Sequências Numéricas e Séries

Transcrição

1 Do Rigor às Aplicações Paulo Sérgio Costa Lio

2 Ao meu filho Gabriel

3 Prefácio "O mudo é cada vez mais domiado pela Matemática". A. F. Rimbaud Um dos assutos cetrais a Matemática é o estudo das sequêcias, das séries uméricas e das séries de potêcias. O desevolvimeto desta ciêcia está viculado a algum processo que evolve a ideia de ifiito. A adição de uma soma com um úmero ifiito de parcelas cofudiu os matemáticos por muitos séculos, mas após muito esforço, desevolveu-se o coceito de covergêcia, possibilitado grades avaços esta área. Esta obra é composta de três pequeos capítulos direcioadas para os aluos de liceciatura e bacharelado em Matemática, Física ou Egeharia. Preferi seguir a liha de rigor matemático o desevolvimeto deste material, mas recomedo que sejam omitidas a maioria das provas em uma primeira leitura. Existem muitos exemplos relacioados com as aplicações das séries ifiitas o cálculo dos valores de fuções expoeciais, logarítmicas e trigoométrica, o cálculo de itegrais defiidas e o cálculo de ites idetermiados. Além disso, com objetivo de auxiliar a autoavaliação cotíua do leitor, apresetamos o fial de cada capítulo as respostas dos exercícios propostos. Barra do Bugres, maio de 204 Paulo Sérgio Costa Lio

4 Sumário Sequêcias Numéricas 7. Coceitos e Propriedades Operações com Limites de Sequêcias A Regra de L Hospital Sequêcias Limitadas Sequêcias Moótoas O Axioma da Completude e Cosequêcias O Número e Teste da Razão Para Sequêcias e Limites Especiais A Notação Somatório Exercícios Propostos Exercícios Selecioados e Resolvidos Séries Numéricas Itrodução Coceitos Preiares A Série Harmôica A Série Geométrica As Séries do Tipo Telescópicas O Teste da Divergêcia O Teste da Itegral O Teste da Comparação O Teste da Comparação de Limite O Teste Para Séries Alteradas Covergêcia Absoluta O Teste da Razão O Teste da Raiz Exercícios Propostos

5 3 Séries de Potêcias Itrodução Exercícios Propostos Algumas Aplicações das Séries de Potêcias 79 5 Aexo A: Valor Absoluto de um Número Real 80 5

6 6

7 Capítulo Sequêcias Numéricas. Coceitos e Propriedades Defiição. Uma sequêcia é uma fução cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais. Matematicamete, temos a : N R a() = a Existem muitos modos de deotar uma sequêcia, tais como: {a, a 2, a 3,..., a, a +,...}, {a }, {a } Exercício Resolvido. Escreva os 5 primeiros termos das sequêcias abaixo e coloque os pares ordeados em um sistema de coordeadas cartesiaas. a) {( ) } + =0 b) {2} + { } + c) Resolução: Os 5 primeiros termos das sequêcias dadas são: a),,,, b) 2, 4, 6, 8, 0 c), /2, /3, /4, /5 7

8 A primeira sequêcia acima é uma sequêcia oscilate, a seguda é uma sequêcia crescete, pois seus termos aumeta a medida que aumetamos. A última sequêcia aproxima-se cada vez mais de zero e este caso, dizemos que ela coverge para zero. Apresetamos o coceito de covergêcia a defiição abaixo. Figura.: Diagrama para a covergêcia de uma sequêcia Defiição.2 Dizemos que a = L ou que a L quado + + se a aproxima-se de L quado aumetamos idefiidamete. Rigorosamete, + a = L se para todo ϵ > 0, existe N N tal que se > N, etão a L < ϵ. Uma sequêcia que coverge para algum ite é chamada de sequêcia covergete. Teorema. (Uicidade do Limite) Se a L quado +, etão L é úico. Demostração: Sejam L L 2. Supohamos que a L e a L 2 quado e seja ϵ = L 2 L > 0. Assim, existem N N tais que a L < ϵ/2 para todo > N e N 2 N tais que a L 2 < ϵ/2 para todo > N 2. Tomado N = max{n, N 2 }, se > N, temos: L 2 L = (a L ) (a L 2 ) a L + a L 2 < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ Absurdo! 8

9 Exercício Resolvido.2 A sequêcia {/} + coverge para zero. Seja ϵ > 0. Devemos achar N N tal que se > N, etão 0 < ϵ. Assim, tomado um atural N tal que N > /ϵ segue que, se > N, etão 0 = = < N < ϵ ou seja, a sequêcia {/} + coverge para zero. Defiição.3 Uma sequêcia {a } + que ão é covergete é dita divergete. Defiição.4 Dizemos que a = + + se para todo úmero M > 0, existe N N tal que a > M para todo > N. Defiição.5 Dizemos que a = + se para todo úmero M < 0, existe N N tal que a < M para todo > N. Das defiições acima, podemos afirmar que se ±, a sequêcia é divergete. a ão existe ou é + Teorema.2 (Critério do iverso) Se a > 0 para todo N etão a = 0 = a Demostração: Se a = 0, dado ϵ > 0, existe N N tal que se + > N, etão a < ϵ. Assim, a < ϵ > a ϵ. Tomado M = ϵ, segue que a > M, M arbritrário. Logo, Teorema.3 Se p > 0, etão + + p = +. 9 a = +.

10 Demostração: Note que para todo M > 0, existe N N tal que se > N, etão p > M. Tomado N > p M segue o resultado. Corolário. Se p > 0, etão + p = 0. Demostração: Segue imediatamete do critério do iverso..2 Operações com Limites de Sequêcias Teorema.4 Sejam as sequêcias {a } + e {b } +. Se a L e b M quado +, etão i) + (a + b ) = a + b = L + M; + + ii) (ca ) = c a = cl, para todo c R; + + iii) (a b ) = + a a = L M; + + iv) + a b = a + b = L, desde que M 0. M + Demostração: i) Seja ϵ > 0. Como a L, existe N N tal que se > N, etão a L < ϵ 2 (.) Aalogamete, como b M, existe N 2 N tal que se > N 2, etão a L < ϵ 2 (.2) Tomado N = max{n, N 2 } e se > N, segue que a +b (L+M) = (a L)+(b M) a L + b M < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ 0

11 ii) Se c, o resultado é imediato. Supohamos que c 0 e seja ϵ > 0. Sedo {a } + covergete, existe N N tal que se > N, Assim, se > N, etão a L < ϵ c ca cl = c a L < c ϵ c = ϵ iii) Sedo {b } + covergete, pelo Teor. (.7), existe P > 0 tal que b < P para todo N. Além disso, dado ϵ > 0, existe N N tal que se > N, etão b M < ϵ (.3) 2P Por outro lado, sedo {a } + covergete, existe N 2 N tal que se > N 2, a L < ϵ (.4) 2 L Tomado N = max{n, N 2 }, segue que se > N, etão a b LM = a b Lb + Lb LM b a L + L b M < P ϵ 2P + L ϵ 2 L = ϵ devido as desigualdades (.3) e (.4). iv) Como b M 0, existe N N tal que b M < se > N M < b < M + se > N Assim, se > N, 0 < M + < b b < M + (.5) Por outro lado, sedo {a } + e {b } + sequêcias covergetes, pelo Teor. (.7), existem P, P 2 > 0 tais que a < P e b < P 2 para todo N. Dado ϵ > 0, devemos exibir N N tal que a L b M < ϵ se > N

12 Como a L, existe N 2 > 0 tal que a L < M + M P ϵ 2 Aalogamete, como b M, existe N 3 > 0 tal que (.6) b M < M + M P 2 ϵ 2 (.7) Tomado N = max{n, N 2, N 3 }, e usado (.6) e (2.9), segue que se > N, etão a L b M = a M b L b M = a M a b + a b b L b M = a (M b ) + b (a L) a b M + b a L M b M b P < M M + b P 2 M + M M + a L < P M + M ϵ M M + P 2 + P 2 M + M ϵ M M + P 2 2 = ϵ Exercício Resolvido.3 Use o Teor. (.4) e calcule os ites abaixo: + a) + b) + 2 Resolução: ( + a) = + ) = b) + 2 = + + = 0 0 = 0.3 A Regra de L Hospital + = + 0 = 0 Nesta seção relacioaremos ites de sequêcias com fuções cotíuas. Para isso, vejamos o coceito de fução cotíua e suas cosequêcias. 2

13 Defiição.6 Dizemos que a fução f é cotíua em x = x 0, sedo x 0 D(f), se dado ϵ > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ϵ Teorema.5 Seja {a } + uma sequêcia de úmeros reais. Se a L quado + e se f for uma fução cotíua em L e defiida para todo a, etão f(a ) f(l) quado +. Demostração: Seja ϵ > 0. Como a L quado +, existe +, existe N N tal que a L < ϵ se > N. Como f é cotíua em L, tomado δ = ϵ, etão se a L < ϵ = δ, segue que f(a ) f(l) < ϵ. Exercício Resolvido.4 Como { } + 0 quado +, etão: a) 0 = 0 quado + b) e / e 0 quado + ( ) c) si si 0 quado + pois as fuções f(x) = x, g(x) = e x e h(x) = si x são cotíuas em x = 0. Teorema.6 Supoha que f(x) seja uma fução defiida para todo x N 0, N 0 N e que {a } seja uma sequêcia de úmeros reais tal que a = f() para N. Etão, f(x) = L a = L x + + Demostração: Supoha que f(x) = L. Dado ϵ > 0, existe M > 0 x + tal que f(x) L < ϵ se x < M. Seja N N tal que N > max{n 0, M}. Etão, se > N, temos a = f() e a L = f() L < ϵ. Através deste teorema, podemos usar a regra de L Hospital para ecotrar o ite de várias sequêcias. Exercício Resolvido.5 Use a regra de L Hospital e calcule os ites abaixo: 3

14 a) b) + Resolução: a) Seja f(x) = x2 + 3x 4 x 2 para x 3. Note que a = f() para 3. Como f(x) = x 2 + 3x L H x + x + 4 x 2 = Logo, =. x + ( 2x + 3 2x = 3 ) = x + 2x b) Seja f(x) = x x = x /x para x. Seja L = x + x/x. Aplicado logaritmo atural em ambos os lados, segue que Logo, ( l L = l x + x/x ) l x = x + l(x/x ) = x + x L H /x = x + = 0 L = e0 = =. + Observação. Em algumas situações, por comodidade, aplicamos diretamete a regra de L Hospital a expressão idetermiada dada a variável..4 Sequêcias Limitadas Defiição.7 A sequêcia {a } + é itada superiormete se existe um úmero M tal que a M para todo N. A sequêcia {a } + é itada iferiormete se existe um úmero M 2 tal que a M 2 para todo N. Dizemos que {a } é itada se ela é itada iferiormete e superiormete. Exercício Resolvido.6 A sequêcia { + } =0 + é itada iferiormete, mas ão superiormete. Por outro lado, a sequêcia {/( + )} + é itada, pois 0 < a < para todo N. 4

15 Teorema.7 Se a sequêcia {a } + é covergete, etão ela itada. Demostração: De fato, se a L quado, dado ϵ =, existe N N tal que se > N, etão a L <. Assim, se > N, etão a L < a L < ϵ a < L + := M Tomado M = max{a, a 2, a 3,..., a N, M }, segue que a M para todo N. Portato, podemos afirmar que se uma sequêcia {a } + ão é itada, ela ão é covergete. Teorema.8 Se a = + e {b } + + é uma sequêcia itada iferiormete, etão (a + b ) = +. + Demostração: Sedo {b } + M 2 tal que b M 2 para todo N. Como é itada iferiormete, existe um úmero a = +, dado M > 0, + existe N N tal que se > N, etão a > M. Assim, a + b > M + M 2 se > N. Sedo M arbitrário, o úmero M + M 2 também é, dode segue o resultado. Exercício Resolvido.7 é itada iferiormete por M =. + [2 + ( ) ] = +, pois a sequêcia {( ) } + Corolário.2 Se a = + e b = +, etão (a +b ) = Demostração: Segue do fato que a sequêcia {b } + é itada iferiormete..5 Sequêcias Moótoas Defiição.8 Dizemos que a sequêcia {a } + é i) ão-decrescete, se a a + para todo ; 5

16 ii) ão-crescete, se a a + para todo. Defiição.9 Dizemos que a sequêcia {a } + é i) crescete, se a < a + para todo ; ii) decrescete, se a > a + para todo. Chamamos de moótoa uma sequêcia que seja ão-decrescete, ãocrescete, crescete ou decrescete. Exercício Resolvido.8 Como 2 + > 2 para todo N, segue que a sequêcia {2 } + =0 é crescete e cosequetemete, a sequêcia {/2 } + =0 é decrescete. Teorema.9 Toda sequêcia ão-decrescete é itada iferiormete e toda sequêcia ão-crescete é itada superiormete. Demostração: Supohamos que {a } + seja uma sequêcia ão-decrescete. Mostraremos que a a para qualquer N. Por defiição, a k+ a k 0 para todo k = 2, 3, 4,.... Assim, 0 (a k a k ) = a a a a N k=2 Aalogamete, se a sequêcia {a } + é decrescete, mostraremos que a a para qualquer N. Por defiição, a k a k 0 para todo k = 2, 3, 4,.... Assim, 0 (a k a k ) = a a a a N k=2 Proposição. Não existe sequêcia decrescete de úmeros aturais. Demostração: Supohamos que existe uma sequêcia {a } + decrescete. Seja A = {a N} o cojuto dos termos da sequêcia. Sedo A um cojuto de úmeros aturais, pelo pricípio da boa ordeação, existe o meor elemeto de A, ou seja, existe N 0 N tal que a N0 é míimo, porém como a sequêcia é estritamete decrescete, etão a N0 > a N0+. Absurdo. 6

17 Defiição.0 Dizemos que {b k } + k= é uma subsequêcia de {a } se existe uma sequêcia { k } + k= N estritamete crescete tal que b k = a k para todo k N. Exercício Resolvido.9 Dada a sequêcia {( ) } +. Tomado k = 2k, k N, obtemos a subsequêcia costate {} + e tomado k = 2k +, k N obtemos a subsequêcia costate { } +. Teorema.0 (Teste da subsequêcia) Uma sequêcia {a } + coverge para a se e somete se, toda subsequêcia de {a } + coverge para a. Demostração: Supohamos que exista a R tal que a a. Seja {b k } + k= uma subsequêcia de {a } +, isto é, b k = a k para alguma sequêcia crescete { k } + k= N. Mostremos que b k a. Para isso, seja ϵ > 0. Como a a, existe N N tal que a a < ϵ se > N. Como { k } + k= N é crescete, existe K N tal que se k > K, etão k N. Assim, se k > K, segue que b k a < ϵ. Logo, b k a. A recíproca segue do fato que {a } + é subsequêcia de si mesma. Exercício Resolvido.0 Deste teorema e do exemplo aterior segue que {( ) } + é uma sequêcia divergete. Teorema. Se uma sequêcia moótoa possui uma subsequêcia itada, etão a sequêcia é itada. Demostração: Supoha que {a } seja uma sequêcia crescete e que {b k } k= seja uma subsequêcia itada, isto é, b k = a k para alguma sequêcia crescete { k } + k= N. Por outro lado, existe k 0 > tal que a a k0, pois {a } + é crescete. Sedo {b k} itada, existe M > 0 tal que b k0 < M, daí por trasitividade, a < M. Como a sequêcia crescete é itada iferiormete e superiormete etão ela é itada. Teorema.2 (Teorema do Saduiche) Se existe N N tais que a b c para todo > N e a = c = L + + etão b = L. + 7

18 Demostração: Seja ϵ > 0. Desde que a L quado +, existe N N tal que a L < ϵ se > N Desde que c L quado +, existe N 2 N tal que c L < ϵ se > N Seja N = max{n, N 2 } e ote que, em particular, ϵ < a L e c L < ϵ. ϵ < a L b L c L < ϵ ou seja, Logo, b L quado +. ϵ < b L < ϵ se > N Exercício Resolvido. Mostre que Resolução: Note que ( + ) = = ( + )( + + ) = < Como ) = = 0, segue do teorema do saduiche que + ( + Corolário.3 Se a = 0, etão a = Demostração: De fato, cosidere as sequêcias { a } + e { a } +. Note que a = 0 e ( a ) = a = Como a a a, pelo Teor. (.2) segue o resultado. { ( ) Exercício Resolvido.2 Use o Cor. (.3) e mostre que coverge. 8 2 } +

19 Resolução: De fato, ( ) 2 = coverge para zero, portato, a sequêcia dada 2 também coverge para zero. Teorema.3 Se b = 0 e {a } + + é uma sequêcia itada, etão a b = 0 + Demostração: Seja ϵ > 0. Como a é itada, existe M > 0 tal que a < M para todo N. Por outro lado, sedo b = 0, existe N N + tal que se > N, etão b < ϵ. Assim, para > N, temos: N ou seja, a b = 0. + a b = a b < M b < M ϵ M = ϵ { cos() Exercício Resolvido.3 Mostre que a sequêcia para zero. De fato, sedo {cos()} + =0 itada e segue o resultado. Exercício Resolvido.4 Mostre que + 2 } + coverge = 0, do teorema aterior 2 { si() } + e coverge para. =0 si() Resolução: De fato, basta provar que + e = 0. Para isso, sejam a = si() e b = Note que a sequêcia {si()}+ e =0 é itada e que = 0. Logo, do Teor. (.3), segue que + e a si() b = + + e = 0 Teorema.4 (A Desigualdade de Beroulli) Dados x R com x > e N. Etão ( + x) + x (.8) 9

20 Demostração: Usaremos idução fiita sobre. É evidete que a expressão (.5) é válida para =. Supohamos agora que esta expressão seja válida e provaremos sua validade para +. De fato, (+x) + = (+x) (+x) (+x)(+x) = +x+x+x 2 +(+)x Exercício Resolvido.5 Seja a sequêcia e = {( + /) }. Mostre que e 2 para todo N. Resolução: Fazedo x = / a expressão (.8), segue o resultado. Exercício Resolvido.6 Prove que 3 =. + Resolução: Substituido x por 2/ a expressão (.8), temos ( + 2 ) + 2 = 3 3/ = (.9) para todo N. Por outro lado, fazedo x = 2/(3) > em (.8), segue que ( 2 ) + ( 2) 3 3 = ( ) Das expressões (.9) e (.0), obtemos / ou seja, (.0) (.) Fazedo + a expressão (.) e usado o teorema do saduiche, segue o resultado. Teorema.5 Seja x R. i) Se x >, etão + x = + ; ii) Se 0 < x <, etão + x = 0; 20

21 iii) Se < x < 0, etão Demostração: + x = 0. i) Sedo x >, fazemos x = + y, sedo y > 0. Assim, ou seja, + = ( + y) + + x = +. ( + + y) = ii) Seja y = x. Note que y > 0 e y + = x Para, temos Assim, x = ( + y) + y < y 0 + x + Pelo Teor. do Saduiche segue o resultado. + x de modo que x = + y. y = 0 iii) Sedo < x < 0, etão 0 < x <. Assim, x = [( )( x)] = ( ) ( x). Observe que a sequêcia a = ( ) é itada e b = ( x) 0 quado +. Logo, pelo Teor. (.3), x 0 quado +. Observação.2 Pelos ítes ii) e iii) do teorema aterior, podemos afirmar que se x <, etão + x = 0..6 O Axioma da Completude e Cosequêcias Já vimos que toda sequêcia covergete é itada (Ver Teor..7) e pelo exemplo aterior, otamos que existem sequêcias itadas que ão são covergetes. Se além de itada a sequêcia é moótoa, etão ela é covergete e a prova baseia-se o seguite axioma: Axioma. (Axioma da completude de R) Se S é um cojuto ão-vazio de úmeros reais que possui um itate superior M (x M para todo x S), etão S tem um meor itate superior b. Isto sigifica que b é um itate superior para S, mas se M é qualquer outro itate superior, etão b M. 2

22 Teorema.6 Toda sequêcia moótoa e itada é covergete. Demostração: Supoha que {a } + seja uma sequêcia crescete. Desde que {a } + é itada, o cojuto S = {a : } tem um itate superior. Pelo Axioma da Completude, este cojuto possui o meor itate superior que deotaremos por L. Dado ϵ > 0, L ϵ ão é um itate superior para S, desde que L é o meor itate superior. Portato, a N > L ϵ para algum N N. Mas esta sequêcia é crescete, de modo que a a N para todo > N. Portato, se > N, temos a > L ϵ. Logo, 0 L a < ϵ a L < ϵ se > N Corolário.4 Se uma sequêcia moótoa possui subsequêcia itada etão ela é covergete. Demostração: De fato, seja {a } + uma sequêcia moótoa e {b k} + k= uma subsequêcia itada. Assim, pelo Teor. (.), {a } + é uma sequêcia moótoa e itada. Pelo teorema aterior segue o resultado. Exercício Resolvido.7 Estude a covergêcia da sequêcia {a } + defiida pela equação abaixo. a + = 2 (a + 4) a = 2 Resolução: De fato, seus primeiros termos são a = 2, a 2 = 3, a 3 = 3, 5, a 4 = 3, 75, a 5 = 3, 875, a 6 = 3, 9375,... Isto sugere que {a } + é estritamete crescete. Para cofirmar isto, usaremos idução matemática mostrado que a + > a para todo N. Para =, temos a 2 = 3 > 2 = a. Supohamos que para = k, temos a k+ > a k. Assim, a k+ > a k a k+ + 4 > a k (a k+ + 4) > 2 (a k + 4) a k+2 > a k+ Provamos etão que a + > a para = k +. Mostraremos agora que a sequêcia {a } + é itada. Note que a 2 e os demais termos listados 22

23 acima, sugere também que a sequêcia é itada superiormete, ou seja, a < 4 para todo N. Usaremos idução matemática para provar este resultado. Supohamos que para = k, temos a k < 4. Assim, a k < 4 a k + 4 < 8 2 (a k + 4) < 4 a k+ < 4 Logo, a sequêcia dada é crescete e itada. Pelo Teor. (.6), existe L R tal que a = L. Aplicado o ite a equação dada obtemos a + equação L = (L + 4), de modo que L = O Número e O úmero e também cohecido por costate de Euler é a base dos logaritmos aturais ou eperiaos em homeagem a Joh Napier ivetor dos logaritmos o iício do século XV II. No etato em sua tabela do logaritmos publicada em, há apeas idícios sobre o úmero e. A primeira idicação da costate foi descoberta por Jakob Beroulli quado estudava um problema relacioado a juros compostos. Nesta seção, veremos uma defiição cocisa para esta costate baseada o coceito de ite de sequêcias uméricas. Para defiir o úmero e, cosideremos a sequêcia ( e = + ) (.2) para N. Leohard Euler que foi aluo de Jakob Beroulli provou que a sequêcia {e } + coverge para um úmero fiito, o qual ele chamou de e. ( + ) = e (.3) + Deve ser dito que Euler ão provou rigorosamete a existêcia do ite acima. Ele apresetou outras formulações para o úmero irracioal e = 2, Para estabelecer o ite (.3) usaremos algus lemas e o Teor. (.6). Lema. Seja um iteiro positivo. Etão x y = (x y) 23 b x k y k (.4) k=

24 Demostração: Usaremos idução fiita sobre. Para =, temos: (x y) x k y k = (x y)x y = x y k= Supohamos que a expressão (.4) seja válida e provaremos que ela é verdadeira para +. De fato, x + y + = x x y y = x x xy + xy y y = x(x y ) + y (x y) = x(x y) x k y k + y (x y) [ = (x y) x ] x k y k + y k= [ ] = (x y) x + k y k + y + k= + = (x y) x + k y k k= Lema.2 Se 0 a < b e N, etão k= a < b a b a < b Demostração: Pelo Lema (.), b a b a = b k a k < k= b k b k = b = b k= k= A outra desigualdade segue de maeira aáloga. Teorema.7 A sequêcia {e } + dada em (.2) é crescete e itada. Demostração: Provaremos iicialmete que {e } + é uma sequêcia crescete e portato moótoa. Pelo Lema (.2), temos: b + a + b a < ( + )b b + a + < (b a)( + )b 24

25 b + (b a)( + )b < a + b [b (b a)( + )] < a + b [( + )a b] < a + (.5) Colocado a = + + e b = + a expressão (.5), segue que ( + ) [ ( ( + ) + ) ( + )] ( < + ) ( + ) ( < + ) + + ou seja, b < b + e {b } + é uma sequêcia crescete. Para provar que esta sequêcia é itada, ote que = e b = = ( ) ( + ) = ( ) + k=2 k=0 ( ) k k k = + + k=2 ( ) k k ( )( 2)... ( k + ) b = 2 + k! k k=2 ( = 2 + )( 2 ) (... k ) k! k=2 < 2 + k! < 2 + /2 = 2 + 2k /2 = 3 k=2 k=2 Portato, pelo Teor. (.6), a sequêcia {e } + é covergete, cujo ite que deotaremos por e, represeta a seguda costate mais famosa e importate o reio da Matemática..8 Teste da Razão Para Sequêcias e Limites Especiais O ite de algumas sequêcias pode ser obtido através do cálculo do ite da razão etre dois termos cosecutivos e quaisquer da sequêcia. Tais ites serão úteis o estudo da covergêcia sobre séries uméricas. 25

26 Teorema.8 Se a = L, etão + + k= a k = L. Demostração: Como a L quado +, dado ϵ > 0 existe N N tal que a L < ϵ. Por outro lado, observe que 2 a k L k= < < a k L = N a k L + k= N k= N k= a k L + 2 a k L + ϵ 2 k= k=n + ϵ = N k= k=n + a k L a k L + Em seguida, tomamos N 2 > N tal que se > N 2, temos Logo, se > N 2, etão ou seja, k= + a k = L. a k L < ϵ k= Exercício Resolvido.8 Mostre que + k k + = k= N k= ( 2 N ) ϵ 2 a k L < ϵ 2. Resolução: De fato, como segue do Teor. (.8). + + = + + / =, o resultado Corolário.5 Seja {a } + Se a = L, etão + + uma sequêcia umérica de termos positivos. a a 2... a = L. 26

27 Demostração: Cosidere a sequêcia {b } +, defiida por b = l a. Note que l L = l( + a ) = Assim, pelo teorema aterior, l L = b k = + + k= l a = + l a k = k= = + l(a a 2... a ) / = l( + dode segue o resultado. + b + l(a a 2... a ) a a 2... a ) Teorema.9 (Teste da razão para sequêcias) Se {a } + é uma sequêcia umérica de termos positivos tal que = L, etão a + + a a = L + Demostração: Cosidere a sequêcia {b } + com b = a e b = a a para = 2, 3,.... Do Corolário (.5), Por outro lado, + b b 2... b = L = b b 2 b 3... b = a a2 a a3 De (.6) e (.7), segue que b a + = (.6) + + a a 2... b b 2... b = + a = L. + Exercício Resolvido.9 Mostre que Resolução: a a = a a (.7) +! + = e. (Método :) Seja a sequêcia {a } + dada por a =!. Note que a + = + a + = + ( + )! ( + ) + ( +! = + ( + ) ( + ) = + 27 ) = e = e

28 Pelo Teor. (.9), e = a = +! + = +! (Método 2:) Seja a =. Assim, ( )! l a = l = l(!) l() = [l(!) l()] (.8)! Note que ( ) ( ) k l = l + l k= ( 2 ) l ( ) = (l l ) + (l 2 l ) (l l ) = l( 2... ) l = l(!) l (.9) Substituido (.8) em (.7), segue que a = ( ) k l k= Mas esta expressão é a soma de Riema. Assim, quado +, temos: l(a ) = + dode segue o resultado. 0 l xdx = ϵ 0 + ϵ l xdx = ϵ 0 +[x l x x] ϵ = l( + a ) = Exercício Resolvido.20 Mostre que: a) l = ; + b) = ; + c) + = 0.! Resolução: 28

29 a) Seja a = l. Como a + l( + ) L = H = + a + l + segue do Teor. (.9) que a = = + l =. b) Aálogo ao item aterior e é deixado como exercício. c) Seja a =!. Como a + = + a + Logo, do Teor. (.9), a = + ( + )!! Exercício Resolvido.2 Se a > 0, etão + = + + = 0 + =! = + = 0.! a =. + Resolução: De fato, cosidere a sequêcia a = a. Assim, a + a = + a + a = Logo, pelo Teor. (.9), segue que Teorema.20 Se {a } + N e + a =. + é uma sequêcia de termos positivos para todo a + a = L <, etão + a = 0. Demostração: Seja L 2 tal que L < L 2 <. Assim, L 2 a < a. Além disso, para ϵ = L 2 L > 0, existe N N tal que se > N, etão a + L a < L 2 L 0 < a + < L 2 0 < a + < L 2 a < a a Temos etão que para > N, a sequêcia {a } + é estritamete decrescete e itada iferiormete por 0. Logo é covergete. Seja L o seu ite. Tomado o ite a desigualdade a + < L 2 a, temos L LL 2 L 0. Sedo {a } + uma sequêcia de termos positivos, etão L 0. Logo, L = 0. 29

30 Exercício Resolvido.22 Mostre que a) Se a > e p N, mostre que b) Se a > 0, etão c) +! = 0; + a! = 0; + p a = 0; p a d) Se a > 0 e p N, etão = 0. +! Resolução: a) Seja a = p a. Note que a > 0 de modo que podemos usar o teste da razão para sequêcias. b + b = ( + )p a a + p = ( + ) p a a < quado Logo, pelo Teor. (.20), b) Seja b = a. Note que! a = + b + = + b + a + ( + )! a! + Logo, pelo Teor. (.20), segue o resultado. c) Seja a =! > 0. Note que a + = + a + = + p a = 0. a = + + = 0 < ( + )! ( + ) +! = + ( + Logo, pelo Teor. (.20), segue o resultado. ) = e < ( + d) É aálogo aos ítes ateriores e será deixado como exercício. ) 30

31 .9 A Notação Somatório Apresetaremos esta seção a otação somatório e suas propriedades, muito importate o estudo das séries uméricas apresetado o próximo capítulo. Defiição. Cosidere a sequêcia umérica {a }. Defiimos: a k = a + a a (.20) k= Os úmeros e são os ites iferiores e superiores do somatório, equato que a k é o termo geral do somatório. O ídice iferior pode ser qualquer outro úmero diferete de. Além disso, observe que i) ii) iii) a k = a k= a k = k= k= a k s {}}{ = = k= Exercício Resolvido.23 Calcule os somatórios abaixo: 4 a) 3k 2 b) c) k=2 5 j=0 2 j 4 ( ) i i=0 Resolução: Usado a defiição de somatório, temos: a) 4 3k 2 = = = 87 k=2 3

32 b) c) 5 2 j = = = 63 j=0 4 ( ) i = ( ) 0 + ( ) + ( ) 2 + ( ) 3 + ( ) 4 = + = 0 i=0 Os somatórios são operadores lieares, ou seja, o somatório da soma é a soma dos somatórios e o somatório do produto de uma costate com uma sequêcia é igual ao produto da costate pelo somatório da sequêcia. Essas propriedades são apresetadas o teorema abaixo: Proposição.2 Cosidere as sequêcias {a }, {b } e c R. Etão: i) ii) (a k + b k ) = a k + k= k= k= ca k = c k= k= a k b k Demostração: De fato, i) Para provar essa propriedade, usaremos as propriedades comutativa e associativa da adição, ou seja, (a k + b k ) = (a + b ) (a + b ) k= = (a a ) + (b b ) = a k + k= ii) Usaremos a propriedade distributiva do produto em relação a soma, isto é, k= k= ca k = ca ca = c(a a ) = c 32 b k k= a k

33 Exercício Resolvido.24 Use a proposição aterior e calcule o somatório: 5 [k 2 + 2( ) k k] k=2 Resolução: Neste caso, temos: [k 2 + 2( ) k k] = k 2 + ( ) k k k=2 k=2 k=2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 = = 52 Proposição.3 Seja {a } uma sequêcia e m, N tal que m. Etão: m a k = a k + a k (.2) k= k= k=m+ Demostração: segue que: De fato, sedo < m <, pela defiição de somatório m a k = (a + a a m ) + (a m a ) = a k + k= k= k=m+ a k Para cálculo de algus somatórios, o corolário abaixo é muito útil. Corolário.6 Sejam m, etão i) ii) a k = m a k k=m k= k= = m + k=m a k Demostração: m i) Da Prop.(.3), temos a k + k= a k = k=m 33 a k dode segue o resultado. k=

34 ii) Fazedo a = o item aterior, temos: = k=m k= m k= = (m ) = m + A proposição permite calcular o somatório sem a ecessidade de somar termo a termo, sedo portato, muito útil para calcular os somatórios cujo ite superior é grade. Proposição.4 Seja N. Etão: i) ii) iii) k = k= k 2 = k= k= ( + ) 2 ( + )( + 2) 6 k 3 = 2 ( + ) 2 4 Demostração: i) Seja S = k = k. Assim, k= k= S = S = k = ( ) + k= = + ( ) k= Somado membro a membro essas equações, temos: parcelas {}}{ 2S = ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + )= ( + ) dode segue o resultado. 34

35 ii) Usaremos idução fiita sobre. Para =, temos: k 2 = 2 = k= e ( + )(2 + ) 6 = Supohamos que a expressão dada seja válida e mostraremos que ela também é válida para +. De fato, + k 2 = k= k 2 + ( + ) 2 = k= ( + )(2 + ) 6 + ( + ) 2 ( + )[(2 + ) + 6( + )] ( + )[(2 + 4) ] = = 6 6 ( + )[2( + 2) + 3( + 2)] ( + )( + 2)(2 + 3) = = 6 6 iii) Novamete, usaremos idução fiita sobre. Para =, temos: 3 = e k= 2 ( + ) 2 4 = Supodo que a expressão dada seja verdadeira, provaremos sua validade para +. De fato, + k 3 = k= k 3 + ( + ) 3 = 2 ( + ) 2 + ( + ) 3 4 k= = 2 ( + ) 2 + 4( + ) 3 4 = ( + )2 ( + 2) 4 = ( + )2 [ 2 + 4( + )] 4 Exercício Resolvido.25 Calcule os somatórios abaixo: a) 6 k 2 b) 0 4 (k 2 3k + 2) 35

36 Resolução: Neste exemplo, usaremos muitas propriedades dos somatórios apresetadas ateriormete. a) Usado o item ii) da proposição aterior, temos b) 0 k=4 0 = = 6 k 2 = 6 (6 + ) (2 6 + ) (k 2 3k + 2) = k 2 3 k + k= k k 2 3 k= + 2(0 4 + ) = 238 k=4 ( 0 k= Proposição.5 Se r R \ {}, etão k k=4 0 k=4 3 ) k + 2 k= = k=4 [ ] 0 ( ) 3 ( ) 2 k=0 O úmero r é cohecido por razão. r k = r+ r (.22) Demostração: Seja S o valor do somatório, isto é, S = r k = + r + r r + r (.23) k=0 Multiplicado essa expressão por r, temos rs = r + = r + r 2 + r r + r + (.24) k=0 Fazedo (.24) (.23), segue que rs S = r + S = r+ r 36

37 Observação.3 No caso em que r =, observe que +. Exercício Resolvido.26 Calcule os somatórios abaixo: 5 a) 4 3 k b) k=0 0 2 k k=6 Usaremmos a proposição aterior e as propriedades de so- Resolução: matórios. a) b) k=0 = 0 + = k= k = 4 3 k = = 456 k=0 0 k=6 0 2 k = k=6 ( ) k = 2 0 k=0 ( ) k 2 3 ( 2 k=0 = ( 2 ) 2 ( 2 )6 2 = Algus ites expressam somas fiitas que podem ser calculados usado a otação somatório. O exemplo a seguir ilustra esses tipos de ites. Exercício Resolvido.27 Calcule os ites abaixo: a) b) + Resolução: a) Observe que = (2k ) = 2 k = (+) = 2 k= 37 k= k= ) k

38 de modo que b) Sedo etão = = + k= = + k 3 = 2 ( + ) 2 ) = + = / 2 = 4 = / + / 2 =.0 Exercícios Propostos. Escreva os cico primeiros termos das sequêcias abaixo e plote o sistema de coordeadas cartesiaas. (a) a = ( ) + 2 ( ) + (b) b = 4 (c) c = cos( π 2 ) + si( π 2 ) (d) d = ( ) 2. Escreva os seis primeiros termos das sequêcias recursivas abaixo. { a + = 2a (a) a = 2 { a + = a (b) a = 4 (c) a + = a + a, sedo a 0 = a = (d) a + = ( + ) a, sedo a 0 = 38

39 3. Calcule os ites das sequêcias abaixo: (a) (b) (c) (2 4) 2 + (d) (e) + 3 (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) + + e e e + e 2 + ( ) ( + )! ( + 2)! (2)! 4. Use o fato que ( + 3)! ( + )! 3 + e calcule os ites abaixo: ( (a) + ) +3 + ( (b) 3 ) 2 + ( + = e + ) 39

40 (c) (d) (e) ( ( ( + ) 2 ) ) 5. Use a regra de L Hospital e calcule os ites das sequêcias abaixo. (a) (b) (c) (d) (e) l / 6. Assiale (V) para verdadeiro e (F) para falso as seteças abaixo. Justifique através de um cotra-exemplo as alterativas falsas. (a) ( (b) ( (c) ( (d) ( (e) ( ) Toda sequêcia covergete é itada. ) Sequêcias crescetes ou decrescetes são moótoas. ) Toda sequêcia itada é covergete. ) Existem sequêcias itadas que são covergetes. ) Toda sequêcia decrescete e itada é covergete. 7. Mostre que = 3. + Sugestão: Use o Teor. (.9). 8. Use o fato que = k = k= ( + ) 2 e as propriedade de somatórios e calcule os ites abaixo. (a)

41 (b) (c) (d) Use o fato que (2k + ) k= = k = k= ( + )(2 + ) 6 e as propriedade de somatórios e calcule os ites abaixo. (a) (b) + 3 k 2 k= + (k 2 + k) k= ( 2 + )(2 + ) 0. Uma população estável de pássaros vive em três ilhas. Cada ao, 0 % da população da ilha A migram para a ilha B, 20 % da população da ilha B migram para a ilha C e 5 % da população da ilha C migram para a ilha A. Deotemos por A, B e C, respectivamete, os úmeros de pássaros as ilhas A, B e C, o ao ates da ocorrêcia da migração. (a) Mostre que A + = 0, 90A + 0, 05C B + = 0, 0A + 0, 80C C + = 0, 95C + 0, 20B (b) Supodo que A, B e C, determie o úmero + + de pássaros em cada ilha após muitos aos.. Seja N R +. Cosidere a sequêcia {a } dada por: { a + = 4 Na a = 4

42 (a) Admitido que esta sequêcia é crescete e itada, etão ela é covergete. Mostre o seu ite L = 3 N. Portato, esta sequêcia os forece um modo de calcular a raiz cúbica de um úmero positivo, usado raízes quadradas. (b) Use esta técica e determie aproximadamete Exercícios Selecioados e Resolvidos. Se a L 0, etão a 0 para ifiitos valores de. Resolução: Seja ϵ = L /2. Como a L quado +, existe N > 0 tal que se > N, etão Se > N, segue que a L < L 2 L = (L a ) + a a L + a < L 2 + a a > L 2 ou seja, a > L 2 para todo > N 2. Cosidere a sequêcia {a } + covergete, cujo ite é L 0. Se {a } + satisfaz a equação mostre que L = 3 2. a + = 2 3 a + 2 3a 2 Resolução: Aplicado o ite a equação dada, temos: ( 2 a + = a + 2 ) 3a 2 L = 2L L Resolvedo esta equação segue que L = (Taylor) Calcule os ites abaixo: ( ) 4 (a) + ( ) 3 42

43 (b) ( + ). + Resolução: (a) Note que ( ) 4 ( = 4 ) 4 = ( 2 )[ ( + ) 2 ] e que Logo, ( ) 3 ( = 3 ) 3 = [2 ( + ) 2 ] + ( ) 4 ( ) 3 = + ( 2 )[ ( + ) 2 ] 2 ( + ) 2 = 4 3 (b) ( + ) = + ( + )( + + ) = = + + = (Leithold) Prove que a sequêcia {a } for covergete e + a = L, etão a sequêcia { a } também será covergete e + a = L. Resolução: Dado ϵ > 0, existe N N tal que a L < ϵ se > N. Assim, para provar que a = L, tomamos N > 0, etão se + a L < ϵ. De fato, a L a L < ϵ se > N 43

44 Capítulo 2 Séries Numéricas 2. Itrodução Em muitas áreas da Matemática, surgem problemas relacioados a somas ifiitas, ou seja, somas que possuem um úmero ifiito de parcelas. Por exemplo, cosidere um segmeto de m de comprimeto. Divido-o ao meio, teremos dois segmetos de comprimeto iguais a /2 m, dividido-o ovamete, teremos 4 segmetos de comprimeto igual a /4 m. Observe que podemos cotiuar este processo idefiidamete. Uma perguta iteressate é saber o comprimeto total da soma de cada um dos segmetos distitos, ou seja, qual o valor de: Durate séculos, a ideia de somar ifiitas parcelas descocertou as melhores metes matemáticas. O assuto itesificou durate o século XV II e várias expressões com ifiitos termos surgiram sem um formalismo adequado. Um caso que cofudiu os matemáticos do século XV III foi a soma Algus matemáticos diziam esta soma é igual a 0, outros diziam que era igual a. Teve uma correte que afirmava que esta soma era igual a /2 baseado a série geométrica amplamete cohecida a época. O que faltava para estes matemáticos é o coceito de covergêcia que foi desevolvido o século XIX. Além disso, coforme desevolvemos uma teoria sobre sequêcias e séries ifiitas, uma aplicação importate os forece 44

45 um método de represetar uma fução derivável f(x) como o somatório ifiito de potêcias de x. A teoria ampliou-se rapidamete e está presete em vários ramos da Matemática, tais como Equações Difereciais, Trasformadas de Laplace, Séries de Fourier, Variáveis Complexas, etc. 2.2 Coceitos Preiares Defiição 2. Cosidere a sequêcia umérica A expressão a, a 2, a 3,..., a,... ou {a } + a + a 2 + a a +... = a (2.) chama-se série umérica, sedo os úmeros a, a 2,..., a os termos da série. Defiição 2.2 A soma dos primeiros termos da série chama-se soma parcial S, isto é, S = a k (2.2) Desta forma, k= S = a, S 2 = a + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3,... S = a + a a Defiição 2.3 Dizemos que a série umérica (2.) coverge se a sequêcia das somas parciais dada em (2.2) coverge, isto é, se o ite seguite existir e for fiito: S = S + Neste caso, o úmero real S chama-se soma da série. Se além disso, o ite S ão existir, dizemos que a série (2.) diverge e que ão tem + soma. Observação 2. Por comodidade é comum deotar a série umérica simplesmete por a. 45 a =0

46 Exercício Resolvido 2. Determie se a série umérica ( ) coverge. Caso afirmativo ache sua soma. Resolução: Calculemos algus termos da sequêcia das somas parciais: S = a =, S 2 = a +a 2 = + = 0, S 3 = a +a 2 +a 3 = + = Assim, observamos que S = { se é ímpar 0 se é par ou seja, S = ( ) para N. Vimos o capítulo aterior que esta sequêcia é divergete. Logo, a série dada é divergete. Defiição 2.4 A série umérica chama-se série telescópica. ( + ) (2.3) Proposição 2. A série telescópica (2.3) coverge e sua soma é igual a, isto é, ( + ) =. Demostração: Nesse caso, p =, a = 0 e b =. Trata-se portato de uma série telescópica. Sedo A = e B =, segue que ( + ) = ( k ) k + k= k= ( = ) ( ) ( ) = + + Assim, k= ( ( + ) = ) =

47 Observação 2.2 Através de uma mudaça de ídice a série telescópica, podemos escrever: k= + ( + ) = ( + )( + 2) =0 Defiição 2.5 Sejam c R e p N. A série =p chama-se série "quase-telescópica". c ( + ) (2.4) Teorema 2. Se a série umérica a coverge (diverge), etão a série obtida desta retirado um úmero fiito de termos também coverge (diverge). Demostração: Supohamos que a = S e cosidere a série obtida da aterior retirado 0 termos. Mostraremos que a série também coverge. De fato, S = 0 ode S = a. k= 0 a = a + = 0+ Supohamos agora que a série = 0 + Assim, Absurdo! a = 0+ a = S S a = 0 + a = 0 + a diverge. Mostraremos que a série a também diverge. Supohamos por absurdo que 0 a = a + = = S + S < + = 0 + a = S.

48 Teorema 2.2 Sejam as séries uméricas covergetes a e b cujas somas são a e b respectivamete. Etão i) A série ca é covergete e sua soma é ca, para todo c R; ii) A série (a + b ) é covergete e sua soma é a + b. Demostração: i) Se c = 0 o resultado é imediato. Desta forma supohamos c 0. Sedo a série a covergete, dado ϵ > 0, existe N N tal que se > N, a a < ϵ c k= Assim, se > N, ca ca = c a a < c ϵ c = ϵ k= dode segue o resultado k= ii) Como a série a é covergete, dado ϵ > 0, existe N N tal que se > N, etão a a < ϵ (2.5) 2 k= Como a série a é covergete, dado ϵ > 0, existe N N tal que se > N, etão b b < ϵ (2.6) 2 k= k= Seja N = max{n, N 2 }. Usado a desigualdade triagular e as expressões (2.5) e (2.6), segue que se > N, etão ( (a + b ) (a + b) = ) ( a a + b b) dode segue o resultado. k= k= a a + b b < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ k= 48 k=

49 Corolário 2. A série "quase-telescópica" coverge. Demostração: Segue imediatamete do Teor. (2.2) e do Teor. (2.). Corolário 2.2 Se a série a é covergete e a série b é divergete, etão a série umérica (a + b ) é divergete. Demostração: De fato, se (a + b ) fosse covergete e sedo a covergete, etão b = [(a + b ) a ] = (a + b ) a seria covergete. Exercício Resolvido 2.2 Estude a covergêcia das séries abaixo: a) b) =5 =2 Resolução: 4 ( + ) [ ] ( ) + ( + )( + 2) a) Essa série umérica é a série "quase-telescópica" e portato coverge. b) Como a série =2 ( ) é a série umérica obtida da série divergete ( ) (Exercício resolvido 2.), retirado o primeiro, etão do Teor. (2.) segue que essa série diverge. Cosequetemete, do Cor. (2.2) a série dada diverge. Corolário 2.3 Seja c 0. Se a série a diverge, etão a série ca diverge. Demostração: Se ca covergir, etão S = ca = c a a = S c ou seja, a série a coverge. Absurdo! 49

50 Observação 2.3 O Teor. 2.2 afirma que o produto de uma costate o termo geral de uma série covergete ão afeta a sua covergêcia e a soma de duas séries covergetes é uma série covergete. Matematicamete, temos: ca = c a e (a + b ) = a + b. Determiar se uma série umérica coverge ou diverge será o objetivo pricipal deste capítulo. Serão vistos vários testes de covergêcia que os auxiliarão esta tarefa e o teste a seguir, apesar de simples, é muito útil para uma aálise rápida da divergêcia de uma série umérica. 2.3 A Série Harmôica Defiição 2.6 A série umérica chama-se série harmôica = + (2.7) Esta série desempeha um papel muito importate o estudo das séries uméricas. O matemático iglês Nicole Oresme provou o século XIV que ela é uma série divergete. O seu raciocíio apresetado o teorema abaixo é uma atecipação do teste da comparação que veremos em breve. Teorema 2.3 A série harmôica diverge. Demostração: De fato, vejamos as somas parciais S 2 0, S 2, S 2 2,..., S 2. S 2 0 = S = S 2 = S 2 = + 2 ) S 2 2 = S 4 = ( S 2 3 = S 8 = ( > = ) ( ) 8 > = Por idução fiita, segue que S 2 p > + p. Como 2 + p = +, de p + 2 modo que, S 2p = + e cosequetemete, S = +. Logo, a p + p + série harmôica diverge. 50

51 Defiição 2.7 Seja c R. Chamamos de série "quase-harmôica", a série dada por: c (2.8) =p Exercício Resolvido 2.3 Estude a covergêcia das séries uméricas abaixo: a) =0 + 5 b) =3 2 Resolução: a) Observe a série dada é a série harmôica suprimido os 4 primeiros termos. Portato, pelo Teor. (2.), segue que a série dada é divergete. b) Observe que =3 2 = é a série harmôica suprimido seus 2 primeiros termos e multiplicado os demais por 2. Logo, essa série é divergete. 2.4 A Série Geométrica Uma das pricipais séries uméricas e que possui diversas aplicações é a série geométrica, cuja defiição é dada abaixo: Defiição 2.8 Dados a, q R, a série a + aq + aq aq +... = aq = chama-se série geométrica de razão q e primeiro termo a. =0 aq (2.9) Teorema 2.4 Dada a série geométrica de razão q e primeiro termo igual a a, etão: 5

52 i) Se q < a série geométrica (2.9) coverge e sua soma é S = a q (2.0) ii) Se q =, a série geométrica (2.9) diverge; iii) Se q >, a série geométrica (2.9) diverge. Demostração: i) Cosidere a soma parcial S dada por S = a + aq + aq aq + aq (2.) Multiplicado a expressão (2.) pela razão q, temos: qs = aq + aq 2 + aq aq + aq + = a + (a + aq + aq 2 + aq aq ) + aq + (2.2) O termo etre parêteses a expressão (2.2) é exatamete a soma parcial dada em (2.). Assim, qs = a + S + aq + (q )S = aq + a (2.3) Se q <, temos q 0 e pelo Teor. (.5) do capítulo aterior, + aq+ = 0. Assim, S = + ( aq + + q a ) = a q q ii) Se q =, etão q = ± e da expressão (2.), S = ±a. Claramete, S = (±a) = ± + + de modo que a série geométrica é divergete. iii) Se q >, etão q < ou q >. Em ambos os casos, pelo Teor. (.5) S =, de modo que a série geométrica é divergete. Exercício Resolvido 2.4 Determie a soma das áreas hachuradas a figura abaixo: 52

53 Figura 2.: Série ifiita gerada pela soma de áreas em um quadrado. Resolução: Deotado por S a soma das áreas dos primeiros quadrados, etão S = e sedo a razão q = <, segue que 4 S = S = = 3 Exercício Resolvido 2.5 Use o teorema aterior e determie se as séries abaixo covergem. Caso afirmativo, ache sua soma. a) b) c) 3 4 =0 =0 ( ) Resolução: 53

54 a) Note que a = 3 4 = 3 ( ) 4 = 3, de modo que a razão q = 4 4 <. Assim, esta série geométrica é covergete. Sedo o primeiro termo a = 3, segue que S = a q = 3 = 4 4 b) Sedo a = ( ) 2 = ( 2), etão q = 2, de modo que q = 2 = 2 > e a série geométrica dada é divergete. c) Observe que as séries 3 e 2 são séries geométricas de razão /3 e /2 respectivamete, portato são covergetes. Pelo item i) Teor. 2., segue que = ( 3 + ) 2 = = /3 /3 + /2 /2 = As Séries do Tipo Telescópicas Nesta seção, veremos outras séries uméricas que possuem o comportameto da série telescópica apresetada a Def. (x). Cosidere a série umérica a, cujo termo geral é a fração da forma a = (p + a)(p + b) sedo p N, 0 a < b N. Queremos determiar os parâmetros A e B tais que (p + a)(p + b) = A p + a + B p + b Resolvedo, temos = A(p + b) + B(p + a), de modo que A = b a e B =. Desta forma, a soma parcial da série dada acima pode ser b a 54

55 escrita a forma: (pk + a)(pk + b) = b a k= ( pk + a ) pk + b k= (2.4) No caso em que b = a +, os termos desta soma irão cacelar sobrado apeas o primeiro e o último termo. Usado a defiição de covergêcia de série, podemos mostrar que essa série é covergete e sua soma pode ser calculada facilmete. Este tipo de série é chamada de série telescópica. Proposição 2.2 Sejam p N, a, b N com a < b. Etão (pk + a)(pk + b) = x a x b b a 0 x p dx (2.5) k=0 Demostração: Da expressão (2.4), temos Mas, e k=0 (pk + a)(pk + b) = b a pk + a = pk + b = 0 0 k=0 Substituido (2.7), (2.8) em (2.6), segue que k=0 ( pk + a ) pk + b (2.6) x pk+a dx (2.7) x pk+b dx (2.8) (pk + a)(pk + b) = [ + + x a x pk dx x b b a 0 k=0 0 k=0 = [ x a b a x p dx x b ] x p dx = b a 0 Exercício Resolvido 2.6 Mostre que k=0 0 0 x a x b x p dx (2k + )(2k + 2) = l 2 ] x pk dx 55

56 Resolução: Usado a Prop. (2.2) com p = 2, a = e b = 2, segue que k=0 (2k + )(2k + 2) = 2 0 x x 2 x 2 dx = 0 dx = l 2 + x 2.6 O Teste da Divergêcia Teorema 2.5 Se a série umérica Demostração: Seja S = a. Sedo a é covergete, etão a = 0. + S = S, etão, + a = (S + S ) = S + S = S S = Observação 2.4 Pelo argumeto lógico da cotra-positiva, podemos afirmar que se a 0 ou se a ão existir, a série diverge. Esta + + seguda versão do Teor. (2.5), é chamada de teste da divergêcia. Este teste ão diz ada à respeito da covergêcia de uma série umérica. Assim, se a = 0, a série pode covergir ou divergir e uma aálise adicioal faz-se ecessário. Exercício Resolvido 2.7 Use o teste da divergêcia e estude as séries uméricas abaixo: a) b) + ;. Resolução: a) Note que a = +. Sedo a = a série dada diverge. + + = = 0

57 b) Como + = 0, o teste é icoclusivo, ou seja, o teste falha. 2.7 O Teste da Itegral Uma forma de estudar a covergêcia de uma série umérica é relacioá-la com uma itegral imprópria, coforme o teorema a seguir. Teorema 2.6 (O Teste da Itegral) Seja que f uma fução ão-crescete, ão-egativa, defiida sobre o itervalo [N, + ). Cosidere a sequêcia {a } + tal que a = f() para todo > N. Etão: i) Se ii) Se + N + N f(x)dx coverge, etão f(x)dx diverge, etão a coverge; a diverge. Demostração: Seja Figura 2.2: Diagrama para o teste da itegral S = f() + f(2) f() = a + a a 57

58 Por comparação de áreas a figura acima, temos k+ k f(x)dx f(k)(k + k) = f(k) (2.9) e k+ f(x)dx f(k + )(k + k) = f(k + ) (2.20) De (2.9) e (2.20), segue que k f(k + ) k+ Fazedo k =, 2, 3,...,, segue que: k f(2) f(3) f( + ) f(x)dx f(k) para k (2.2) f(x)dx f() f(x)dx f(2) +. f(x)dx f() Adicioado essas desigualdades membro a membro, temos: f(2) f( + ) 2 f() + f(2) f() S a f(x)dx f(x)dx f(x)dx S (2.22) i) Se a itegral + N coverge, etão a itegral + f(x)dx também coverge e pela desigualdade (2.22), segue que S coverge, ou + seja, a série umérica a coverge. ii) Se a itegral + diverge, etão a itegral + f(x)dx também diverge e pela desigualdade (2.22), segue que S diverge, ou seja, N + a série umérica a diverge. 58

59 Exercício Resolvido 2.8 Use o teste da itegral e estude a covergêcia das séries abaixo: a) b) e Resolução: a) Seja a fução f(x) = /x para x. Como + x dx = a série dada diverge. p p + x dx = b) Seja f(x) = xe x para x. Como + xe x dx = p p + = e + p + Logo, a série dada coverge. l p = + p + p xe x dx = ( xe x p + ( ) e e p = 2 e < + + p ) e x dx Defiição 2.9 Seja p > 0. Chama-se série-p a série umérica dada por: p (2.23) Uma cosequêcia importate do teste da itegral é o corolário seguite relativo a covergêcia da série-p dada por: Corolário 2.4 (Série-p) Seja p > 0. i) Se 0 < p, a série umérica 59 p diverge;

60 ii) Se p >, a série umérica Demostração: p coverge. Cosidere a fução f(x) = para x [, + ). Note que f(x) é positiva xp esse itervalo. Como f (x) = p < 0 se x, etão f é uma fução xp+ ão-crescete para x [, + ). Deste modo, f satisfaz as hipóteses do Teor. (2.6). i) Se 0 < p <, etão + + r f(x)dx = x p dx = x p dx r + x p+ r ( = r p r + p + = r + p ) = + p No caso em que p =, + f(x)dx = Logo, a série diverge. ii) Se p >, etão x dx = r r + x dx = r l r = + r + f(x)dx = x p dx = x p dx r + x p+ r ( = r p r + p + = r + p ) p Logo, a série coverge. Exercício Resolvido 2.9 Estude a covergêcia das séries abaixo: = p a) b) 2 ( 4 )

61 Resolução: a) Sedo a = 2 = 2. Esta é uma série p com p = 3/2 >. Logo, 3/2 esta série coverge. b) Sedo a = ( 4 ) 2 ( 3 = /3 /4 ) 2 = /6 esta é uma série p com p = /6 <. Logo, esta série diverge. 2.8 O Teste da Comparação Nesta seção, o estudo da covergêcia de uma série umérica será feito com uma série umérica que sabemos através de algum outro método que ela é covergete ou divergete. Teorema 2.7 (Teste da Comparação) Supoha que 0 a b para todo N. i) Se a série ii) Se a série a diverge, etão a série b coverge, etão a série b diverge; a coverge. Demostração: Sejam S = a k e T = k= séries a e b. Da hipótese segue que b k as somas parciais da k= i) Se a série segue que 0 a k k= b k, ou seja, 0 S T (2.24) k= a diverge, etão S = + e da expressão (2.24), + T = +, ou seja, a série + 6 b diverge.

62 ii) Sedo {T } + uma sequêcia covergete, ela é itada superiormete, de modo que existe uma costate M > 0 tal que T M para todo N. Portato, S M para todo N, ou seja, a sequêcia {S } + é itada superiormete. Desde que a 0, etão S + = S + a S, de modo que {S } + é crescete. Logo, pelo Teor. (.6), esta sequêcia é covergete. Observação 2.5 As coclusões do Teor. (2.7) cotiuam válidas se 0 a b para algum N N. Exercício Resolvido 2.0 Use o teste da comparação e estude a covergêcia das séries abaixo: a) b) c) d) = l Resolução: ( + ) 2 a) Observe que 2 + < para todo N, de modo que Assim, Logo, a série diverge. 2 + > > 2 para todo + + = 2 =2 N = + b) Neste caso, observe que 2 > = 2 para todo N, de modo que 2 < 2 para N. A série é a série-p com p = 2 e 2 portato é covergete. Pelo teste da comparação, segue que a série dada é covergete. 62

63 c) Basta observar que l < para todo N e comparar com a série harmôica. d) Como + > para todo N, etão N, de modo que ( + ) 2 < para todo 2 ( + ) 2 < 3 + ( + ) 2 < 3 < O Teste da Comparação de Limite Outro teste muito para aalisar a covergêcia das séries uméricas de termos positivos é o teste da comparação de ite dado pelo seguite teorema: Teorema 2.8 (Teste do Limite da Comparação) Cosidere as séries a e b tais que a, b > 0. Cosidere o úmero c = a + b Se c > 0, etão ambas as séries covergem ou ambas as séries divergem. Demostração: Seja ϵ =. Como > N, etão a + b a c b < c < a < c + b = c, existe N N tal que se (c )b < a < (c + )b se > N (2.25) Usado os argumetos apresetados o teste da comparação, temos: Se a sequêcia {a } coverge, segue das desigualdades dadas em (2.25) que a sequêcia {b } coverge; Se a sequêcia {a } diverge, segue das desigualdades dadas em (2.25) que a sequêcia {b } diverge; Se a sequêcia {b } coverge, segue das desigualdades dadas em (2.25) que a sequêcia {a } coverge; Se a sequêcia {b } diverge, segue das desigualdades dadas em (2.25) que a sequêcia {a } diverge. 63