita crescete (decrescete) se x x +1 (x x +1 ) para todo N. Defiição Uma seqüêcia {x } é dita limitada superiormete (iferiormete) se existe M R (m R) tal que x M (x m) para todo N. Neste caso M (m) é dito um limitate superior (iferior) para o cojuto dos valoroes de {x }. Ao meor (maior) limitate superior (iferior) do cojuto dos valores de {x } chamamos supremo de {x } (ifimo de {x }) e deotamos por sup{x } (if{x }). Propriedade: Se L = sup{x } (l = if{x }), dado ɛ > 0 existe 0 N tal que x 0 L ɛ (x 0 l + ɛ). Proposição Toda seqüêcia {x } crescete (decrescete) e limitada é covergete com limite sup{x } (resp. if{x }). Prova: Se {x } é crescete (decrescete) e limitada, dado ɛ > 0 existe 0 N tal que x 0 L ɛ (x 0 l+ɛ). Como {x } é crescete (decrescete) L x L ɛ (l x l+ɛ) para todo 0 e o resultado está provado. 14

16 Exemplo Mostre que a seqüêcia {x } dada por x 1 = 2, x = 2 + x 1, 2, é covergete e ecotre o seu limite. Proposição (Propriedades). Se {x } e {y } são seqüêcias covergetes com limites l 1 e l 2 respectivamete e c R, etão (a) {cx + y } é covergete com limite cl 1 + l 2 (b) {x y } é covergete com limite l 1 l 2 (c) {x /y } é covergete com limite l 1 /l 2, sempre que l 2 0. Quarta Aula 15

17 Quita Aula Proposição Se {x } for uma seqüêcia covergete e x 0, para todo N, etão lim x 0. Prova. Supoha que lim x = l. Etão dado ε > 0, existe N N tal que Mas x 0 por hipótese. Portato l ε < x < l + ε, N. l ε < x 0, N, ou seja, l < ε. Segue da arbitrariedade de ε que l 0 e a prova está cocluída. Corolário (Teste da comparação). Se {x } e {y } são seqüêcias covergetes e x y para todo N, etão lim x lim y. Proposição (Teorema do Cofroto). Sejam {x } e {y } duas seqüêcias covergetes com mesmo limite l. Se {z } é um seqüêcia tal que etão {z } é covergete com limite l. Prova: Dado ε > 0, seja N N tal que x z y, N, l ε x z y l + ε, N. Etão z l < ε para todo N e, portato, lim z = l. Isto coclui a prova. Vamos dividir as seqüêcias divergetes em três tipos. Aquelas que divergem para +, aquelas que divergem para e aquelas que são limitadas mas ão são covergetes. Defiição Dizemos que uma seqüêcia {x } diverge para + se, dado R > 0, existe N N tal que x > R para todo N. Neste caso escrevemos lim x = +. Dizemos que uma seqüêcia {x } diverge para se, dado R > 0 existe N N tal que x < R para todo N. Neste caso escrevemos lim x =. 16

18 Dizemos que uma seqüêcia {x } oscila, se ela ão for covergete e ão divergir para + ou para. Exemplo {2 } diverge para + ou seja lim 2 = +. { } diverge para ou seja lim = {1 + se } e {( 2) } oscilam. 17

19 Referêcias Bibliográficas [1] E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wager e A. C. Morgado, A matemática do Esio Médio, Coleção do Professor de Matemática, SBM. 18